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吉林省长春市长春八中2018-2019学年上学期高三第一次月考卷理科数学-Word版含答案

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2018-2019学年上学期高三第一次月考卷理科数学（A ）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2018·黑龙江模拟]集合{A y y ==，{}220B x x x =--≤，则A B =（ ）A ．[)2,+∞B ．[]0,1C ．[]1,2D ．[]0,22．[2018·南昌模拟]在实数范围内，使得不等式11x>成立的一个充分而不必要的条件是（ ） A ．0x >B ．1x <C ．01x <<D ．102x <<3．[2018·新余四中]下列有关命题的说法正确的是（ ） A ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，1x ≠”； B ．“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件；C ．命题“x ∃∈R ，使得210x x +-<”的否定是：“x ∀∈R ，均有210x x +->”；D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题；4．[2018·肥东中学]已知函数()()()3log ,02,0x x f x f x x ⎧-<⎪=⎨--≥⎪⎩，则()2017f =（ ）A ．1B ．0C ．1-D ．3log 25．[2018·信阳中学]已知函数()324xf x x =+，则()f x 的大致图象为（ ） A ． B ．C ．D ．6．[2018·天水一中]下列函数既是奇函数，又在区间[]11-，上单调递减的是（ ）A ．()sin f x x =B ．()1f x x =-+C ．()()12xx f x a a -=-（0a >且1a ≠） D ．()2ln2xf x x-=+ 7．[2018·肥东中学]若21log 0.6a =．，062.1b =．，05log 0.6c =．，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．b c a >>D ．c b a >>8．[2018·洛南中学]函数()2ln (0,)f x x x bx a b a =+-+>∈R 的图像在点()(),b f b 处的切线斜率的最小值是（ ） A．BC ．1D ．29．[2018·唐山期中]曲线y 21y x =-及x 轴所围成的封闭图形的面积为（ ） A ．512B ．1112C ．16D ．1210．[2018·吉安期末]设()()2210log 103x x f x x x ⎧--≤<⎪=⎨+≤≤⎪⎩，，，()1g x ax =+，若对任意的[]113x ∈-，，存在[]211x ∈-，，使得()()21g x f x =，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[)(]1001-，，B ．][()11-∞-+∞，，C ．[)(]2002-，，D ．][()22-∞-+∞，，11．[2018·汕头模拟]已知定义域为R 的奇函数()f x ，当0x >时，满足 ()()()23log 720233,2x x f x f x x ⎧--<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩，，则()()()()1232020f f f f ++++=（ ）此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号A ．2log 5B ．2log 5-C ．2-D ．012．[2018·黑龙江模拟]设函数()ln f x x ax =+，若存在()00x ∈+∞，，使()00f x >，则a 的取值范围是（ ） A ．11e ⎛⎫- ⎪⎝⎭， B ．1e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，C ．()1-+∞，D ．1e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭， 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2018·东台中学]集合{}0e x A =，，{}101B =-，，，若A B B =，则x =____．14．[2018·安阳35中]若命题“x ∃∈R ，20x x a -+<”是假命题，则实数a 的取值范围是__________． 15．[2018·天水一中]函数()()323321f x x ax a x =++++⎡⎤⎣⎦有极大值又有极小值，则a 的取值范围是__________．16．[2018·衡水金卷]函数()f x 满足()()f x f x =-，()()2f x f x =-，当[]01x ∈，时，()2f x x =，过点904P ⎛⎫⎪⎝⎭，且斜率为k 的直线与()f x 在区间[]04，上的图象恰好有3个交点，则k 的取值范围为_________．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）[2018·安徽联考]已知集合12128 4x A x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，21log ,328B y y x x ⎧⎫⎡⎤==∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，．（1）若{}|12 1 C x m x m =+≤≤-，()C A B ⊆，求实数m 的取值范围； （2）若{}|6 1 D x x m =>+，且()A B D =∅，求实数m 的取值范围．18．（12分）[2018·北京19中]已知0a >，给出下列两个命题：:p 函数 :q 关于x 的方程()2110x a x +-+=一根在()0,1上，另一根在()1,2上．若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求实数a 的取值范围．（1）当1a =时，计算定积分()21f x dx ⎰；（2）求()f x 的单调区间和极值．（1）求m 、n 的值； （2）求()f x 的单调区间．21．（12分）[2018·石嘴山三中]已知函数()e cos 1x f x x =-． （1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； （2）求函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．22．（12分）[2018·南海中学]已知函数()1f x ax =-，()e x g x =； （1）设函数()()()G x f x g x =⋅，讨论函数()G x 的单调性；（2）求证：当[]11a e ∈+，时，()()1f x g x x ≤+-．2018-2019学年上学期高三第一次月考卷理科数学（A ）答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D【解析】求解函数y 的值域可知：{}0A y y =≥， 求解一元二次不等式220x x --≤可知：{}12B x x =-≤≤， 结合交集的定义有：{}02A B x x =≤≤，表示为区间形式即[]0,2． 本题选择D 选项． 2．【答案】D【解析】∵11x >，∴10x x-<，∴01x <<， 因为()10012⎛⎫⊂ ⎪⎝⎭，，，()10012⎛⎫≠ ⎪⎝⎭，，， 所以102x <<为不等式11x>成立的一个充分而不必要的条件，选D ． 3．【答案】D【解析】对于选项A ，命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x ≠，1x ≠”， 所以该选项是错误的；对于选项B ，因为2560x x --=，所以6x =或1x =-，所以 “1x =-”是“2560x x --=”的充分不必要条件，所以该选项是错误的；对于选项C ，命题“x ∃∈R ，使得210x x +-<”的否定是：“x ∀∈R ，均有210x x +-≥”， 所以该选项是错误的；对于选项D ，命题“若x y =，则sin sin x y =”是真命题， 所以它的逆否命题为真命题，所以该选项是正确的． 