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02.静电场中的高斯定理答案

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《大学物理》练习题 No .2 静电场中的高斯定理

班级 ___________ 学号 ___________ 姓名 ___________ 成绩 ________

说明：字母为黑体者表示矢量

一、 选择题

1.关于电场线，以下说法正确的是

[ B ] (A) 电场线上各点的电场强度大小相等；

(B) 电场线是一条曲线，曲线上的每一点的切线方向都与该点的电场强度方向平行；

(C) 开始时处于静止的电荷在电场力的作用下运动的轨迹必与一条电场线重合；

(D) 在无电荷的电场空间，电场线可以相交.

2.如图2.1，一半球面的底面圆所在的平面与均强电场E的夹角为30° ，球面的半径为R，球面的法线向外，则通过此半球面的电通量为

[ A ] (A)  R2E/2 .

(B)  R2E/2.

(C)  R2E.

(D)  R2E.

3.关于高斯定理的理解有下面几种说法,其中正确的是

[ D ] (A) 如高斯面上E处处为零,则该面内必无电荷；

(B) 如高斯面内无电荷,则高斯面上E处处为零；

(C) 如高斯面上E处处不为零,则高斯面内必有电荷；

(D) 如高斯面内有净电荷,则通过高斯面的电通量必不为零；

(E) 高斯定理仅适用于具有高度对称的电场

4. 两个同心均匀带电球面，半径分别为aR和bR(baRR) , 所带电量分别为aQ和bQ，设某点与球心相距r , 当baRrR时， 该点的电场强度的大小为：

[ D ] (A) 2ba041rQQ (B) 2ba041rQQ

(C) )(412bb2a0RQrQ (D) 2a041rQ

5. 如图2.2所示，两个“无限长”的、半径分别为R1和R2的共轴圆柱面均匀带电，轴线方向单位长度上的带电量分别为1 和2， 则在内圆柱面里面、距离轴线为r处的P点的电场强度大小 S

E n

30°

图2.1 [ D ] (A) r0212 (B)

20210122RR

(C)

1014R (D) 0

二、 填空题

1.点电荷q1 、q2、q3和q4在真空中的分布如图2.3所示,图中S为闭合曲面,则通过该闭合曲面的电通量SEdS=042qq,式中的E 是哪些点电荷在闭合曲面上任一点产生的场强的矢量和？答：是 43,2,1qqqq .

2.如图2.4所示,真空中两个正点电荷,带电量都为Q,相距2R,若以其中一点电荷所在处O点为中心,以R为半径作高斯球面S,则通过该球面的电场强度通量=

0Q ;若以r0表示高斯面外法线方向的单位矢量,则高斯面上a、b 两点的电场强度的矢量式分别为020185rRQ，00r.

三、计算题

1. 一半径为R的带电球体，其电荷体密度分布为)(0)(RrRrAr , 其中A为一常数，试求球体内、外的场强分布。

解：

在球体内，由高斯定理：

024drrdSES

030244AdrrrEr

得到，024ArE

球体外： 122RrPO1Rq1 q2 q3

q4 S 图2.3

+Q  +Q  · b · a

2R R O S

图2.4 图2.2 030244AdrrrER

所以，2044rARE

2.一对“无限长”的同轴直圆筒，半径分别为1R和2R（1R2R），筒面上都均匀带电，沿轴线单位长度电量分别为1和2。试求空间的场强分布。

解：

无限长均匀带电圆柱面产生的电场具有轴对称性，方向垂直柱面，以斜半径r作一与两无限长圆柱面的同车圆柱面以及两个垂直轴线的平面所形成的闭合面为高斯面，由高斯定理可得

SiqrlESE02d

∴ rlqEi021

（1）当r

（2）当21RrR时lqi1

∴ rrllE01102221;

