(概率论与数理统计茆诗松)第5章统计量及其分布

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第6章 参数估计

6.1 复习笔记

一、点估计的概念与无偏性

1．点估计及无偏性

（1）定义：设x1，…，xn是来自总体的一个样本，用于估计未知参数θ的统计量θ∧＝θ∧

（x1，…，xn）称为θ的估计量，或称为θ的点估计，简称估计．

（2）定义：设θ∧＝θ∧（x1，…，xn）是θ的一个估计，θ的参数空间为Θ，若对任意的

θ∈Θ，有Eθ（θ∧）＝θ，则称θ∧是θ的无偏估计，否则称为有偏估计． 注意：

①当样本量趋于无穷时，有E（sn2）→σ2，称sn2为σ2的渐近无偏估计，这表明当样

本量较大时，sn2可近似看作σ2的无偏估计．

②若对sn2作如下修正：

则s2是总体方差的无偏估计．这个量常被采用．

③无偏性不具有不变性．

即若θ

∧是θ的无偏估计，一般而言，其函数g（θ∧）不是g（θ）的无偏估计，除非g（θ）是θ的线性函数．

④并不是所有的参数都存在无偏估计，当参数存在无偏估计时，我们称该参数是可估的，

否则称它是不可估的． 22211()11nniinssxxnn

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2．有效性

定义：设θ∧1，θ∧2是θ的两个无偏估计，如果对任意的θ∈Θ有Var（θ∧1）≤Var（θ∧2），

且至少有一个θ∈Θ使得上述不等号严格成立，则称θ∧1比θ∧2有效．

二、矩估计及相合性

1．替换原理和矩法估计

替换原理指：

（1）用样本矩去替换总体矩，这里的矩可以是原点矩也可以是中心矩．

（2）用样本矩的函数去替换相应的总体矩的函数．

2．概率函数已知时未知参数的矩估计

设总体具有已知的概率函数p（x；θ1，…，θk），（θ1，…，θk）∈Θ是未知参数或参

数向量，x1，…，xn是样本．假定总体的k阶原点矩uk存在，则对所有的j（0＜j＜k）uj都存在，若假设θ1，…，θk能够表示成u1，…，uk的函数θj＝θj（u1，…，uk），则可给出

一、引言

概率论与数理统计是考研数学中的重要组成部分，对于理工科专业考生而言，这部分内容尤为重要。为了帮助考生更好地复习考研概率论与数理统计，本文将为您推荐几本优秀的教材，并提供相应的使用指南。

二、教材推荐

1. 《概率论与数理统计教程》（茆诗松）

本书为普通高等教育“十二五”规划教材，由著名概率论与数理统计专家茆诗松教授主编。全书共八章，前四章为概率论部分，后四章为数理统计部分。本书注重基本概念和统计思想的讲解，强调各种方法的应用，适合初次接触概率统计的读者阅读。

2. 《概率论与数理统计》（王松桂）

本书是一本高等学校非数学专业的概率论与数理统计教材，共9章，内容包括随机事件、随机变量、随机向量、数字特征、极限定理、样本与统计量、参数估计、假设检验，回归分析与方差分析。本书注重概率统计概念的阐释，并注意举例的多样性。

3. 《21世纪高等院校教材：概率论与数理统计》（经济、管理类）

本书根据教育部颁布的经济、管理本科专业《经济数学》教学大纲编写，共11章。内容包括随机事件及其概率、随机变量及其分布、多维随机向量及其概率分布、随机变量（向量）的数字特征、大数定律与中心极限定理等概率论基础，以及数理统计的基本概念、参数估计、假设检验、方差分析、回归分析等数理统计基础。本书注重基本知识、基本技能、基本方法的训练以及实际应用能力的培养。

4. 《新核心理工基础教材：概率论与数理统计学习指导与习题精解》

本书紧扣教材，共分10章，第1章至第5章是概率论，第6章至第10章是数理统计。每一章由精选习题、习题精解、阅读与提高三部分组成，并将一些新的研究成果融入本书之中。本书可作为高等院校统计学专业以及理工类等其他专业师生阅读参考，也可作为考研参考用书。

