辅导3-函数-y=Asin(ωx+φ)的图象和变换

考点十八 函数y =A sin(ωx +φ)的图象和性质知识梳理1．五点法作y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图用“五点法”作图，就是令ωx ＋φ取下列5个特殊值：0, π2, π, 3π2, 2π，通过列表，计算五点的坐标，描点得到图象 2．三角函数图象变换3．函数y =A sin(ωx +φ)的几个概念若函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A ＞0，ω＞0，x ∈(－∞，＋∞))表示一个振动量时，则A 叫做振幅，T ＝2πω叫做周期，f ＝1T叫做频率，ωx ＋φ叫做相位，φ叫做初相．典例剖析题型一 三角函数的图象变换例1 (2015山东文)要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象________．(填序号)① 向左平移π12个单位 ②向右平移π12个单位 ③向左平移π3个单位 ④向右平移π3个单位答案 ②解析 ∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3＝sin ⎣⎡⎦⎤4⎝⎛⎭⎫x －π12， ∴要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位．变式训练 把函数y ＝sin(x ＋π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再将图象向右平移π3个单位长度，那么所得图象的一条对称轴方程为________．答案 x ＝－π2解析 将y ＝sin(x ＋π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin(2x＋π6)；再将图象向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝sin[2(x －π3)＋π6]＝sin(2x －π2)，故x ＝－π2是其图象的一条对称轴方程．解题要点 图象平移时要注意平移量的求解，由y ＝sin x 的图象变换到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，两种变换区别在于：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移量是|φ|ω(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值． 题型二 三角函数的五点法作图 例2 设函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 (1)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；(2)说明函数f (x )的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到的． 解析 (1) 列表，描点画出图象：(2) 方法一 把y ＝sin x 的图象上所有的点向左平移π3个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象，再把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象上的点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，最后把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象． 方法二 将y ＝sin x 的图象上每一点的横坐标x 缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到y ＝sin2x 的图象；再将y ＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位长度，得到y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象；再将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象． 解题要点 (1)五点法作简图：用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．(2)图象变换：由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”． 题型三 由图象求y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例3 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，－π2<φ<π2，x ∈R 的部分图象如图所示． (1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π，－π6时，求f (x )的取值范围．解析 (1)由题中图象得A ＝1，T 4＝2π3－π6＝π2，所以T ＝2π，则ω＝1.将点⎝⎛⎭⎫π6，1代入得sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝1，又－π2<φ<π2，所以φ＝π3，因此函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3. (2)由于－π≤x ≤－π6，－2π3≤x ＋π3≤π6，所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3≤12， 所以f (x )的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1，12. 解题要点 确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)的步骤和方法 (1)求A ，b ：确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m2；(2)求ω：确定函数的周期T ，则可得ω＝2πT ；(3)求φ：常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下： “第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)时ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)时ωx ＋φ＝3π2；“第五点”时ωx ＋φ＝2π.题型四 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称性、周期性、奇偶性 例4 函数f (x )＝cos(2x －π6)的最小正周期是________．答案 π解析 最小正周期为T ＝2πω＝2π2＝π.变式训练 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2(x ∈R )，下面结论错误的是________．