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理论力学第十四章 达朗贝尔原理与动静法 教学PPT

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第十四章达朗贝尔原理

第十四章达朗贝尔原理


Fb 0, F cos mg 0 Fn 0, F sin F* 0
例题
第14章 达朗贝尔原理
O
θ
l
F
eb
en
et
mg F*
F cos mg 0 F sin F* 0
J B 2

1 2
FP g
v2

QS
sin


FP S
1 2
Q g
v2

(1 2

1 2
Q g
r2

v2 r2
)2

1 2
FP g
v2

QS
sin


FP
S
(Q
FP ) v2 2g
(Q sin
FP )S
两边对时间求一次导数
B
2(Q

FP 2
)v

a

g(Q sin


FP
)v
例题
第14章 达朗贝尔原理
均质圆柱体A和B的重量均为P，半径均为r 一绳绕于可绕固定轴O转动的圆柱体A上， 绳的另一端绕在圆柱B上，求B下落的质心 的加速度，摩擦不计。
A
r
A
A J A A Tr JBB T r
O
D
B
O
T

ao1
A B ac

ao1c

aon1c
2Q F P
例题5
第14章 达朗贝尔原理
滚子A，重Q，沿倾角为α的斜面滚动而不滑 动，滑轮B与滚子A有相同的质量和半径，且均可 看作均值圆盘。物体C重FP，求滚子中心的加速 度。设绳子不可伸长，其重量可略而不计，绳与
《理论力学》第十四章达朗伯原理(动静法)

《理论力学》第十四章达朗伯原理(动静法)

F
D d
C
mg FN
货物不滑的条件：F≤ f FN ， a ≤ f g 货物不翻的条件：d ≤ b/2 ， a ≤ bg/h
为了安全运送货物，应取两者中的小者作为小车的amax。
例 题7
已知：AB杆质量为m ,长为l=2r ,
r O
A
l
B
圆盘半径为r ,角速度为，角加速度为 。 求：A 端的约束反力。
FR
MIC
C

aC
FR maC M C J C
例 题5
已知：m , h , , l。
B
D
h
求：A、D处约束反力。
a
解： 取 AB 杆为研究对象

A
Fx 0 FAx F FN sin 0 Fy 0 FAy mg FN cos 0
C
n FR maC m(aC aC )

O
MIC
FR
M C J C
3、刚体作平面运动
具有质量对称平面的刚体作平面运动，并且运动平面与质量对 称平面互相平行。对于这种情形，先将刚体的空间惯性力系向质 量对称平面内简化，得到这一平面内的平面惯性力系，然后再对 平面惯性力系作进一步简化。
R
O
n FR
MIO
F R
（2）将惯性力系向质心C简化。
FR maC 2mr
n n FR maC 2mr 2


MA
A
FAy
MIC
C B
FAx
M C
1 2 J C mr 3
n FR
mg
FR

n Fx 0 FAx ( FR F ) cos 45 0 R n Fy 0 FAy mg ( FR FR ) cos 45 0 n M A( F ) 0 M A mgr ( FR F ) cos 45 r M C 0 R
课件：达朗贝尔原理(动静法)

课件：达朗贝尔原理(动静法)


主矢： FIR maC
主矩：
M IO
dLO dt
质系动力学问题
向质心C简化
主矢： FIR maC
主矩：
M IC
dLC r dt
{F1e ,, Fme , FIR , MIO} {0}
“平衡”条件:
m
Fie FIR 0
i 1
质心运动定理
m
MO' (Fie ) MO' (FIR ) MIO 0
1、均质细杆AB重P，长L，置于水平位置，若在绳BC突然剪断瞬
时有角加速度，则杆上各点惯性力简化为一个合力时，大小为
PL
2L
_____2_g____，作用点的位置在离A端_____3_____处，在图中画出该
惯性力。
23
2、半径为R，质量为mA的均质圆盘A，与半径为
R 2
，质量为mB的
均质圆盘B如图固结在一起，并置于水平光滑平面上，初始静止
B FBx
FI1 FI2 ma mL2 sin
FI1
MA 0
mgLsin mgLsin FBxh
mg
C
FI1(0.5h L cos ) FI2(0.5h L cos ) 0
FBx
mL 2 sin2
h
mg
A
FAx
FAy
若求附加动反力？
Fx 0
FAx
mL 2 sin2
h
FBx FAx FI1 FI2 0
T 1 mv 2 1 mv 2 1 (1 mr 2 ) 2 5 mv 2
J
A
m
g
L 2
m aCx Fx
m aCy Fy m g
d(1 2
J A2 dt
第十四章达朗贝尔原理PPT课件

