第7讲 角平分线的判定与性质

5角平分线知识互联网板块一角平分线的性质与判定知识导航角平分线的性质与判定：⑴定义：把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线．⑵角平分线的性质定理：如果一条射线是一个角的平分线，那么它把这个角分成两个相等的角．在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．⑶角平分线的判定定理12如果一条射线的端点与角的顶点重合，且把一个角分成两个等角，那么这条射线是这个角的平分线；在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上．夯实基础【例1】⑴证明：三角形三个角的角平分线交于一点．⑵已知：如图，ABC △的两条外角平分线交于点P ．求证：PB 平分ABC ∠．BAP【解析】⑴如图，在ABC △中，设BAC ABC ∠∠、的平分线的交点为I ，过I 点作ID AB ⊥于D ，IE AC ⊥于E ，IF BC ⊥于F ，连接IC ．∵AI BI 、都是角平分线，∴ID IE =，ID IF =，∴IE IF =，∴IC 是ACB ∠的平分线，∴三角形三个角的平分线交于一点．这一点称之为三角形的内心，常用大写字母I 来表示，三角形的内心到三角形三条边的距离相等，它是三角形内切圆的圆心．⑵如图，过P 作PM BA ⊥于M ，PN AC ⊥于N ，PQ BC⊥于Q ．由角平分线的性质定理，易证PM PN =，PN PQ =，故PM PQ =，因此根据角平分线的判定定理，PB 平分ABC ∠，得证．这一点称之为三角形的旁心，三角形的旁心到三角形三条边的距离相等，它是三角形旁切圆的圆心．旁心有3个．【例2】如图，点C 为线段AB 上一点，ACM △、CBN △是等边三角形．请你证明：CF 平分AFB ∠．M D NEC BFAGM H D NEC BF AI FE DCB ANMC B AQ P3【解析】过点C 作CG AN ⊥于G ，CH BM ⊥于H ，由ACN MCB △≌△，利用AAS 进而再证BCH NCG △≌△，可得AFC BFC ∠=∠，故CF 平分AFB ∠．【点评】此图在前面的学习中做过介绍，老师可以先带着学生简单复习一下相关结论。

角平分线的性质教学目标：1、会用直尺圆规作一个已知角的平分线；2、掌握角平分线的性质以及角平分线性质的应用；3、培养学生的观察、分析、归纳能力，探究精神和创新意识．知识梳理：1.角平分线的概念________________________________________________叫角的平分线．2.角平分线的性质角平分线上的点到________________________距离相等．在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在________________上．三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到________________相等． 注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言： 如图，∵C 在∠AOB 的平分线上，CD ⊥OA ，CE ⊥OB ∴CD=CE3.角平分线的性质证明要说明AC 是∠DAC 的平分线，其实就是证明∠CAD=∠CAB ．∠CAD 和∠CAB 分别在△CAD 和△CAB 中，那么证明这两个三角形全等就可以了．在△ABC 和△ADC 中：AB AD BC DC AC AC =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以△ABC ≌△ADC （SSS ）．所以∠CAD=∠CAB ．即射线AC 就是∠DAB 的平分线．4.角平分线的画法作已知角的平分线的方法：已知：∠AOB．求作：∠AOB的平分线．作法：（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N．（2）分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB内部交于点C．（3）作射线OC，射线OC即为所求．参考答案：1.一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线2.角的两边的角的平分线三条边的距离经典例题解析：1.角平分线的定义．【例1】（2018•大连六中月考）如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠DOB．若∠COB=35°，则∠AOD等于（）A．35°B．70°C．110°D．145°【解析】首先根据角平分线定义可得∠BOD=2∠BOC=70°，再根据邻补角的性质可得∠AOD的度数．解：∵射线OC平分∠DOB．∴∠BOD=2∠BOC，∵∠COB=35°，∴∠DOB=70°，∴∠AOD=180°﹣70°=110°，故选：C．