(填序号) ① 函数f (x )的最小正周期为π ② 函数f (x )是偶函数③ 函数f (x )的图象关于直线x ＝π4对称④ 函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数 答案 ③解析 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2＝－cos 2x ，故其最小正周期为π，故①正确；易知函数f (x )是偶函数，②正确；由函数f (x )＝－cos 2x 的图象可知，函数f (x )的图象不关于直线x ＝π4对称，③错误；由函数f (x )的图象易知，函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数，④正确，故选③. 解题要点 1.三角函数的奇偶性的判断技巧：首先要知道基本三角函数的奇偶性，再根据题目去判断所求三角函数的奇偶性；也可以根据图象做判断．2.求三角函数周期的方法： ①利用周期函数的定义．②利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.③利用图象． 3.三角函数的对称性：正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形，正切函数的图象只是中心对称图形，应熟记它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用．另外函数y ＝A sin(ωx ＋φ)、余弦函数y ＝A cos(ωx ＋φ)在对称轴处必取极值±A ，在对称轴处必取0，借助这一性质可快速解题．当堂练习1．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0，－π2＜φ＜π2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是________．答案 2，－π3解析 由图象可得，3T 4＝5π12－⎝⎛⎭⎫－π3＝3π4， ∴T ＝π，则ω＝2ππ＝2，再将点⎝⎛⎭⎫5π12，2代入f (x )＝2sin(2x ＋φ)中得，sin ⎝⎛⎭⎫5π6＋φ＝1， 令5π6＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ， 解得，φ＝2k π－π3，k ∈Z ，又∵φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，则取k ＝0，∴φ＝－π3. 2．(2014·辽宁卷) 将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数________．(填序号)①在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递减 ②在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增③在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递减 ④在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递增 答案 ②解析 由题可知，将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度得到函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －23π的图象，令－π2＋2k π≤2x －23π≤π2＋2k π，k ∈Z ，即π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，k ∈Z 时，函数单调递增，即函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －23π的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z ，可知当k ＝0时，函数在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增．3. (2014·四川卷)为了得到函数y ＝sin (2x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点________．(填序号)①向左平行移动12个单位长度 ②向右平行移动12个单位长度③向左平行移动1个单位长度 ④向右平行移动1个单位长度 答案 ①解析 因为y ＝sin(2x ＋1)＝sin2⎝⎛⎭⎫x ＋12，所以为得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，只需要将y ＝sin 2x 的图象向左平行移动12个单位长度．4．(2014·安徽卷)若将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是________． 答案3π8解析 将f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象向右平移φ个单位，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－2φ的图象，由该函数的图象关于y 轴对称，可知sin ⎝⎛⎭⎫π4－2φ＝±1，即sin ⎝⎛⎭⎫2φ－π4＝±1，故2φ－π4＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π2＋3π8，k ∈Z ，所以当φ>0时，φmin ＝3π8.5．(2015新课标Ⅰ文)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为________．答案 ⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 解析 由已知图象可求得ω与φ的值，然后利用余弦函数的单调区间求解． 由图象知，周期T ＝2⎝⎛⎭⎫54－14＝2， ∴2πω＝2，∴ω＝π. 由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫πx ＋π4. 由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，k ∈Z ，得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z . 课后作业一、 填空题1．将函数f (x )＝sin 2x 的图象向左平移π12个单位，得到函数g (x )＝sin(2x ＋φ)0＜φ＜π2的图象，则φ等于________. 答案 π6解析 由题意g (x )＝sin 2(x ＋π12)＝sin(2x ＋π6)，又g (x )＝sin(2x ＋φ)，0＜φ＜π2，∴φ＝π6.2．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为________. 答案 π4解析 由函数横向平移规律“左加右减”则y ＝sin(2x ＋φ)向左平移π8个单位得y ＝sin(2x ＋π4＋φ).