三、使用指南

1. 熟悉教材内容：在复习过程中，要全面了解教材内容，掌握各个章节的基本概念、定理和公式。 2. 注重基础知识：概率论与数理统计是一门基础学科，要注重基础知识的学习，为后续的深入学习打下坚实的基础。

《茆诗松 高等数理统计 指数分布族的可微》

一、茆诗松简介

茆诗松，我国著名数学家、统计学家，数理统计领域的专家。他曾任教于清华大学，并在数理统计领域取得了很高的成就。他对指数分布族的可微性进行了深入研究，为统计学理论的发展做出了杰出贡献。

二、高等数理统计

高等数理统计是数学与统计学相结合的学科，旨在运用数学方法来解决统计学中的问题。在这个领域，研究者们探讨各种分布族的性质和特点，以及它们在实际问题中的应用。茆诗松是该领域的专家之一，他对指数分布族的可微性做出了杰出贡献。

三、指数分布族的可微性

指数分布族是概率论中重要的一类分布族，它包括了指数分布、伽玛分布、卡方分布等。茆诗松针对这些分布族的可微性进行了深入研究。可微性是指在一定范围内，函数存在导数的性质。对于指数分布族来说，它的可微性对于推导概率密度函数、累积分布函数等都有重要意义。

四、我的个人理解

在我看来，茆诗松对指数分布族的可微性的研究不仅是对数理统计领域的推动，也对实际问题的应用具有重要意义。通过深入研究指数分布族的可微性，我们可以更好地理解它们在各种统计问题中的作用，进而应用到实际工作中。

五、总结与回顾

茆诗松在高等数理统计领域的研究，特别是指数分布族的可微性方面的深入探讨，为统计学理论的发展做出了重要贡献。通过他的研究，我们对指数分布族的性质和特点有了更深入的理解，也为解决实际问题提供了重要的理论支持。

在这篇文章中，我们对茆诗松的研究方向进行了简要介绍，重点探讨了他在指数分布族的可微性方面的研究成果。也共享了我个人对这一主题的理解和观点。希望这篇文章能够帮助您更全面、深刻地理解高等数理统计中指数分布族的重要性。茆诗松先生是一位在数理统计领域有着非常高成就的专家，在他的研究中，他关注的是指数分布族的可微性，这一方面对于统计学理论的发展有着极其重要的意义。

指数分布族是概率论中的一个重要分布族，包括了指数分布、伽玛分布、卡方分布等。这些分布族在实际问题中有着广泛的应用，比如在生存分析、风险管理、医学统计等领域都有着重要的作用。对于这些分布族的性质和特点进行深入研究，能够为我们更好地理解它们在实际问题中的作用，进而应用到实际工作中。

1第七章 假设检验

习题7.1

1． 设X

1 , …, X

n是来自N

(µ

, 1)

的样本，考虑如下假设检验问题

H

0：µ

= 2 vs H

1：µ

= 3， 若检验由拒绝域为}6.2{≥=xW

确定．

（1）当n = 20时求检验犯两类错误的概率；

（2）如果要使得检验犯第二类错误的概率β

≤ 0.01，n最小应取多少？

（3）证明：当n → ∞

时，α

→ 0，β

→ 0．

解：（1）犯第一类错误的概率为

0037.0)68.2(168.2

20126.2

1}2|6.2{}|{

0=Φ−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=−

≥−

==≥=∈=

nX

PXPHWXPµ

µα

，

犯第二类错误的概率为

0367.0)79.1(79.1

20136.2

1}3|6.2{}|{

1=−Φ=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−=−

<−

==<=∉=

nX

PXPHWXPµ

µβ

；

（2

）因01.0)4.0(4.0

136.2

1}3|6.2{≤−Φ=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−=−

<−

==<=nn

nnX

PXPµ

µβ

，

则99.0)4.0(≥Φn

，33.24.0≥n

，n ≥ 33.93，故n至少为34；

（3

）)(0)6.0(16.0

126.2

1}2|6.2{∞→→Φ−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=−

≥−

==≥=nnn

nnX

PXPµ

µα

，

)(0)4.0(4.0

136.2

1}3|6.2{∞→→−Φ=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−=−

<−

==<=nnn

nnX

PXPµ

µβ

．

2． 设X

1 , …, X

10是来自0-1总体b

(1, p)

