【新课标】2018年最新华东师大版九年级数学下册《二次函数》同步练习题1及答案

第26章二次函数达标测试卷一、选择题(每题3分，共24分)1．下列函数中，是二次函数的是()A．y＝5x2B．y＝22－2x C．y＝2x2－3x3＋1 D．y＝1 x22．抛物线y＝3(x－1)2＋8的顶点坐标为()A．(1，8) B．(－1，8) C．(－1，－8) D．(1，－8) 3．某商场第1年销售计算机5 000台，设平均每年的销售量增长率为x，第3年的销售量为y台，则y关于x的函数表达式为()A y＝5 000(1＋2x)B y＝5 000(1＋x)2C y＝5 000(1－2x)D y＝5 000(1－x)2 4．在平面直角坐标系中，抛物线y＝2x2保持不动，将x轴向上平移1个单位(y轴不动)，则在新坐标系下抛物线的表达式是()A．y＝2x2＋1 B．y＝2x2－1 C．y＝2(x－1)2D．y＝2(x＋1)2 5．已知点A(2，y1)、B(3，y2)、C(－1，y3)均在抛物线y＝ax2－4ax＋c(a ＞0)上，则y1、y2、y3的大小关系为()A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y1＜y3D．y2＜y3＜y1 6．二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax＋a在同一坐标系中的大致图象为()7．若二次函数y＝－x2＋mx在－2≤x≤1时的最大值为5，则m的值是()A．－2 5或6 B．2 5或6 C．－92或6 D．－92或－2 5 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝13x2经过平移得到抛物线y＝ax2＋bx，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为83，则a，b的值分别为()A.13，43 B.13，－23 C.13，－43D．－13，43(第8题) (第13题) (第14题)二、填空题(每题3分，共18分)9．已知点P⎝ ⎛⎭⎪⎫a，12在抛物线y＝2x2上，则a等于________．10．抛物线y＝x2＋6x＋c与x轴有且只有1个公共点，则c＝________．11．某小型无人机着陆后滑行的距离s(米)关于滑行的时间t(秒)的函数表达式是s＝－0.25t2＋10t，那么无人机着陆后滑行__ _秒才能停下来．12．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，x与y的部分对应值如下表：则不等式ax2＋bx＋c＞－3的解集为________．13．如图，过点A(0，4)作平行于x轴的直线AC，分别交抛物线y1＝x2(x≥0)与y2＝14x2(x≥0)于点B、C，则BC的长是________．14．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论：①ac＜0；②a＋b＝0；③a＋b＋c＞0；④b2－4ac＜0.其中正确的是___(填序号)三、解答题(第15，16题每题5分，第17～19题每题6分，第20，21题每题8分，第22题10分，其余每题12分，共78分)15．一抛物线以(－1，9)为顶点，且经过x轴上一点(－4，0)，求该抛物线的表达式及抛物线与y轴的交点坐标．16．如图，二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过坐标原点，且与x轴交于点A(－2，0)．(1)求此二次函数的表达式；(2)结合图象，直接写出满足y＞0的x的取值范围．(第16题)17．一名男生推铅球，铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间满足关系式y＝－112x2＋23x＋53.(1)求铅球离手时的高度；(2)求铅球推出的最大距离．18．在平面直角坐标系中，二次函数y＝－2x2＋bx＋c的图象经过点A(－2，4)和点B(1，－2)．(1)求这个二次函数的表达式及其图象的顶点坐标；(2)平移该二次函数的图象，使其顶点恰好落在原点的位置上，请直接写出平移方法．19．某网店正在热销一款电子产品，其成本为每件10元，销售过程中发现，该商品每天的销量y(件)与销售单价x(元)之间存在如图所示的函数关系．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)该款电子产品的销售单价为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？(第19题)20．如图，已知抛物线y＝ax2＋(a－1)x＋3(a≠0)与x轴交于A、B(1，0)两点，与y轴交于点C.(1)点C的坐标为________；(2)将抛物线y＝ax2＋(a－1)x＋3平移，使平移后的抛物线仍经过点B，与x轴的另一个交点为B′，且点B′的坐标为(3，0)，求平移后的抛物线的表达式．(第20题) 21．现有一面12米长的墙，某农户计划用28米长的篱笆靠墙围成一个如图所示的矩形养鸡场ABCD.(1)若矩形养鸡场的面积为90平方米，求所用的墙长AD；(2)求矩形养鸡场的最大面积．(第21题)22．如图，矩形OABC的顶点A、C的坐标为A(2 3，0)、C(0，2)，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点B、C.(1)求该抛物线的表达式；(2)将矩形OABC绕原点O顺时针旋转一个角度α(0°＜α＜90°)，在旋转过程中，当矩形的顶点A的对应点A′落在抛物线的对称轴上时，求此时点A′的坐标．(第22题)23．某班数学兴趣小组对函数y ＝x 2－2|x |的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．(1)自变量x 的取值范围是全体实数，x 与y 的几组对应值如下表：其中m ＝__________；(2)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分；(3)(3)观察函数图象，写出两条函数的性质；(4)进一步探究函数图象发现：①函数图象与x 轴有__________个交点，对应的方程x 2－2|x |＝0有__________个实数根；②方程x 2－2|x |＝2有__________个实数根；③关于x 的方程x 2－2|x |＝a 有4个实数根时，a 的取值范围是__________．(第23题)答案一、1.A 2.A 3.B 4.B5．A 【点拨】∵y ＝ax 2－4ax ＋c ，且a ＞0， ∴图象开口向上，对称轴是直线x ＝－－4a2a ＝2， ∴x ≥2时，y 随x 的增大而增大，∵C (－1，y 3)关于直线x ＝2的对称点是(5，y 3)，2＜3＜5，∴y 1＜y 2＜y 3. 6．C7．C 【点拨】∵y ＝－x 2＋mx ，∴图象开口向下，对称轴为直线x ＝－m 2×（－1）＝m2.①当m 2≤－2，即m ≤－4时，函数在x ＝－2时取得最大值5，∴－4－2m ＝5，解得m ＝－92；②当m2≥1，即m ≥2时，函数在x ＝1时取得最大值5， ∴－1＋m ＝5，解得m ＝6.③当－2＜m 2＜1，即－4＜m ＜2时，函数在x ＝m 2时取得最大值5，∴－m 24＋m 22＝5，解得m ＝2 5(舍去)或m ＝－2 5(舍去)．综上所述，m 的值为－92或6.8．C 【点拨】如图，设平移后所得新抛物线的对称轴和两抛物线分别相交于点A 和点B ，连结OA 、OB ，(第8题)∴S 阴影＝S △OAB .由题意得a ＝13，∴y ＝ax 2＋bx ＝13x 2＋bx ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3b 22－3b 24，∴点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3b 2，－3b 24，∴点B 的坐标为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3b 2，3b 24，∴AB ＝3b 22，点O 到AB 的距离为－3b2，∴S △AOB ＝12×3b 22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－3b 2＝83，解得b ＝－43.二、9.12或－12 10.9 11.2012．0＜x ＜2 13.2 14.①②③三、15.解：设抛物线的表达式为y ＝a (x ＋1)2＋9，将(－4，0)代入y ＝a (x ＋1)2＋9， 得0＝9a ＋9，解得a ＝－1， ∴抛物线的表达式为y ＝－(x ＋1)2＋9.令x ＝0，则y ＝8，∴抛物线与y 轴的交点坐标为(0，8)．16．解：(1)把(0，0)和(－2，0)分别代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，得⎩⎨⎧c ＝0，－4－2b ＋c ＝0，解得⎩⎨⎧b ＝－2，c ＝0，∴二次函数的表达式为y ＝－x 2－2x . (2)－2＜x ＜0.17．解：(1)令x ＝0，则y ＝53.∴铅球离手时的高度为53 m.(2)当y ＝0时，－112x 2＋23x ＋53＝0， 解得x 1＝10，x 2＝－2(不合题意，舍去)， ∴铅球推出的最大距离是10 m.18．解：(1)∵二次函数y ＝－2x 2＋bx ＋c 的图象经过点A (－2，4)和点B (1，－2)．∴⎩⎨⎧－2×4－2b ＋c ＝4，－2×1＋b ＋c ＝－2，解得⎩⎨⎧b ＝－4，c ＝4， ∴这个二次函数的表达式为y ＝－2x 2－4x ＋4. ∵y ＝－2x 2－4x ＋4＝－2(x ＋1)2＋6， ∴顶点坐标为(－1，6)．(2)(答案不唯一)将该二次函数图象先向右平移1个单位，再向下平移6个单位． 19．解：(1)设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b ，将(20，100)，(25，50)代入，得 ⎩⎨⎧20k ＋b ＝100，25k ＋b ＝50，解得⎩⎨⎧k ＝－10，b ＝300， ∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝－10x ＋300. (2)设该款电子产品的销售利润为w 元，根据题意得w ＝(x －10)(－10x ＋300)＝－10x 2＋400x －3 000＝－10(x －20)2＋1 000， ∵－10＜0，∴x ＝20时，w 最大，为1 000.答：该款电子产品的销售单价为20元时，每天销售利润最大，最大利润是1 000元． 20．解：(1)(0，3)(2)∵抛物线y ＝ax 2＋(a －1)x ＋3与x 轴交于点B (1，0)，∴a ＋a －1＋3＝0，∴a ＝－1，∴y ＝－x 2－2x ＋3.设平移后的抛物线表达式为y ＝－(x ＋h )2＋k ， ∵平移后的抛物线经过点B (1，0)和点B ′(3，0)， ∴⎩⎨⎧－（1＋h ）2＋k ＝0，－（3＋h ）2＋k ＝0，解得⎩⎨⎧h ＝－2，k ＝1， ∴平移后的抛物线表达式为y ＝－(x －2)2＋1.21．解：(1)设所用的墙长AD 为x 米，则AB 的长为28－x2米，由题意可得x ·28－x2＝90，解得x 1＝18(舍去)，x 2＝10.答：所用的墙长AD 为10米． (2)设AB 为a 米，面积为S 平方米， 则S ＝a (28－2a )＝－2(a －7)2＋98， ∵0＜28－2a ≤12，∴8≤a ＜14，∴当a ＝8时，S 取得最大值，此时S ＝96， 答：矩形养鸡场的最大面积是96平方米．22．解：(1)∵A (2 3，0)，C (0，2)，∴易得B (2 3，2)． 把点C 和点B 的坐标代入y ＝－x 2＋bx ＋c ， 得⎩⎨⎧c ＝2，－12＋2 3b ＋c ＝2，解得⎩⎨⎧b ＝2 3，c ＝2， ∴该抛物线的表达式为y ＝－x 2＋2 3x ＋2. (2)设对称轴与x 轴交于点D ，∴易得OD ＝3， 又∵OA ′＝OA ＝2 3，∴A ′D ＝（2 3）2－（3）2＝3，∴A ′(3，－3)． 23．解：(1)0 (2)如图．(3)①函数y ＝x 2－2|x |的图象关于y 轴对称；②当x ＞1时，y 随x 的增大而增大． (4)①3；3 ②2 ③－1<a <0(第23题)【点拨】(3)题答案不唯一．24. 解：(1)由题意得⎩⎨⎧a －b ＋c ＝0，16a ＋4b ＋c ＝0c ＝3，，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－34，b ＝94，c ＝3，∴抛物线对应的函数表达式为y ＝－34x 2＋94x ＋3.(2)设直线BC 对应的函数表达式为y ＝kx ＋d ，则⎩⎨⎧4k ＋d ＝0，d ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－34，d ＝3，∴y ＝－34x ＋3.设D (m ，－34m 2＋94m ＋3)(0＜m ＜4)．过点D 作DM ⊥x 轴交BC 于点M ，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，－34m ＋3，DM ∥OC ，∴DM ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－34m 2＋94m ＋3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－34m ＋3＝－34m 2＋3m ，∠DME ＝∠OCB ，又∵∠DEM ＝∠BOC ＝90°，∴△DEM ∽△BOC ， ∴DE OB ＝DMBC .∵OB ＝4，OC ＝3，∴BC ＝5，∴DE ＝45DM ，∴DE ＝－35m 2＋125m ＝－35(m －2)2＋125(0<m <4)．当m ＝2时，DE 取得最大值，最大值是125. (3)存在．∵F 为AB 的中点， ∴OF ＝32，∴tan ∠CFO ＝OCOF ＝2.如图，过点B 作BG ⊥BC ，交CD 的延长线于点G ，过点G 作GH ⊥x 轴，垂足为H .(第24题)①若∠DCE ＝∠CFO ，则tan ∠DCE ＝GBBC ＝2， ∴BG ＝10.易得△GBH ∽△BCO ，∴GH BO ＝HB OC ＝GBBC ，∴GH ＝8，BH ＝6，∴G (10，8)． 设直线CG 对应的函数表达式为y ＝px ＋n ，11∴⎩⎨⎧n ＝3，10p ＋n ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝12，n ＝3，∴直线CG 对应的函数表达式为y ＝12x ＋3，令12x ＋3＝－34x 2＋94x ＋3，解得x ＝73或x ＝0(舍去)． ②若∠CDE ＝∠CFO ，同理可得BG ＝52，GH ＝2，BH ＝32，∴G ⎝ ⎛⎭⎪⎫112，2.易得直线CG 对应的函数表达式为y ＝－211x ＋3，令－211x ＋3＝－34x 2＋94x ＋3，解得x ＝10733或x ＝0(舍去)．综上所述，点D 的横坐标为73或10733.12。

