甘肃省武威二中2017-2018学年高三下学期开学数学试卷(理科) Word版含解析
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2017-2018学年甘肃省武威二中高三（下）开学数学试卷（理科）
一、选择题（每小题5分，共12×5=60分）
1．集合M={x||x﹣3|≤4}，N={y|y=}，则 M∩N=（ ）
A．{0} B．{2} C．∅ D．{x|2≤x≤7}
2．若点P（1，1）为圆x2+y2﹣6x=0的弦MN的中点，则弦MN所在直线方程为（ ）
A．2x+y﹣3=0 B．x﹣2y+1=0 C．x+2y﹣3=0 D．2x﹣y﹣1=0
3．已知奇函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，且f（2）=0，则不等式（x﹣1）f（x﹣1）＞0的解集是（ ）
A．（﹣3，﹣1） B．（﹣1，1）∪（1，3） C．（﹣3，0）∪（3，+∞） D．（﹣3，1）∪（2，+∞）
4．已知的值（ ）
A． B．﹣ C．﹣ D．
5．设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围是（ ）
A． B．[﹣1，0] C．[0，1] D．[，1]
6．已知点A（﹣1，1）、B（1，2）、C（﹣2，1）、D（3，4），则向量在方向上的投影为（ ）
A． B． C． D．
7．若A为不等式组表示的平面区域，则当a从﹣2连续变化到1时，动直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为（ ）
A． B．1 C． D．2
8．设m＞0，则直线（x+y）+1+m=0与圆x2+y2=m的位置关系为（ ）
A．相切 B．相交 C．相切或相离 D．相交或相切
9．设函数f（x）=的图象如图所示，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞a＞b
10．已知{an}是等比数列，a2=2，a5=，则a1a2+a2a3+…+anan+1=（ ）
A．16（1﹣4﹣n） B．16（1﹣2﹣n） C．（1﹣4﹣n） D．（1﹣2﹣n）
11．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积为（ ）
A．10π B．11π C．12π D．13π
12．已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题5分，共4×5=20分）
13．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成的角的余弦值为______．
14．l1，l2是分别经过A（1，1），B（0，﹣1）两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是______．
15．如图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距8n mile．此船的航速是______n mile/h．
16．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a5=5a3，则=______．
三、解答题（17题10分，其它各题12分，共70分）
17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为．
（Ⅰ）求cosB的值；
（Ⅱ）若，求a和c的值．
18．已知数列{an}为等差数列，a3=5，a7=13，数列{bn}的前n项和为Sn，且有Sn=2bn﹣1．
1）求{an}、{bn}的通项公式；
2）若cn=anbn，{cn}的前n项和为Tn，求Tn．
19．设函数，其中常数a＞1．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若当x≥0时，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．
20．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC⊥AD．底面ABCD为梯形，AB∥DC，AB⊥BC，PA=AB=BC=3，点E在棱PB上，且PE=2EB．
（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面PCB；
（Ⅱ）求证：PD∥平面EAC；
（Ⅲ）求平面AEC和平面PBC所成锐二面角的余弦值．
21．已知椭圆C： =1，（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0）且不垂直于x轴直线l椭圆C相交于A、B两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求•取值范围；
（Ⅲ）若B关于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点．
22．已知函数g（x）=+lnx在[1，+∞）上为增函数，且θ∈（0，π），f（x）=mx﹣﹣lnx（m∈R）．
（Ⅰ）求θ的值；
（Ⅱ）若f（x）﹣g（x）在[1，+∞）上为单调函数，求m的取值范围；
（Ⅲ）设h（x）=，若在[1，e]上至少存在一个x0，使得f（x0）﹣g（x0）＞h（x0）成立，求m的取值范围．
2015-2016学年甘肃省武威二中高三（下）开学数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题5分，共12×5=60分）
1．集合M={x||x﹣3|≤4}，N={y|y=}，则 M∩N=（ ）
A．{0} B．{2} C．∅ D．{x|2≤x≤7}