的样本，考虑如下检验问题

H

0：p = 0.2 vs H

1：p = 0.4， 取拒绝域为}5.0{≥=xW

，求该检验犯两类错误的概率．

解：因X ~ b

(1, p)

，有),10(~1010

1pbXX

ii=∑

=，

则0328.08.02.0}2.0|510{}2.0|5.0{}|{10

510

100=⋅⋅==≥==≥=∈=∑

=−

kkkk

CpXPpXPHWXPα

，

6331.06.04.0}4.0|510{}4.0|5.0{}|{4

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茆诗松《概率论与数理统计教程》第3版笔记和课后习题含考研真题详解

第4章大数定律与中心极限定理

4.1复习笔记

一、随机变量序列的两种收敛性

1．依概率收敛（P

nXx

）

如果PP

nnXaYb，

则有

①P

nnXYab

；

②P

nnXYab

；

③(0)P

nnXYabb

。

2．按分布收敛、弱收敛（()()W

nFxFx

）

（1）XXXXL

nP

n

。

（2）定理：c

nPX

的充要条件是：cXL



n（c为常数）。

二、特征函数

1．特征函数

2/53

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表4-1-1常用分布的特征函数

2．特征函数的性质

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（1）|φ（t）|≤φ（0）＝1。

（2）()()φtφt

，()φt

表示φ（t）的共轭。

（3）y＝aX＋b，φ

Y（t）＝eibtφ

X（at）（a、b为常数）。

（4）X与Y相互独立，φ

X＋Y（t）＝φ

x（t）φ

Y（t）。

（5）φ（k）（0）＝ikE（Xk）。

①E（X）＝φ′（0）/i；

②Var（X）＝－φ″（0）＋[φ′（0）]2。

（6）一致连续性：φ（t）在（－∞，∞）上一致连续。

（7）非负定性：φ（t）是非负定的，即对任意正整数n及n个实数t

0，t

1，…，t

n和

n个复数z

0，z

1，…，z

n，有

11()0nn

kjkj

kjttzz



。

（8）唯一性定理：随机变量的分布函数由其特征函数唯一决定。

三、大数定律

1．伯努利大数定律

（1）设S

n为n重伯努利试验中事件A发生的次数，P为每次试验中A出现的概率，

则对任意的ε＞0，有()1lim

n

nS

Pp

n



。

（2）伯努利大数定律说明：随着n增大，频率稳定于概率。

2．常用的几个大数定律

（1）切比雪夫大数定律

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第6章　参数估计

一、点估计的概念与无偏性

1．设x1，x2，x3是取自某总体的容量为3的样本，试证下列统计量都是该总体均值

μ的无偏估计，在方差存在时指出哪一个估计的有效性最差？

（1）

1123111=

236xxx

（2）

2123111=

333xxx

（3）

3123112=

663xxx

解：先求三个统计量的数学期望，

1123111111()=()()()

236222EExExEx

2123111111()=()()()

333333EExExEx

3123112112()=()()()

663663EExExEx这说明它们都是总体均值μ的无偏估计，下面求它们的方差，不妨设总体的方差为σ2，则

222211231111117()=()()()

4936493618VarVarxVarxVarx

222221231111111()=()()()

9999993VarVarxVarxVarx

222231231141141()=()()()