练1.（2017•滨州渤海中学期末）如图，OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，如果∠AOB=40°，∠COE=60°，则∠BOD的度数为（）A．50°B．60°C．65°D．70°【解析】先根据OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，∠AOB=40°，∠COE=60°求出∠BOC与∠COD的度数，再根据∠BOD=∠BOC+∠COD即可得出结论．解：∵OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，∠AOB=40°，∠COE=60°，∴∠BOC=∠AOB=40°，∠COD=∠COE=×60°=30°，∴∠BOD=∠BOC+∠COD=40°+30°=70°．故选：D．2.角的平分线上的点到角的两边的距离相等【例2】如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等．【解析】过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足为D、E、F．∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上．∴PD=PE．同理PE=PF．∴PD=PE=PF．即点P到三边AB、BC、CA的距离相等．总结：点P到AB、BC、CA的垂线段PD、PE、PF的长就是P点到三边的距离，•也就是说要证：PD=PE=PF．而BM、CN分别是∠B、∠C的平分线，•根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个问题．B60，∠BAC、∠BCA的角平分线AD、CE相交于O。

第八讲 垂直平分线与角平分线 姓名：______【知识导航】【知识要点】一、 垂直平分线线段垂直平分线：经过线段中点并且垂直在这条线段的直线.线段垂直平分线性质定理：垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 简记：“垂分线 斜线段相等”.线段垂直平分线判定定理（逆定理）：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 简记：“斜线段相等 垂分线”. 【例题详解】 【例 1】 如图，在△ABC 中，已知BC 比AC 长3cm ，AB 的垂直平分线交BC 于点D ，交AB 于点E ，△ACD的周长是15cm ，求BC 和AC 的长．【解析】∵DE 是AB 的垂直平分线，∴AD=BD ，∴△ACD 的周长=AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC ，由题意得，315BC AC AC BC −=⎧⎨+=⎩，解得96BC AC =⎧⎨=⎩．∴BC 和AC 的长分别为9cm ，6cm ．【例 2】 如图，在R t △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =22.5°，斜边AB 的垂直平分线交AC 于点D ，点F 在AC 上，点E 在BC 的延长线上，CE =CF ，连接BF ，DE ．线段DE 和BF 在数量和位置上有什么关系？并说明理由．【解析】DE =BF ，DE ⊥BF ．理由如下：连接BD ，延长BF 交DE 于点G ． ∵点D 在线段AB 的垂直平分线上， ∴AD =BD ，∴∠ABD =∠A =22.5°．在R t △ABC 中，∵∠ACB =90°，∠A =22.5°， ∴∠ABC =67.5°，∴∠CBD =∠ABC ﹣∠ABD =45°， ∴△BCD 为等腰直角三角形，垂直平分线与角平分线垂直平分线角平分线∴BC =DC ．在△ECD 和△FCB 中， CE CF DCF BCF CD CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴R t △ECD ≌R t △FCB （SAS ）， ∴DE =BF ，∠CED =∠CFB ． ∵∠CFB +∠CBF =90°， ∴∠CED +∠CBF =90°， ∴∠EGB =90°，即DE ⊥BF ．【例 3】 如图，在△ABC 中，AB 边垂直平分线交BC 于点D ，AC 边垂直平分线交BC 于点E ，连接AD 、AE ．（1）若∠BAC=110°，求∠DAE 的度数； （2）若∠BAC=θ（0°＜θ＜180°），求∠DAE 的度数（用含θ的式子表示）【解析】（1）∵AB 的垂直平分线交BC 于点D ，AC 的垂直平分线交BC 于点E ， ∴DB=DA ，EC=EA ， ∵∠BAC =110°， ∴∠B+∠C=70°， ∵DB=DA ，EC=EA ，∴∠DAB=∠B ，∠EAC =∠C ， ∴∠DAB+∠EAC =70°，∴∠DAE=110°﹣70°=40°， （2）分两种情况：①如图所示，当∠BAC ≥90°时， ∵DM 垂直平分AB ， ∴DA=DB ， ∴∠B=∠BAD ，同理可得，∠C=∠CAE ，∴∠BAD+∠CAE =∠B+∠C=180°﹣θ，∴∠DAE=∠BAC ﹣（∠BAD+∠CAE ）=θ﹣（180°﹣θ）=2θ﹣180°；②如图所示，当∠BAC ＜90°时， ∵DM 垂直平分AB ， ∴DA=DB ， ∴∠B=∠BAD ，同理可得，∠C=∠CAE ，∴∠BAD+∠CAE =∠B+∠C =180°﹣θ，∴∠DAE=∠BAD+∠CAE ﹣∠BAC =180°﹣θ﹣θ=180°﹣2θ．