26.1二次函数(A 卷)(100分 60分钟)一、选择题:(每题4分,共28分)1.若函数2221()m m y m m x --=+是二次函数,那么m 的值是A.2B.-1或3C.3D.1-2.满足函数y=x 2-4x-4的一个点是( )A.(4,4)B.(3,-1);C.(-2,-8)D. 1171,24⎛⎫- ⎪⎝⎭3.无论m 为何实数,二次函数y=x 2-(2-m)x+m 的图象总是过定点( )A.(1,3)B.(1,0);C.(-1,3)D.(-1,0)4.在函数中,自变量x 的取值范围是( ) A.x≠1 B.x>0; C.x>0且x≠1 D.x≥0且x≠15.在直角坐标系中,坐标轴上到点P(-3,-4)的距离等于5的点共有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个6.在函数,自变量x 的取值范围是( )A.x>-2且x≠-3;B.x>-2且x≠3;C.x≥-2且x≠±3;D.x≥-2且x≠3 7.下列函数中,是二次函数的是( )A.y=8x 2+1 B.y=8x+1; C.y=8x D.y=28x二、填空题:(每题5分,共45分)y=-x+2x>1y=x 2-1≤x ≤1y=x+2x<-1输入x 值(1) (2) (3)8.形如_______________的函数叫做二次函数.9.如图1所示,某校小农场要盖一排三间长方形的羊圈,打算一面利用一堵旧墙, 其余各面用木棍围成栅栏,该校计划用木棍围出总长为24m 的栅栏. 设每间羊圈的B ACDx B 长为xm.(1)请你用含x 的关系式来表示围成三间羊圈所利用的旧墙的总长度L=_______,三间羊圈的总面积S=____________;(2)S 可以看成x 的_________,这里自变量x 的取值范围是_________; (3)请计算,当羊圈的长分别为2m 、3m 、4m 和5m 时,羊圈的总面积分别为_____、_____、______、______,在这些数中,x 取_____m 时,面积S 最大.10.如图2所示,长方体的底面是边长为xcm 的正方形,高为6cm,请你用含x 的代数式表示这个长方体的侧面展开图的面积S=________,长方体的体积为V=__________,各边长的和L=__________,在上面的三个函数中,_______是关于x 的二次函数.11.根据如图3所示的程序计算函数值.(1)当输入的x 的值为23时,输出的结果为________; (2)当输入的数为________时,输出的值为-4.12.如图4所示,要用总长为20m 的铁栏杆,一面靠墙, 围成一个矩形的花圃, 若设AB 的长为xm,则矩形的面积y=_______________.13.某商店将每件进价为8元的某种商品每件10元出售,一天可销出约100件. 该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润.经过市场调查,发现这种商品单价每降低0.1元,其销售量可增加10件,将这 种商品的售价降低x 元时, 则销售利润y=_________.14.函数中,自变量x 的取值范围是___________.15.y=(m 2-2m-3)x 2+(m-1)x+m 2是关于x 的二次函数要满足的条件是_______.16.如图5所示,有一根长60cm 的铁丝,用它围成一个矩形,写出矩形面积S(cm 2)与它的一边长x(cm)之间的函数关系式____________. 三、解答题:(27分)17.(12分)心理学家发现,在一定的时间范围内,学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x(单位:分钟)之间满足函数关系y=-0.1x 2+2.6x+43(0≤x≤30),y的值越大,表示接受能力越强.(1)若用10分钟提出概念,学生的接受能力y 的值是多少?(2)如果改用8分钟或15分钟来提出这一概念,那么与用10分钟相比,学生的接受能力是增强了还是减弱了?通过计算来回答.18.(15分)已知正方形的周长是Ccm,面积是Scm 2.(1)求S 与C 之间的函数关系式;(2)当S=1cm 2时,求正方形的边长;(3)当C 取什么值时,S≥4cm 2?BRACD PGl26.1 二次函数(B 卷)(100分 90分钟)一、学科内综合题:(每题6分,共18分)1.如图所示,在直角梯形ABCD 中,∠A=∠D=90°,截取AE=BF=DG=x.已知AB=6,CD=3,AD=4.求四边形CGEF 的面积S 关于x 的函数表达式和x 的取值范围.x x BF ACD E x G2.如图所示,在△ABC 中是AC 上与A 、C 不重合的一个动点,过P 、B 、C 的⊙O 交AB 于D.设PA=x,PC 2+PD 2=y,求y 与x 的函数关系式,并确定x 的取值范围.3.如图所示,有一边长为5cm 的正方形ABCD 和等腰三角形PQR,PQ= PR= 3cm, QR=8cm,点B 、C 、Q 、R 在同一条直线L 上,当C 、Q 两点重合时,等腰三角形PQR 以1cm/ 秒的速度沿直线L 按箭头所示的方向开始匀速运动,t 秒后正方形ABCD 与等腰△PQR重合部分的面积为Scm 2.解答下列问题:(1)当t=3时,求S 的值;(2)当t=5时,求S 的值;(3)当5≤t≤8时,求S 与t 之间的函数关系式.BRA CD PQ lB HRAC D PQ G l二、学科间综合题:(7分)4.一个人的血压与其年龄及性别有关,对女性来说,正常的收缩压p(毫米汞柱) 与年龄x(岁)大致满足关系式p=0.01x 2+0.05x+107;对男性来说,正常的收缩压p( 毫米汞柱)与年龄x(岁)大致满足关系式p=0.006x 2-0.02x+120.(1)利用公式计算你的收缩压;(2)如果一个女性的收缩压为120毫米汞柱,那么她的年龄大概是多少岁?(1毫米汞柱=133.3224帕)(3)如果一个男性的收缩压为130毫米汞柱,那么他的年龄大概是多少岁?三、应用题:(每题9分,共36分)5.如图所示,在矩形ABCD中,AB=6厘米,BC=12厘米,点P在线段AB上,P从点A 开始沿AB边以1厘米/秒的速度向点B移动.点E为线段BC的中点,点Q从E点开始,沿EC以1厘米/秒的速度向点C移动.如果P、Q同时分别从A、E出发,写出出发时间t与△BPQ的面积S的函数关系式,求出t的取值范围.QA6.某化工材料经销公司购进了一批化工原料共7000千克, 购进价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元,也不得低于30元.市场调查发现,单价定为70元时,日均销售60千克;单价每降低1元,每天多售出2千克. 在销售过程中,每天还要支出其他费用500元(天数不足一天时,按一天计算).设销售单价为x元,日均获利为y元.请你求出y关于x的二次函数关系式,并注明x的取值范围.7.某商场以每件30元的价格购进一种商品,试销中发现,这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数关系m=162-3x. 请写出商场卖这种商品每天的销售利润y(元)与每件销售价x(元)之间的函数关系式.8.某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品, 规定试销时的销售单价不低于成本单价,又不高于800元/件.试销时,发现销售量y(件)与销售价x(元/件)的关系可近似看作一次函数y=kx+b(k≠0),如图所示.(1)根据图象,求一次函数y=kx+b的表达式;(2)设公司获得的毛利润(毛利润=销售总价-成本总价)为S元, 试用销售单价表示毛利润S./件)四、创新题:(每题10分,共20分) (一)教材中的变型题9.(教材P4第3题变题)已知二次函数y=ax 2+(km+c),当x=3时,y=15;当x=-2时,y=5,试求y 与x 之间的函数关系式.(二)多变题10.如图所示,在边长为4的正方形EFCD 上截去一角,成为五边形ABCDE, 其中AF=2,BF=1,在AB 上取一点P,设P 到DE 的距离PM=x,P 到CD 的距离PN=y,试写出矩形PMDN 的面积S 与x 之间的函数关系式.FEB ACD PN五、中考题:(19分)11.(2002,昆明,8分)某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌, 广告设计费为每平方米1000元,设矩形一边长为x 米,面积为S 平方米.(1)求出S 与x 之间的函数关系式,并确定自变量x 的取值范围.(2)为使广告牌美观、大方,要求做成黄金矩形,请你按要求设计,并计算出可获得的设计费是多少?(精确到元)12.(2004,黄冈,11分)心理学家研究发现,一般情况下, 学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化,讲课开始时,学生的注意力逐步增强, 中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的状态,随后学生的注意力开始分散.经过实验分析可知, 学生的注意力y 随时间t 的变化规律有如下关系式:224100(0100)240(1020)7380(2040)t y t y t t t ⎧-++<≤⎪=<≤⎨⎪-+<≤⎩(1)讲课开始后第5分钟时与讲课开始后第25分钟时比较, 何时学生的注意力更集中?(2)讲课开始后多少分钟,学生的注意力最集中?能持续多少分钟?(3)一道数学难题,需要讲解24分钟,为了效果较好,要求学生的注意力最低达到180,那么经过适当安排,老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目?26.1 二次函数(C 卷)(30分 45分钟)一、实践题:(10分)1.某高科技发展公司投资500万元,成功研制出一种市场需求量较大的高科技替代产品,并投入资金1500万元进行批量生产.已知生产每件产品的成本为40元, 在销售过程中发现,当销售单价定为100元时,年销售时为20万件;销售单价每增加10元, 年销售量将减少1万件.设第一年销售单价为x 元,销售量为y 万件,获利(年获利=年销售额-生产成本-投资)为z 万元.(1)试写出y 与x 之间的函数关系式;(不必写出x 的取值范围) (2)试写出z 与x 之间的函数关系式;(不必写出x 的取值范围)(3)计算销售单价为160元时的获利,并说明同样的获利,销售单价还可以定为多少元?相应的销售量分别为多少万件?二、竞赛题:(每题10分,共20分)2.已知:如图所示,BD 为⊙O 的直径,且BD=8,¼DM是圆周的14,A 为¼DM 上任意一点, 取AC=AB,交BD 的延长线于C,连结OA,并作AE⊥BD 于E,设AB=x,CD=y. (1)写出y 关于x 的函数关系式; (2)当x 为何值时,CA 是⊙O 的切线?(3)当CA 与⊙O 相切时,求tan∠OAE 的值.EBM ACD O3.如图所示,△ABC 中,BC=4,∠B=45°,AB=,M 、N 分别是AB 、AC 上的点,MN∥BC.设MN=x,△MNC 的面积为S.(1)求出S 与x 之间的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围.(2)是否存在平行于BC 的线段MN,使△MNC 的面积等于2?若存在,请求出MN 的长; 若不存在,请说明理由.二次函数A 卷答案:一、1.C 2.D 3.C 4.D 5.C 6.D 7.A二、8.y=ax 2+bx+c(a 、b 、c 为常数,a≠0)9.(1)-4x+24;-4x 2+24x (2)二次函数;0<x<6(3)32m 2;36m 2;32m 2;20m 2;310.24x;6x 2;8x+24;V=6x 211.(1)49 (2)6或-6 12.y=-2x 2+20x(0<x<10)13.y=-100x 2+100x+200(0≤x≤2) 14.x>3且x≠5 15.m≠-1且m≠316.S=-x 2+30x(0<x<30)三、17.解:(1)当x=10时,y=-0.1x 2+2.6x+43=-0.1×102+2.6×10+43=59.(2)当x=8时,y=0.1x 2+2.6x+43=-0.1×82+2.6×8+43=57.4, ∴用8分钟与用10分钟相比,学生的接受能力减弱了;当x=15时,y=-0.1x 2+2.6x+43=-0.1×152+2.6×15+43=59.5. ∴用15分钟与用10分钟相比,学生的接受能力增强了.18.解:(1)S=221416C C ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2)当S=1时,由 2116S C =,得1=2116C , ∴C=4或C=-4(舍去).∴C=4,∴正方形边长为1cm.(3)∵S=2116C ,∴欲使S≥4,需2116C ≥4,∴C 2≥64.∴C≥8或C≤-8(舍去), ∴C≥8.B 卷答案: 一、1.解:S=S 梯形ABCD -S △EGD -S △EFA -S △BCF=12×(3+6)×4-12x(4-x)- 12x(6-x)-12×4x=x 2-7x+18∵0 30 40 60 xxxx>⎧⎪->⎪⎨->⎪⎪->⎩∴0<x<3,故S=x2-7x+18(0<x<3).2.解:∵AB=∴AB22 =48,AC2=62=36,BC2)2=12.∴AB2=AC2+BC2.∴△ABC为直角三角形,且∠A=30°.连结PB,则PB为⊙O的直径.∴PD⊥AB.∵在Rt△APD中,∠A=30°,PA=x,∴PD=12x,∴y=PC2+PD2=(6-x)2+22x⎛⎫⎪⎝⎭=254x-12x+36(0<x<6).3.解:(1)作PE⊥QR于E,∵PQ=PR,∴QE=RE=12QR=12当t=3时,QC=3,设PQ 与DC相交于点G.∵PE∥DC,∴△QCG∽△QEP,∴234QEPSS∆⎛⎫= ⎪⎝⎭,∵S△QEP=12×4×3=6,∴S=2327648⎛⎫⨯=⎪⎝⎭(cm2)(2)当t=5时,CR=3.设PR与DC交于G,由△RCG∽△REP可求出S△RCG=278,∴S=S△PBR-S△RCG=12-278=698(cm2)(3)当5≤t≤8时,如答图所示,QB=t-5,RC=8-t. 设PQ 交AB 于点H,由△QBH ∽△QEP,得S △QBH =23(5)8t -.设PR 交CD 于G,由△PCG∽△REP,得S △RCG =38(8-t)2.∴S=12-23(5)8t --23(8)8t -=2339171448t t -+-即关系式为S=2339171448t t -+-.二、4.解:(1)根据解答者的性别、年龄实事求是地代入即可.(2)把p=120代入p=0.01x 2+0.05x+107,得120=0.01x 2+0.05x+107.解得x 1≈-39(舍去),x 2=34. 故该女性的年龄大约为34岁.(3)把p=130代入p=0.006x 2-0.02x+120,得130=0.006x 2-0.02x+120. 解得x 1≈-39(舍去),x 2=43. 故该男性的年龄大约为43岁. 三、5.解:∵PB=6-t,BE+EQ=6+t,∴S=12PB ·BQ=12PB ·(BE+EQ)= 12(6-t)(6+t)=-12t 2+18.∴S=-12t 2+18(0≤t≤6).6.解:若销售单价为x 元,则每千克降低(70-x)元,日均多销售出2(70-x)千克,日均销售量为[60+2(70-x)]千克,每千克获利(x-30)元.依题意,得 y=(x-30)[60+2(70-x)]-500 =-2x2+260x-6500(30≤x≤70). 即y=-2x2+260x-6500(30≤x≤70).7.解:由题意,得每件商品的销售利润为(x-30)元,那么m 件的销售利润为y=m(x-30).又∵m=162-3x,∴y=(x -30)(162-3x),即y=-3x 2+252x-4860.∵x -30≥0,∴x≥30.又∴m≥0,∴162-3x≥0,即x≤54. ∴30≤x≤54.∴所求关系式为y=-3x 2+252x-4860(30≤x≤54).8.解:(1)由图象可知,当x=600时,y=400;当x=700时,y=300,代入y=kx+b中,得400600 300700k bk b=+⎧⎨=+⎩解得k=-1,b=1000∴y=-x+1000(500≤x≤800)(2)销售总价=销售单价×销售量=xy,成本总价=成本单价×销售量=500y,代入毛利润公式,得S=xy-500y=x(-x+1000)-500(-x+1000)=-x2+1500x-500000.∴S=-x2+1500x-500000(500≤x≤800)四、(一)9.解:把x=3,y=15;x=-2,y=5分别代入y=ax2+(xm+c),得9()15 4()5 a km ca km c++=⎧⎨++=⎩解得a=2,km+c=-3, ∴y=2x2-3.(二)10.解:如答图,S矩形PNDM=xy,且2≤x≤4.延长NP交EF于G,显然PG∥BF.故PG AGBF AF=,即4212y x--=,∴y=-12x+5,∴S=xy=-12x2+5x,即S=-12x2+5x(2≤x≤4).五、11.解:(1)由矩形的一边长为x米,得另一边长为1222x-⎛⎫⎪⎝⎭米,即(6-x)米,∴S=x(6-x)=-x2+6x,即S=-x2+6x,其中0<x<6.(2)设此黄金矩形的长为x米,宽为y米,则由题意,得2()6x y x yx y⎧=+⎨+=⎩,解得39xy⎧=⎪⎨=-⎪⎩即当把矩形的长设计为3米时,矩形将成为黄金矩形,此时S=xy=(3)(9-2);可获得的设计费为2)×1000≈8498(元).12.解:(1)当t=5时,y=195,当t=25时,y=205.∴讲课开始后第25分钟时学生的注意力比讲课开始后第5分钟时更集中.(2)当0<t≤10时,y=-t 2+24t+100=-(t-12)2+244,该图的对称轴为t=12, 在对称轴左侧,y 随x 的增大而增大,所以,当t=10时,y 有最大值240.当10<t≤20时,y=240.当20<t≤40时,y=-7t+380,y 随x 的增大而减小,故此时y<240.所以,当t=20时,y 有最大值240.所以,讲课开始后10分钟时,学生的注意力最集中,能持续10分钟.(3)当0<t≤10,令y=-t 2+24t+100=180,∴t=4.当20<t≤40时,令=-7t+380=180,∴t=28.57.所以,老师可以经过适当安排,能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目.二次函数C 卷答案: 一、1.解:(1)y=20-10010x -×1=-0.1x+30. (2)z=y ·x-40y-500-1500=(30-0.1x)x-40(30-0.1x)-2000=30x-0.1x 2-1200+4x-2000=-0.1x 2+34x-3200.(3)当x=160时,z=-0.1x 2+34x-3200=-0.1×1602+34×160-3200=-320.把z=- 320代入z=-0.1x 2+34x-3200,得-320=-0.1x 2+34x-3200,x 2-340x+28800=0,∴(x -160) (x-180)=0.∴x=160或x=180.当x=160时,y=-0.1x+30=-0.1×160+30=14(万件);当x=180时,y=-0.1x+30=-0.1×180+30=12(万件).二、2.解:(1)∵OA=OB,AB=AC,∴△AOB 和△ABC 是等腰三角形.∴∠B=∠BAO=∠C.∴△AOB∽△BAC. ∴AB OB BC AB=, 即 48x y x =+, ∴y=2184x - ∵A 为¼MD上任意一点,BM≤AB≤BD,而==∴∴y=2184x - ( (2)若OA⊥CA,则AC 为⊙O 的切线,即当OC 2=OA 2+AC 2时,OA⊥CA,∴(4+y)2=42+ x 2,即y 2+8y=x 2.由y=14x 2-8和y 2+8y=x 2两式可得y=4,∴x=即当时,CA 是⊙O 的切线.(3)由(2)得是⊙O 的切线,此时y=4,而OE=BE-OB=12∴tan∠OAE=OE AE ==. 3.解:(1)过点A 作AD⊥BC 于D,则有×sin450=32=. 设△MNC 的MN 边上的高为h,∵MN∥BC,∴343x h -=. ∴h=1234x -, ∴S=12MN ·h=21123332482x x x x -=-+g , 即S=23382x x -+ (0<x<4). (2)若存在这样的线段MN,使S △MNC =2,则方程 23382x x -+=2必有实根, 即3x 2-12x+16=0 必有实根.但△=(-12)2-4×3×16=-48<0,说明此方程无实根,所以不存在这样的线段MN.。

