第14章达朗伯原理（动静法）
§ 14-1 达朗伯原理
例1.质量m=10kg的物块A沿与铅垂面夹角二=60°的悬臂梁下 滑，如图所示。不计梁的自重，并忽略物块的尺寸，试求当物块下滑 至距固定端O的距离丨=0.6m，加速度a =2m/s2时固定端O的约束反力。
解：取物块和悬臂梁一起为研究对象，受有主动力 W，固定端O
处的反力F°x、F oy及MO。施加惯性力F g如图所示，Fg=ma，方向与a
相反，加在物块上
根据达朗伯原理，列形式上的平衡方程
壬 X =0 FOx-Fgsi n 日=0
送 Y = 0 FOy —W + Fg cosO = 0
Z mO(FJ =0 MO -Wlsin日=0
可解得
FOx 二 Fgsinn =17.32N
FOy 二 W-FgCOS -88N
MO 二Wlsinv - 50.92N m
从本例可见，应用质点达朗伯原理求解时，在受力图上惯性力的 方向要与加速度方向相反，惯性力的大小为 Fg二ma，不带负号。
例1.如图所示，物块A、B的重量均为W，系在绳子的两端，滑 轮的半径为R，不计绳重及滑轮重，斜面光滑，斜面的倾角为 二，试 求物块A下降的加速度及轴承O处的约束反力。 a) T、重力
解：先取物块B为研究对象，所受的外力为绳索的拉力
W、光滑斜面的约束反力N B，虚加的惯性力为FgB，如图所示。取图 所示坐标系，根据质点达朗伯原理，可列出平衡方程为
' Y = 0 NB -Wcosv - 0
可得
NB =Wcosv
再取物块A、B及滑轮和绳索所组成的系统为研究对象。质点系 的外力有两个物块的重力 W，轴承O的约束反力X。和YO，及光滑斜 面的约束反力NB。虚加上惯性力FgA和FgB，如图所示。惯性力的大小 为
FgA = FgB 二世 a。
g
质点系的外力和惯性力组成一平面力系。 选取图所示坐标系，并
取O点为矩心，根据质点系达朗伯原理，列平衡方程，并注意到
第十四章 虚位移原理答 案
14-1
(1)若认为B处虚位移正确，则A ，C处虚位移有错：A处位移应垂直于
O1A 向左上方，C处虚位移应垂直向下。若认为C处虚位移正确，则B，A处虚
位移有错：B处虚位移应反向，A处虚位移应垂直于O1A向右下方。C处虚位移
可沿力的作用线，A处虚位移不能沿力的作用线。
(2)三处虚位移均有错，此种情况下虚位移均不能沿力的作用线。杆
AB，DE若运动应作定轴转动，B，D点的虚位移应垂直于杆AB，DE；杆
BC，DE作平面运动，应按刚体平面运动的方法确定点C虚位移。
14-2
（1）可用几何法，虚速度法与坐标（解析）法；对此例几何法与虚速度法
比坐标（解析）法简单，几何法与虚速度法难易程度相同。
（2）可用几何法，虚速度法与坐标（解析）法。几何法与虚速度法相似，
比较简单。用坐标法也不难，但要注意δθ的正负号。 （3）同（2）
（4）用几何法或虚速度法比较简单，可以用坐标法，但比较难。
（5）同（4）
14-3
（1）不需要。
（2）需要。内力投影，取矩之和为零，但内力作功之和可以不为零。
14-4
弹性力作功可用坐标法计算，也可用弹性力作功公式略去高阶小量计算；
摩擦力在此虚位移中作正功。
14-5
在平面力系所在的刚体平面内建立一任意的平面直角坐标系，在此刚体平面内任选一点作为基点，写出此平面图形的运动方程。设任一力 的作用点为
（xi ， yi ），且把此坐标以平面图形运动方程表示，设此点产生虚位移，把力
投影到坐标轴上，且写出此点直角坐标的变分，用解析法形式的虚位移表达
式，把力的投影与直角坐标变分代入，运算整理之后便可得。 也可以在平面力系所在的刚体平面内任选一点O（简化中心），把平面力系向此点简化得一主矢与主矩，把主矢以 表示，分别给刚体以虚位移