【例 4】 如图所示，在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，BC AC =，D 为BC 边上的中点，AD CE ⊥于点E ，AC BF ∥交CE 的延长线于点F ，求证：AB 垂直平分DF ．【解析】连接DF ，90BCE ACE ∠+∠=︒，90ACE CAE ∠+∠=︒， BCE CAE ∴∠=∠．AC BC ⊥，//BF AC ．BF BC ∴⊥．90ACD CBF ∴∠=∠=︒， AC CB =，ACD CBF ∴∆≅∆．CD BF ∴=．12CD BD BC ==，BF BD ∴=．BFD ∴∆为等腰直角三角形．90ACB ∠=︒，CA CB =，45ABC ∴∠=︒．90FBD ∠=︒，45ABF ∴∠=︒．ABC ABF ∴∠=∠，即BA 是FBD ∠的平分线．BA ∴是FD 边上的高线，BA 又是边FD 的中线， 即AB 垂直平分DF ．二、 角平分线1．一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线．2．角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等．3．角平分线的判定定理：在角的内部，到角的两边的距离相等的点在角平分线上． 【例题详解】【例 5】 已知，如图AB=AC ，∠A =108°，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，求证：BC=AB+CD ．【解析】证明：在线段BC 上截取BE=BA ，连接DE ．∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD =∠EBD =12∠ABC ． 在△ABD 和△EBD 中，BE BA ABD EBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△EBD ．（SAS ） ∴∠BED=∠A =108°，∠ADB=∠EDB ． 又∵AB=AC ，∠A=108°，∠ACB =∠ABC=12×（180°﹣108°）=36°， ∴∠ABD=∠EBD =18°．∴∠ADB =∠EDB =180°﹣18°﹣108°=54°． ∴∠CDE =180°﹣∠ADB ﹣∠EDB =180°﹣54°﹣54°=72°． ∴∠DEC =180°﹣∠DEB =180°﹣108°=72°． ∴∠CDE=∠DEC ． ∴CD=CE ．∴BC=BE+EC=AB+CD ．【例 6】 在▱ABCD 的两边AD ，CD 上各取一点F ，E ，连接AE ，CF 交于点P ，且AE =CF ．求证：PB 平分∠APC ．【解析】证明：连接BE ，BF ，过B 作BN ⊥CF ，BM ⊥AE ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴S △ABE =S △BFC =12S 平行四边形ABCD ，∴12•AE ×BM =12CF •BN ， ∵AE =CF ，∴BM =BN ， ∴PB 平分∠APC ．【例 7】 如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角的平分线相交于点P ，连接AP ．（1）求证：P A 平分∠BAC 的外角∠CAM ；（2）过点C 作CE ⊥AP ，E 是垂足，并延长CE 交BM 于点D ．求证：CE =ED ．【解析】证明：（1）过P 作PT ⊥BC 于T ，PS ⊥AC 于S ，PQ ⊥BA 于Q ，如图，∵在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角的平分线相交于点P ， ∴PQ =PT ，PS =PT ， ∴PQ =PS ，∴AP 平分∠DAC ，即P A 平分∠BAC 的外角∠CAM ；（2）∵P A 平分∠BAC 的外角∠CAM ， ∴∠DAE =∠CAE ， ∵CE ⊥AP ，∴∠AED =∠AEC =90°， 在△AED 和△AEC 中 DAE CAE AE AEDEA CEA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AED ≌△AEC ， ∴CE =ED ．【例 8】 如图，△ABC 中，∠A =60°，∠ACB 的平分线CD 和∠ABC 的平分线BE 交于点G ．求证：GE=GD ．