2017-2018学年苏科版（新课标）九年级下册5.1 二次函数【学习目标】1. 了解二次函数的有关概念．2. 会确定二次函数关系式中各项的系数。

3. 确定实际问题中二次函数的关系式。

【学法指导】类比一次函数，反比例函数来学习二次函数，注意知识结构的建立。

【学习过程】一、课前导学：1.若在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值， y 都有唯一的值与它对应，那么就说y 是x 的 ，x 叫做 。

2. 形如___________y =0)k ≠（的函数是一次函数，当______0=时，它是 函数；二、模仿学习：1．用16m 长的篱笆围成长方形圈养小兔，圈的面积y(㎡)与长方形的长x(m)之间的函数关系式为 。

分析：在这个问题中，可设长方形生物园的长为x 米，则宽为 米，如果将面积记为y 平方米，那么y 与x 之间的函数关系式为y = ，整理为y = .2.n 支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m 与球队数n 之间的关系式_______________________．3.用一根长为40cm 的铁丝围成一个半径为r 的扇形，求扇形的面积S 与它的半径r 之间的函数关系式是4.归纳：一般地，形如 ，（,,a b c a 是常数，且 ）的函数为二次函数。

其中x 是自变量，a 是__________，b 是___________，c 是_____________．三、合作交流：（1）二次项系数a 为什么不等于0？答： 。

（2）一次项系数b 和常数项c 可以为0吗？答： .四、当堂练习：1．观察：①26y x =；②235y x =-+；③y ＝200x 2＋400x ＋200；④32y x x =-；⑤213y x x=-+；⑥()221y x x =+-．这六个式子中二次函数有 。

（只填序号）2.2(1)31m m y m x x -=+-+ 是二次函数，则m 的值为______________．3.若物体运动的路段s （米）与时间t （秒）之间的关系为252s t t =+，则当t ＝4秒时，该物体所经过的路程为 。

[新课标]2021年最新华东师大版九年级数学下册《二次函数》同步练习题1及答案2021-2021学年（新课标）华东师大版九年级下册第26章二次函数26.1二次函数同步练习1．下列函数中，属于二次函数的是()a、 y＝2x＋1b.y＝（x－1）－xc.y＝2x－7d.y＝222二1X2。