第十四章达朗贝尔原理PPT课件


M
* C
m L2
/ 12
29
S
F*x mg
M
* C
FA
F*y
2021/2/13 .
Fx m aCx 3m L Fy m aCy m L / 2 MC* m L2 / 12
取两约束力的交点为矩心
mS 0:
M C *F x 3 L F y L /2m/g 2 L 0
FB
3g
20 L
30
C
FN
2021/2/13 34
.
运动分析
根据运动分析加惯性力、惯性力偶
F*y
O F*x
A
acy
M
* A
acx
2mg
B
Ff
C
FN
acxao r
acyaco r
2021/2/13 35
.
MC 0
M * AF x*rFy*r2mg 0r
F*y
O
A
M
* A
B
Ff
F*x C
2mg
MO0
FN
M * AFfrFy*r2mg 0r
.
1、平移刚体
F2 *
m2 F1* m1 a2
F * m aC
Fn * mn an
F maC
a1
M 0 0
刚体平移时，惯性力系简化为 通过刚体质心的合力。
2021/2/13 12
.
2、定轴转动刚体
MO *
O
C
F
0
F 0 － m a C ＝ m (－ a τ C a C n)
M 0 ＝M O (F iτ)＝(－ m iri2) ＝JO －
2021/2/13 16
第十四章 动静法

第十四章 动静法

结论:刚体有质量对称面且平行于该平面运动时，其惯性力系向 转动质心C简化为一个力和一个力偶，力的作用线通过质心。
M Ic J C
由动静法可列出如下三个方程：
FIR m aC
F F 0 F F 0 M (F ) M
x Ix y Iy C
IC
0
动静法
d 2 xC M Fx 2 dt d 2 yC 刚体平面运 M F y dt 2 动微分方程 d 2 J C 2 M C (F ) dt
动静法
一 质点的达朗贝尔原理
m a F FN
F FN ma 0
令
FI ma
惯性力
有
F FN FI 0 质点的达朗贝尔原理：作用在质点的主动力、
约束力和虚加的惯性力在形式上组成平衡力系。
注意：惯性力不是力。 离心力？
达郎贝尔原理从形式上将动力学问题转化为静力学 问题，它并不改变动力学问题的实质，质点实际上也 并不平衡。
结论:刚体有质量对称面且绕与该面垂直轴转动时，其惯性力系 向转动中心O简化为一个力和一个力偶，力的作用线通过转轴 。 M J F ma
IR C
动静法
IO
z
三 刚体惯性力系的简化 分析几种特殊情况：
①转轴不通过质心，ω匀角速转动：
0; act 0
n c t c
n n FIO FIO -mac
Fi FNi FIi 0
(e)
i 1,2, , n
Fi
Fi ( i ) 分别为作用于第i个质点上的外力和内力。
e i F F i i FIi 0 e i M F M F 0 i 0 i
理论力学第十四章 达朗伯原理讲解

理论力学第十四章 达朗伯原理讲解


FT1＝FT1
cos m1 m2 g m1l 2
§14-2 质点系的动静法
F1
Fg1
m1
a1
FN1 FNi
mi
Fg2
FN2
Fgi
m2
ai Fi
F2
a2
质点系的主动力系
F1 ,F2 ,,Fi ,,Fn 质点系的约束力系 FN1 , FN2 ,,FNi ,, FNn 质点系的惯性力系
Fg1, Fg2 ,, Fgi ,, Fgn
刚体的惯性力为面积力，组成平面力系。
对于一般问题，刚体的惯性力为体积力， 组成空间一般力系。
§14-3 刚体惯性力系的简化 刚体惯性力系简化结果－ 主矢与主矩 惯性力系的主矢
FgR ＝ Fgi＝ (－mi ai )＝－m aC
i
i
惯性力系的主矢等于刚体的质量与刚体质心 加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反。 这一简化结果与运动形式无关。
i
i
i
§14-3 刚体惯性力系的简化
刚体惯性力系特点 刚体惯性力系简化结果
—— 主矢与主矩 刚体惯性力系主矢与主矩与动量
和动量矩之间的关系
§14-3 刚体惯性力系的简化 刚体惯性力系特点
刚体惯性力的分布与刚体的质量分布以及 刚体上各点的绝对加速度有关。
Fgi＝－ 对于平面问题m(或ia者i 可以简化为平面问题)，
§14-3 刚体惯性力系的力系的主矩 —— 惯性力系的主矩与刚体的 运动形式有关。
3、平面运动
具有质量对称平面的刚体作平面运动，并且运动平 面与质量对称平面互相平行。对于这种情形，先将刚 体的空间惯性力系向质量对称平面内简化，得到这一 平面内的平面惯性力系，然后再对平面惯性力系作进 一步简化。
理论力学达朗贝尔原理与动静法教学省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件