36369363692VarVarxVarxVarx

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不难看出，从而的有效性最差．

123()<()<()VarVarVar

3

由此可推测。当用样本的凸组合估计总体均值时，样本均值是最有效的。

1n

iiiax

x

2．x1，x2，…，xn是来自Exp(λ)的样本，已知为1/λ的无偏估计，试说明1/是xx

否为λ的无偏估计．

解：因为x1，x2，…，xn服从Exp(λ)，所以y＝~Ga（n，λ），相应的密度函数

1n

iix



为

1()exp()y0

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第2章 随机变量与分布

一、选择题

1．设随机变量X与Y相互独立，且都服从正态分布N（μ，σ2），则P{|X－Y|＜1}（ ）。

[数一2019研]

A．与μ无关，而与σ2有关

B．与μ有关，而与σ2无关

C．与μ，σ2都有关

D．与μ，σ2都无关

【答案】A

【解析】因为X，Y相互独立且都服从N（μ，σ2），记Z＝X－Y，则Z服从N（0，2σ2）

分布。P{|Z|＜1}只与σ2有关，因此P{|X－Y|＜1}与μ无关，而与σ2有关。故选A。

2．设随机变量X的概率密度f（x）满足f（1＋x）＝f（1－x），且

2

0d0.6fxx

则P{X＜0}＝（ ）。[数一2018研]

A．0.2

B．0.3

C．0.4

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D．0.5

【答案】A

【解析】由f（1＋x）＝f（1－x），知f（x）的图像关于x＝1对称，利用特殊值法：

将f（x）看成随机变量X～N（1，σ2）的概率密度，根据正态分布的对称性，P{X＜0}＝0.2。

3．设随机变量X～N（μ，σ2）（σ＞0），记p＝P{X≤μ＋σ2}，则（ ）。[数一2016

研]

A．p随着μ的增加而增加

B．p随着σ的增加而增加

C．p随着μ的增加而减少

D．p随着σ的增加而减少

【答案】B

【解析】因为p＝P{X≤μ＋σ2}＝P{（X－μ）/σ≤σ}＝Φ（σ），所以p的大小与μ无关，

随着σ的增大而增大。

4．设连续型随机变量X

1，X

2相互独立，且方差均存在，X

1，X

2的概率密度分别为f

1

（x），f

2（x），随机变量Y

1的概率密度为

1121

()(()())

2Yfyfyfy，随机变量Y2

＝（X

1＋X

2）/2，则（ ）。[数一2014研]

A．EY

1＞EY

2，DY

1 / 42十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 圣才电子书第4章　大数定律与中心极限定理

一、随机变量序列的两种收敛性

1．如果，且

试证：P（X＝Y）＝1．

证：对任意的，有故当时，有

即对任意的，有，于是有

从而P（X＝Y）＝1成立，结论得证．

2．如果

试证：

（1）

（2）证：（1）因为故当时，有

即成立，进一步由可得，所以又有

2 / 42十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 圣才电子书成立．（2）先证明对任意的，取M足够大（譬如），使有成立，对取定的M，存在N，当n＞N时，有这时有

从而有由的任意性知，同理可证由上面（1）得

即成立．

3．如果是直线上的连续函数，试证：

证：若g（x）是m次多项式函数，即，则由上一题知有下证一般情况，对任意的，取M充分大，使有又选取N1充分大，使当时，有，于是有

对取定的M，因为g（x）是连续函数，所以可以用多项式函数去逼近g（x），并且在任意

有限区间上还可以是一致的，因而存在m次多项式，使得当

3 /

42十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 圣才电子书时，有对取定的m次多项式，因为，所以存在，使当时，有又因为当时，有又因为且

所以从而有

由的任意性即知，结论得证．4．如果，则对任意常数c，有

证：记，则g（x）是连续函数，由上一题即可得

4 / 42十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 圣才电子书5．试证：的充要条件为：时，有证：先证充分性，令，则，故f（x）是x的严格单调增函数，因而对任意的，有于是对任意的，当时，有参见2.3第12题．