函数y=（m-5）x2+X是二次函数的条件是（）a．m为常数，且m≠0b．m为常数，且m≠5c．m为常数，且m＝0d．m可以为任何数3.假设圆柱体高度为14cm，圆柱体体积V（cm3）与底面半径R（CM）之间的函数表达式为（）a．v＝14rb．r＝14πvc．v＝14πrd．r＝4.今年1月份某厂新产品研发资金为1元，未来每月新产品研发资金与上月相比增长率为x，那么今年3月份该厂新产品研发资金y（元）相对于x的函数表达式为（）a．y＝(1＋x2)b．y＝a(1＋x)c．y＝a(1＋x2)d．y＝a(1＋x)25.用一块10米长的木头做一个矩形窗框。

如果长度为XM，则窗口的面积y（M2）和X （m）之间的函数表达式为6．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，经过调查发现，若每件商品售价为x元，可卖出(350－10x)件商品．则所获得的利润7．下列各式中，其中是二次函数的有()①y＝x＋1②y＝2二214πvy(元)与售价x(元)之间的函数表达式对于1x2＋1；③y＝（2x－3）（3x－2）－6x2④y＝x2＋x－1＋1⑤y＝x2＋1；⑥y＝（x－1）（x＋4）。

a．1个b．2个c．3个d．4个8．下列函数关系中，不是二次函数的是()a．正方形面积s与边长x之间的关系b．半圆的面积s与半径r之间的关系c．正三角形的面积y与边长x之间的关系d．长方形的面积是常数s，它的长y与宽x的关系9.如图所示△ 美国广播公司，∠ BAC=90°，ab=AC=1，点D是BC上的最后一个移动点（与B和C不重合），在AC上取点E进行移动∠ ade=45°，设BD=x，AE=y，则y相对于x的函数表达式为。

26.3。

3二次函数的应用一．选择题(共8小题)1．一个小球被抛出后，如果距离地面的高度h（米)和运行时间t（秒）的函数解析式为h=﹣5t2+10t+1,那么小球到达最高点时距离地面的高度是（）A．1米B．3米C．5米D．6米2．某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车．已知在甲、乙两地的销售利润y（单位：万元）与销售量x（单位：辆)之间分别满足:y1=﹣x2+10x,y2=2x，若该公司在甲，乙两地共销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润为（)A．30万元B．40万元C．45万元D．46万元3．向上发射一枚炮弹,经x秒后的高度为y公尺，且时间与高度关系为y=ax2+bx．若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等,则在下列哪一个时间的高度是最高的( ）A．第9。

5秒B．第10秒C．第10.5秒D．第11秒4．如图是一副眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于y轴对称．AB∥x轴，AB=4cm，最低点C在x轴上，高CH=1cm,BD=2cm．则右轮廓线DFE所在抛物线的函数解析式为（）A．y=(x+3）2B．y=（x+3）2C．y=（x﹣3)2D．y=（x﹣3）25．烟花厂为国庆观礼特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t(s）的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆,则从点火升空到引爆需要的时间为（)A．2s B．4s C．6s D．8s6一小球被抛出后,距离地面的高度h（米)和飞行时间t（秒）满足下面函数关系式：h=﹣5t2+20t﹣14，则小球距离地面的最大高度是（）A．2米B．5米C．6米D．14米7．烟花厂为成都春节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t （s）的关系式是,若这种礼炮在点火升空到最高点引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（）A．3s B．4s C．5s D．6s8．某车的刹车距离y(m)与开始刹车时的速度x(m/s）之间满足二次函数y=（x＞0）,若该车某次的刹车距离为5m，则开始刹车时的速度为（)A．40 m/s B．20 m/s C．10 m/s D．5 m/s二．填空题（共6小题）9．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点)离水面2米，水面下降1米时,水面的宽度为_________ 米．10．如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m,已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y=﹣（x﹣6）2+4,则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是_________ ．11．某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30,且x为整数）出售，可卖出（30﹣x）件．若使利润最大，每件的售价应为_________ 元．12．在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（0，1）、(4，2）、（2，6）．如果P （x，y）是△ABC围成的区域(含边界）上的点，那么当w=xy取得最大值时，点P的坐标是_________ ．13．如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y(米）关于水平距离x（米）的函数解析式,那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为_________ 米．14．某种工艺品利润为60元/件，现降价销售，该种工艺品销售总利润w（元）与降价x（元)的函数关系如图．这种工艺品的销售量为_________ 件（用含x的代数式表示）．三．解答题（共8小题）15．某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成本为每件20元,调查发现当销售价为24元时，平均每天能售出32件，而当销售价每上涨2元,平均每天就少售出4件．(1）若公司每天的现售价为x元时则每天销售量为多少?(2）如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28元,该公司想要每天获得150元的销售利润，销售价应当为多少元？16．在2014年巴西世界杯足球赛前夕，某体育用品店购进一批单价为40元的球服，如果按单价60元销售，那么一个月内可售出240套．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高5元,销售量相应减少20套．设销售单价为x(x≥60）元，销售量为y套．（1）求出y与x的函数关系式．（2)当销售单价为多少元时，月销售额为14000元；（3）当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润?最大利润是多少？［参考公式:抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是］．17．某经销商销售一种产品,这种产品的成本价为10元/千克,已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y （千克）与销售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示：（1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求每天的销售利润W(元）与销售价x(元/千克）之间的函数关系式．当销售价为多少时,每天的销售利润最大？最大利润是多少?（3）该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少?18．某研究所将某种材料加热到1000℃时停止加热,并立即将材料分为A、B两组，采用不同工艺做降温对比实验，设降温开始后经过x min时，A、B两组材料的温度分别为y A℃、y B℃,y A、y B与x的函数关系式分别为y A=kx+b,y B=（x﹣60）2+m（部分图象如图所示)，当x=40时，两组材料的温度相同．（1）分别求y A、y B关于x的函数关系式；(2）当A组材料的温度降至120℃时,B组材料的温度是多少?（3）在0＜x＜40的什么时刻，两组材料温差最大？19．“丹棱冻粑"是眉山著名特色小吃，产品畅销省内外，现有一个产品销售点在经销时发现：如果每箱产品盈利10元，每天可售出50箱；若每箱产品涨价1元,日销售量将减少2箱．（1）现该销售点每天盈利600元，同时又要顾客得到实惠，那么每箱产品应涨价多少元？（2）若该销售点单纯从经济角度考虑，每箱产品应涨价多少元才能获利最高?20．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价,投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；(2)求出销售单价为多少元时,每天的销售利润最大？最大利润是多少?（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本=每件的成本×每天的销售量)21．某体育用品商店试销一款成本为50元的排球，规定试销期间单价不低于成本价，且获利不得高于40％．经试销发现，销售量y（个）与销售单价x(元）之间满足如图所示的一次函数关系．（1)试确定y与x之间的函数关系式；（2)若该体育用品商店试销的这款排球所获得的利润Q元，试写出利润Q（元）与销售单价x （元）之间的函数关系式；当试销单价定为多少元时，该商店可获最大利润?最大利润是多少元？（3）若该商店试销这款排球所获得的利润不低于600元，请确定销售单价x的取值范围．22．某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间满足关系：y=ax2+bx﹣75．其图象如图所示．（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元?（2)销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元?26。