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例题
于是可写出汽车旳动态平衡方程
M B 0 , RQh Gc N A(b c) 0 (1) M A 0 , RQh Gb NB (b c) 0 (2)
由式(1)和(2)解得
NA
M
(gc ah) bc
NB
M (gb ah) bc
RQ C
h FB
B
G
c
NB
a
b
A
NA
例题
列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，当车厢向右作
达朗贝尔原理与动静法
目录
达朗贝尔原理 惯性力系旳简化 动静法应用举例 定轴转动刚体对轴承旳动压力
引言
引进惯性力旳概念，将动力学系统旳二阶运动量 表达为惯性力，进而应用静力学措施研究动力学 问题 —— 达朗贝尔原理。
达朗贝尔原理为处理非自由质点系旳动力学问题 提供了有别于动力学普遍定理旳另外一类方 法。
● 主矩
合力偶旳力偶矩即为惯 性力系旳主矩，其大小等于 刚体对经过质心旳转动轴旳 转动惯量与角加速度旳乘积， 方向与角加速度方向相反。
M CQ ICz
MCQ
RQ
C
ri
mi
a
n ir
aC
a
ir
ε
aC
常见惯性力旳主失和主矩
综上所述：
1、刚体作平动 向质心简化
● 主矢 RQ＝ (－miai ) ＝－MaC
匀加速运动时，单摆左偏角度 ，相对于车厢静止。求车厢
旳加速度 a 。
例题
解： 选单摆旳摆锤为研究对象 虚加惯性力
Q ma ( Q ma )
由动静法, 有
X 0 , mgsin Qcos 0
解得
a g tan
理论力学第十四章达朗贝尔原理(动静法)课件

理论力学第十四章达朗贝尔原理(动静法)课件


动静法的物理意义
物理背景
实际应用
达朗贝尔原理反映了牛顿第二定律在 静力学中的应用，通过引入惯性力， 将动力学因素考虑到平衡问题中。
在工程实际中，达朗贝尔原理广泛应 用于分析高速旋转的机械、振动系统 以及瞬态动力学问题。
意义阐述
通过动静法，我们可以分析在某一瞬 时，运动系统由于惯性作用而产生的 力，从而更准确地描述系统的平衡条 件。
03
在应用动静法时，要确 保惯性力与主动力相平 衡，避免出现误差。
04
在求解方程时，要注意 解的物理意义和实际情 况是否相符。
04
CATALOGUE
达朗贝尔原理的应用实例
简单实例解析
总结词
通过一个简单的实例，介绍达朗 贝尔原理的基本应用。
详细描述
以一个单摆为例，运用达朗贝尔 原理分析其运动状态，通过对比 理论计算和实验结果，验证达朗 贝尔原理的正确性。
具体推导过程
在受力分析的基础上，列出系统的平 衡方程。
解出未知数，得到系统的运动状态。
将动静法应用于平衡方程，将惯性力 与主动力相平衡。具体来说，就是在 平衡方程中加入惯性力项，使得该力 与主动力相平衡。
推导过程中的注意事项
01
确定研究对象和系统时 要明确，避免出现混淆 。
02
在建立平衡方程时，要 确保所有力的方向和大 小都正确。
理论力学第十四章 达朗贝尔原理(动静 法)课件
contents
目录
• 达朗贝尔原理概述 • 达朗贝尔原理的基本概念 • 达朗贝尔原理的推导过程 • 达朗贝尔原理的应用实例 • 达朗贝尔原理的扩展与深化
01
CATALOGUE
达朗贝尔原理概述
达朗贝尔原理的定义
理论力学——第14章 达朗贝尔原理