充分性得证．

下证必要性，对任意的，令，因为，故存在充分

大的N，使得当n≥N时，有，于是有

由的任意性知，当时，有结论得证．

6．设D（x）为退化分布：试问下列分布函数列的极限函数是否仍是分布函数？（其中n＝1，2，…）

1 / 136 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 圣才电子书 第7章 假设检验

7.1 复习笔记

一、假设检验的基本思想与概念

1．假设检验的基本思想

（1）通过样本对一个假设作出“对”或“不对”的具体判断，检验的结果若是否定该

命题，则称拒绝这个假设，否则就称为接受该假设．

（2）若假设可用一个参数的集合表示，该假设检验问题称为参数假设检验问题，否则

称为非参数假设检验问题．

2．假设检验的基本步骤

（1）建立假设；

（2）选择检验统计量，给出拒绝域形式；

注意：一个拒绝域W唯一确定一个检验法则，一个检验法则也唯一确定一个拒绝域．

（3）选择显著性水平

第一类错误：命题本为真，却由于随机性落入了拒绝域，而否定了命题．（弃真）

第二类错误：命题本为假，由于随机性落入了接受域，而接受了命题．（取伪）

犯第一类错误概率：α＝pθ{（X∈W）}，θ∈Θ0，也记为p{X∈W|H0}；

犯第二类错误概率：β＝pθ{（X∈W＿）}，θ∈Θ1，也记为p{X∈W＿|H1}． 注意：α，β的控制是相反的，即减小α，会加大β．

①势函数：设检验问题H0：θ∈Θ0 vs H1：θ∈Θ1的拒绝域为W，则样本观测值X落

2 / 136 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 圣才电子书 在拒绝域W内的概率称为该检验的势函数，记为

