巧构造，妙解题
等腰三角形的性质定理和判定定理分别为：等边对等角，等角对等边。在求解或证明边长与角度的问题时，如果能够巧妙地构造出等腰三角形，就可以利用等腰三角形的性质定理和判定定理简便地解决问题。下面介绍几种构造等腰三角形的方法，供大家学习时参考。
一、“角平分线+平行线”构造等腰三角形
例1、如图，在△ABC 中，已知∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点F ，过F 作DE//BC ，交AB 于点D ，交AC 于点E ，若BD +CE=10，则线段DE 的长为_______
F E D
C B
A
分析：由DE//BC ，BF 和CF 分别平分∠ABC 和∠ACB ，先判断△BDF 和△CEF 是等腰三角形，从而将DE 转化为DF +FE= BD +CE
解：∵BF 平分∠ABC ，∴∠DBF=∠FBC ，又∵DE//BC ，则∠DFB=∠FBC ，∴∠DBF=∠DFB ，∴DB=DF ，同理EF=EC ，∴DE=DF +FE= BD +CE=10
二、“角平分线+垂行线”构造等腰三角形
例2、如图所示，在△ABC 中，BM 是∠ABC 的平分线，AD ⊥BM 于点D ，求证：∠BAD=∠DAC +∠C
M E D C B
A
分析：由BM 是∠ABC 的平分线，AD ⊥BM ，我们只要延长AD 与BC 交于点E ，△ABE 就是等腰三角形。
证明：延长交BC 于点E ，∵BM 是∠ABC 的平分线，∴∠ABD=∠EBD ，∵AD ⊥BM ，
∴∠ADB=∠EDB=90°，在△ABD 和△EBD 中，ABD EBD ADB EDB BD BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，∴△ABD ≌△EBD ，
∴∠BAD==∠BED=∠DAC +∠C ，即∠BAD=∠DAC +∠C
三、用“垂直平分线” 构造等腰三角形
例3、如图所示，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=15°，AB 的垂直平分线交BC 于点D ，交AB 于点M ，BD=8，求AC 的长
M
D
C B
A
分析：由MD 垂直平分AB ，联想到连接AD ，构造出一个等腰三角形，则AD=BD ，∠B=∠BAD=15°，再结合直角三角形的性质可得
解：连接AD ，∵MD 垂直平分AB ，∴ND=AD=8，∴∠B=∠BAD=15°，∴∠ADC=∠B +∠BAD=30°，在Rt △ACD 中，∠ADC =30°，∴142
AC AD =
= 四、用“三角形中2倍角的关系” 构造等腰三角形
例4、如图所示，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，∠B=2∠C ，求证：AB BD CD += 分析：由已知AD ⊥BC ，∠B=2∠C ，如果我们在CD 上截取DE=DB ，连接AE ，就可以构造出两个等腰三角形△ABE 和△AEC E
D C
B A
证明：在上截取DE=DB ，连接AE ，∵AD ⊥BC ，DE=DB ，∴AE=AB ，∴∠B=∠AEB ，又∵∠AEB=∠C +∠CAE=2∠C ，∴∠CAE=∠C ，∴AE=EC ，AB BD AE ED EC ED CD +=+=+=