理论力学——第14章 达朗贝尔原理


Fix(e) FIix 0 Fiy(e) FIiy 0 M O (Fi(e) ) M O (FIi ) 0
Fix(e) FIix 0 ,
M x (Fi(e) ) M x (FIi ) 0
Fiy(e) FIiy 0 ,
M y (Fi(e) ) M y (FIi ) 0
由于质点系的内力总是成对存在，且等值、反向、共线，有
F (i) i
0,
MO (Fi(i) ) 0
则上式可改写为
Fi(e) FIi 0 MO (Fi(e) ) MO (FIi ) 0
上式表明，作用于质点系上的所有外力与虚加在每个质点上 惯性力在形式上组成平衡力系，这就是质点系达朗贝尔原理 的又一表述。对整个质点系来说，动静法给出的平衡方程， 只是质点系的惯性力系与其外力的平衡，而与内力无关。
MIO ri (miai ) ( miri )aC mrC aC
若选质心C为简化中心，则 rC=0，有： M IC 0
故平移刚体的惯性力系可以简化
为通过质心的合力，其力大小等
于刚体质量与加速度的乘积，合
力的方向与加速度方向相反。
2、定轴转动刚体 如图示定轴转动刚体，考 虑质点i，以O为简化中。 有
l 2
2
0，aCt A
l
2
方向如图所示
角加速度的计算，以杆端点A为基点，B为动点
aB
aA
a
t BA
aB
aA
aBt A
aBt A aA
ll
aC aA aCt A
B
aBt A
aB
aA
aCt A C
aA
q
A aA
因此得此杆惯性力系得主矢为
FIR
第十四章 达朗贝尔原理(动静法)

第十四章 达朗贝尔原理(动静法)


第一节 质点的达朗贝尔原理
设一质点质量为m, 加速度为a, 作用于质点的主动力为F, 约束 反力为FN 。由牛顿第二定律，有
ma F FN
将上式改写成
FI m F a
F FN ma 0
令
FI ma
FN
FI具有力的量纲, 且与质点的质量有关，称其为质点的惯性力。它 的大小等于质点的质量与加速度的乘积, 方向与质点加速度的方向 相反。
w
A
an (x sin q )w 2
微元段的质量dm＝Pdζ/gl。在该微元 段虚加惯性力dFI, 它的大小为
q
an B FAy FAx A
dFI
Pw 2 dFI d m an sin q x d x gl
于是整个杆的惯性力的合力的大小为
x
q
P
Pw 2 P 2 FI sin q x d x lw sin q 0 gl 2g
(i 1, 2, , n)
即：质点系中每个质点上作用的主动力、约束力和它的惯性力在 形式上组成平衡力系。这就是质点系的达朗贝尔原理。
第二节 质点系的达朗贝尔原理
把作用在第i个质点上的所有力分为外力的合力为Fi , 内力的
(e)
合力为Fi ，则有
(i)
(e) (i) F i F i FI i 0
第二节
质点系的达朗贝尔原理
例4 重P长l的等截面均质细杆AB, 其A端铰接于铅直轴AC上, 并以
匀角速度w 绕该轴转动, 如图。求角速度w 与角q 的关系。
y C
w
A
q
an B
dFI
x
第二节
质点系的达朗贝尔原理
理论力学--达朗贝尔原理及其应用 ppt课件

理论力学--达朗贝尔原理及其应用 ppt课件

0tetftehtftegmmii2??????????????????????cossinsincoscos??????????0thftegmmi2????????????????coscos22i?emf?coscoscos22i2hgtemthftegmm??????????????????????31ppt课件?达朗贝尔原理应用示例例例题2长为l重为w的均质杆ab其a端闰接在铅垂轴z上并以匀角速绕此轴转动
FIti miait mi ri
FIni miain mi 2 ri
ppt课件
21
刚体作定轴转动时惯性力系的简化结果 再将平面惯性力系向点
O简化，得一力和一力偶。 因为所有质点的法向惯性力 都通过O点，所以所有质点 法向惯性力对O点之矩的和 等于零：
力偶的力偶矩等于惯性力系对转轴的主矩，其大小
为刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积，方向与角
加速度的方向相反。
ppt课件
23
刚体作定轴转动时惯性力系的简化结果
讨论：
FIR

ma C

ma
t C

ma
n C
MI O MO ( FIti ) ( miri2 ) JO
电机所受真实力有m1g、 m2g 、 Fx 、Fy、M；惯性力如图所示。
惯性力的大小为 FI m2e 2
方向与质心加速度相反。因转子 匀速转动，只有法向加速度，故 惯性力方向沿O1O2向外。
应用动静法，由平衡方程
MA 0
M m2 g e cos t FI cos t(h e sin t) FI sin t(e cos t) 0
MIC MC (FIti ) ( miri2 ) JC