g（θ）＝pθ（X∈W），θ∈Θ＝Θ0∪Θ1

②显著性检验：对检验问题H0：θ∈Θ0 vs H1：θ∈Θ1，如果一个检验满足对任意的θ

∈Θ0，都有g（θ）≤α，则称该检验是显著性水平为α的显著性检验，简称水平为α的检

验．

（4）给出拒绝域

依据题意分析，确定统计量来给出拒绝域．

（5）做出判断

有了明确的拒绝域W后，根据样本观测值我们可以作出判断，决定假设是否成立．

3．检验的p值

定义：在一个假设检验问题中，利用样本观测值能够作出拒绝原假设的最小显著性水平，

1第二章 随机变量及其分布

上一章研究内容： 事件（集合A）→ 概率（数）．

本章将用函数研究概率，函数是数与数的关系，即需要用数反映事件——随机变量．

事件（数）→ 概率（数）．

§2.1 随机变量及其分布

2.1.1. 随机变量的概念

随机试验的样本点有些是定量的：如掷骰子掷出的点数，电子元件使用寿命的小时数．有些是定性的：

如掷硬币正面或反面，检查产品合格或不合格．

对于定性的结果也可以规定其数量性质：如掷硬币，正面记为1，反面记为0；检查产品，合格记为1，

不合格记为0．

随机试验中，可将每一个样本点ω

都对应于一个实数X

(ω

)，称为随机变量（Random Variable），常用

大写英文字母X, Y, Z

等表示随机变量，而随机变量的具体取值通常记为小写英文字母x, y, z．

对于随机变量首先应掌握它的全部可能取值：

如掷硬币，

⎩⎨⎧

=

反面正面

,0,1

X

，X的全部可能取值为0, 1；

掷两枚骰子，X表示掷出的点数之和，X的全部可能取值为2, 3, 4, … , 12 ；

观察某商店一小时内的进店人数X，X的全部可能取值为0, 1, 2, … ；

电子元件使用寿命，用X表示使用的小时数，X的全部可能取值为 ),0[∞+

；

一场足球比赛（90分钟），用X表示首次进球时间（分钟），若为0:0，记X = 100，

X的全部可能取值为 (0, 90 )∪{100}；

注意：1. 每个样本点都必须对应于一个实数，

2．不同样本点可以对应于同一个实数，

3．随机变量的每一取值或取值范围都表示一个事件．

应掌握将随机变量的取值或取值范围描述为事件，又能将事件用随机变量表达的方法．

例 掷一枚骰子，用X表示出现的点数，

则 X = 1表示出现1点；X > 4表示点数大于4，即出现5点或6点；X ≤ 0为不可能事件．

又出现奇数点，即X = 1, 3, 5；点数不超过3，即X ≤ 3．

例 X

表示商店一天中某商品的销售件数（顾客的需求件数），

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第3章 多维随机变量及其分布

3.1 复习笔记

一、多维随机变量联合分布的性质（见表3-1-1）

表3-1-1 联合分布的性质

二、边际分布与随机变量的独立性

1．边际分布（见表3-1-2）

表3-1-2 边际分布

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2．随机变量间的独立性

对任意n个实数X1，X2，…，Xn：若12

=1(,,,)=()n

nii

iFxxxFxL，则X1，X2，…，

Xn相互独立。

离散随机变量：若1122

1(=,=,,)()n

nnii

iPXxXxXxPXx

L，则X1，

X2，…，Xn相互独立。

连续随机变量：若12

1(,,,)()n

nii

ipxxxpx

L，则X1，X2，…，Xn相互独立。

三、多维随机变量函数的分布

1．最大值与最小值的分布

（1）最大值分布：



12

12

1()(max,,,)

=(,,,)=()Yn

n

niFyPXXXy

PXyXyXyFy

L

L

（2）最小值分布：

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

12

12

1(y)(min,,,)

1(min,,,>)1[1()]Yn

n

ni

iFPXXXy

PXXXyFy



L

L

2．特殊分布的可加性

（1）二项分布的可加性：X～b（n，p），Y～b（m，p），且X与Y独立，则Z＝X＋

Y～b（n＋m，p）。

（2）伽马分布的可加性：X～Ga（α1，λ），Y～Ga（α2，λ），且X与Y独立，则Z＝

X＋Y～Ga（α1＋α2，λ）。

（3）m个独立同分布的指数变量之和为伽玛变量，即

()*()**()=Ga(m,)