故答案为D ． 4．【答案】B【解析】当0x >时，()()()()4222f x f x f x f x f x -=--=--=--=⎡⎤⎣⎦（），即有()()4f x f x +=，即函数的周期为4 ．()()()()201750441110f f f f =⨯+==--=．故选B ．5．【答案】A【解析】因为()()324x f x f x x --==-+，所以函数为奇函数，排除B 选项， 求导：()()42221204x x f x x'+=≥+，所以函数单调递增，故排除C 选项，令10x =，则()1000104104f =>，故排除D ． 故选A ． 6．【答案】D【解析】逐一考查所给函数的性质：A ．()sin f x x =是奇函数，在区间[]ππ1122⎡⎤-⊆-⎢⎥⎣⎦，，上单调递增，不合题意； B ．对于函数()1f x x =-+，()12f =-，()10f -=，()11f ≠且()11f ≠-， 据此可知函数为非奇非偶函数，不合题意； C ．当2a =时，()()()112222x x x x f x a a --=-=-，()()101102f =⨯-=， ()11312224f ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，由()()01f f <可知函数不是单调递减函数，不合题意； D ．()2ln 2xf x x-=+，函数有意义， 则202xx->+，解得22x -<<，函数的定义域关于坐标原点对称， 且()()1222ln ln ln222x x xf x f x x x x-+--⎛⎫-===-=- ⎪-++⎝⎭，故函数为奇函数， 且()24ln ln 122x f x x x -⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 函数412y x =-+在区间()22-，上单调递减， 函数ln y x =是定义域内的单调递增函数， 由复合函数的单调性可知函数()2ln 2xf x x-=+单调递减，符合题意． 本题选择D 选项． 7．【答案】C【解析】∵ 2.1log 0.60a =<，062.11b =>．，05log 0.61c =<．，∴b c a >>．故选C ．8．【答案】D 【解析】∵()12f x x b x+'=-，∴()12k f b b b ='=+≥，当且仅当1b =时取等号，因此切线斜率的最小值是2，选D ． 9．【答案】A【解析】由解析式作出如图所示简图：由图像可知封闭图形面积为曲线与x 轴围成曲边三角形OCB 的面积与ABC △的面积之差．联立两函数解析式，求出交点C 的坐标为：()11，，则点B 的坐标为：()10，， 求出直线与x 轴交点A 坐标为：()0.5,0，则曲边三角形的面积为：11202dx3OCB S x ==⎰， ABC △的面积为：1111224ABC S =⨯⨯=△， 所以两线与x 轴围成图形的面积为：512． 故选A ． 10．【答案】D【解析】函数()()2210log 103x x f x x x ⎧--≤<⎪=⎨+≤≤⎪⎩，，在[]13-，上单调递增， 所以()f x 的值域为[]12-，， 当0a >时，()g x 为增函数，()1g x ax =+在[]11-，上的值域为[]1,1a a -++，由题意可得1112a a -+≤-⎧⎨+≥⎩，∴2a ≥，当0a <时，()g x 为减函数，()1g x ax =+在[]11-，上的值域为[]1,1a a +-+，由题意可得1112a a +≤-⎧⎨-+≥⎩，∴2a ≤-，当0a =时，()g x 为常数函数，值域为{}1，不符合题意； 综上，实数a 的取值范围为][()22-∞-+∞，，． 故选D ． 11．【答案】B【解析】定义域为R 的奇函数()f x ，可得()()f x f x -=-， 当0x >时，满足()()()23log 720233,2x x f x f x x ⎧--<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩，， 可得32x >时，()()3f x f x =-， 则()21log 5f =-，()()()2211log 5f f f =-=-=， ()()300f f ==， ()()241log 5f f ==-，()()()()25211log 5f f f f ==-=-=， ()()()6300f f f ===， ()()()2741log 5f f f ===-， ()()()()28211log 5f f f f ==-=-=，()()()()1232020f f f f ++++()222673log 5log 50log 5=⨯-++-226730log 5log 5=⨯-=-，故选B ．12．【答案】D【解析】()f x 的定义域是()0+∞，，()11axf x a x x'+=+=， 当0a ≥时，()0f x '>，则()f x 在()0+∞，上单调递增，且()10f a =≥， 故存在()00x ∈+∞，，使()00f x >； 当0a <时，令()0f x '>，解得10x a<<-，令()0f x '<，解得1x a>-，∴()f x 在10a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递增，在1a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，上单调递减， ∴()max 11ln 10f x f a a ⎛⎫⎛⎫=-=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得1a e >-．综上，a 的取值范围是1e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，． 故选D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】0 【解析】因为A B B =，所以A B ⊆，又e 0x >，所以e 1x =，所以0x =．故答案为0． 14．【答案】14⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭， 【解析】∵命题“x ∃∈R ，20x x a -+<”是假命题， 则命题“x ∀∈R ，20x x a -+≥”是真命题， 则140a ∆=-≤，解得14a ≥，则实数a 的取值范围是14⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，． 故答案为14⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，． 15．【答案】2a >或1a <-【解析】由题意可得：()()2'3632f x x ax a =+++， 若函数有极大值又有极小值，则一元二次方程()236320x ax a +++=有两个不同的实数根， 即()()2643320a a ∆=-⨯⨯+>，整理可得：()()36120a a +->， 据此可知的取值范围是2a >或1a <-． 16．【答案】13112⎛⎫⎪⎝⎭，【解析】∵()()f x f x =-，()()2f x f x =-，∴()()2f x f x -=-，即()()2f x f x +=， ∴函数()f x 的周期为2T =．由[]01x ∈，时，()2f x x =， 则当[]10x ∈-，时，[] 01x -∈，，故()()2f x f x x -==， 因此当[]11x ∈-，时，()2f x x =．结合函数()f x 的周期性，画出函数()[]()04f x x ∈，图象如下图所示．又过点904P ⎛⎫⎪⎝⎭，且斜率为的直线方程为94y kx =-．结合图象可得：当[]01x ∈，时，()2f x x =．