14.达朗贝尔原理


m 解: F = m a = R∆θi Rω2 Ii 2πR
n i i
∑F = 0, ∑F cosθ − F
x Ii
A
=0
B
∑F
令y= 0,来自∑F sin θ − F
Ii
=0
∆θi →0,
π
m mRω2 FA = ∫ 2 Rω2 cosθ dθ = 0 2 π 2π
m mRω2 F =∫ 2 Rω2 sin θ dθ = B 0 2 π 2π
FI = −ma
加速运动的质点， 加速运动的质点，对迫使其产生加速运动的物体的惯 性反抗的总和。 性反抗的总和。
4
[注] 质点惯性力不是作用在质点上的真实力，它是质点对施 注 质点惯性力不是作用在质点上的真实力， 力体反作用力的合力。 力体反作用力的合力。
5
二、质点的达朗贝尔原理
ma = F + FN
解:
l F =m α 2
t IO
l 2 F =m ω 2
n IO
1 2 MIO = ml α 3
三、刚体作平面运动 假设刚体具有质量对称平面，并且平行于该平面作平面运动。 此时，刚体的惯性力系可先简化为对称平面内的平面力系。 刚体平面运动可分解为 随基点（质点C）的平动： FIR = − maC 绕通过质心轴的转动：M IC = − J Cα ∴
有关) (与简化中心O有关) 与简化中心 有关
无论刚体作什么运动，惯性力系主矢 主矢都等于刚体质量与质 主矢 心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反。
15
一、刚体作平动 向质心C简化：
M IC = ∑ mC ( FIi ) = ∑ ri × (− mi ai ) = −∑ mi ri × aC = −mrC × aC =0

理论力学达朗贝尔原理


Foy

P
P g
R

P 3
（4）
Fxi 0 Fox FInR 0
将（2）式代入有
Fox


P g
R 2


4 3
P
（5）
理论力学电子教程
第十四章 达朗伯原理
例14-3 滚子半径为R，质量为m，质心在其对称中心C点，如 图(a)所示。在滚子得鼓轮上缠绕细绳，已知水平力沿着细绳 作用，使滚子在粗糙水平面上作无滑动得滚动。鼓轮得半径
§14-1 惯性力的基本概念
受非零力系作用的物体将改变运动状态。
由于物体具有惯性，力图保持其惯性运动，所以它 同时给予施力体以反作用力，这种反作用力称为惯性力 。例如，一质量为m的小球M，用细绳系住，绳的另一端 用手握住，使小球在水平面内作匀速圆周运动，其速度 为v，半径为r，如图14－1所示。
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相应地 于是
ai ri ain ri 2
FIi mi ri FIni mi ri 2方向如图（b）。
M IO M O (FIi) M O (FIi ) M O (FIni ) (miri )ri ( miri2 )
理论力学电子教程
一、刚体作平行移动 在同一瞬时，平动刚体上各质点具有相同的加速度 a。
任一质点M i的惯性力为
FIi miai 达朗伯原理
可见各质点的惯性力的大小与各自的质量成正比，方向都 与共同的加速度相反。即此时平动刚体的惯性力系是一个同向 平行力系，各力大小与各点质点质量成正比，如图所示。
得出上述的结论有两个限制条件：
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第十四章 达朗伯原理
（1）刚体具有垂直于转轴系的质量对称平面；