由y ＝sin(2x ＋π4＋φ)为偶函数得π4＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，则φ＝π4＋k π，k ∈Z ，则φ的一个可能值为π4.3．下列函数中，周期为π，且在[π4，π2]上为减函数的是________.①y ＝sin(2x ＋π2) ②y ＝cos(2x ＋π2) ③y ＝sin(x ＋π2) ④y ＝cos(x ＋π2)答案 ①解析 对于选项①，注意到y ＝sin(2x ＋π2)＝cos2x 的周期为π，且在[π4，π2]上是减函数，故选①.4．函数y ＝cos x (x ∈R )的图象向左平移π2个单位后，得到函数y ＝g (x )的图象，则g (x )的解析式应为________. 答案 －sin x解析 由图象的平移得g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－sin x . 5．已知函数y ＝cos(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则________.① ω＝1，φ＝2π3② ω＝1，φ＝－2π3③ ω＝2，φ＝2π3④ ω＝2，φ＝－2π3答案 ④解析 由题图可知14T ＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π，又T ＝2πω，∴ω＝2，又f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π3，1，∴cos ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝1，∴2π3＋φ＝2k π，令k ＝0，得φ＝－23π. 6．要得到函数y ＝sin(x －π6)的图象可将函数y ＝sin(x ＋π6)的图象上的所有点________.答案 向右平移π3个长度单位解析 由y ＝sin[(x －π3)＋π6]＝sin(x －π6)知应向右平移π3个长度单位.7．(2015陕西理)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________.答案 8解析 由图易得y min ＝k －3＝2，则k ＝5. ∴y max ＝k ＋3＝8.8．将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点⎝⎛⎭⎫3π4，0，则ω的最小值是________. 答案 2解析 ∵y ＝sin ω(x －π4)过点(34π，0)，∴sin π2ω＝0，∴π2ω＝k π，ω＝2k ，当k ＝1时，ω最小值为2.9．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则f (x )＝________.答案 2sin(π8x ＋π4)解析 依题意得，A ＝2，2πω＝2×(6＋2)＝16，ω＝π8， sin(π8×2＋φ)＝1，又|φ|<π2，因此φ＝π4，f (x )＝2sin(π8x ＋π4)． 10．设y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，φ＜(－π2，π2))的最小正周期为π，且其图象关于直线x ＝π12对称，则在下面四个结论中：①图象关于点(π4，0)对称； ②图象关于点(π3，0)对称；③在[0，π6]上是增函数； ④在[－π6，0]上是增函数．正确结论的编号为________． 答案 ②④解析 ∵T ＝π，∴ω＝2，∴y ＝sin(2x ＋φ)，∵图象关于直线x ＝π12对称，∴π6＋φ＝π2＋k π，(k ∈Z )，∴φ＝π3＋k π(k ∈Z )，又∵φ∈(－π2，π2)，∴φ＝π3. ∴y ＝sin(2x ＋π3).当x ＝π4时，y ＝sin(π2＋π3)＝12，故①不正确．当x ＝π3时，y ＝0，故②正确；当x ∈[0，π6]时，2x ＋π3∈[π3，2π3]，y ＝sin(2x ＋π3)不是增函数，即③不正确；当x ∈[－π6，0]时，2x ＋π3∈[0，π3]⊆[0，π2]，故④正确．11． (2015湖南文)已知ω>0，在函数y ＝2sin ωx 与y ＝2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝________. 答案 π2解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2sin ωx ，y ＝2cos ωx得sin ωx ＝cos ωx ，∴tan ωx ＝1，ωx ＝k π＋π4 (k ∈Z )．∵ω>0，∴x ＝k πω＋π4ω(k ∈Z )．设距离最短的两个交点分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，不妨取x 1＝π4ω，x 2＝5π4ω，则|x 2－x 1|＝⎪⎪⎪⎪5π4ω－π4ω＝πω.又结合图形知|y 2－y 1|＝⎪⎪⎪⎪2×⎝⎛⎭⎫－22－2×22＝22， 且(x 1，y 1)与(x 2，y 2)间的距离为23， ∴(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝(23)2， ∴⎝⎛⎭⎫πω2＋(22)2＝12，∴ω＝π2. 二、解答题12． 已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1. (1)求它的振幅、最小正周期、初相； (2)画出函数y ＝f (x )在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的图象．解析 (1)振幅为2，最小正周期T ＝π，初相为－π4.(2)图象如图所示．13．(2015湖北文)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1) f (x )的解析式； (2) 将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到y ＝g (x )的图象，求y ＝g (x )的图象离原点O 最近的对称中心．解析 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：且函数表达式为f (x )＝5sin ⎝⎭⎫2x －π6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 因此g (x )＝5sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π6＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 因为y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋π6＝k π，解得x ＝k π2－π12，k ∈Z .即y ＝g (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，0，k ∈Z ，其中离原点O 最近的对称中心为⎝⎛⎭⎫－π12，0.。