专题2.4 求二次函数解析式常考类型（六大题型） 重难点题型归纳
【题型1 开放型】
【题型2 一般式】
【题型3 顶点式】
【题型4两根式】【题型5平移变换型】【题型6 对称变换型】
【题型1 开放型】
【典例1】（2023•上海）一个二次函数y＝ax2+bx+c的顶点在y轴正半轴上，且
其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是 y＝﹣
x2+1（答案不唯一） ．
【答案】y＝﹣x2+1（答案不唯一）．
【解答】解：由题意得：b＝0，a＜0，c＞0，
∴这个二次函数的解析式可以是：y＝﹣x2+1，
故答案为：y＝﹣x2+1（答案不唯一）．
【变式1-1】（2023•锡山区校级模拟）写出一个顶点坐标是（1，2）且开口向下
的抛物线的解析式 y＝﹣（x﹣1）2+2（答案不唯一） ．
【答案】y＝﹣（x﹣1）2+2（答案不唯一）．
【解答】解：∵抛物线开口向下，顶点坐标为（1，2），
∴a＜0，
设函数解析式为y＝a（x﹣1）2+2，
只要a＜0取值即可；
故答案为：y＝﹣（x﹣1）2+2（答案不唯一）．
【变式1-2】（2023•静安区校级一模）请写出一个以直线x＝3为对称轴，且在
对称轴左侧部分是下降的抛物线，这条抛物线的表达式可以是 y＝（x﹣3）2+2（答案不唯一） ．（只要写出一个符合条件的抛物线表达式）【答案】y＝（x﹣3）2+2（答案不唯一）．
【解答】解：满足题意的抛物线解析式为：y＝（x﹣3）2+2．
本题答案不唯一．
故答案为：y＝（x﹣3）2+2（答案不唯一）．
【题型2 一般式】
【方法点拨】当题目给出函数图像上的三个点时，设为一般式2yaxbxc=++
（a，b，c为常数，0a¹），转化成一个三元一次方程组，以求得a，b，c的
值；
【典例2】已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数 𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 的图像经
过点A（1，0）、B（0，-5）、C（2，3）．求这个二次函数的解析式，并求出
其图像的顶点坐标和对称轴．
二次函数解析式三种经典求法，你都掌握了吗？
函数内容的学习一直是很多学生的重难点，甚至一些学生与理想的学校失之交臂，就是因为函数内容没学好，无法取得中考数学高分。
初中数学要学到函数一般有三种：一次函数（包含正比函数）、反比例函数、二次函数。其中二次函数作为初中数学当中最重要内容之一，一直受到中考数学命题老师的青睐。
任何与函数有关的数学问题，都需要先求出函数解析式，再结合函数的图象与性质进行解决。因此，一个人是否能熟练地求出二次函数的解析式是成功解决与二次函数相关问题的重要保障。
今天我们就一起来简单讲讲如何求二次函数的解析式，在初中数学教材里，二次函数的解析式一般有以下三种基本形式：
1、一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)。 2、顶点式：y=a(x－m)2+k(a≠0)，其中顶点坐标为(m,k)，对称轴为直线x=m。
3、交点式：y=a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标。
那么这三种形式有什么区别呢？在解决实际问题过程中，该如何选择呢？求二次函数的解析式的方法我们一般采用待定系数法，即将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。
我们结合待定系数法和三种二次函数基本形式来确定函数关系式，一定要根据不同条件，设出恰当的解析式，具体如下：
1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式y=ax2+bx+c(a≠0)来求解。 2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式y=a(x－m)2+k(a≠0)来求解。
3、若给出抛物线与x轴的交点或对称轴或与x轴的交点距离，通常可设交点式y=a(x－x1)(x－x2)(a≠0)来求解。