达朗贝尔原理(动静法)课件

惯性力问题
在研究具有加速度的物体时，可以利用达朗贝尔原理引入惯性力的概念，从而将 动力学问题转化为静力学问题，简化求解过程。
复杂系统的应用
多体系统动力学
在多体系统动力学中，达朗贝尔原理可以用于分析多个相互 作用的物体组成的复杂系统的运动规律。通过引入虚拟力， 可以将多体系统动力学问题转化为多个单体动力学问题的组 合。
案例二：机械设备的动静法优化
总结词
机械设备性能的优化是提高生产效率和降低能耗的关键，动静法能够分析机械设备的动态性能，提出 优化方案。
详细描述
在机械设备的运行过程中，动态性能对其稳定性和效率具有重要影响。达朗贝尔原理的动静法能够对 机械设备的动态性能进行深入分析，发现潜伏的问题并提出优化方案，从而提高设备的运行效率和稳 定性。
控制系统
在控制系统中，达朗贝尔原理可以用于分析系统的稳定性。 通过引入虚拟控制力，可以判断系统在受到干扰时是否能够 保持稳定。
04
达朗贝尔原理的案例分 析
案例一：桥梁结构的动静法分析
总结词
桥梁结构的稳定性与安全性是关键，动静法能够全面评估桥梁在不同载荷下的性能。
详细描述
桥梁作为交通要道，需要承受各种载荷，如车辆、风、地震等。达朗贝尔原理能够通过动静法分析桥梁在不同载 荷下的响应，从而评估其稳定性与安全性，为桥梁设计提供根据。
在振动分析中，动静法可用于 研究系统的自由振动和受迫振 动，分析系统的固有频率和振
型。
在稳定性分析中，动静法可用 于研究系统的稳定性和失稳条 件，预测系统的动态行为。
在控制系统分析中，动静法可 用于研究系统的动态响应和调
节性能，优化控制策略。
动静法的优缺点
动静法的优点在于其简单易行，能够 方便地引入虚拟惯性力，从而简化动 力学问题的分析过程。同时，动静法 能够直接得出系统的动力学方程，方 便进行数值计算和仿真分析。

工程力学-结构力学课件-14达朗贝尔原理(动静法)p

14—1、轮轴质心位于O 处，对轴O 的转动惯量为
O J 。

在轮
轴上系两个质量各为1m 和2m 的物体，若此轮轴以顺时针转
动，求轮轴的角加速度 和轴承O 的动约束力。

14—2、图示长方形均质平板，质量为27kg ，由两个
销子A 和B 悬挂。

如果突然撤去B ，求在撤去销子B
的瞬时平板的角加速度和销子A 的约束力。

14—3、如图所示，质量为1m 的物体A 下落时，带动质量为2
m 的均质圆盘B 转动，不计支架和绳子的质量及轴B 处的摩擦，
BC b =，盘B 的半径为R 。

求固定端C 处的约束力。

14—4、图示曲柄OA 质量为
1m ，长为r ，以等角速度ω绕水
平轴O 逆时针方向转动。

曲柄的A 端推动水平板B ，使质量为
2m 的滑杆C 沿铅直方向运动。

忽略摩擦，求当曲柄与水平方
向夹角为030θ=时的力偶矩M 及轴承O 的约束力。

14—5 图示均质板质量为m，放在两个均质圆柱滚子
上，滚子质量皆为0.5m。

其半径均为r。

如在板上作用一水平力F，并设滚子无滑动，求板的加速度。

14达朗贝尔原理


解：1、以杆为研究 对象，受力分析如图 对象， 、 F ⅠC 刚好离开地面时，地面约束力为零。 刚好离开地面时，地面约束力为零。
= m2 a
∑M
A
= 0 m aRsin 30 −m gRcos30 = 0 2 2
o o
a = 3g
2、以整体为研究对象，受力分析如图 、以整体为研究对象， 得
1 2 a FA = ma, MIA = m R I 1 1 2 R
aA = anA + atA= aCx + aCy + atAC + anAC
绳BO刚剪断瞬时，杆角速度ω = 0 ，角加速度α ≠0。 BO刚剪断瞬时 杆角速度ω 刚剪断瞬时， 角加速度α
anAC = AC ·ω2 = 0
atAC = lα／2
t aAC
t aA
O
把 aA 投影到点A轨迹的法线 AO上 投影到点A AO上
MIx = ∑ x (F ) = ∑ x Fi +∑ x Fn M Ii M Ii M Ii
( )
( )
= ∑ irαcosθi zi +∑ −mrω2 sinθi zi ) mi ( ii
由
xi yi cos θi = , sinθi = 有 MI x =α∑mi x i z i−ω2∑mi y i z ri ri
第十四章 达朗贝尔原理(动静法) 达朗贝尔原理(动静法)
§ 14-1 惯性力 质点的达朗贝尔原理 惯性力·质点的达朗贝尔原理
m = F +F a N
F + F −m = 0 a N
令 有
F = −m a I
惯性力
F + FN + F = 0 I