华东师大版数学九年级下册第26章二次函数单元测试题一、选择题1．将二次函数y＝x2－2x＋3化为y＝(x－h)2＋k的形式，结果为( )A．y＝(x＋1)2＋4 B．y＝(x＋1)2＋2C．y＝(x－1)2＋4 D．y＝(x－1)2＋22．把抛物线y＝－x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后的抛物线所对应的函数表达式为( )A．y＝－(x＋1)2＋3 B．y＝－(x＋1)2－3C．y＝－(x－1)2＋3 D．y＝－(x－1)2－33. 二次函数y＝ax2＋bx＋c，自变量x与函数y的对应值如表：x …－5 －4 －3 －2 －1 0 …y … 4 0 －2 －2 0 4 …下列说法正确的是()A．抛物线的开口向下B．当x＞－3时，y随x的增大而增大C．二次函数的最小值是－2D．抛物线的对称轴是x＝－5 24．若抛物线y＝2x2＋3上有三点A(1，y1)，B(5，y2)，C(－2，y3)，则y1，y2，y3的大小关系为( )A．y2＜y1＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y2＜y15．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象，由图象可知不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是( )A．－1＜x＜5 B．x＜－1且x＞5 C．x＜－1或x＞5 D．x＞56．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元/个售出时每天能卖出20个，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，为了获得最大利润，则应降价( )A．5元 B．10元 C．15元 D．20元7．二次函数y＝ax2＋bx的图象如图，若一元二次方程ax2＋bx＋m＝0有实数根，则m的最大值为( )A．－3 B．3 C．－9 D．08．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，对称轴是直线x＝－1，下列结论：①abc＜0；②2a＋b＝0；③a－b＋c＞0；④4a－2b＋c＜0.其中正确的是( )A．①② B．只有① C．③④ D．①④9. 如图，坐标平面上，二次函数y＝－x2＋4x－k的图形与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，其顶点为D，且k＞0.若△ABC与△ABD的面积比为1∶4，则k值为何？()A．1 B. 12 C.43 D.4510．如图，正方形ABCD的边长为3 cm，动点P从B点出发以3 cm/s的速度沿着边BC－CD－DA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发以1 cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动，设P点运动时间为x(s)，△BPQ的面积为y(cm2)，则y关于x的函数图象是( )二、填空题11．已知函数y＝(m－1)xm2＋1＋4x－3是二次函数，则该二次函数图象的顶点是______________．12．用一根长为12 cm的细铁丝围成一个矩形，则围成的矩形中，面积最大为_________．13．已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是___________．14．某学习小组为了探究函数y＝x2－|x|的图象和性质，根据以往学习函数的经验，列x…－2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 …y… 2 0.75 0 －0.25 0 －0.25 0 m 2 …15.如图，二次函数y＝23x2－13x的图象经过△AOB的三个顶点，其中A(－1，m)，B(n，n)，直线AB与y轴交于点C，则△AOB的面积是____．16．如图，隧道的截面是抛物线，且抛物线的表达式为y＝－18x2＋3.5，一辆车高 2.5m，宽4 m，该车____通过该隧道．(填“能”或“不能”)17．某校的围墙上端由一段相同的凹曲拱形栅栏组成，如图．其拱形图形为抛物线的一部分，栅栏AB之间，按相同的间距0.2 m用5根立柱加固，拱高OC为0.6 m，则一段栅栏所需立柱的总长度是______．(精确到0.1 m)18. 抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，且a≠0)经过点(－1，0)和(m，0)，且1＜m＜2，当x＜－1时，y随着x的增大而减小．下列结论：①abc＞0；②a＋b＞0；③若点A(－3，y1)，点B(3，y2)都在抛物线上，则y1＜y2；④a(m－1)＋b＝0；⑤若c≤－1，则b2－4ac≤4a.其中结论错误的是________．(只填写序号)三、解答题19．已知抛物线y＝x2＋bx＋6经过x轴上两点A，B，点B的坐标为(3，0)，与y轴相交于点C.(1)求抛物线的表达式；(2)求△ABC的面积．20．抛物线y＝x2－2x＋c经过点(2，1)．(1)求抛物线的顶点坐标；(2)将抛物线y＝x2－2x＋c沿y轴向下平移后，所得新抛物线与x轴交于A，B两点，如果AB＝2，求新抛物线的表达式．21．如图，A(－1，0)，B(2，－3)两点在一次函数y1＝－x＋m与二次函数y2＝ax2＋bx－3的图象上．(1)求m的值和二次函数的表达式；(2)求二次函数图象的顶点C的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而变化的情况；(3)请直接写出当y1＞y2时，自变量x的取值范围．22. 某商店原来平均每天可销售某种水果200千克，每千克可盈利6元，为减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价1元，则每天可多售出20千克．(1)设每千克水果降价x元，平均每天盈利y元，试写出y关于x的函数表达式；(2)若要平均每天盈利960元，则每千克应降价多少元？23．已知锐角△ABC中，边BC长为12，高AD长为8.如图，矩形EFGH的边GH在BC 边上，其余两个顶点E，F分别在AB，AC边上，EF交AD于点K.(1)求EFAK的值；(2)设EH＝x，矩形EFGH的面积为S.求S与x的函数表达式，并求S的最大值．24．有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下面的宽度为20 m，拱顶距离水面4 m.(1)在如图的直角坐标系中，求出该抛物线所对应的二次函数表达式；(2)在正常水位的基础上，当水位上升h(m)时桥下水面的宽度为d(m)，试求d与h之间的函数关系式；(3)设正常水位时桥下的水深为 2 m，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18 m．问：水深超过多少时，就会影响过往船只在桥下顺利航行？25. 已知，m，n是一元二次方程x2＋4x＋3＝0的两个实数根，且|m|＜|n|，抛物线y＝x2＋bx＋c的图象经过点A(m，0)，B(0，n)，如图所示．(1)求这个抛物线的表达式；(2)设(1)中的抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C，D的坐标，并判断△BCD的形状；(3)点P是直线BC上的一个动点(点P不与点B和点C重合)，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，点Q在直线BC上，距离点P为2个单位长度，设点P的横坐标为t，△PMQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式．答案:一、1---10 DADCC ABDDC二、11. (1，－1)12. 9cm213. k≤414. 0.7515. 216. 能17. 2.3m18. ③⑤点拨：易得①的结论正确；∵抛物线过点(－1，0)和(m，0)，且1＜m＜2，∴0＜－b2a＜1 2，∴12＋b2a＝a＋b2a＞0，∴a＋b＞0，所以②的结论正确；∵点A(－3，y1)到对称轴的距离比点B(3，y2)到对称轴的距离远，∴y1＞y2，所以③的结论错误；∵抛物线过点(－1，0)，(m，0)，∴a－b＋c＝0，am2＋bm＋c＝0，∴am2－a＋bm＋b＝0，a(m＋1)(m－1)＋b(m＋1)＝0，∴a(m－1)＋b＝0，所以④的结论正确；∵4ac－b24a＜c，而c≤－1，∴4ac－b24a＜－1，∴b2－4ac＞4a，所以⑤的结论错误三、19. 解：(1)y＝x2－5x＋6 (2)∵抛物线的表达式y＝x2－5x＋6，∴A(2，0)，B(3，0)，C(0，6)，∴S△ABC ＝12×1×6＝320. 解：(1)把(2，1)代入y＝x2－2x＋c得4－4＋c＝1，解得c＝1，所以抛物线表达式为y＝x2－2x＋1，顶点坐标为(1，0) (2)y＝x2－2x＋1＝(x－1)2，抛物线的对称轴为直线x＝1，而新抛物线与x轴交于A，B两点，AB＝2，所以A(0，0)，B(2，0)，所以新抛物线的表达式为y＝x(x－2)，即y＝x2－2x21. 解：(1)m＝－1，y2＝x2－2x－3 (2)C(1，－4)，当x≤1时，y随x 的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大(3)－1＜x＜222. 解：(1)根据题意得y＝(200＋20x)(6－x)＝－20x2－80x＋1200 (2)令y＝－20x2－80x＋1200中y＝960，则有960＝－20x2－80x＋1200，即x2＋4x－12＝0，解得x＝－6(舍去)或x＝2.答：若要平均每天盈利960元，则每千克应降价2元23. 解：(1)EFAK＝BCAD＝32(2)由(1)知EF8－x＝32，∴EF＝12－32x，∴S＝EH·EF＝12x－32x2＝－32(x－4)2＋24，当x＝4时，Smax＝2424. 解：(1)设抛物线所对应的表达式为y＝ax2，把(－10，－4)代入得y＝－125x2(2)由(1)得y＝－125x2，将(d2，－4＋h)代入得－4＋h＝－125(d2)2，求得d＝104－h (3)当x＝9时，y＝－125×92＝－8125，∴4＋2－8125＝6925，即当水深超过6925m时，就会影响船只在桥下顺利航行25. 解：(1)∵m，n是一元二次方程x2＋4x＋3＝0的两个实数根，且|m|＜|n|，∴m＝－1，n ＝－3，∵抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过点A(m ，0)，B(0，n)．∴⎩⎨⎧1－b ＋c ＝0，c ＝－3，∴⎩⎨⎧b ＝－2，c ＝－3，∴抛物线表达式为y ＝x 2－2x －3 (2)令y ＝0，则x 2－2x －3＝0，∴x 1＝－1，x 2＝3，∴C(3，0)，∵y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4，∴顶点坐标D(1，－4)，过点D 作DE ⊥y 轴，∵OB ＝OC ＝3，∴BE ＝DE ＝1，∴△BOC 和△BED 都是等腰直角三角形，∴∠OBC ＝∠DBE ＝45°，∴∠CBD ＝90°，∴△BCD 是直角三角形(3)如图，∵B(0，－3)，C(3，0)，∴直线BC 表达式为y ＝x －3，∵点P 的横坐标为t ，PM ⊥x 轴，∴点M 的横坐标为t ，∵点P 在直线BC 上，点M 在抛物线上，∴P(t ，t －3)，M(t ，t 2－2t －3)，过点Q 作QF ⊥PM ，∴△PQF 是等腰直角三角形，∵PQ ＝2，QF ＝1，当点P 在点M 上方时，即0＜t ＜3时，PM ＝t －3－(t 2－2t －3)＝－t 2＋3t ，∴S ＝12PM ·QF ＝12(－t 2＋3t)＝－12t 2＋32t ；当点P 在点M 下方时，即t ＜0或t ＞3时，PM ＝t 2－2t －3－(t －3)，∴S ＝12PM ·QF ＝12(t 2－3t)＝12t 2－32t。

初三数学二次函数练习题及答案一、基础练习1．把抛物线y=2x向上平移1个单位，得到抛物线_______，把抛物线y=-2x?向下平移个单位，得到抛物线________．．抛物线y=3x-1的对称轴是_____，顶点坐标为________，它是由抛物线y=3x?向_______平移______个单位得到的．．把抛物线向左平移1个单位，得到抛物线_________，把抛物线 ?向右平移3个单位，得到抛物线________．24．抛物线y=x-1）的开口向________，对称轴是______，顶点坐标是_________，222222?它是由抛物线x2向______平移______个单位得到的．．把抛物线y=-13132向_____平移______个单位，就得到抛物线y=-13x2．6．把抛物线y=42向______平移_______个单位，就得到函数y=42的图象．．函数y=-的最大值为________，函数y=-x-22213的最大值为________．8．若抛物线y=a的对称轴为x=-3，且它与抛物线y=-2x2的形状相同，?开口方向相同，则点关于原点的对称点为________．．已知抛物线y=a2过点，则该函数y=a2当x=________?的时候，?有最____值______．10．若二次函数y=ax2+b，当x取x1，x2时，函数值相等，则x取x1+x2时，函数的值为________．11．一台机器原价50万元．如果每年的折旧率是x，两年后这台机器的价格为y?万元，则y与x的函数关系式为A．y=50B．y=50C．y=50-x2D．y=5012．下列命题中，错误的是 A．抛物线221212x2-1不与x轴相交;B．抛物线x2-1与121222形状相同，位置不同;12C．抛物线y= D．抛物线y=2的顶点坐标为;12）的对称轴是直线x=13．顶点为且开口方向、形状与函数y=- A．y=-13 1313x的图象相同的抛物线是 D．y=1222B．y=-13x2-5C．y=-13214．已知a x-2的图象上，则A．y1 2在同一坐标系中的图象大致为二、整合练习 1．已知反比例函数y=kx的图象经过点A，若二次函数y=12x2-x?的图象平移后经过该反比例函数图象上的点B，C，求平移后的二次函数图象的顶点坐标．2．如图，在正方形ABCD中，AB=2，E是AD边上一点．BE?的垂直平分线交AB于M，交DC于N．设AE=x，四边形ADNM的面积为S，写出S关于x的函数关系式；当AE为何值时，四边形ADNM的面积最大？最大值是多少？3．将二次函数y=-2x2+8x-5的图象开口反向，并向上、下平移得一新抛物线，新抛物线与直线y=kx+1有一个交点为．求：这条新抛物线的函数解析式；这条新抛物线和直线y=kx+1的另一个交点．答案: 一、1．y=2x2+1 y=-2x2-2．y轴下 1．x+1）2x-3）2．上直线x=1 右 1．右，6．左．0138．．大 0 10．11．A 12．D 13．C 14．C15．B+k过原点，所以0=1+k，k=-1，双曲线y=-1x ）二、1．由反比例函数y=kx的图象过点A，所以1k2=4，k=2，?所以反比例函数的解析式为y=2x．又因为点B，C在y=2x的图象上，所以m=2，n=1222=1，设二次函数y=12x-x的图象平移后的解析式为y=2+k，它过点B，C，所以平移后的二次函数图象的顶点为．2．连接ME，设MN交BE交于P，根据题意得MB=ME，MN⊥BE．过N作NG⊥AB于F，在Rt△MBP和Rt△MNE中，∠MBP+∠BMN=90°，∠FNM+∠BMN=90°，∠MBP=∠MNF，又AB=FN，Rt△EBA≌Rt△MNE，MF=AE=x．在Rt△AME中，由勾股定理得 ME2=AE2+AM2，所以MB2=x2+AM2，即2=x2+AM2，解得AM=1- 所以四边形ADNM的面积S=AM?DN2?AD?12AM?AF214x2．×2=AM+AM+MF=2AM+AE=2+x=-12x2+x+2．即所求关系式为S=-S=-12x2+x+2．52x2+x+2=-12+=-122+52．52当AE=x=1时，四边形ADNM的面积S的值最大，此时最大值是．3．y=-2x2+8x-5=-22+3，将抛物线开口反向，且向上、?下平移后得新抛物线方程为y=22+m．因为它过点，所以4=22+m，m=2，这条新抛物线方程为y=22+2，即y=2x2-8x+10．直线y=kx+1过点，4=3k+1，k=1，求得直线方程为y=x+1．另一个交点坐标为。