与94y kx =-联立消去y 整理得2904x kx -+=， 由290k ∆=-=，得3k =或3k =-(舍去)，此时[]3=0122k x =∉切，，故不可能有三个交点； 当[]23x ∈，时，点904⎛⎫- ⎪⎝⎭，与点()31，连线的斜率为1312， 此时直线与()y f x =有两个交点，又()()22f x x =-， 若同94y kx =-相切，将两式联立消去y 整理得()225404x k x -++=， 由()24250k ∆=+-=，得1k =或9k =- (舍去)， 此时()45=2322k x +=∈切，， 所以当13112k <<时有三个交点． 综上可得k 的取值范围为13112⎛⎫⎪⎝⎭，．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）3m ≤；（2）1m ≥．【解析】（1）{}|27 A x x =-≤≤，{}|35B y y =-≤≤，{}|2 5 A B x x =-≤≤，①若C =∅，则121m m +>-，∴2m <；215m ⎪-≤⎩综上3m ≤． （2）{}|37AB x x =-≤≤，∴617m +≥，∴1m ≥．18．7,2⎤⎡⎫+∞⎪⎥⎢⎦⎣⎭【解析】在()1,2x ∈-恒成立；在()1,2-上的最大值为设()()211f x x a x =+-+，则由命题()()()010:1302720f q f a f a ⎧=>⎪⎪=-<⎨⎪=->⎪⎩，解得若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，则p ，q 一真一假； ①若p 真q 假，则：9472a a ⎧>⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩②若p 假q 真，则：， ∴实数a 的取值范围为7,2⎤⎡⎫+∞⎪⎥⎢⎦⎣⎭19．【答案】（1）当1a =时，()218ln2f x dx =+⎰；（2）见解析． 【解析】（1）当1a =时，（2 当0a >时，令 所以()f x 的增区间为所以()f x 的极小值为当0a <时，令 所以()f x 的减区间为所以()f x 的极大值为20．【答案】（1）3-，4；（2）见解析．【解析】（1）函数322336f x x mx nx =++-（），求导，()2663f x x mx n '=++，()f x 在1x =及2x =处取得极值，∴()()'10'20f f ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝，整理得：2248m n m n +=-⎧⎨+=-⎩，解得：34m n =-⎧⎨=⎩，∴m 、n 的值分别为3-，4；（2）由（1）可知()2'61812f x x x =-+， 令()'0f x >，解得：2x >或1x <， 令()'0f x <，解得：12x <<，()f x 的单调递增区间(),1-∞-，()2,+∞，单调递减区间()1,2．21．【答案】（1）y x =（2）最大值为414f ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，最小值为12f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 【解析】（1）因为()e cos 1x f x x =-，所以()()e cos sin x f x x x =-'，()00f '=． 又因为()00f =，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为y x =．（2）令()0f x '=，解得4x π=．又()00f =，12f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，414f ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭； 故求函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦41π-和最小值1-． 22．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）由题得()()()()1e x G x f x g x ax ==-，()()1e x G x ax a =+-'，①当0a =时，()e 0x G x =-<'，此时()G x 在()-∞+∞，上单调递减， ②当0a >时，令()0G x '>，得1a x a ->-，令()0G x '<，得1a x a-<-， ∴()G x 在区间1a a -⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，上单调递减，在区间1a a -⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增， ③当0a <时，令()0G x '>，得1a x a -<-，令()0G x '<，得1a x a->-， ∴()G x 在区间1a a -⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，上单调递增，在区间1a a -⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，上单调递减， （2）要证()()1f x g x x ≤+-，即证()1x a x e -≤，令()()e 1x F x a x =--， 当1a =时，()e 0x F x =>，∴()1e x a x -≤成立； 当11a e <≤+时，()()()ln 1'e 1e e a x x F x a -=--=-，当()ln 1x a <-时，()'0F x <；当()ln 1x a >-时，()'0F x >，∴()F x 在区间()()ln 1a -∞-,上单调递减，在区间()()ln 1a -+∞，上单调递增， ∴()()()()()()()()ln 1ln 1e 1ln 111ln 1a F x F a a a a a -≥-=---=---⎡⎤⎣⎦． ∵11e a <≤+，∴10a ->，()()1ln 11ln 1e 10a --≥-+-=⎡⎤⎣⎦， ∴()0F x ≥，即()1e x a x -≤成立，故原不等式成立．。

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吉林省长春市第一中学2018-2019年下学期高二年级第一次月考数学(理)试卷(无答案)

吉林省长春市第一中学2018-2019年下学期高二年级第一次月考数学(理)试卷(无答案)

长春一中2018-2019学年下学期高二年级第一次月考数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知i 为虚数单位，复数11z i i -+=-，则z =（ ）A ．12i -B ．12i --C ．12i +D ．12i -+2．复数(1)(3)i i -+的虚部是（ ）A ．4B ．4-C ．2D ．2-3．已知复数34z i =-，则||z =（ ）A ．4B ．3C ．5D ．24．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（ ）A ．82n -B ．62n -C ．82n +D ．62n +5．公安人员审问了一起盗窃案，查明了以下事实：（1）罪犯就是甲、乙、丙三人中的一人或一伙；（2）不伙同甲，丙决不会作案；（3）罪犯是带着赃物开着汽车逃跑的，但乙不会开汽车．那么，一定参与犯罪的是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．不确定6．若函数21()f x x x =+，则()1f '-=（ ）A ．1-B ．1C ．3-D ．37．曲我32y x =-+上的任意一点P 处切线的斜率的取值范围是（ ）A ．,3⎫+∞⎪⎣⎭B ．3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．()+∞D ．[)+∞8．函数()f x 在其定义域内可导，()y f x =的图象如图所示，则导函数()y f x '=的图象为（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知()21f x x =+，若10()()f x dx f a =⎰，则a 的值为（ ）A ．aBC ．12D ．1 10．下列函数中，在(2,)+∞内为增函数的是（ ）A ．3sin xB ．(3)x x e -C ．215x x -D ．ln x x -11．