【解析】连接AG ，过点G 作GM ⊥AB 于M ，GN ⊥AC 于N ，GF ⊥BC 于F ．∵∠A =60°，∴∠ACB+∠ABC =120°， ∵CD ，BE 是角平分线， ∴∠BCG+∠CBG=120°÷2=60°， ∴∠CGB =∠EGD =120°，∵G 是∠ACB 平分线上一点， ∴GN=GF ，同理，GF=GM ， ∴GN=GM ，∴AG 是∠CAB 的平分线， ∴∠GAM=∠GAN =30°，∴∠NGM=∠NGA+∠AGM =60°+60°=120°， ∴∠EGD =∠NGM =120°， ∴∠EGN =∠DGM ， 又∵GN=GM ，∴Rt △EGN ≌Rt △DGM （AAS ）， ∴GE=GD ．三、 综合练习【例 9】 如图，OE ，OF 分别是△ABC 中AB ，AC 边的中垂线（即垂直平分线），∠OBC 、∠OCB 的平分线相交于点I ，试判定OI 与BC 的位置关系，并给出证明．【解析】OI ⊥BC ．理由：连接OA ，过点I 作IM ⊥OB 于点M ，过点I 作IN ⊥OC 于点N ，过点I 作IG ⊥BC 于点G ， ∵OE ，OF 分别是AB ，AC 边的中垂线， ∴OA =OB ，OA =OC ， ∴OB =OC ，∵∠OBC ，∠OCB 的平分线相交于点I ， ∴IM =IG ，IN =IG ， ∴IM =IN ，∴点I 在∠BOC 的角平分线上， ∴OI ⊥BC ．【例 10】 如图，ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，DG BC ⊥且平分BC ，DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ．（1）说明BE CF =的理由；（2）如果5AB =，3AC =，求AE 、BE 的长．【解析】（1）证明：连接BD ，CD ，AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥，DF AC ⊥， DE DF ∴=，90BED CFD ∠=∠=︒， DG BC ⊥且平分BC ， BD CD ∴=，在Rt BED ∆与Rt CFD ∆中， BD CDDE DF =⎧⎨=⎩， Rt BED Rt CFD(HL)∴∆≅∆， BE CF ∴=；（2）在AED ∆和AFD ∆中， 90AED AFD EAD FADAD AD ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AED AFD AAS ∴∆≅∆， AE AF ∴=，设BE x =，则CF x =，5AB =，3AC =，AE AB BE =−，AF AC CF =+， 53x x ∴−=+， 解得：1x =，1BE ∴=，514AE AB BE =−=−=．【备用题】【例 11】 已知如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，以两腰AB ，CD 为一边分别向两边作正方形ABGE 和DCHF ，设线段AD 的垂直平分线l 交线段EF 于点M ，EP ⊥l 于P ，FQ ⊥l 于Q ． 求证：EP=FQ ．【解析】过D 作PN 的平行线分别交FQ 、BC 于点K 、L ，设AD 的垂直平分线交AD 于N ，在△FKD 与△DLC 中，∠DFK =90°﹣∠FD K=∠CDL ，∠FKD =∠DLC =90°，DF=DC ， ∴△FKD ≌△DLC ， ∴FK=DL ，∴FQ=FK+KQ=DL+DN ， 同理可得，EP=DL+AN ， 又∵MN 为AD 中垂线，∴AN=ND，∴EP=FQ【巩固练习】 1. 如图，在ABC ∆中，AC AB =，︒=∠120A ，cm BC 12=，AB 的垂直平分线交BC 于点M ，交AB于点E ，AC 的垂直平分线交BC 于点N ，交AC 于点F ，则MN 的长为 ．【解析】∵AB=AC ，∴∠B=∠C ，∵∠A=120°，∴∠B=∠C=30°， 连接AM ，AN ，∵ME 是AB 的垂直平分线，∴AM=BM ，∠BAM=∠B=30°，∴∠CAM=∠BAC ﹣∠BAM=120°-30°=90°， ∴CM=2AM=2BM ， ∴3BM=BC=12cm ，∵BM=4cm ，同理可得，CN=4，∴MN=BC ﹣CN ﹣BM=12﹣4﹣4=4（cm ）．2. 如图，在△ABC 中，BD 是∠ABC 的平分线，EF 垂直平分BD ．求证：∠ABD =∠BDF ．【解析】∵EF 垂直平分BD ，∴FB=FD ，∴∠FBD =∠BDF ，∵BD 是∠ABC 的平分线， ∴∠ABD=∠FBD ， ∴∠ABD =∠BDF ．3. 如图，已知∠AOB =40°，点P 关于OA 、OB 的对称点分别为C 、D ，CD 交OA 、OB 于M 、N 两点，求∠MPN 的度数是多少？ 【解析】∠OMN=x, ∠ONM=y .得∠PMN =180°-2x , ∠PNM =180°-2y , ∠MPN=2x+2y-180°. 由x+y+40°=180°,得∠MPN=100°．4.