值得注意的是，用交点式来求二次函数的解析式，前提条件是二次函数与x轴有交点坐标。
二次函数的解析式的三种形式
二次函数是一种标准形式为y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c为实数且a不等于零。在数学中，为了研究和解答与二次函数相关的问题，有时会使用不同的解析式表达二次函数。下面将详细介绍二次函数的三种常见解析式形式。
第一种形式：标准形式
二次函数的标准形式是y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为实数且a不等于零。在标准形式中，a控制着二次曲线的开口方向和形状，b控制着二次曲线的位置和对称轴的斜率，c控制着二次曲线与y轴的交点。通过标准形式，可以直观地根据a、b、c的值来了解二次函数的特征。
在二次函数的标准形式中，a的值决定了二次曲线的开口方向。当a大于零时，二次曲线的开口朝上；当a小于零时，二次曲线的开口朝下。当a的绝对值越接近于零时，二次曲线越趋近于直线。
接下来，我们将讨论二次函数标准形式中各系数的作用：
1.系数a：控制二次曲线的开口方向和形状。二次曲线开口向上或向下，其开口的角度与a的大小有关。当a的值越接近于零时，二次曲线越趋近于直线。
2.系数b：控制二次曲线的位置和对称轴的斜率。当b的值等于零时，二次曲线在y轴上对称；当b的值不等于零时，二次曲线发生平移。
3.系数c：控制二次曲线与y轴的交点。当c的值等于零时，二次曲线过原点。
第二种形式：顶点形式 二次函数的顶点形式是y=a(x-h)^2+k，其中a、h、k为实数且a不等于零。在顶点形式中，顶点坐标为(h,k)，a控制二次曲线的开口方向和形状，h控制二次曲线沿x轴平移，k控制二次曲线沿y轴平移。
在二次函数的顶点形式中，a的值决定了二次曲线的开口方向。当a大于零时，二次曲线的开口朝上；当a小于零时，二次曲线的开口朝下。当a的绝对值越接近于零时，二次曲线越趋近于直线。
顶点形式中，二次函数的顶点坐标为(h,k)。顶点坐标(h,k)表示二次曲线的最低或最高点，也是对称轴与x轴的交点。通过顶点形式，我们可以直观地了解二次函数的特征和性质。
常见的几种用待定系数法求二次函数解析式的题型
乌鲁木齐市第97中学 晏兴民
待定系数法求函数解析式是一种在已知函数类型前提下，求函数解析式的常用方法，由于前面已经学习过用待定系数法求一次函数、反比例函数解析式。所以在思想上并没有什么创新，但是在方法上由于二次函数图像的特点， 所以求二次函数解析式有一些灵活性和复杂性。下面我举一些常见的求二次函数解析式的题型来做说明。
题型一、当已知抛物线上三个点的坐标时，一般设一般式
例：已知抛物线过点A（1,0），B（-2,2），C（3,1），求抛物线解析式？
解析：可设解析式为2()yaxbxcao，再把坐标代入求出a,b,c即可
题型二、当已知顶点坐标时，一般设顶点式
例：已知抛物线的顶点坐标为A(2,3),且过点B（1,2），求抛物线解析式？
解析：由题意可设函数解析式为2(2)3(0)yaxa，再把坐标（1,2）代入求出a的值即可
题型三、当已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，一般设交点式
例：某抛物线与x轴交于点A（1,0），B（-2,0），且还经过点C（2,3），求抛物线解析式？
解析：由题意可设解析式为(1)(2)(0)yaxxa，再把点C的坐标代入求出a的值即可 题型四、当题目不是直接的上面三种类型之一时，我们要深挖条件进行分析，最终转化为上述三种类型之一进行求解。
例1、 某抛物线过点（1，2），且对称轴为x=-1,最低点的纵坐标为-2，求函数解析式？
解析：由对称轴为x=-1,最低点的纵坐标为-2可知函数的顶点坐标为（-1，-2），所以此题可转化为题型二求解
例2、 已知某二次函数经过点（2,4），对称轴为x=1，且抛物线与x轴两交点的距离为4，求函数解析式？
解析：由对称轴为x=1，且抛物线与x轴两交点的距离为4可知此抛物线与x轴的两个交点坐标为（3,0），（-1,0），于是可转化为题型三或题型一求解。
