初三周末班--二次函数解析式的几种求法

精品班学科优化学案【知识点梳理归纳】1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数.2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .3.顶点决定抛物线的位置：几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.4.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=， ∴顶点是），（ab ac a b 4422--，对称轴是直线a b x 2-=.鹰击长空—基础不丢（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.5.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线a b x 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<ab （即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.（3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）： ①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则 0<ab.6.几种特殊的二次函数的图像特征如下：7. 二次函数的解析式的求法用待定系数法可求出二次函数的解析式，确定二次函数一般需要三个独立条件，根据不同条件选择不同的设法： （1）设一般式：y=ax 2+bx+c （a ≠0）若已知条件是图像上的三个点，则设所求二次函数为y=ax 2+bx+c ，将已知条件代入， 求出a ，b ，c 的值。

（2）设交点式：y=a （1x x -）（2x x -）（a ≠0）若已知二次函数图像与x 轴的两个交点的坐标为（1x ，0），（2x ，0），设所求二次函数为y=a （1x x -）（2x x -），将第三点（m ，n ）的坐标（其中m 、n 为已知数）或其他已知条件代入，求出待定系数a ，最后将解析式化为一般形式。

（3）设顶点式：y=a （h x -）2+k （a ≠0）若已知二次函数图像的顶点坐标或对称轴方程与最大值（或最小值），设所求二次函数为 y=a （h x -）2+k （a ≠0），将已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式。

8.直线与抛物线的交点（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).（2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2).（3）抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. （4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组cbx ax y n kx y ++=+=2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点;②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故acx x a b x x =⋅-=+2121,()()a a acb a ca b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=-=-=444222122122121一、 三点型例1 已知一个二次函数图象经过（-1，10）、（2，7）和（1，4）三点，那么这个函数的解析式是_______。

分析 已知二次函数图象上的三个点，可设其解析式为y=ax 2+bx+c,将三个点的坐标代入，易得a=2,b=-3,c=5 。

故所求函数解析式为y=2x 2-3x+5. 二、交点型例2 已知抛物线y=-2x 2+8x-9的顶点为A ，若二次函数y=ax 2+bx+c 的图像经过A 点，且与x 轴交于B （0，0）、C （3，0）两点，试求这个二次函数的解析式。

分析 要求的二次函数的图象与x 轴的两个交点坐标，可设y=ax(x-3),再求也y=-2x 2+8x-9的顶点A （2，-1）。

将A 点的坐标代入y=ax(x-3),得到a=21 ∴y=21x(x-3),即 y=xx 23212-. 三、顶点型例 3 已知抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点是A(-1,4)且经过点(1,2)求其解析式。

分析 此类题型可设顶点坐标为(m,k)，故解析式为y=a(x-m)2+k.在本题中可设y=a(x+1)2+4.再将点(1,2)代入可以攻玉—经典例题求得a=-21 ∴y=-,4)1(212++x 即y=-.27212+-x x 由于题中只有一个待定的系数a ，将已知点代入即可求出，进而得到要求的解析式。

四、平移型例 4 二次函数y=x 2+bx+c 的图象向左平移两个单位，再向上平移3个单位得二次函数,122+-=x x y 则b 与c 分别等于（ ）(A)2,-2; (B)-6,6; (c)-8,14; (D)-8,18.分析 逆用平移分式，将函数y=x 2-2x+1的顶点（1，0）先向下平移3个单位，再向右平移两个单位得原函数的图象的顶点为（3，-3）。

∴y=x3)3(22--=++x c bx =x .662+-x ∴b=-6,c=6. 因此选（B ） 五、弦比型例 5 已知二次函y=ax 2+bx+c 为x=2时有最大值2，其图象在X 轴上截得的线段长为2，求这个二次函数的解析式。

分析 弦长型的问题有两种思路，一是利用对称性求出交点坐标，二是用弦比公式d=a ∆就本题而言，可由对称性求得两交点坐标为A （1，0），B （3，0）。

再应用交点式或顶点式求得解析式为y=-2x 2+8x-6. 六、识图型例 6 如图1， 抛物线y=c x b x +++)2(212与y=d x b x +-+)2(212其中一条的顶点为P ，另一条与X 轴交于M 、N 两点。

（1）试判定哪条抛物线与X 轴交于M 、N 点？ （2）求两条抛物线的解析式。

解 （1）抛物线y=c x b x +++)2(212与x 轴交于M ，N 两点（过程从略）；（2）因y=dx b x +-+)2(212的顶点坐标为（0，1）， ∴b-2=0,d=1, ∴b=2. ∴Y=1212+x .将点N 的坐标与b=2分别代入y=221x +(b+2)x+c 得c=6. ∴y=221x +4x+6七、面积型例 7 已知抛物线y=x c bx ++2的对称轴在 y 轴的右侧，且抛物线与 y 轴交于Q （0，-3），与x 轴的交点为A 、B ，顶点为P ，ΔPAB 的面积为8。

求其解析式。

解 将（0，-3）代入y=c bx x ++2得 c=-3. 由弦长公式，得122+=b AB点P 的纵坐标为4122b -- 由面积公式，得 .8412122122=--⋅+b b 解得.2±=b因对称轴在y 轴的右侧,∴ b=-2.所以解析式为y=322--x x八、几何型例 8 已知二次函数y=2x -mx+2m-4如果抛物线与x 轴相交的两个交点以及抛物线的顶点组成一个等边三角形，求其解析式。

解 由弦比公式，得AB=4)42(42-=--m m m 顶点C 的纵坐标为-4)4(2-m∵ΔABC 为等边三角形∴43214)4(2-⋅=--m m 解得m=4,32±故所求解析式为y=,344)324(2+++-x x 或y=344)324(2-+--x x九、三角型例 9已知抛物线y=c bx x ++2的图象经过三点（0，2512）、（sinA ，0）、（sinB ，0）且A 、B 为直角三角形的两个锐角，求其解析式。

解 ∵A+B=900，∴sinB=cosA. 则由根与系数的关系，可得 ⎩⎨⎧=⋅-=+c A A b A A cos sin cos sin将（0，2512）代入解析式，得c=.2512（1）2)2(2⨯-,得,125242=-b ∴57±=b ∵-b,0〉 ∴b=-57所以解析式为y=2512572+-x x十、综合型例 10 如图2，已知抛物线y=-q px x ++2与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C 点， 若∠ACB=900，且tg ∠CAO-tg ∠CBO=2，求其解析式．解 设A ，B 两点的横坐标分别为x 21,x ,则q=(-x .)21OB OA x ⋅=⋅ 由ΔAOC ～ΔCOB ，可得OC 2=OA ·OB ， ∴q 2=q 解得q 1=1,q 2=0（舍去），又由tg ∠CAO-tg ∠CBO=2得2=-OB OC OA OC即21121=--X X∴x 1+x 2=-2x 1x 2 即 p=2p=2 所以解析式为y=-x 2+2x+1高分秘籍—过手训练再次提高—反思。