若3()2(0)f x ax ax a =++≠满足(1)1f ->且(1)1f <，则方程()1f x =解的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．412．定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足3()10xf x +>，(3)ln3f =-，则不等式()0x f e x +>的解集为（ ）A ．()3,e +∞B ．3(0,)eC ．(ln3,)+∞D ．()3ln 3,e 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若复数z 满足2z i a i=+（i 为虚数单位，且实部和虚部相等，则实数a 的值为_________. 14．将正奇数如下分组：(1)(3,5)(7,9,11)(13,15,17,19)…则第n 组的所有数的和为__________．15．在平面直角坐标系内，由曲线1,,3xy y x x ===所围成的封闭图形的面积为_________．16．底面是正方形，容积为16的无盖水箱，它的高为_________时最省材料．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（本题满分10分）已知a 为实数，函数32()()f x x ax x R =-∈，且(1)5f '=，求a 的值及曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程．18．（本小题满分12分）己知数列{}a 中，111,21n n a a a +==+，（Ⅰ）求4235,,,a a a g ；（Ⅱ）猜想n a 的表达式，并用数学归纳法加以证明．19．（本小题满分12分）设函数2()1ln f x x x =+-（1）求()f x 的单调区间； （2）求函数()()g x f x x =-在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值． 20．已知实数a 满足12a <≤，设函数3211()32a f x x x ax +=-+ （Ⅰ）当2a =时，求()f x 的极小值； （Ⅱ）若函数32()436(2)()g x x bx b x b R =+-+∈的极小值点与()f x 的极小值点相同．求证：()g x 的极大值小于等于10．21．（本小题满分12分）已知函数32()3(,)f x ax bx x a b R =+-∈，且()f x 在1x =和3x =处取得极值． （Ⅰ）求函数()f x 的解析式．（Ⅱ）设函数()()g x f x t =+，是否存在实数t ，使得曲线()y g x =与x 轴有两个交点，若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．22．（本小题满分12分）设函数()(0)kxf x xe k =≠．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设2()24g x x bx =-+，当1k =时，若对任意的1x R ∈，存在2[1,2]x ∈，使得()()12f x g x …，求实数b 的取值范围．。

_吉林省长春外国语学校2018-2019学年八年级(上)第一次月考数学试卷_

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第1页，总7页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………吉林省长春外国语学校2018-2019学年八年级（上）第一次月考数学试卷考试时间：**分钟 满分：**分姓名：____________班级：____________学号：___________题号 一 二 三 总分 核分人 得分注意事项：1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写2、提前 15 分钟收取答题卡第Ⅰ卷 客观题第Ⅰ卷的注释评卷人 得分一、单选题（共8题)1. 在实数，0，，，0.1010010001…，，中无理数有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2. 工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB 是一个任意角，在边OA 、OB 上分别取OM=ON ，移动角尺，使角尺两边相同的刻度与M 、N 重合，过角尺顶点C 作射线OC ．那么判定∠MOC∠∠NOC 的依据是（ ）A. 边角边B. 边边边C. 角边角D. 角角边 3. 二次根式有意义，则实数x 的取值范围是（ ）A ．x≥﹣2B ．x ＞﹣2C ．x ＜2D ．x≤24.的算术平方根是（ ）A ．±4B ．4C ．±2D ．2 5. 已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（ ）A ．8或10B ．8C ．10D ．6或126. 利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公答案第2页，总7页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………式：（a+b ）2=a 2+2ab+b 2．你根据图乙能得到的数学公式是（）A ．（a+b ）（a ﹣b ）=a 2﹣b 2B ．（a ﹣b ）2=a 2﹣2ab+b 2C ．a （a+b ）=a 2+abD ．a （a ﹣b ）=a 2﹣ab7. 如图，每个小正方形的边长为1，A ，B ，C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°8. 下列命题是假命题的是（ ）A ．对顶角相等B ．两直线平行，内错角相等C ．同角的余角相等D ．两个锐角的和等于直角第Ⅱ卷 主观题第Ⅱ卷的注释评卷人 得分一、填空题（共6题)1. 计算：|-|+|2﹣|=_____．2. 计算（3+2a ）（3﹣2a ）=________．3. 若6x =3，6y =2，则62x ﹣3y =_____．4. 如图所示,在∠ABC 中,∠C =90°,∠CAB =50°.按以下步骤作图:①以点A 为圆心,小于AC 的长为半径画弧,分别交AB ,AC 于点E ,F ;②分别以点E ,F 为圆心,大于EF 的长为半径画弧,两弧相交于点G ;③作射线AG 交BC边于点D.则∠ADC 的度数为 .5. 多项式x 2+（k ﹣3）x+9是完全平方式，则k 的值是_____．。

吉林省长春市2024-2025学年高三上学期质量监测(一)数学试卷(解析)

吉林省长春市2024-2025学年高三上学期质量监测(一)数学试卷(解析)

吉林省长春市2024-2025学年高三上学期质量监测（一）数学试卷本试卷共4页.考试结束后，将答题卡交回.注意事项：1.答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.2.答题时请按要求用笔.3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 一组数据1，1，3，4，5，5，6，7的第25百分位数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 6【答案】B【解析】【分析】根据百分位数的概念计算即可求解.【详解】由题意知，该组数据共有8个，则0.2582i =⨯=所以第25百分位数为1322+=.故选：B 2. 已知向量(3,),(5,2)a m b m ==- ，若a b ⊥ ，则m =（ ）A. 2B. 3C. 6D. 15【答案】B【解析】【分析】根据向量垂直的判断条件列方程，求解即得.【详解】由a b ⊥ ，可得3(5)20m m -+=，解得3m =.故选：B.3. 已知13sin(),sin()55αβαβ+=-=，则tan tan αβ的值为（ ）A. ―2B. 2C. 3-D. 3【答案】A【解析】【分析】由两角和差正弦公式展开求得21sin cos ,cos sin 55αβαβ==-，即可求解.