第十四章 达朗贝尔原理

达朗贝尔原理是在十八世纪为求解机器动力学问题而提出的。

第十四章达朗贝尔原理(动静法)动静法采用平衡方程形式求解动力学问题。

求解方法:求解依据:平衡理论，用静力学中研究平衡问题的方法研究动力学问题。

n T a m F =1、惯性力TF na a m F F T T -=-='am F I -=惯性力大小：ma方向：a与方向相反，作用在施力物体上'F Faa m F=a m F F -=-='OωA 'TFN F F a m+=0=-+⇒a m F F N am F I -=0=++⇒I N F F F 质点的达朗贝尔原理:作用在质点的主动力、约束力和虚加的惯性力在形式上组成平衡力系。

2、质点的达朗贝尔原理am IF F NF m例14-1圆锥摆绳长为l ,与铅直线夹角θ=60º,质量为m 的小球在水平面内作匀速圆周运动,求小球的速度,绳的张力解:⑴以小球为研究对象,画受力图θsin 2v a n =θgm F ⑵分析运动，加惯性力n I⑶取自然坐标系，列方程,0=∑ib F 0cos =-mg F θ,0=∑in F 0sin =-n IF F θ;cos θmg F =⇒m Fl v θ2sin =θsin 2l mv ma Fn n I==⇒n ab nτ设质点系内任一质点i 的质量为,加速度为,作用于此质点上的主动力为,约束力为i a i F Ni Fi m 质点i 的惯性力ii Ii a m F-=由质点的达朗贝尔原理得),,2,1( 0n i F F F Ii Ni i==++质点系的达朗贝尔原理：质点系中每个质点上作用的主动力、约束力和虚加的惯性力在形式上组成平衡力系设质点系内任一质点i 的质量为,加速度为,作用于此质点上的外力的合力为,内力的合力为i a )(e i F )(i iFi m 质点i 的惯性力ii Ii a m F-=由质点的达朗贝尔原理得),,2,1( 0)()(n i F F F Ii i i e i==++0)()(=∑+∑+∑Ii i i e i F F F 0)()()()()(=∑+∑+∑Ii O i i O e i O F M F M F M空间任意力系的平衡条件：力系的主矢和对任一点的主矩等于零。