，由虚位移原理也可得平衡方程。
第14章作业
1、已知：在压缩机的手轮上作用一力偶，其矩为 M
。手轮轴两端各有螺距同为
h
、但方向相反的螺纹。螺纹上各套有一个螺母 A
和 B
，这两个螺母分别与长
为 a
的杆相铰接，四杆形成菱形框，如图所示。此菱形框的点 D
固定不动，而
点 C
连接在压缩机的水平压板上。试求：当菱形框的顶角等于 2 θ
时，压缩机对被压物体的压力。
2、已知：挖土机挖掘部分示意如图。 EA = FB = r
。
当时杆 AE
⊥ DF
，此时油缸推力为F，不计构件重量。试求：此时挖斗可克服的最大阻力矩 M 。
3、已知： 图示远距离操纵用的夹钳为对称结构。当操纵杆 EF 向右移动时，两
块夹板就会合拢将物体夹住。操纵杆的拉力为F，在图示位置两夹板正好相互平
行。试求：被夹物体所受的压力。
4、已知：跨度为 l
的折迭桥由液压油缸 AB
控制铺设，两段相同的桥身重量都是 ，质心 G
位于其中点。试求：平衡时液压油缸中的力F和角 θ
之间的关系。
5、已知： 图示桁架中， AD = DB = 6m ， CD = 3m ，节点 D 处载荷为 。
试求：用虚位移原理求杆 3的内力。
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理论力学教程 (周衍柏)(第四版)
介绍
《理论力学教程》是中国科学技术大学教授周衍柏先生编写的理论力学教程的第四版。本教程系统地介绍了力学的基本原理、定律和方法，旨在帮助读者深入理解和掌握理论力学的核心概念，培养分析和解决力学问题的能力。
目录
1. 力学的基本概念
– 力学的起源和发展
– 力学的基本假设
– 物体的受力分析
2. 动力学
– 一维运动学
– 牛顿定律
– 静力学
– 动力学定律的应用
3. 连续体力学 未知驱动探索，专注成就专业
2
– 连续体的基本概念
– 物质点系和质点系的运动方程
– 连续体的动力学方程
4. 运动学的数学方法
– 坐标系和位置矢量
– 速度和加速度
– 运动学定理
– 曲线运动的描述
5. 动力学的数学方法
– 牛顿第二定律的矢量形式
– 动量和动量守恒定律
– 力矩和力矩定律
– 统一的动力学方法
6. 力学系统的理论
– 多体系统的动力学
– 质点系和刚体系的力学 未知驱动探索，专注成就专业
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– 力学系统的能量和能量守恒定律
7. 外力作用下的刚体运动
– 刚体的运动学
– 刚体受力和动力学
– 刚体运动的定理和方法
– 刚体系统动力学的能量和能量守恒定律
8. 振动
– 简谐振动
– 非简谐振动
– 耦合振动
– 振动的应用
内容概述
《理论力学教程》共分为八个章节，包含了力学的基本概念、动力学、连续体力学、运动学的数学方法、动力学的数学方法、力学系统的理论、外力作用下的刚体运动以及振动等内容。
在力学的基本概念部分，教程介绍了力学的起源和发展，以及力学的基本假设和物体的受力分析方法，为后续章节的学习奠定了基础。 未知驱动探索，专注成就专业
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动力学部分介绍了一维运动学、牛顿定律、静力学以及动力学定律的应用。读者可以学习如何利用牛顿定律分析力学问题，并应用其定律解决实际问题。
连续体力学部分讲解了连续体的基本概念、物质点系和质点系的运动方程，以及连续体的动力学方程。通过学习这一章节，读者可以了解连续体力学的基本理论和应用。