（3）当2Rr时，llqi21,

∴

rrllE02121032)(21

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关于静电场的高斯定理和静电场的环路定理

关于静电场的高斯定理和静电场的环路定理

关于静电场的高斯定理和静电场的环路定理

静电场的高斯定理和静电场的环路定理是库仑定律的推论，所以称之为定理。

由于库仑定律是静电场的基本规律，适用于静电场，所以库仑定律的推论也适用

于静电场。

电场有许多种：静电场（由静止电荷激发）、恒定电场（由运动然而空间分

布不随时间改变的电荷体系激发的电场）、位电场（可以在其中建立电位函数的

电场，位电场的电场强度等于电位的负梯度，分为恒定的与时变的，静电场和恒

定电场就属于恒定的位电场）、涡旋电场。

静电场的高斯定理的文字表述是：静电场中，电场强度穿出闭合曲面的通量

等于该闭合曲面所包围的总电量除以真空电容率。静电场的高斯定理的数学表述式是：in

0di

SqES。英国著名物理学家麦克斯韦首先假设静电场的高斯定理的数学表示式

in

0di

SqES适用于一切电场，也就是说，实际的电场强度（即总电场强度）

穿出闭合曲面的通量等于闭合曲面内的总电量除以真空电容率。这个假设后来被实验证实了。正因为这个原因，数学表示式in

0di

SqES也叫做高斯定律。

由于德国数学家高斯根据库仑定律推出的这个静电场规律的数学表示式是普遍适用的，这让高斯在电磁学中享有很高的声誉。

in

0di

SqES有好几个称谓：高斯定理、高斯通量定理、电场的高斯定

理、电场的高斯通量定理、高斯定律、高斯通量定律、电场的高斯定律、电场的

高斯通量定律。对于静电场，这个规律叫做静电场的高斯定理，或者静电场的高

斯通量定理。

高斯在数学方面有一项重要成就，叫做高斯公式（也可以叫做高斯通量公式或者高斯散度公式）。高斯公式的数学表示式是ddSVfSfV。其含义是：

矢量场穿出闭合曲面的通量等于矢量场的散度在闭合曲面所包围的空间区域内

的体积分。

高斯定理是电（磁）学规律，高斯公式是纯粹数学规律，两者截然不同。但是把两者结合起来，就可以推出0E

。

根据库仑定律还可以推出d0lEl，其含义是静电场强度沿任意回路的线

302-静电场的高斯定理 (1)

302-静电场的高斯定理 (1)

静电场的高斯定理

1．选择题

1．如图所示，任一闭合曲面S内有一点电荷q，O为S面上任一点，若将q由闭合曲面内的P点移到T点，且OP=OT，那么

()A 穿过S面的电通量改变，O点的场强大小不变；

()B 穿过S面的电通量改变，O点的场强大小改变；

()C 穿过S面的电通量不变，O点的场强大小改变；

()D 穿过S面的电通量不变，O点的场强大小不变。

〔 〕

2．关于高斯定理的理解有下面几种说法，其中正确的是：

()A 如果高斯面上E处处为零，则该面内必无电荷；

()B 如果高斯面内无电荷，则高斯面上E处处为零；

()C 如果高斯面上E处处不为零，则高斯面内必有电荷；

()D 如果高斯面内有净电荷，则通过高斯面的电场强度通量必不为零。

〔 〕

3．如在边长为a的正立方体中心有一个电量为q的点电荷，则通过该立方体任一面的电场强度通量为

()A 0/q ； ()B 0/2q； ()C 0/4q； ()D 0/6q。

〔 〕

4．如图所示，闭合面S内有一点电荷Q，P为S面上一点，在S面外A点有一点电荷'Q，若将电荷'Q移至B点，则；

()A S面的总通量改变，P点场强不变；

()B S面的总通量不变，P点场强改变；

()C S面的总通量和P点场强都不变；

()D S面的总通量和P点场强都改变。

〔 〕

5．已知一高斯面所包围的体积内电荷代数和0iq

()A ()B

()C ()D

〔 〕

6．如图所示，一球对称性静电场的~Er关系曲线，请指出该电场是由下列哪种带电体产生的（E表示电场强度的大小，r表示离对称中心的距离）

静电场中的高斯定理

静电场中的高斯定理

静电场中的高斯定理：

高斯定理是静电学中的一个主要定理, 它反应了静电场的一个基赋性质, 即静电场是有源场, 其源等于电荷.可表述为: 在静电场中, 经由过程随意率性闭合曲面的电通量, 等于该闭合曲面所包抄的电荷的代数和的1/倍, 与闭合曲面外的电荷无关.表达式为