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Fi Ni Qi 0
mO (Fi ) mO (Ni ) mO (Qi ) 0
质点系达朗贝尔原理
Fi Ni Qi 0 mO (Fi ) mO (Ni ) mO (Qi ) 0
上式表明，在任意瞬时，作用于质点系的主动力、约束力和该点 的惯性力所构成力系的主矢等于零，该力系对任一点O的主矩也等于 零。
达朗贝尔原理一方面广泛应用于刚体动力学求解 动约束力；另一方面又普遍应用于弹性杆件求解 动应力。
工程实例
工程实例
爆破时烟囱怎样倒塌
工程实例
爆破时烟囱怎样倒塌
达郎贝尔原理
质点达朗贝尔原理
设质量为m的非自由质点M，在主动 力F和约束力N作用下沿曲线运动，
该质点的动力学基本方程为
N B
ma F N
考虑到式上式中的求和可以对质点系中任何一部分进行，而不限于 对整个质点系，因此，该式并不表示仅有6个平衡方程，而是共有3n个 独立的平衡方程。同时注意，在求和过程中所有内力都将自动消去。
达朗贝尔原理提供了按静力学平衡方程的形式给出质点系动力学 方程的方法，这种方法称为动静法。这些方程也称为动态平衡方程。
这表明，在质点系运动的任一瞬时，作用于每一质 点上的主动力、约束力和该质点的惯性力在形式上构成一 平衡力系。
这就是质点系的达朗贝尔原理。
质点系达朗贝尔原理
Fi Ni Qi 0
对于所讨论的质点系，有n个形式如上式的平衡方程， 即有n个形式上的平衡力系。将其中任何几个平衡力系合在 一起，所构成的任意力系仍然是平衡力系。根据静力学中 空间任意力系的平衡条件，有
Mac Mrc Macn Mrc 2
显然，当质心C在转轴上时，刚 体的惯性力主矢必为零。
z
RQn
aC
O
y
aCn C
x
RQ
常见惯性力的主失和主矩
● 主矢
RQ＝－MaC＝－M (aCτ aCn )
z
具有质量对称平面的刚体绕垂 直于质量对称平面的固定轴转动时， 惯性力系向固定轴简化，得到的惯性 力系主矢的大小等于刚体质量与质心 加速度大小的乘积，方向与质心加速 度方向相反。
RQn
aC
O
y
aCn C
x
RQ
常见惯性力的主失和主矩
● 对转轴的主矩
将刚体对转轴Oz的动量矩 Lz Iz
代入
M
zQ
dLz可得刚体惯性力对轴
dt
Oz的主矩
M zQ
dH z dt
d dt
(Iz) Iz
d
dt
即
M zQ Iz
z
RQn
MzQ aC
O
y
aCn C
x
RQ
常见惯性力的主失和主矩
● 对转轴的主矩
M zQ
dLz dt
上式表明：质点系的惯性力对于任一固定点（或固定 轴）的主矩，等于质点系对于该点（或该轴）的动量矩对 时间的导数，并冠以负号。
惯性力系理，可以得到质点系的惯
性力对质心C的主矩表达式 ● 对质心轴
M CQ
dLC dt
以及它在通过质心C的某一平动轴 Cz上的投影表达式
惯性力系的主矢的简化
惯性力系的主矢
RQ＝ Qi＝ (－miai ) ＝－MaC
i
i
惯性力系的主矢等于刚体的质量与刚体质心 加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反。
惯性力系主矩的简化
● 对任意固定点
又由对任意固定点O的动量矩定理有
MO
dLO dt
，代入
MO
MOQ
0
得
M OQ
dLO dt
● 对固定轴 现将上式两端投影到任一固定轴Oz上，
Q2
m2 Q1
m1 a2
RQ
M aC
Qn mn an
● 主矢
a1
RQ＝ (－miai ) ＝－MaC
i
● 主矩 MQ＝0
刚体平移时，惯性力系简化为 通过刚体质心的合力。
常见惯性力的主失和主矩
2、刚体做定轴转动 具有质量对称平面的刚体绕垂直
于对称平面的固定轴转动。
设刚体绕固定轴Oz转动，在任意瞬 时的角速度为ω，角加速度为ε。
● 主矢 RQ＝ (－miai ) ＝－MaC
i
aC aC aCn
设质心C的转动半径为rc，则 RQ 和 RQn 的大小可分别表示为
RQ RQ RQn
z
RQn
aC
O
y
aCn C
x
RQ
常见惯性力的主失和主矩
RQ RQ RQn
其中 RQ Mac ; RQn Macn;
RQ＝－MaC＝－M (aCτ aCn )
M zQ
dLz dt
上式表明：质点系的惯性力对质心（或通过质心的平
动轴）的主矩，等于质点系对质心（或该轴）的动量矩对
时间的导数，并冠以负号。
惯性力系的简化
注意
• 惯性力系的主矢与刚体的运动形式无关。 • 惯性力系的主矩与刚体的运动形式有关。
常见惯性力的主失和主矩
1、刚体作平动
刚体平移时，惯性力系向 质心简化
质点达朗贝尔原理
F + N ＋ Q＝0
非自由质点达朗贝尔原理的投影形式
Fx N x Qx 0 Fy N y Qy 0 Fz N z Qz 0
质点系达朗贝尔原理
上述质点的达朗贝尔原理可以直接推广到质点系。将 达朗贝尔原理应用于每个质点，得到n个矢量平衡方程。
Fi Ni Qi 0
达朗贝尔原理与动静法
目录
达朗贝尔原理 惯性力系的简化 动静法应用举例 定轴转动刚体对轴承的动压力
引言
引进惯性力的概念，将动力学系统的二阶运动量 表示为惯性力，进而应用静力学方法研究动力学 问题 —— 达朗贝尔原理。
达朗贝尔原理为解决非自由质点系的动力学问题 提供了有别于动力学普遍定理的另外一类方 法。
QM
a
或
F N (ma) 0
AF
引入质点的惯性力Q=－ma这一 概念，于是上式可改写成
F N Q 0
上式表明，在质点运动的每一瞬时，作用于质点的主动力、约 束力和质点的惯性力在形式上构成一平衡力系。这就是质点的达朗 贝尔原理。
质点达朗贝尔原理
Q＝－ ma —— 质点的惯性力
F + N ＋ Q＝0 —— 非自由质点的达朗贝尔原理 作用在质点上的主动力和约束力与假想施加在 质点上的惯性力，形式上组成平衡力系。
惯性力系的简化
惯性力系的简化
对于作任意运动的质点系，把实际所受的力和虚加惯性力各自向 任意点O简化后所得的主矢、主矩分别记作R、MO和RQ、MOQ，于是， 由力系平衡条件，可得
R RQ 0 MO MOQ 0
由质心运动定理有 R = MaC ,得
RQ MaC
即质点系惯性力的主矢恒等于质点系总质量与质心加速度的乘 积，而取相反方向。