【详解】因1sin()sin cos cos sin ,5αβαβαβ+=+=3sin()sin cos cos sin 5αβαβαβ-=-=两式联立可得：21sin cos ,cos sin 55αβαβ==-，所以tan sin cos 2tan cos sin ααββαβ==-，故选：A4. 某学校科技创新小组准备模拟东风31弹道导弹的发射过程，假设该小组采用的飞行器的飞行高度（单位：米）与飞行时间（单位：秒）之间的关系可以近似用函数3log y a x b =+来表示.已知飞行器发射后经过2秒时的高度为10米，经过6秒时的高度为30米，欲达到50米的高度，需要（ ）秒.A. 15B. 16C. 18D. 20【答案】C【解析】【分析】由题意列出等式求得,a b ，即可求解.【详解】由题意可得：3310log 230log 6a b a b =+⎧⎨=+⎩，解得：320,1020log 2a b ==-，设达到50米的高度需要x 秒.3320log 1020log 250x +-=，解得：18x =，所以达到50米的高度需要18秒.故选：C5. 正四面体ABCD 中，12,33AP AD BQ BC == ，则异面直线PQ 与BD 所成角的正弦值为（ ）为A.B.C.D. 【答案】D【解析】【分析】根据向量法求得异面直线所成角的正弦值，在正方体中截取正四面体，根据坐标得到向量，即可求解.【详解】从正方体中可截取一个正四面体，设正方体的边长为3a ，根据正方体的性质建立空间直角坐标系如图所示：，()()()()0,0,0,3,0,3,0,3,3,3,3,0C B a a A a a D a a ，所以()()()3,0,3,3,0,3,0,3,3AD a a BC a a BD a a =-=--=- ，则BD == ，因为12,33AP AD BQ BC == ，所以()(),3,2,,0,P a a a Q a a ，则()0,3,PQ a a =-- ，PQ == ，根据cos ,PQ BD PQ BD PQ BD⋅===则sin ,PQ BD ==，所以异面直线PQ 与BD 所成角的正弦值为故选：D.6. 直线240x y +-=与直线390x y +-=所成角是（ ）A. 30︒B. 45︒C. 60︒D. 75︒【答案】B【解析】【分析】根据题意，求得两条直线的斜率，然后由两直线的夹角公式代入计算，即可得到结果.【详解】直线240x y +-=斜率112k =-，直线390x y +-=斜率23k =-，设两直线的夹角为θ，则()2112132tan 111132k k k k θ-+-===+⎛⎫+-⨯- ⎪⎝⎭，且090θ︒≤≤︒，所以45θ=︒.故选：B7. 为了解小学生每天的户外运动时间，某校对小学生进行平均每天户外运动时间（单位：小时）的调查，采用样本量按比例分配的分层随机抽样.如果不知道样本数据，只知道抽取了三年级及以下学生40人，其平均数和方差分别为2.5和1.65，抽取了四年级及以上学生60人，其平均数和方差分别为1.5和3.5，则估计该校学生平均每天户外运动时间的总体方差为（ ）A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】C【解析】【分析】根据平均数和方差的公式计算.【详解】抽取了三年级及以下学生40人，其平均数和方差分别为 2.5x =，21 1.65s =，抽取了四年级及以上学生60人，其平均数和方差分别为 1.5z =，22 3.5s =，设抽取的总体样本的平均数为y 和方差为2s ，则4060 1.9100100y x z =⨯+⨯=，()()222221240603100100s s x y s y z ⎡⎤⎡⎤=⨯+-+⨯+-=⎣⎦⎣⎦.故选：C.8. 已知定义在(0,)+∞上的函数(),()f x f x '是()f x 的导函数，满足()2()0xf x f x '-<，且(2)4f =，则不等式()240x x f ->的解集是（ ）A. (0,1)B. (0,2)C. (1,)+∞D. (,1)-∞【答案】D【解析】【分析】构造函数2()()f x g x x =，由导数确定()g x 单调性，将已知不等式转化为关于()g x 不等式，然后利用单调性即可求解．【详解】设2()()f x g x x =，则 3()2(())xf x xx f x g '-='，因为0x >，()2()0xf x f x '-<，所以()0g x '<，可得()g x 在()0,∞+上单调递减，不等式(2)4x x f >，即()()22144x x f f >=，即()()()222222x x f f >，所以()()22x g g >，因为()g x 在()0,∞+上单调递减，所以22x <，解得：1x <，所以不等式的解集为：(,1)-∞，故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 函数π()sin (0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则（ ）A. π12x =-是()f x 的一条对称轴B. ()f x 与函数πcos 6y x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭相等C. ()f x 在区间π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减D. ()f x 在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上的取值范围是⎛⎤ ⎥ ⎝⎦【答案】AD【解析】【分析】先根据正弦函数的周期公式求出ω的值确定函数()f x 的解析式，然后根据结合正弦函数的对称性、单调性、最值及诱导公式结合选项一一判断即可.【详解】因为函数()(πsin 0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π, 由周期公式2ππT ω==，可得2ω=，则()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.对于A 选项，因为s ππ126πin 13f ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎭⎝⎭-⎝，所以π12x =-是()f x 的一条对称轴，故选项A 正确；对于B 选项，因为ππππcos 2cos 2sin 26233y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦,与()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭不相等，故选项B 错误；对于C 选项，当π0,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，πππ2,336x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，而sin y x =在ππ,36⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，所以函数()f x 在区间π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，故选项C 错误；对于D 选项，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，ππ2π2,333x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，而πsin 3⎛⎫-= ⎪⎝⎭，πsin 12⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()f x 在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上的取值范围是⎛⎤ ⎥⎝⎦，故选项D 正确；故选：AD.10. 已知等比数列{}n a 的公比为q ，且51a =，设该等比数列的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，下列选项正确的是（ ）A. 372a a +≥B. 当1q >时，{}n a 为递增数列C. n S 单调递增的充要条件为0q >D. 当1q >时，满足1n T >的n 的最小值为9【答案】ABC【解析】【分析】分析可知10a >.