【考点】交集及其运算．
【分析】由已知中集合M={x||x﹣3|≤4}解绝对值不等式，可以求出M，N={y|y=}，根据函数的值域，可以求出N，进而代入集合的交集及其运算，求出M∩N．
【解答】解：M={x||x﹣3|≤4}={x|﹣1≤x≤7}，
对于N={y|y=}，
必须有
故x=2，
所以N={0}
M∩N=N={0}
故选A
2．若点P（1，1）为圆x2+y2﹣6x=0的弦MN的中点，则弦MN所在直线方程为（ ）
A．2x+y﹣3=0 B．x﹣2y+1=0 C．x+2y﹣3=0 D．2x﹣y﹣1=0
【考点】直线与圆相交的性质．
【分析】由题意，根据垂径定理的逆定理得到此连线与弦MN垂直，由圆心与P坐标求出其确定直线的斜率，利用两直线垂直时斜率的乘积为﹣1，求出弦MN所在直线的斜率，从而可得弦MN所在直线的方程．
【解答】解：x2+y2﹣6x=0化为标准方程为（x﹣3）2+y2=9
∵P（1，1）为圆（x﹣3）2+y2=9的弦MN的中点，
∴圆心与点P确定的直线斜率为，
∴弦MN所在直线的斜率为2，
∴弦MN所在直线的方程为y﹣1=2（x﹣1），即2x﹣y﹣1=0．
故选D．
3．已知奇函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，且f（2）=0，则不等式（x﹣1）f（x﹣1）＞0的解集是（ ）
A．（﹣3，﹣1） B．（﹣1，1）∪（1，3） C．（﹣3，0）∪（3，+∞） D．（﹣3，1）∪（2，+∞）
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【分析】先确定奇函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，且f（﹣2）=0，再将不等式（x﹣1）f（x﹣1）＞0等价于x﹣1＞0，f（x﹣1）＞0或x﹣1＜0，f（x﹣1）＜0，即可求得结论．
【解答】解：∵奇函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，且f（2）=0，
∴奇函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，且f（﹣2）=0，
不等式（x﹣1）f（x﹣1）＞0等价于x﹣1＞0，f（x﹣1）＞0或x﹣1＜0，f（x﹣1）＜0
即或
∴1＜x＜3或﹣1＜x＜1
∴不等式（x﹣1）f（x﹣1）＞0的解集是（﹣1，1）∪（1，3）
故选B．
4．已知的值（ ）
A． B．﹣ C．﹣ D．
【考点】两角和与差的余弦函数．
【分析】利用诱导公式化简已知条件，结合同角三角函数基本关系式，求解即可．
【解答】解：由cos（α﹣9π）=﹣cosα=﹣，∴cosα=，∵α∈（π，2π），∴sinα=﹣=
cos（）=﹣sinα=．
故选：D．
5．设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围是（ ）
A． B．[﹣1，0] C．[0，1] D．[，1]
【考点】导数的几何意义．
【分析】根据题意知，倾斜角的取值范围，可以得到曲线C在点P处斜率的取值范围，进而得到点P横坐标的取值范围．
【解答】解：设点P的横坐标为x0，
∵y=x2+2x+3，
∴y′=2x0+2，
利用导数的几何意义得2x0+2=tanα（α为点P处切线的倾斜角），
又∵，∴0≤2x0+2≤1，
∴．
故选：A．
6．已知点A（﹣1，1）、B（1，2）、C（﹣2，1）、D（3，4），则向量在方向上的投影为（ ）
A． B． C． D．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】根据向量的坐标公式以及向量投影的定义进行求解即可．
【解答】解：∵点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，1），D（3，4），
∴=（4，3），=（3，1），
∴•=4×3+3×1=15，||==10，
∴向量在方向上的投影为==，
故选：D．
7．若A为不等式组表示的平面区域，则当a从﹣2连续变化到1时，动直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为（ ）
A． B．1 C． D．2
【考点】简单线性规划的应用．
【分析】本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再分析当a从﹣2连续变化到1时，动直线x+y=a扫过A中的那部分区域的形状，然后代入相应的公式，求出区域的面积．
【解答】解析：作出可行域，如图，
则直线扫过的面积为
故选C．
8．设m＞0，则直线（x+y）+1+m=0与圆x2+y2=m的位置关系为（ ）
A．相切 B．相交 C．相切或相离 D．相交或相切
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】求一下圆心到直线的距离，看表达式的取值，即可判断结果．
【解答】解：圆心到直线的距离为d=，圆半径为．
∵d﹣r=﹣=（m﹣2+1）=（﹣1）2≥0，
∴直线与圆的位置关系是相切或相离．
故选C．
9．设函数f（x）=的图象如图所示，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞a＞b
【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数的图象．
【分析】由函数图象可得f（0）==0，解得b=0，又f（1）==1，故a=c+1，再由f′（1）=0，可得c的值，进而可得a的值，故可比较大小．
【解答】解：由函数图象可得f（0）==0，解得b=0，
又f（1）==1，故a=c+1，
又f′（x）==，
由图可知x=1为函数的极值点，故f′（1）=0，
