高中数学平面向量的数量积及平面向量应用举例人教版必修4

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第二章 平面向量

2．1平面向量的实际背景及基本概念

练习（P77）

1、略. 2、，. 这两个向量的长度相等，但它们不等.

3、，，，.

4、（1）它们的终点相同； （2）它们的终点不同.

习题2.1 A组（P77）

1、 （2）.

3、与相等的向量有：；与相等的向量有：；

与相等的向量有：.

4、与相等的向量有：；与相等的向量有：；

与相等的向量有：

5、. 6、（1）×； （2）√； （3）√； （4）×.

习题2.1 B组（P78）

1、海拔和高度都不是向量.

2、相等的向量共有24对. 模为1的向量有18对. 其中与同向的共有6对，与反向的也有6对；与同向的共有3对，与反向的也有6对；模为的向量共有4对；模为2的向量有2对

2．2平面向量的线性运算

练习（P84）

1、图略. 2、图略. 3、（1）； （2）. 4、（1）； （2）； （3）； （4）.

练习（P87）

1、图略. 2、，，，，. 3、图略.

练习（P90）

1、图略.

2、，.

说明：本题可先画一个示意图，根据图形容易得出正确答案. 值得注意的是与反向.

3、（1）； （2）； （3）； （4）.

4、（1）共线； （2）共线.

5、（1）； （2）； （3）. 6、图略.

习题2.2 A组（P91）

1、（1）向东走20 km； （2）向东走5 km； （3）向东北走km；

（4）向西南走km；（5）向西北走km；（6）向东南走km.

2、飞机飞行的路程为700 km；两次位移的合成是向北偏西53°方向飞行500 km.

§2.4平面向量的数量积

第7课时

一、 平面向量的数量积的物理背景及其含义

教学目的：

1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；

2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；

3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；

4.掌握向量垂直的条件.

教学重点：平面向量的数量积定义

教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用

授课类型：新授课

教 具：多媒体、实物投影仪

内容分析：

本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律.

教学过程：

一、复习引入：

1． 向量共线定理 向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b=λa.

2．平面向量基本定理：如果1e，2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e+λ22e

3．平面向量的坐标表示

分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得yjxia

把),(yx叫做向量a的（直角）坐标，记作),(yxa

4．平面向量的坐标运算 若),(11yxa，),(22yxb，则ba),(2121yyxx，ba),(2121yyxx，),(yxa.

若),(11yxA，),(22yxB，则1212,yyxxAB

5．a∥b

(b0)的充要条件是x1y2-x2y1=0

6．线段的定比分点及λ

P1， P2是直线l上的两点，P是l上不同于P1， P2的任一点，存在实数λ，

使 PP1=λ2PP，λ叫做点P分21PP所成的比，有三种情况：

高中数学必修4 平面向量

知识点归纳

一.向量的基本概念与基本运算

1向量的概念：

①向量：既有大小又有方向的量向量一般用cba,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：ABuuur几何表示法 ABuuur，a；坐标表示法),(yxyjxia 向量的大小即向量的模（长度），记作|ABuuur|即向量的大小，记作｜a｜

向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．

②零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行零向量a＝0｜a｜＝0 由于0r的方向是任意的，且规定0r平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别）

③单位向量：模为1个单位长度的向量

向量0a为单位向量｜0a｜＝1

④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a∥b由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量

数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的．

⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为ba大小相等，方向相同),(),(2211yxyx2121yyxx

2向量加法

求两个向量和的运算叫做向量的加法

设,ABaBCbuuuruuurrr，则a+br=ABBCuuuruuur=ACuuur

（1）aaa00；（2）向量加法满足交换律与结合律；

向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：

（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量

2．4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

考点 学习目标 核心素养

向量数量积的坐标表示 掌握平面向量数量积的坐标表示，

会用向量的坐标形式求数量积 数学运算

平面向量的模与夹

角的坐标表示 能根据向量的坐标计算向量的模、

夹角及判定两个向量垂直 数学运算、逻辑推理

问题导学

预习教材P106－P107，并思考下列问题：

1．平面向量数量积的坐标表示是什么？

2．如何用坐标表示向量的模、夹角和垂直？

1．两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示

设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．

数量积 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即a·b＝x1x2＋y1y2

两个向

量垂直 a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0

■名师点拨

公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉与a·b＝x1x2＋y1y2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．

2．三个重要公式

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)向量的模等于向量坐标的平方和．( )

(2)|AB→|的计算公式与A，B两点间的距离公式是一致的．( )

答案：(1)× (2)√

已知a＝(－3，4)，b＝(5，2)，则a·b的值是( )

A．23 B．7 C．－23 D．－7

答案：D

已知向量a＝(1，－2)，b＝(x，2)，若a⊥b，则x＝( )

A．1 B．2 C．4 D．－4

答案：C

已知a＝(3，1)，b＝(－3，1)，则向量a，b的夹角θ＝______.

答案：120°

数量积的坐标运算

向量a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，则(2a＋b)·a＝( )

A．－1 B．0

C．1 D．2

【解析】 因为a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，

所以(2a＋b)·a＝(1，0)·(1，－1)＝1.