对于A ：利用基本不等式分析判断；对于C ：分析可知n S 单调递增，等价于0,2n a n >≥，结合等比数列通项公式分析判断；对于BD ：结合等比数列通项公式判断B ；分析可知当4n ≤时，1n a <；当6n ≥时，1n a >；结合等比数列性质判断D.【详解】因为45110a a q ==>，可知10a >，对于选项A ：因为51a =，且0q ≠，则237221a q q a =≥++=，当且仅当221q q =，即1q =±时，等号成立，所以372a a +≥，故A 正确；对于选项C ：若n S 单调递增，等价于10,2n n n S S a n --=>≥，又因为数列{}n a 为等比数列，则110n n a a q -=>，即10n q ->对任意2n ≥恒成立，等价于0q >，即n S 单调递增，等价于0q >，所以n S 单调递增的充要条件为0q >，故C 正确；对于选项BD ：若1q >，则0n a >，且11n na q a +=>，即1n n a a +>，所以数列{}n a 为递增数列，故B 正确；当4n ≤时，1n a <；当6n ≥时，1n a >；当5n ≤时，{}n T 为递减数列，且111n T T a ≤=<；当6n ≥时，{}n T 为递增数列，且9951T a ==；综上所述：当9n ≤时，1n T ≤；当10n ≥时，1n T >；所以满足1n T >的n 的最小值为10，故D 错误；故选：ABC.11. 2022年卡塔尔世界杯赛徽近似“伯努利双纽线”.伯努利双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布⋅伯努利用来描述他所发现的曲线.定义在平面直角坐标系xOy 中，把到定点12(,0),(,0)F c F c -距离之积等于定值2(0)c c >的点的轨迹称为双纽线，已知点P (x 0,y 0)是双纽线C 上一点，下列关于双纽线的说法正确的是（ ）A. PO的最大值为 B.双纽线是中心对称图形。

吉林省长春十一中2018-2019学年高一下学期第一次月考数学试卷(理科)Word版含解析

吉林省长春十一中2018-2019学年高一下学期第一次月考数学试卷(理科)Word版含解析

吉林省长春十一中2018-2019学年高一下学期第一次月考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知﹣1＜a＜0，那么﹣a，﹣a3，a2的大小关系是（）A．a2＞﹣a3＞﹣a B．﹣a＞a2＞﹣a3C．﹣a3＞﹣a＞a2D．a2＞﹣a＞﹣a32．在下列函数中，最小值是2的是（）A．（x∈R且x≠0）B．C．y=3x+3﹣x（x∈R）D．）3．已知等差数列{an }中a1=20，an=54，Sn=999，则n=（）A．27 B．28 C．29 D．304．在等差数列{an }中，a1+a15=3，则S15=（）A．45 B．30 C．22.5 D．215．已知{an }是等差数列，且a4+4是a2+2和a6+6的等比中项，则{an}的公差d=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣26．等比数列{an}的前n项和为，则实数a的值是（）A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．17．在△ABC中，已知，，B=45°则A角的度数为（）A．60°B．120°C．60°或120°D．30°8．在△ABC中，，则边AC上的高为（）A．B．C．D．9．三角形的两边边长分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x2﹣7x﹣6=0的根，则三角形的另一边长为（）A．52 B．2C．16 D．410．已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且=，则B=（）A．B．C．D．11．一块四边形土地的形状如图，它的三边长分别是2（+）m，2m，4m，两个内角是120°和105°，则四边形的面积为（）A．10+8m2B．12+10m2C．12+8m2D．10+10m212．设函数f （x ）=sin2x+2cos 2x ﹣m ，a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，已知b+c=2，f （A ）=﹣1，在使得函数f （x ）在[0，]上有零点的所有m 的取值中，当m 取得最大值时，实数a 的最小值为（ ）A ．1B ．C ．3D ．2二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）13．在△ABC 中，已知，则边长b 等于 ．14．已知数列{a n }满足，则a 20= ．15．有两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200有这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项和为 ．16．已知数列{a n }中，，且数列{b n }是公差为﹣1的等差数列，其中．数列{c n }是公比为的等比数列，其中，则数列{a n }的通项公式为a n = ．三、解答题（共5小题，满分48分）17．已知等差数列{a n }中，a 1=1，a 3=﹣3．数列{a n }的前n 项和S n ． （1）求数列{a n }的通项公式 （2）若S k =﹣35，求k 的值．18．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为，．（Ⅰ）求sinC 的值； （Ⅱ）求△ABC 的面积． 19．如图，A 、B 、C 、D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B 、D 为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为75°，30°，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为60°，AC=0.1 km ．试探究图中B ，D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B ，D 的距离（计算结果精确到0.01 km ，≈1.414，≈2.449）．20．数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1=t ，a n+1=2S n +1，n ∈N *． （Ⅰ）当实数t 为何值时，数列{a n }是等比数列？（Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下，设b n =log 3a n+1：T n 是数列 {} 前n 项和，求T 2011的值．21．已知f （x）=m x（m为常数，m＞0且m≠1）．设f （a1），f （a2），…，f （an），…（n∈N）是首项为m2，公比为m的等比数列．（1）求证：数列{an}是等差数列；（2）若bn =anf （an），且数列{bn}的前n项和为Sn，当m=3时，求Sn；（3）若cn =f（an）lgf （an），问是否存在m，使得数列{cn}中每一项恒不小于它后面的项？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．吉林省长春十一中2018-2019学年高一下学期第一次月考数学试卷（理科）参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知﹣1＜a ＜0，那么﹣a ，﹣a 3，a 2的大小关系是（ ）A ．a 2＞﹣a 3＞﹣aB ．﹣a ＞a 2＞﹣a 3C ．﹣a 3＞﹣a ＞a 2D ．a 2＞﹣a ＞﹣a 3 【考点】不等关系与不等式．【分析】利用“作差法”和不等式的性质即可得出． 【解答】解：∵﹣1＜a ＜0，∴1+a ＞0，0＜﹣a ＜1． ∴﹣a ﹣a 2=﹣a （1+a ）＞0，a 2﹣（﹣a 3）=a 2（1+a ）＞0． ∴﹣a ＞a 2＞﹣a 3． 故选B ．2．在下列函数中，最小值是2的是（ ）A ．（x ∈R 且x ≠0）B ．C ．y=3x +3﹣x （x ∈R ）D ．）【考点】基本不等式．