专训1　二次函数与几何的应用名师点金：二次函数与几何的应用非常广泛，解决这类问题的关键是要学会数形结合，一方面，抓住几何图形的特征，灵活运用点的坐标与线段长度之间的相互转化，从而解决与二次函数有关的问题；另一方面，已知二次函数表达式可求出特殊点的坐标，进而求出线段长度，从而解决有关几何问题．二次函数与三角形的综合1．如图，在直角坐标系xOy 中，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，A(1，0)，B(0，2)，抛物线y ＝12x 2＋bx －2过点C.求抛物线对应的函数表达式．(第1题)二次函数与平行四边形的综合2．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，正方形OABC 的边长为2 cm ，点A ，C 分别在y 轴的负半轴和x 轴的正半轴上，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A ，B ，且12a ＋5c ＝0.(1)求抛物线对应的函数表达式．(2)如果点P 由点A 开始沿AB 边以2 cm /s 的速度向点B 移动，同时点Q 由点B 开始沿BC 边以1 cm /s 的速度向点C 移动．一点到达终点后另一点停止移动．①移动开始后第t s 时，设S ＝PQ 2(cm 2)，试写出S 与t 之间的函数表达式，并写出t 的取值范围．②当S 取得最小值时，在抛物线上是否存在点R ，使得以P ，B ，Q ，R 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R 点的坐标；如果不存在，请说明理由．(第2题)二次函数与矩形、菱形、正方形的综合3．二次函数y ＝23x 2的图象如图所示，点A 0位于坐标原点，点A 1，A 2，A 3，…，A n 在y 轴的正半轴上，点B 1，B 2，B 3，…，B n 在二次函数位于第一象限的图象上，点C 1，C 2，C 3，…，C n 在二次函数位于第二象限的图象上．四边形A 0B 1A 1C 1，四边形A 1B 2A 2C 2，(第3题)四边形A2B3A3C3，…，四边形A n－1B n A n C n都是菱形，∠A0B1A1＝∠A1B2A2＝∠A2B3A3＝…＝∠A n－1B n A n＝60°，则菱形A n－1B n A n C n的周长为________．4．(中考·孝感)如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，点E在边BC上，若∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F.(1)图①中，若点E是边BC的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明AE＝EF，请叙述你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等(不要求证明)．(2)如图②，若点E在线段BC上滑动(不与点B，C重合)．①AE＝EF是否总成立？请给出证明．②在如图②所示的平面直角坐标系中，当点E滑动到某处时，点F恰好落在抛物线y＝－x2＋x＋1上，求此时点F的坐标．(第4题)专训2　探究二次函数中存在性问题名师点金：存在性问题是近年来中考的热点，这类问题的知识覆盖面广，综合性强，题型构思精巧，解题方法灵活，求解时常常要猜想或者假设问题的某种关系或结论存在，再经过分析、归纳、演算、推理找出最后的答案．常见的类型有：探索与特殊几何图形有关的存在性问题，探索与周长有关的存在性问题，探索与面积有关的存在性问题．探索与相似有关的存在性问题1．如图，抛物线y＝ax2＋bx－2经过A(4，0)，B(1，0)两点．(1)求出抛物线对应的函数表达式；(2)若P是抛物线上x轴上方的一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．(第1题)探索与周长有关的存在性问题2．如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为(－2，0)，OB ＝OA ，且∠AOB ＝120°.(1)求点B 的坐标．(2)求经过A 、O 、B 三点的抛物线对应的函数表达式．(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．(第2题)探索与面积有关的存在性问题3．阅读材料：如图①，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC 内部的线段的长度叫△ABC 的“铅垂高”(h)．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S △ABC ＝12ah ，即三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．解答下列问题：如图②，抛物线顶点为点C(1，4)，交x 轴于点A(3，0)，交y 轴于点B.(1)求抛物线和直线AB 对应的函数表达式．(2)求△CAB 的铅垂高CD 及S △CAB .(3)抛物线上是否存在一点P ，使S △PAB ＝98S △CAB ？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．(第3题)4.如图，已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过A(1，0)，B(0，2)两点，顶点为D.(1)求抛物线对应的函数表达式．(2)将抛物线沿y 轴平移后经过点C(3，1)，求平移后所得抛物线对应的函数表达式．(3)设(2)中平移后的抛物线与y 轴的交点为B 1，顶点为D 1，在此抛物线上是否存在点N ，使△NBB 1的面积是△NDD 1面积的2倍？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．(第4题)探索与平行四边形有关的存在性问题5．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(－4，0)，B(0，－4)，C(2，0)三点．(1)求抛物线对应的函数表达式．(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．(3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝－x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．(第5题)6．如图，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y 轴相交于点C，顶点为D.(1)直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴．(2)连结BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF ∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m.①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式．(第6题)7．如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与一直线相交于A(－1，0)，C(2，3)两点，与y 轴交于点N.其顶点为D.(1)求抛物线及直线AC对应的函数表达式．(2)设点M(3，m)，求使MN＋MD的值最小时m的值．(3)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF ∥BD交抛物线于点F，以B、D、E、F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E 的坐标；若不能，请说明理由．(4)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．(第7题) 专训3　几种常见的热门考点名师点金：二次函数是中考的必考内容，难度高，综合性强，既可以与代数知识相结合，也可以与几何知识相结合．有关二次函数的问题，中考一般以三种形式出现：一是以选择题或填空题出现，重在考查二次函数的基本概念和基本性质；二是以实际应用题的形式出现，重在考查函数建模思想；三是以综合题的形式出现，往往是压轴题，考查学生分析问题和解决问题的能力．二次函数的图象与性质1．对于二次函数y＝(x－1)2＋2的图象，下列说法正确的是( )A．开口向下B．对称轴是直线x＝－1C．顶点坐标是(1，2)D．与x轴有两个交点2．在同一平面直角坐标系内，将函数y＝2x2＋4x－3的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到图象的顶点坐标是( )A．(－3，－6) B．(1，－4)C．(1，－6) D．(－3，－4)3．(2015·安顺)如图，为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象，则下列说法：①a＞0；②2a＋b＝0；③a＋b＋c＞0；④当－1＜x＜3时，y＞0.其中正确的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4(第3题) (第5题)4．抛物线y＝2x2－x＋1的顶点坐标是________，当________时，y随x的增大而增大．5．如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(0，－3)，请你确定一个b的值，使抛物线与x轴的一个交点在(1，0)和(3，0)之间，你所确定的b的值是________．用待定系数法求二次函数的表达式6．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过(1，0)，(2，0)和(0，2)三点，则该抛物线的函数表达式为( )A．y＝2x2＋x＋2 B．y＝x2＋3x＋2C．y＝x2－2x＋3 D．y＝x2－3x＋27．已知一个二次函数的图象的顶点为(8，9)，且经过点(0，1)，则二次函数表达式为________________．8．(中考·咸宁)科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如下表：温度t/℃－4－2014植物高度增长量l/mm4149494625科学家经过猜想、推测出l与t之间是二次函数关系．由此可以推测，最适合这种植物生长的温度为______℃.9．将抛物线y＝－x2＋x－3向上平移，使平移后的抛物线经过点C(0，2)，求平移后的抛物线的表达式．10．如图，抛物线y＝ax2－5ax＋4经过△ABC的三个顶点，点A，C分别在x轴、y轴上，且BC∥x轴，AC＝BC，求抛物线的表达式．(第10题)二次函数与一元二次方程或不等式的关系11．抛物线y＝－9x2＋3x＋12与坐标轴的交点个数是( )A．3 B．2 C．1 D．012．二次函数y＝ax2＋bx＋c的x与y的部分对应值如下表．利用二次函数图象可知，当函数值y＜0时，x的取值范围是( )x－3－2－1012345y1250－3－4－30512A.x＜0或x＞2 B．0＜x＜2C．x＜－1或x＞3 D．－1＜x＜313．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论错误的是( )(第13题)A．a－b＋c＝0B．3是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根C．a＋b＋c＞0D．当x＜1时，y随x的增大而减小14．已知关于x的二次函数y＝x2－(2m－1)x＋m2＋3m＋4.　(1)探究m取不同值时，该二次函数的图象与x轴的交点的个数；(2)设该二次函数的图象与x轴的交点分别为A(x1，0)，B(x2，0)，且x12＋x22＝5，与y 轴的交点为C，它的顶点为M，求直线CM的函数表达式．二次函数的实际应用15．(2015·滨州)一种进价为每件40元的T恤，若销售单价为60元，则每周可卖出300件．为提高利润，欲对该T恤进行涨价销售．经过调查发现：每涨价1元，每周要少卖出10件．请确定该T恤涨价后每周的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式，并求销售单价定为多少元时，每周的销售利润最大．二次函数的综合应用16．在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，一直角边靠在两坐标轴上，且有点A(0，2)，点C(－1，0)，如图所示，抛物线y＝ax2＋ax－2经过点B.(1)求点B的坐标．(2)求抛物线的表达式．(3)在抛物线上是否还存在点P(点B除外)，使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．(第17题)答案专训1(第1题)1．解：如图，过点C 作CD ⊥x 轴于点D ，则∠CAD ＋∠ACD ＝90°.又∠BAC ＝90°，∴∠OAB ＋∠CAD ＝90°，∴∠OAB ＝∠ACD.又∵AB ＝AC ，∠AOB ＝∠CDA ＝90°，∴△AOB ≌△CDA(AAS )，∴AO ＝CD ＝1，BO ＝AD ＝2，∴OD ＝OA ＋AD ＝3，∴C(3，1)．∵点C(3，1)在抛物线y ＝12x 2＋bx －2上，∴1＝12×32＋3b －2，解得b ＝－12.∴抛物线对应的函数表达式为y ＝12x 2－12x －2.2．解：(1)根据题意知：A(0，－2)，B(2，－2)．∵A 点在抛物线上，∴c ＝－2.∵12a ＋5c ＝0，∴a ＝56.由AB ＝2知抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴－b 2a＝1.∴b ＝－53.∴抛物线对应的函数表达式为y ＝56x 2－53x －2.(2)①由题意知：PB ＝(2－2t) cm ，BQ ＝t cm ，∴S ＝PQ 2＝PB 2＋BQ 2＝(2－2t)2＋t 2，即S ＝5t 2－8t ＋4(0≤t≤1)．②假设存在点R ，可构成以P ，B ，R ，Q 为顶点的平行四边形．∵S ＝5t 2－8t ＋4＝5(t －45)2 ＋45(0≤t≤1)，∴当t ＝45时，S 取得最小值45，这时PB ＝0.4 cm ，BQ ＝0.8 cm ，易知P(1.6，－2)，Q(2，－1.2)．分情况讨论：(ⅰ)若R 在BQ 的右边，这时QR 綊PB ，则点R 的横坐标为2.4，纵坐标为－1.2，即R(2.4，－1.2)．将x ＝2.4代入y ＝56x 2－53x －2，得y ＝－1.2，∴点R 在抛物线上，即这时存在R(2.4，－1.2)满足题意．(ⅱ)若R 在BQ 的左边，PB 的上方，这时PR 綊QB ，则点R 的横坐标为1.6，纵坐标为－1.2，即R(1.6，－1.2)．易验证点R 不在抛物线y ＝56x 2－53x －2上．(ⅲ)若R 在BQ 的左边，PB 的下方，这时PR 綊QB ，则R(1.6，－2.8)．易验证点R 不在抛物线y ＝56x 2－53x －2上．综上所述，存在点R(2.4，－1.2)满足题意．3．4n4．解：(1)如图①，取AB 的中点G ，连接EG.△AGE 与△ECF 全等．(第4题)(2)①若点E 在线段BC 上滑动，AE ＝EF 总成立．证明：如图②，在AB 上截取AM ＝EC.