mExpExpExpL1444442444443

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第7章 假设检验

一、选择题

1．在假设检验中，如果待检验的原假设为H

0，那么犯第二类错误是指（ ）。

A．H

0成立，接受H

0

B．H

0不成立，接受H

0

C．H

0成立，拒绝H

0

D．H

0不成立，拒绝H

0

【答案】B

【解析】直接应用“犯第二类错误”＝“取伪”＝“H

0不成立，接受H

0的定义，B项

正确。

2．关于总体X的统计假设H

0属于简单假设的是（ ）。

A．X服从正态分布，H

0：EX＝0

B．X服从指数分布，H

0：EX≥1

C．X服从二项分布，H

0：DX＝5

D．X服从泊松分布，H

0：DX＝3

【答案】D

【解析】A、B、C三项的假设都不能完全确定总体的分布，所以是复合假设，而D项

的假设可以完全确定总体分布，因而是简单假设。

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3．设X

1，X

2， …，X

16为正态总体X～N（μ，4）的简单随机样本，设H

0：μ＝0，

H

1：μ≠0的拒绝域为{|X＿|≥1/2}，则犯第一类错误的概率为（ ）。

A．2Ф（1）－1

B．2－2Ф（1）

C．2－2Ф（1/2）

D．2Ф（1/2）－1

【答案】B

【解析】由题设可知，X—～N（μ，1/4），则0,1

1

4X

N

～

，当u＝0时，2X—～N

（0，1）。犯第一类错误的概率为P{|X—|≥1/2|μ＝0}＝P{|2X—|≥1}＝1－P{|2X—|＜1}＝1－P{－1

＜2X—＜1}＝1－Ф（1）＋Ф（－1）＝2－2Ф（1），故选B。

二、填空题

1．设X

1，X

2，…，X

n是来自正态总体N（μ，σ2）的简单随机样本，其中参数σ2未

知，

1n

i

iXX



，22

1

1()n

i

iQX



，22

2

1()n

i

iQXX



，对假设H0：σ2＝σ

02，

在μ已知时用χ2检验统计量为______；在μ未知时使用χ2检验统计量为______。

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第7章 假设检验

一、假设检验的基本思想与概念

1．设x

1，…，x

n是来自N（μ，1）的样本，考虑如下假设检验问题

若检验由拒绝域为确定．

（1）当n＝20时求检验犯两类错误的概率；

（2）如果要使得检验犯第二类错误的概率，n最小应取多少？

（3）证明：当时，

解：（1）由定义知，犯第一类错误的概率为

这是因为在H

0成立下，，而犯第二类错误的概率为

这是因为在H

1成立下．

（2）若使犯第二类错误的概率满足

即

，或

，查表得：

，由此给出

n

≥

33.93

，因而凡最小应取

34

，才能使检验犯第二类错误的概率

β

≤

0.01

．

（3）在样本量为n时，检验犯第一类错误的概率为

当n→∞时．

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检验犯第二类错误的概率为

当n→∞时，，即β→0．

注：从这个例子可以看出，要使得α与β都趋于0，必须n→＋∞才可实现，这一结论

在一般场合仍成立，即要使得α与β同时很小，必须样本量n很大．由于样本量n很大在

实际中常常是不可行的，故一般情况下人们不应要求α与β同时很小．

2．设x

1，…，x

10是来自0-1总体b（1，p）的样本，考虑如下检验问题

取拒绝域为，求该检验犯两类错误的概率．

解：，则，于是犯两类错误的概率分别为

3．设x

1，…，x

16是来自正态总体N（μ，4）的样本，考虑检验问题

拒绝域取为，试求c使得检验的显著性水平为0.05，并求该检验在

μ＝6.5处犯第二类错误的概率．

解：

在

H

0

为真的条件下，

，因而由

得

也就是

，所以当c＝0.98时，检验的显著性水平为0.05．该

检验在μ＝6.5处犯第二类错误的概率为

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4．设总体为均匀分布U（0，θ），x

1第三章 多维随机变量及其分布

习题3.1

1． 100件商品中有50件一等品、30件二等品、20件三等品．从中任取5件，以X、Y分别表示取出的5

件中一等品、二等品的件数，在以下情况下求

(X, Y

)

的联合分布列．

（1）不放回抽取；（2）有放回抽取．

解：（1）(X, Y

)服从多维超几何分布，X, Y的全部可能取值分别为0, 1, 2, 3, 4, 5， 且ijijiji

jYiXP−==

⎟⎟

⎠⎞

⎜⎜

⎝⎛⎟⎟

⎠⎞

⎜⎜

⎝⎛

−−⎟⎟

⎠⎞

⎜⎜

⎝⎛

⎟⎟

⎠⎞

⎜⎜

⎝⎛

===5,,0;5,4,3,2,1,0,

51005203050

},{L

，

故

(X, Y

)

的联合分布列为

000000281.0500000918.00612.040001132.01562.00495.03000661.01416.00927.00185.0200182.00539.00549.00227.00032.010019.00073.00102.00066.00019.00002.00543210

XY

（2）(X, Y

)服从多项分布，X, Y的全部可能取值分别为0, 1, 2, 3, 4, 5，

且iji

jijijYiXPjiji

−==×××

−−⋅⋅===−−

5,,0;5,4,3,2,1,0,2.03.05.0

)!5(!!!5

},{5

L

，

故

(X, Y

)

的联合分布列为

0000003125.05000009375.00625.040001125.015.005.03000675.0135.009.002.02002025.0054.0054.0024.0004.0100243.00081.00108.00072.00024.000032.00543210

XY

2． 盒子里装有3个黑球、2个红球、2个白球，从中任取4个，以X表示取到黑球的个数，以Y表示取

到红球的个数，试求P{X = Y

}．

解：

359

353

356

4722

《概率统计A3》教学大纲

（2013版）

课程编码：1510311303 课程名称：概率统计A3 学时/学分：48/3 先修课程：《初等数学》、《高等数学》、《线性代数》 适用专业：机械设计制造及其自动化、材料成型及控制工程、车辆工程、物理学、电子信