【分析】利用均值定理求函数最值需要满足三个条件即一“正”，二“定”，三“等号”，选项A 不满足条件一“正”；选项B 、D 不满足条件三“等号”，即等号成立的条件不具备，而选项C 三个条件都具备【解答】解：当x ＜0时，y=＜0，排除A ，∵lgx=在1＜x ＜10无解，∴大于2，但不能等于2，排除B∵sinx=在0＜x ＜上无解，∴）大于2，但不能等于2，排除D对于函数y=3x +3﹣x ，令3x =t ，则t ＞0，y=t+≥2=2，（当且仅当t=1，即x=0时取等号）∴y=3x +3﹣x 的最小值为2故选C3．已知等差数列{a n }中a 1=20，a n =54，S n =999，则n=（ ） A ．27 B ．28 C ．29 D ．30 【考点】等差数列的前n 项和．【分析】由已知得=，由此能求出n ．【解答】解：∵等差数列{a n }中a 1=20，a n =54，S n =999，∴=，解得n=27．故选：A ．4．在等差数列{a n }中，a 1+a 15=3，则S 15=（ ） A ．45 B ．30 C ．22.5 D ．21 【考点】等差数列的通项公式．【分析】利用等差数列的前n 项和公式直接求解． 【解答】解：∵在等差数列{a n }中，a 1+a 15=3，∴S 15=（a 1+a 15）==22.5．故选：C ．5．已知{a n }是等差数列，且a 4+4是a 2+2和a 6+6的等比中项，则{a n }的公差d=（ ） A ．1 B ．﹣1 C ．2 D ．﹣2 【考点】等差数列的通项公式．【分析】a 4+4是a 2+2和a 6+6的等比中项，可得： =（a 2+2）（a 6+6），化为=（a 4﹣2d+2）（a 4+2d+6），解出d 即可．【解答】解：∵a 4+4是a 2+2和a 6+6的等比中项， ∴=（a 2+2）（a 6+6）， ∴=（a 4﹣2d+2）（a 4+2d+6），化为（d+1）2=0，解得d=﹣1．故选：B ．6．等比数列{a n }的前n 项和为，则实数a 的值是（ ）A ．﹣3B ．3C ．﹣1D ．1 【考点】等比数列的前n 项和．【分析】由于等比数列的前n 项和是，得到若，则a=3．【解答】解：由于等比数列{a n }的前n 项和为，则数列的公比不为1，且=3n+1﹣a=3•3n ﹣a ，所以a=3． 故选 B ．7．在△ABC 中，已知，，B=45° 则A 角的度数为（ ） A ．60° B ．120° C ．60°或120° D ．30°【考点】正弦定理．【分析】由B的度数求出sinB的值，同时根据a大于b，利用大边对大角得到A大于B，由a，b及sinB的值，利用正弦定理求出sinA的值，再由A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．【解答】解：∵a=，b=，B=45°，∴由正弦定理=得：sinA===，∵＞，∴45°＜A＜180°，∴A的度数为60°或120°．故选C8．在△ABC中，，则边AC上的高为（）A．B．C．D．【考点】三角形中的几何计算．【分析】由点B向AC作垂线，交点为D，设AD=x，则CD=4﹣x，利用勾股定理可知BD==进而解得x的值，再利用勾股定理求得AD．【解答】解：由点B向AC作垂线，交点为D．设AD=x，则CD=4﹣x，∴BD==，解得x=∴BD==故选B9．三角形的两边边长分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x2﹣7x﹣6=0的根，则三角形的另一边长为（）A．52 B．2C．16 D．4【考点】余弦定理；一元二次方程的根的分布与系数的关系．【分析】解方程5x2﹣7x﹣6=0可得cosθ=﹣，利用余弦定理求出第三边的长即可．【解答】解：解方程5x2﹣7x﹣6=0可得此方程的根为2或﹣，故夹角的余弦cosθ=﹣，∴由余弦定理可得三角形的另一边长为： =2．故选B．10．已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且=，则B=（）A．B．C．D．【考点】正弦定理．【分析】利用正弦定理把等式中角的正弦转化成边，整理求得a，b和c的关系式，代入余弦定理求得cosB的值，进而求得B．【解答】解：∵=，∴且=，整理得a2+c2﹣b2=ac，∵cosB==，0＜B＜π，∴B=．故选：C．11．一块四边形土地的形状如图，它的三边长分别是2（+）m，2m，4m，两个内角是120°和105°，则四边形的面积为（）A．10+8m2B．12+10m2C．12+8m2D．10+10m2【考点】解三角形的实际应用．【分析】通过余弦定理求出其中一条对角线长度，将四边形分成两个三角形，再用S=absinC进行解答．【解答】解：如图，连接BD．在△ABD中，由余弦定理得到：BD2=（2）2+42﹣2×2×4cos105°=24﹣16（cos60°cos45°﹣sin60°sin45°）=24﹣16×=16+8，则BD=2+2．在△ABD中，由正弦定理得到： =，即=，解得sin∠ABD=．∴0＜∠ABD＜120°，∴∠ABD=45°，∴∠CBD=120°﹣45°=75°，∴S 四边形ABCD =S △BCD +S △ABD =×4×2sin105°+×2（+）×（2+2）sin75°=4×+（+）×（2+2）×=12+8m 2．故选：C ．12．设函数f （x ）=sin2x+2cos 2x ﹣m ，a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，已知b+c=2，f （A ）=﹣1，在使得函数f （x ）在[0，]上有零点的所有m 的取值中，当m 取得最大值时，实数a 的最小值为（ ）A ．1B ．C ．3D ．2【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】利用二倍角及辅助角公式先对已知函数进行化简，易得m 的值为3．通过已知函数解析式可以求得A=．然后利用余弦定理和基本不等式来求a 的最小值即可．【解答】解：f （x ）=sin2x+2cos 2x ﹣m=sin2x+（cos2x+1）﹣m=sin2x+cos2x+1﹣m=2sin （2x+）+1﹣m∵在使得函数f （x ）在[0，]上有零点，∴m=2sin （2x+）+1在[0，]内有解∵0≤x ≤，∴≤2x+≤，∴0≤2sin （2x+）+1≤3， ∴0≤m ≤3． ∴m 最大值=3，∴f （A ）=2sin （2A+）﹣2=﹣1，∴sin （2A+）=，∴2A+=+2k π或2A+=+2k π，（k ∈Z ）∵A ∈（0，π），∴A=．∵b+c=2≥2，当且仅当b=c 时bc 有最大值1．∵a 2=b 2+c 2﹣2bccosA=（b+c ）2﹣3bc=4﹣3bc ， ∴a 有最小值1，此时b=c=1． 故选：A ．二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）13．在△ABC 中，已知，则边长b 等于 7 ．【考点】余弦定理．【分析】由已知利用余弦定理即可计算得解b 的值．【解答】解：∵，∴由余弦定理可得：b 2=a 2+c 2﹣2accoB=92+（2）2﹣2×=147，∴解得：b=7．故答案为：7．14．已知数列{a n }满足，则a 20= ﹣．【考点】数列递推式．【分析】先根据可得到a 2，a 3，a 4的值，从而可得到数列{a n }是以3为周期的数列，根据20=3×6+2得到a 20=a 2=﹣，进而得到答案．【解答】解：∵，∴，，，…∴数列{a n }是以3为周期的数列，又20=3×6+2∴a 20=a 2=﹣故答案为：﹣15．有两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200有这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项和为 1472 ． 【考点】等差数列的前n 项和．【分析】由等差数列2，6，10，…190的公差为4，等差数列2，8，14，…，200的公差为6，得到由这两个等差数列的公共项组成一个新数列公差为12，由此能求出这个新数列，进而能求出这个新数列的各项和．【解答】解：等差数列2，6，10，…190中，公差d 1=4， 等差数列2，8，14，…，200中，公差d 2=6， ∵4，6的最小公倍数是12，∴由这两个等差数列的公共项组成一个新数列公差d=12， ∵新数列最大项n ≤190， ∴2+（n ﹣1）×12≤190，解得n ≤，∴n=16∵新数列中第16项a 16=2+（16﹣1）×12=182由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列： 2，14，26，…，182各项之和为S 16==1472．