∵AB ＝BC ，∴BM ＝BE ，∴△MBE 是等腰直角三角形，∴∠AME ＝180°－45°＝135°.又∵CF 平分正方形的外角，∴∠ECF ＝135°，∴∠AME ＝∠ECF.而∠BAE ＋∠AEB ＝∠CEF ＋∠AEB ＝90°，∴∠BAE ＝∠CEF ，∴△AME ≌△ECF ，∴AE ＝EF.②如图②，过点F 作FH ⊥x 轴于点H.易知FH ＝BE ＝CH.设BH ＝a ，则FH ＝a －1，∴点F 的坐标为(a ，a －1)．∵点F 恰好落在抛物线y ＝－x 2＋x ＋1上，∴a －1＝－a 2＋a ＋1，∴a 2＝2，∴a ＝2或－2(负值不合题意，舍去)，∴a －1＝2－1.∴点F 的坐标为(2，2－1)．专训21．解：(1)将A(4，0)，B(1，0)的坐标分别代入y ＝ax 2＋bx －2得{16a ＋4b －2＝0，a ＋b －2＝0.解得{a ＝－12，b ＝52.∴此抛物线对应的函数表达式为y ＝－12x 2＋52x －2.(2)存在．设点P 的横坐标为m ，则P 点的纵坐标为－12m 2＋52m －2，AM ＝4－m ，PM ＝－12m 2＋52m －2.又∵∠COA ＝∠PMA ＝90°，∴①当AM PM ＝AO OC ＝21时，△APM ∽△ACO.　即4－m ＝2(－12m 2＋52m －2)，解得m 1＝2，m 2＝4(舍去)，∴P(2，1)．②当AM PM ＝OC OA ＝12时，△APM ∽△CAO.　即2(4－m)＝－12m 2＋52m －2.解得m 1＝4，m 2＝5(均不合题意，舍去)．∴符合条件的点P 的坐标为P(2，1)．(第2题)2．解：(1)过点B 作BD ⊥y 轴于点D ，则∠BOD ＝120°－90°＝30°.由A(－2，0)可得OA ＝2，∴OB ＝2.于是在Rt △BOD 中，易得BD ＝1，OD ＝3.∴点B 的坐标为(1，3)．(2)由抛物线经过点A(－2，0)，O(0，0)可设抛物线对应的函数表达式为y ＝ax(x ＋2)，将点B(1，3)的坐标代入，得a ＝33，因此所求抛物线对应的函数表达式为y ＝33x 2＋233x.(3)存在．如图，易知抛物线的对称轴是直线x ＝－1，当点C 是抛物线的对称轴与线段AB 的交点时，△BOC 的周长最小．设直线AB 对应的函数表达式为y ＝kx ＋b ，则{k ＋b ＝3，－2k ＋b ＝0，解得{k ＝33，b ＝233，∴y ＝33x ＋233.当x ＝－1时，y ＝33，因此点C 的坐标为(－1，33).3．解：(1)设抛物线对应的函数表达式为：y 1＝a(x －1)2＋4，把A(3，0)的坐标代入求得a ＝－1.所以y 1＝－(x －1)2＋4＝－x 2＋2x ＋3.设直线AB 对应的函数表达式为：y 2＝kx ＋b ，由y 1＝－x 2＋2x ＋3求得B 点的坐标为(0，3)．把A(3，0)，B(0，3)的坐标分别代入y 2＝kx ＋b 中解得：k ＝－1，b ＝3，所以y 2＝－x ＋3.(2)因为C 点坐标为(1，4)，所以当x ＝1时，y 1＝4，y 2＝2.所以CD ＝4－2＝2，S △CAB ＝12×3×2＝3.(3)存在．设P 点的横坐标为x ，△PAB 的铅垂高为h ，若P 在直线AB 上方，则h ＝y 1－y 2＝(－x 2＋2x ＋3)－(－x ＋3)＝－x 2＋3x.由S △PAB ＝98S △CAB 得：12×3×(－x 2＋3x)＝98×3.化简得：4x 2－12x ＋9＝0，解得x ＝32.将x ＝32代入y 1＝－x 2＋2x ＋3中，解得y 1＝154.所以P 点坐标为(32，154).若P 在直线AB 下方，则h ＝y 2－y 1＝x 2－3x.由S △PAB ＝98S △CAB 得：12×3×(x 2－3x)＝98×3.化简得：4x 2－12x －9＝0，解得x ＝3±322.易求得P 点坐标为(3＋322，－3－624)，(3－322，－3＋624).综上，符合条件的点P 的坐标为(32，154)或(3＋322，－3－624)或(3－322，－3＋624).4．解：(1)∵抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过点A(1，0)，B(0，2)，∴{0＝1＋b ＋c ，2＝c.解得{b ＝－3，c ＝2.∴抛物线对应的函数表达式为y ＝x 2－3x ＋2.(2)当x ＝3时，由y ＝x 2－3x ＋2得y ＝2，可知抛物线y ＝x 2－3x ＋2过点(3，2)，∴将原抛物线沿y 轴向下平移1个单位后过点C.∴平移后抛物线对应的函数表达式为y ＝x 2－3x ＋1.(3)存在．假设存在点N ，则点N 在抛物线y ＝x 2－3x ＋1上，可设N 点坐标为(x 0，x 02－3x 0＋1)．由(2)知，BB 1＝DD 1＝1.将y ＝x 2－3x ＋1配方得y ＝(x －32)2 －54，∴抛物线的对称轴为直线x ＝32.当x 0<0时，易知点N 不存在．当0<x 0<32时，如图①，∵S △NBB 1＝2S △NDD 1，∴12×1×x 0＝2×12×1×(32－x 0)，　∴x 0＝1，此时x 02－3x 0＋1＝－1，∴点N 的坐标为(1，－1)；当x 0>32时，如图②，同理可得12×1×x 0＝2×12×1×(x 0－32)，∴x 0＝3，此时x 02－3x 0＋1＝1，∴点N 的坐标为(3，1)．综上，符合条件的点N 的坐标为(1，－1)或(3，1)．(第4题)(第5(2)题)5．解：(1)设抛物线对应的函数表达式为y ＝a(x ＋4)(x －2)，把B(0，－4)的坐标代入，得－4＝a×(0＋4)(0－2)，解得a ＝12，∴抛物线对应的函数表达式为：y ＝12(x ＋4)(x －2)，即y ＝12x 2＋x －4.(2)如图，过点M 作MD ⊥x 轴于点D ，设M 点的坐标为(m ，n)，则AD ＝m ＋4，MD ＝－n ，n ＝12m 2＋m －4，∴S ＝S △AMD ＋S 梯形DMBO －S △ABO ＝12(m ＋4)(－n)＋12(－n ＋4)(－m)－12×4×4＝－2n －2m －8＝－2×(12m 2＋m －4)－2m －8＝－m 2－4m＝－(m ＋2)2＋4(－4<m<0)，∴S 最大值＝4.(第5(3)题)(3)设P (x ，12x 2＋x －4).①如图①，当OB 为边时，根据平行四边形的性质知PQ ∥OB ，∴Q 的横坐标等于P 的横坐标，又∵点Q 在直线y ＝－x 上，∴Q(x ，－x)．由PQ ＝OB ，得|－x －(12x 2＋x －4)|＝4，解得x ＝0或x ＝－4或x ＝－2±25.x ＝0不合题意，舍去．由此可得Q 点的坐标为(－4，4)或(－2＋25，2－25)或(－2－25，2＋25)；②如图②，当BO 为对角线时，知A 与P 应该重合，OP ＝4，四边形PBQO 为平行四边形，则BQ ＝OP ＝4，∴Q 点的横坐标为4，代入y ＝－x 得出Q 的坐标为(4，－4)．故满足题意的Q 点的坐标有四个，分别是(－4，4)，(4，－4)，(－2＋25，2－25)，(－2－25，2＋25)．6．解：(1)A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)，抛物线的对称轴是直线x ＝1；(2)①设直线BC 对应的函数表达式为：y ＝kx ＋b ，把B(3，0)，C(0，3)的坐标分别代入得：{3k ＋b ＝0，b ＝3，解得：{k ＝－1，b ＝3，所以直线BC 对应的函数表达式为：y ＝－x ＋3，当x ＝1时，y ＝－1＋3＝2，∴E(1，2)．当x ＝m 时，y ＝－m ＋3，∴P(m ，－m ＋3)．在y ＝－x 2＋2x ＋3中，当x ＝1时，y ＝4，∴D(1，4)，当x ＝m 时，y ＝－m 2＋2m ＋3，∴F(m ，－m 2＋2m ＋3)，∴线段DE ＝4－2＝2，线段PF ＝－m 2＋2m ＋3－(－m ＋3)＝－m 2＋3m.∵PF ∥DE ，∴当PF ＝DE 时，四边形PEDF 为平行四边形．由－m 2＋3m ＝2，解得：m 1＝2，m 2＝1(不合题意，舍去)，因此，当m ＝2时，四边形PEDF 为平行四边形．②设直线PF 与x 轴交于点M ，由B(3，0)，O(0，0)，可得：OB ＝OM ＋MB ＝3，∵S ＝S △BPF ＋S △CPF ，即S ＝12PF·BM ＋12PF·OM ＝12PF·(BM ＋OM)＝12PF·OB ，∴S ＝12×3(－m 2＋3m)＝－32m 2＋92m(0<m<3)．7．解：(1)由抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 过点A(－1，0)及C(2，3)得，{－1－b ＋c ＝0，－4＋2b ＋c ＝3，解得{b ＝2，c ＝3，故抛物线对应的函数表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3.设直线AC 对应的函数表达式为y ＝kx ＋n ，由直线过点A(－1，0)及C(2，3)得{－k ＋n ＝0，2k ＋n ＝3，解得{k ＝1，n ＝1.故直线AC 对应的函数表达式为y ＝x ＋1.　(2)作N 点关于直线x ＝3的对称点N′，易知N(0，3)，则N′(6，3)，由(1)得D(1，4)，故直线DN′对应的函数表达式为y ＝－15x ＋215，当M(3，m)在直线DN′上时，MN ＋MD 的值最小，则m ＝－15×3＋215＝185.(3)能．由(1)、(2)得D(1，4)，B(1，2)．∵点E 在直线AC 上，设E(x ，x ＋1)，①当点E 在线段AC 上时，点F 在点E 上方，则F(x ，x ＋3)．∵F 在抛物线上，∴x ＋3＝－x 2＋2x ＋3，解得x ＝0或x ＝1(舍去)∴E(0，1)；②当点E 在线段AC(或CA)延长线上时，点F 在点E 下方，则F(x ，x －1)．∵F 在抛物线上，∴x －1＝－x 2＋2x ＋3，解得x ＝1－172或x ＝1＋172.∴E (1－172，3－172)或(1＋172，3＋172)　综上，满足条件的点E 为E(0，1)或(1－172，3－172)或(1＋172，3＋172)．　(4)方法一：过点P 作PQ ⊥x 轴交AC 于点Q ；过点C 作CG ⊥x 轴于点G ，如图①.设Q(a ，a ＋1)，则P(a ，－a 2＋2a ＋3)．∴PQ ＝(－a 2＋2a ＋3)－(a ＋1)＝－a 2＋a ＋2.又∵S △APC ＝S △APQ ＋S △CPQ ＝12PQ·AG＝12(－a 2＋a ＋2)×3＝－32(a －12)2 ＋278，∴△APC 的面积的最大值为278.方法二：过点P 作PQ ⊥x 轴交AC 于点Q ，交x 轴于点H ；过点C 作CG ⊥x 轴于点G ，如图②，设Q(a ，a ＋1)，则P(a ，－a 2＋2a ＋3)．又∵S △APC ＝S △APH ＋S 直角梯形PHGC －S △AGC ＝12(a ＋1)(－a 2＋2a ＋3)＋12(－a 2＋2a ＋3＋3)(2－a)－12×3×3＝－32a 2＋32a ＋3＝－32(a －12)2 ＋278，∴△APC 的面积的最大值为278.(第7题)专训31．C 2.C3．C 点拨：根据函数图象开口向下可得a ＜0，所以①错误；因为抛物线与x 轴的交点坐标为(－1，0)，(3，0)，所以其对称轴为直线x ＝1，所以－b2a＝1，因此2a ＋b ＝0，所以②正确；当x ＝1时，y ＝a ＋b ＋c ＞0，所以③正确；当－1＜x ＜3时，y ＞0, 所以④正确．所以②③④正确．4.(14，78)；x ＞145.12(答案不唯一)　6.D 7．y ＝－18x 2＋2x ＋1　8.－19．解：∵y ＝－x 2＋x －3＝－(x －12)2 －114，∴抛物线的对称轴为直线x ＝12.∵将此抛物线向上平移，∴抛物线的开口大小、方向及对称轴不变．∴可设平移后抛物线的解析式为y ＝－(x －12)2＋a.将(0，2)代入得2＝－(0－12)2 ＋a.解得a ＝94.∴平移后抛物线的解析式为y ＝－(x －12)2 ＋94，即y ＝－x 2＋x ＋2.10．解：∵对称轴x ＝－－5a 2a ＝52，且BC ∥x 轴，∴BC ＝AC ＝5.易知OC ＝4，∴OA ＝3，即A(－3，0)．∴9a ＋15a ＋4＝0，a ＝－16.∴抛物线的解析式为y ＝－16x 2＋56x ＋4.11．A 12.D 13.D 14．解：(1)令y ＝0，得x 2－(2m －1)x ＋m 2＋3m ＋4＝0，Δ＝(2m －1)2－4(m 2＋3m ＋4)＝－16m －15.当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根，即－16m －15＞0，∴m ＜－1516，此时二次函数的图象与x 轴有两个交点；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，即－16m －15＝0，∴m ＝－1516，此时二次函数的图象与x 轴只有一个交点；当Δ＜0时，方程没有实数根，即－16m －15＜0，∴m ＞－1516，此时二次函数的图象与x 轴没有交点．(2)由一元二次方程根与系数的关系得x 1＋x 2＝2m －1，x 1x 2＝m 2＋3m ＋4，∴x 12＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝(2m －1)2－2(m 2＋3m ＋4)＝2m 2－10m －7.∵x 12＋x 22＝5，∴2m 2－10m －7＝5.∴m 2－5m －6＝0.解得m 1＝6，m 2＝－1.∵m ＜－1516，∴m ＝－1.∴y ＝x 2＋3x ＋2.令x ＝0，得y ＝2，∴二次函数的图象与y 轴的交点C 的坐标为(0，2)．又∵y ＝x 2＋3x ＋2＝(x ＋32)2 －14，∴顶点M 的坐标为(－32，－14)．设过点C(0，2)与M(－32，－14)的直线的函数解析式为y ＝kx ＋b ，则{2＝b ，－14＝－32k ＋b ，解得{k＝32，b ＝2.∴直线CM 的函数解析式为y ＝32x ＋2.15．解：由题意，得y ＝(x －40)[300－10(x －60)]，即y ＝－10x 2＋1 300x －36 000(60≤x≤90)．配方，得y ＝－10(x －65)2＋6 250.∴当x ＝65时，y 有最大值6 250.因此，当该T 恤销售单价定为65元时，每周的销售利润最大．(第16题)16．解：(1)如图，过点B作BD⊥x轴，垂足为D.∵∠BCD＋∠ACO＝90°，∠ACO＋∠CAO＝90°，∴∠BCD＝∠CAO.又∵∠BDC＝∠COA＝90°，CB＝AC，∴△BCD≌△CAO，∴BD＝OC＝1，CD＝OA＝2，∴点B的坐标为(－3，1)．(2)∵抛物线y＝ax2＋ax－2经过点B(－3，1)，∴1＝9a－3a－2，解得a＝1 2 .∴抛物线的解析式为y＝12x2＋12x－2.　(3)假设存在点P，使得△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形(如图所示)．①若以点C为直角顶点，则延长BC至点P1，使得P1C＝BC，得到等腰直角三角形ACP1，过点P1作P1M⊥x轴于点M，∵CP1＝BC，∠MCP1＝∠BCD，∠P1MC＝∠BDC＝90°，∴△MP1C≌△DBC，∴CM＝CD＝2，P1M＝BD＝1，可求得点P1的坐标为(1，－1)；②若以点A为直角顶点，则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2＝AC，得到等腰直角三角形ACP2，过点P2作P2N⊥y轴于点N，同理可证△AP2N≌△CAO，∴NP2＝OA＝2，AN＝OC＝1，可求得点P2的坐标为(2，1)．经检验，点P1(1，－1)与点P2(2，1)都在抛物线y＝12x2＋12x－2上．。