01()1/niiSEdsq• （1）

高斯定理是用来求场强􀀂E散布, 定理中, S 是随意率性曲面,

因为数学程度的限制, 要由高斯定理盘算出E,则对由场的散布有必定的请求, 即电荷散布具有严厉的对称性( 若电荷散布不合错误称性即不是平均的, 引起电场散布不合错误称, 不克不及从高斯定理求空间场强散布,高斯定应当然仍是成立的) , 因为电荷散布的对称性导致场强散布的对称性, 场强散布的对称性应包含大小和偏向两个方面.典范情形有三种:

1) 球对称性, 如点电荷, 平均带电球面或球体等;

2) 轴对称性, 如无穷长平均带电直线, 无穷长平均带电圆柱或圆柱面, 无穷长平均带电同轴圆柱面

3) 面临称性, 如平均带电无穷大平面或平板,或者若干平均带电无穷大平行平面.

依据高斯定理盘算场强时, 必须先依据电荷散布的对称性,

剖析场强散布的对称性; 再恰当拔取无厚度的几何面作为高斯面.拔取的原则是:

○1待求场强的场点必须在高斯面上;○2使高斯面的各个部分或者与E 垂直, 或者E 平行;○3与E 垂直的那部分高斯面上各点的场强应相等;○4高斯面的外形应是最简略的几何面.

最后由高斯定理求出场强.高斯定理解释的是经由过程闭合曲面的电通量与闭合 曲面所包抄的所有电荷的代数和之间的关系,

即闭合曲面的总场强E的电通量只与曲面所包抄的电荷有关, 但与曲面内电荷的散布无关.但闭合曲面上的电场强度倒是与曲面表里所有电荷相接洽的,是配合激发的成果.

下面举一些例子来说静电场中高定理的运用：

例1：一半径为R的带电球体,其电荷体密度散布为()ArrR,0()rR,A为大于零的常量.试求球体表里的场强散布及其偏向.

静电场的高斯定理

静电场的高斯定理

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1

静电场的高斯定理

引言

静电场是指电荷在没有运动的情况下所形成的电场分布。静电场的高斯定理是描述电场分布的一个重要定理，它由物理学家卡尔·弗里德里希·高斯在19世纪初提出。高斯定理可以被用来计算任意闭合曲面内的电场强度，并且被广泛应用于电场的分析和解题中。

高斯定理的表述

高斯定理的表述为：通过任意闭合曲面的电场通量等于该闭合曲面内部所包围电荷的总电量的 1/ε0 倍，其中ε0为真空中的介电常数。

数学表达式为：

∮E·dA = Q/ε0

其中∮表示闭合曲面上的面积分，E为闭合曲面上的电场强度，dA为闭合曲面上的面积元素，Q为被闭合曲面包围的总电量。 未知驱动探索，专注成就专业

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高斯定理的表述说明了电场强度的分布与所包围电荷分布的关系，即闭合曲面上的电场通量与所包围电荷的性质直接相关。

高斯定理的证明

高斯定理的证明可以通过以下几个步骤完成：

1. 假设存在一个闭合曲面，我们可以通过取一个小区域在曲面上，该小区域面积为dA。假设该小区域上的电场强度为E，那么在该小区域上的电场通量为E·dA。

2. 通过不断增大小区域的数量，将整个闭合曲面分成许多小区域，那么闭合曲面上的电场通量可以表示为所有小区域上电场通量的和。

3. 由于电场可以穿过某些小区域而不通过闭合曲面，因此我们需要将穿过闭合曲面的电场通量作为负数计算。这可以通过将某些小区域上的电场通量乘以-1来实现。

4. 根据电场强度的定义，可以知道通过闭合曲面的电场通量与闭合曲面内部所包围的电荷有关。因此，我们可以将电场通量表示为闭合曲面内电荷分布的函数。 未知驱动探索，专注成就专业

3

5. 结合步骤2和步骤3，我们可以将闭合曲面上的电场通量表示为闭合曲面内电荷分布的累加。通过进一步的数学推导，最终可以得到高斯定理的数学表达式。

高斯定理的应用

高斯定理在电场分析和解题中有着广泛的应用。通过高斯定理，我们可以方便地计算出一个闭合曲面内部的电场强度。