故答案为：1472．16．已知数列{a n }中，，且数列{b n }是公差为﹣1的等差数列，其中．数列{c n }是公比为的等比数列，其中，则数列{a n }的通项公式为a n =． ．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】由可求得b 1，由等差数列通项公式可求b n ，从而可得①．由可得c 1，由等比数列通项公式可得c n ，从而得②，由①②两式可得答案．【解答】解：==﹣2，所以b n =﹣2+（n ﹣1）（﹣1）=﹣（n+1），则﹣（n+1）=，即①，，所以，即②，①﹣②得，，所以，故答案为：．三、解答题（共5小题，满分48分）17．已知等差数列{a n }中，a 1=1，a 3=﹣3．数列{a n }的前n 项和S n ． （1）求数列{a n }的通项公式 （2）若S k =﹣35，求k 的值．【考点】等差数列的前n项和．【分析】（1）由题意可得公差d，代入通项公式可得；（2）由求和公式可得：Sk==﹣35，解之即可．【解答】解：（1）由题意可得数列的公差d==﹣2，故数列{an }的通项公式an=1﹣2（n﹣1）=3﹣2n；（2）由等差数列的求和公式可得：Sk==﹣35，化简可得k2﹣2k﹣35=0解之可得k=7，或k=﹣5（舍去）故k的值为：718．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，．（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．【考点】正弦定理；同角三角函数基本关系的运用．【分析】（Ⅰ）由cosA=得到A为锐角且利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，根据三角形的内角和定理得到C=π﹣﹣A，然后将C的值代入sinC，利用两角差的正弦函数公式化简后，将sinA和cosA代入即可求出值；（Ⅱ）要求三角形的面积，根据面积公式S=absinC和（Ⅰ）可知公式里边的a不知道，所以利用正弦定理求出a即可．【解答】解：（Ⅰ）∵A、B、C为△ABC的内角，且＞0，∴A为锐角，则sinA==∴∴sinC=sin（﹣A）=cosA+sinA=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知sinA=，sinC=，又∵，∴在△ABC中，由正弦定理，得∴a==，∴△ABC 的面积S=absinC=×××=．19．如图，A 、B 、C 、D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B 、D 为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为75°，30°，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为60°，AC=0.1 km ．试探究图中B ，D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B ，D 的距离（计算结果精确到0.01 km ，≈1.414，≈2.449）．【考点】解三角形的实际应用．【分析】在△ACD 中，∠DAC=30°推断出CD=AC ，同时根据CB 是△CAD 底边AD 的中垂线，判断出BD=BA ，进而在△ABC 中利用余弦定理求得AB 答案可得． 【解答】解：在△ACD 中，∠DAC=30°， ∠ADC=60°﹣∠DAC=30°， 所以CD=AC=0.1．又∠BCD=180﹣60°﹣60°=60°， 故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线， 所以BD=BA 、在△ABC 中， =，sin 215°=，可得sin15°=，即AB==，因此，BD=≈0.33km ．故B 、D 的距离约为0.33km ．20．数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1=t ，a n+1=2S n +1，n ∈N *． （Ⅰ）当实数t 为何值时，数列{a n }是等比数列？（Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下，设b n =log 3a n+1：T n 是数列 {} 前n 项和，求T 2011的值．【考点】数列的求和；等比关系的确定；数列递推式． 【分析】（I ）a n+1=2S n +1，n ∈N *．n ≥2时，可得：a n+1﹣a n =2（S n ﹣S n ﹣1）=2a n ，化为a n+1=3a n ．又a 2=2t+1，当2t+1=3t 时，数列{a n }是等比数列．（II ）由（I ）可得：a n =3n ﹣1，b n =log 3a n+1=n. ==﹣，利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：（I）a1=t，∵an+1=2Sn+1，n∈N*．∴n≥2时，an=2Sn﹣1+1，可得：an+1﹣an=2（Sn﹣Sn﹣1）=2an，化为an+1=3an．又a2=2a1+1=2t+1，当2t+1=3t，即t=1时，数列{an}是等比数列，首项为1，公比为3．（II）由（I）可得：an =3n﹣1，∴bn=log3an+1=n．==﹣，∴数列 {} 前n项和Tn=++…+=1﹣=，∴T2011=．21．已知f （x）=m x（m为常数，m＞0且m≠1）．设f （a1），f （a2），…，f （an），…（n∈N）是首项为m2，公比为m的等比数列．（1）求证：数列{an}是等差数列；（2）若bn =anf （an），且数列{bn}的前n项和为Sn，当m=3时，求Sn；（3）若cn =f（an）lgf （an），问是否存在m，使得数列{cn}中每一项恒不小于它后面的项？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．【考点】数列与函数的综合；数列的函数特性；等差关系的确定；数列的求和．【分析】（1）利用f （x）=m x（m为常数，m＞0且m≠1）．代入an ，求出an的表达式，利用等差数列的定义，证明数列{an}是等差数列；（2）通过bn =anf （an），且数列{bn}的前n项和为Sn，当m=3时，求出Sn的表达式，利用错位相减法求出Sn；（3）利用cn =f（an）lgf （an），要使cn≥cn+1对一切n∈N*成立，推出m，n的关系式，通过m＞1，0＜m＜1结合一切n∈N*，数列{cn}中每一项恒不小于它后面的项，推出m的取值范围；【解答】解：（1）由题意f （an）=m2•m n﹣1，即m an=m n+1．∴an =n+1，∴an+1﹣an=1，∴数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列．（2）由题意bn =anf （an）=（n+1）•m n+1，当m=3时，bn =（n+1）•3n+1，∴Sn=2•32+3•33+4•34+…+（n+1）•3n+1…①，①式两端同乘以3得，3Sn=2•33+3•34+4•35+…+（n+1）•3n+2…②②﹣①并整理得，2Sn=﹣2•32﹣33﹣34﹣35﹣…﹣3n+1+（n+1）•3n+2=﹣32﹣（32+33+34+35+…+3n+1）+（n+1）•3n+2=﹣32﹣+（n+1）•3n+2=﹣9+（1﹣3n）+（n+1）•3n+2=（n+）3n+2﹣．∴Sn=（2n+1）3n+2﹣．（3）由题意cn =f （an）•lg f （an）=m n+1•lgm n+1=（n+1）•m n+1•lgm，要使cn ≥cn+1对一切n∈N*成立，即（n+1）•m n+1•lgm≥（n+2）•m n+2•lgm，对一切n∈N*成立，当m＞1时，lgm＞0，所以n+1≥m（n+2），即m≤对一切n∈N*成立，因为=1﹣的最小值为，所以m≤，与m＞1不符合，即此种情况不存在．②当0＜m＜1时，lgm＜0，所以n+1≤m（n+2），即m≥对一切n∈N*成立，所以≤m＜1．}中每一项恒不小于它后面的项．综上，当≤m＜1时，数列{cn。

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