难点探究专题：二次函数与几何图形的综合(选做)——代几结合，突破点的存在性问题类型一二次函数中的线段(和、差)或周长最值问题1. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－x－与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E(4，n)在抛物线上．(1)求直线AE的解析式；(2)点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC，PE.当△PCE的面积最大时，连接CD，CB，点K是线段CB的中点，点M是CP上的一点，点N是CD上的一点，求KM＋MN＋NK的最小值．【答案】（1）y＝x＋；（2）3.【解析】试题分析：（1）当y=0时，可求得点A、B坐标，将点E（4，n）代入解析式求得点E坐标，根据A、E两点坐标求直线AE解析式；（2）先求出直线CE的解析式，设过点P作PF∥y轴，交CE于点F.设点P的坐标为，则点F，根据S△EPC＝×PF×4求得S△EPC最大时x的值，作点K关于CD和CP的对称点G，H，连接GH分别交CD和CP于点N，M.先证点G与点O重合，再求得点H的坐标，由KM＋MN＋NK＝MH＋MN＋ON.当点O，N，M，H在一条直线上时，KM＋MN＋NK有最小值，最小值为OH，求得OH即可.解：(1)当y＝x2－x－＝0时，解得x1=-1,x2=3,∴A(－1，0)，B(3，0)．当x＝4时，y＝，∴E（4，）.设直线AE的解析式为y＝kx＋b，将点A和点E的坐标代入得，解得k＝，b＝.∴直线AE的解析式为y＝x＋.(2)当x=0时，二次函数y=-，则C（0，-），设直线CE的解析式为y＝mx－，将点E的坐标（4，）代入得4m－＝，解得m＝.∴直线CE的解析式为y＝x－.如图,过点P作PF∥y轴，交CE于点F.设点P的坐标为，则点F，则FP＝－＝－x2＋x.∴S△EPC＝×（－x2＋）×4＝－x2＋x＝－(x－2)2＋.∴当x＝2时，△EPC的面积最大，∴P(2，－).此时PC∥x轴．学,科,网...学,科,网...类型二二次函数与三角形的综合2. 如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c(a≠0)与x轴、y轴分别交于点A(3，0)，B(0，3)两点．(1)试求抛物线的解析式和直线AB的解析式；(2)动点E从O点沿OA方向以1个单位/秒的速度向终点A匀速运动，同时动点F沿AB方向以个单位/秒的速度向终点B匀速运动，E，F任意一点到达终点时另一个点停止运动，连接EF，设运动时间为t，当t为何值时，△AEF为直角三角形？【答案】（1）y＝－x2＋2x＋3，y＝－x＋3；（2）当t为或1时，△AEF为直角三角形．【解析】试题分析：（1）将点A、B坐标代入抛物线解析式，解得b、c即可得抛物线解析式.设直线AB的解析式为y＝kx＋n，将点A、B坐标代入即可解得直线AB解析式；（2）先求出OA＝3，AB＝3，OE＝t，AF＝t，AE＝3－t.由△AEF为直角三角形，有∠AEF＝90°和∠AFE ＝90°两种情况，分别利用相识求解.(2)由题意可知OA＝3，AB＝3，OE＝t，AF＝t，∴AE＝3－t.∵△AEF为直角三角形，有∠AEF＝90°和∠AFE＝90°两种情况：①当∠AEF＝90°时，易证△AOB∽△AEF，∴，即，解得t＝；②当∠AFE＝90°时，易证△AOB∽△AFE，∴，即，解得t＝1.综上所述，当t为或1时，△AEF为直角三角形．3. 如图，抛物线y＝ax2＋bx－2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，已知A(3，0)，且M（1，）是抛物线上另一点．(1)求a，b的值；(2)连接AC，设点P是y轴上任一点，若以P，A，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，求P点的坐标．【答案】（1）；（2）P点的坐标为(0，2)或(0，－2)或或(0，－2－)．【解析】试题分析：将A、M坐标代入抛物线解析式便可解得a、b的值；（2）分别求出A、P、C的坐标，求得AP、PC、AC的值，当△P AC为等腰三角形时，分3种情况：①P A ＝CA；②PC＝CA；③PC=PA讨论.解：(1)把A(3，0)，M（1，）代入y＝ax2＋bx－2，得，解得.(2)在y＝ax2＋bx－2中，当x＝0时．y＝－2，∴C(0，－2)，∴OC＝2.如图，设P(0，m)，则PC＝|m＋2|.∵A(3，0)，∴OA＝3，∴AC＝＝ .当△P AC为等腰三角形时，有以下3种情况：①当P A＝CA时，则OP1＝OC＝2，∴P1(0，2)；②当PC＝CA＝时，即|m＋2|＝，∴m＝－2或m＝－－2，∴P2(0，－2)或P4(0，－2－)；③当PC=PA时，由PA==，则=|m＋2|，解得m＝，∴P3.综上所述，P点的坐标为(0，2)或(0，－2)或或(0，－2－)．4. 如图，抛物线y＝－[(x－2)2＋n]与x轴交于点A(m－2，0)和B(2m＋3，0)(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，连接BC.(1)求m，n的值；(2)点N为抛物线上的一动点，且位于直线BC上方，连接CN，BN.求△NBC面积的最大值．【答案】（1）m＝1，n＝－9；（2）.【解析】试题分析：（1）由抛物线解析式可得出抛物线的对称轴为直线x＝2，又由点A和点B是抛物线与x轴的交点，则A和B关于对称轴对称，则＝2，便可求得m，得出点A和点B坐标，将A坐标代入抛物线便求得n；（2）过点N作ND∥y轴交BC于D.先求得BC解析式，设点N坐标(x，－x2＋x＋3)，便可得点D坐标，则得ND的值，由S△NBC＝S△NDC＋S△NDB＝×5×ND得S△NBC关于x的二次函数，便可求得最大值.解：(1)∵抛物线的解析式为y＝－[(x－2)2＋n]＝－(x－2)2－n，∴抛物线的对称轴为直线x＝2.∵点A和点B关于直线x＝2对称，∴＝2，解得m＝1，∴点A的坐标为(－1，0)，点B的坐标为(5，0)．把A(－1，0)代入y＝－[(x－2)2＋n]得9＋n＝0，解得n＝－9.(2)过点N作ND∥y轴交BC于D.由(1)可得抛物线的解析式为y＝－[(x－2)2－9]＝－x2＋x＋3.当x＝0时，y＝3，则点C的坐标为(0，3)．设直线BC的解析式为y＝kx＋b，把B(5，0)，C(0，3)代入y＝kx＋b得，解得 .∴直线BC的解析式为y＝－x＋3.设点N的坐标为(x，－x2＋x＋3)，则点D的坐标为(x，－x＋3)，∴ND＝－x2＋x＋3－(－x＋3)＝－x2＋3x，∴S△NBC＝S△NDC＋S△NDB＝×5×ND＝(－x2＋3x)＝－x2＋x＝－＋，当x＝时，△NBC面积最大，最大值为.类型三二次函数与特殊四边形的综合5. 如图，抛物线经过A(－1，0)，B(5，0)，C(0，－) 三点．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点P，使P A＋PC的值最小，求点P的坐标；(3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝x2－2x－；（2）；（3）存在，点N的坐标为或或. 【解析】试题分析：本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式、平行四边的判定与性质、全等三角形等知识，在解答（3）时要注意进行分类讨论．（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），再把A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点代入求出a、b、c的值即可；（2）因为点A关于对称轴对称的点B的坐标为（5，0），连接BC交对称轴直线于点P，求出P点坐标即可；（3）分点N在x轴下方或上方两种情况进行讨论．试题解析：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），∵A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点在抛物线上，∴，解得．∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣；（2）∵抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣，∴其对称轴为直线x=﹣=﹣=2，连接BC，如图1所示，∵B（5，0），C（0，﹣），∴设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），∴，解得，∴直线BC的解析式为y=x﹣，当x=2时，y=1﹣=﹣，∴P（2，﹣）；（3）存在．如图2所示，①当点N在x轴下方时，∵抛物线的对称轴为直线x=2，C（0，﹣），∴N1（4，﹣）；②当点N在x轴上方时，如图2，过点N2作N2D⊥x轴于点D，在△AN2D与△M2CO中，∴△AN2D≌△M2CO（ASA），∴N2D=OC=，即N2点的纵坐标为．∴x2﹣2x﹣=，解得x=2+或x=2﹣，∴N2（2+，），N3（2﹣，）．综上所述，符合条件的点N的坐标为N1（4，﹣），N2（2+，）或N3（2﹣，）．考点：二次函数综合题．。