如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．求证：（1）AM⊥DM；（2）M为BC的中点．【解析】（1）∵AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC=180°，∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，∴2∠MAD+2∠ADM=180°，∴∠MAD+∠ADM=90°，∴∠AMD=90°，即AM⊥DM；（2）作NM⊥AD交AD于N，∵∠B=90°，AB∥CD，∴BM⊥AB，CM⊥CD，∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，∴BM=MN，MN=CM，∴BM=CM，即M为BC的中点．5.如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N，（1）若△CMN的周长为21cm，求AB的长；（2）若∠MCN=50°，求∠ACB的度数．【解析】（1）∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，∴AM=CM，CN=BN，∵△CMN的周长为18cm，即CM+CN+MN=18，∴AM+BN+MN=AB=18cm．∴AB=18cm．（2）∵DM垂直平分AC，∴∠1=∠2，∵EN垂直平分BC，∴∠3=∠4，又∵∠1+∠2+∠3+∠4+50°=180°，则2（∠1+∠4）=180°﹣50°=130°，∠1+∠4=65°，∴∠ACB=（∠1+∠4）+∠MCN=65°+50°=115°．6.已知△ABC的两条角平分线BD，CE交于点O，OD=OE，∠ABC=70°，求∠A的度数．【解析】∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，∵△ABC的两条角平分线BD、CE交于O，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣12（∠ABC +∠ACB ）=180°﹣12（180°﹣∠A ）=90°+12∠A ，∴∠EOD =90°+12∠A ，连接OA ，作OF ⊥AB 于点F ，OG ⊥AC 于点G ，OH ⊥BC 于点H ，∵△ABC 的两条角平分线BD 、CE 交于O ， ∴OF =OG =OH ，在R t △EOF 和R t △DOG 中，OF OGOE OD =⎧⎨=⎩∴R t △EOF ≌R t △DOG （HL ）， ∴∠EOF =∠DOG ， ∴∠FOG =∠EOD ， ∵OF ⊥AB ，OG ⊥AC ， ∴∠A +∠FOG =180°， ∴∠A +∠EOD =180°， ∴∠A +90°+12∠A =180°，∴∠A =60°． 如图，过点O 作FO ⊥AC 于F ，OG ⊥AB 于G ， ∴OG =OF同上的方法得，R t △OGE ≌R t △OFD ， ∴∠EOG =∠DOF ， ∵∠BOE =∠COD ， ∴∠BOG =∠COF ，∵OG =OF ，∠BGO =∠CFO ， ∴△BOG ≌△COF ， ∴∠ABO =∠ACE ，∵BD ，CE 是△ABC 的角平分线， ∴∠ACB =∠ABC =70°， ∴∠A =180°﹣70°﹣70°=40° 故答案为60°或40°。

角平分线的性质与判定_图文.pptx
★ 什么是角的平分线？ 怎样画一 个角的平分线？
A
C O
B
A·
B· C·
如图，AB＝AD，BC＝DC，沿着 AC画一条射线AE，AE就是∠BAC
·的角平分线， 你知道为什么吗？ D
E
如何用尺规作角的平分线？
作法:
A
１. 以Ｏ为圆心，适当长 为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，
A C
P B
PD = PE
\ OP 是 AOB 的平分线
用途: 判定一条射线是角平分线
例1.如图，在△ABC中，D是BC的中点， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F， 且BE＝CF。求证: AD是△ABC的角平分线。
A
E
F
B
D
C
4.已知: 如图，∠C= ∠C′=90° ，AC=AC ′ . 求证（1） ∠ABC= ∠ABC ′ ；（2）BC=BC ′ .（要求不 用三角形全等的判定）
OP = OP （公共边）
PD = PE （ 已 知 ）
\ RtPDO≌ RtPEO （ HL）
\ AOP BOP （全等三角形的对应角相等） \ 点P在 AOB 角的平分线上
A P
B
角平分线的判定的应用书写格式:
∵ PD ^ OA
PE ^ OB
O
PD= PE
DA P
\OP 是 AOB的平分线
（到一个E角的 B
（点D到AB的距离是3）
C
D
A
E
B
如图，由 PD ^ OA 于点 D ， PE ^ OB
于点 E，PD= PE ， 可以得到什么结论 ？
到一个角的两边的距离相等 的点, 在这个角的平分线上。