息科学与技术、土木工程、建筑环境与能源应用、交通工程等专业 开课教研室：大学数学教研室

执笔：毛新娜

审定：王仁举 赵国喜

《概率统计A3》教学大纲

（2013版）

课程编码：1510311303 课程名称：概率统计A3 学时/学分：48/3 先修课程：《初等数学》、《高等数学》、《线性代数》 适用专业：机械设计制造及其自动化、材料成型及控制工程、车辆工程、物理学、电子信

息科学与技术、土木工程、建筑环境与能源应用、交通工程等专业 开课教研室：大学数学教研室

执笔：

审定： 一、课程性质与任务

1．课程性质：本课程是机械设计制造及其自动化、材料成型及控制工程、车辆工程、物理

学、电子信息科学与技术、土木工程、建筑环境与能源应用、交通工程等专业一门重要的学科基

础课，是这些专业学生的必修课。

2．课程任务：本课程兼具基础性和应用性特征。教学目的包括两个方面：第一，通过本课

程的学习，使学生掌握概率论与数理统计的基本概念，了解它的基本理论和方法，从而使学生初

步掌握处理随机现象的基本思想和方法，培养学生运用概率统计方法分析和解决实际问题的能

力。同时，为后续课程的学习打下坚实的基础。第二，使学生掌握概率与数理统计处理随机现象

中所蕴涵的带有普遍性的思想和方法，以便为学生分析和解决实际问题打下坚实的基础。 二、课程教学基本要求

1．随机事件及其概率

(1)理解随机事件的概念;

(2)掌握事件之间的关系与运算, 掌握概率的基本性质和应用性质进行概率计算;

(3)了解概率的定义.

2．条件概率及事件的独立性

(1)理解条件概率和事件的独立性的概念;

(2)掌握概率的加法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式以及应用这些公式进行概率

1第四章 大数定律与中心极限定理

习题4.1

1． 如果XXP

n→

，且YXP

n→

．试证：P{X = Y

} = 1．

证：因

|

X − Y

| = | −(X

n − X

) + (X

n − Y

)| ≤ |

X

n − X

| + |

X

n − Y

|，对任意的ε

> 0，有

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

≥−+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

≥−≤≥−≤

2||

2||}|{|0εε

ε

YXPXXPYXP

nn，

又因XXP

n→

，且YXP

n→，有0

2||lim=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

≥−

+∞→ε

XXP

n

n，0

2||lim=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

≥−

+∞→ε

YXP

n

n，

则P{|

X − Y

| ≥ ε

} = 0，取

k1

=ε，有01

||=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

≥−

kYXP，即11

||=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

<−

kYXP

， 故11

||lim1

||}{

1=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

<−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

<−==

+∞→+∞

=kYXP

kYXPYXP

k

kI

．

2． 如果XXP

n→

，YYP

n→

．试证：

（1）YXYXP

nn+→+

；

（2）XYYXP

nn→

．

证：（1）因

|

(X

n + Y

n) − (X + Y

)

| = | (X

n − X

) + (Y

n − Y

)| ≤ |

X

n − X

| + |

Y

n − Y

|，对任意的ε

> 0，有

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

≥−+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

≥−≤≥+−+≤

2||

2||}|)()({|0εε

ε

YYPXXPYXYXP

nnnn，

又因XXP

n→

，YYP

n→，有0

2||lim=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

≥−

+∞→ε

XXP

n

n，0

2||lim=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

≥−

+∞→ε

YYP

n

n，

故0}|)()({|lim=≥+−+

+∞→ε

YXYXP

nn

n，即YXYXP

nn+→+

；

（2）因

|

X

nY

n − XY | = | (X

n − X

)Y

n + X

(Y

n − Y

) | ≤ |

X

n − X

| ⋅ | Y

n | + | X | ⋅ |

Y

n − Y

|，对任意的ε

> 0，有

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