四色问题的直观几何论证及单纯性地图四色定理

四色猜想四色图猜想是什么?各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢四色猜想四色猜想此猜想已被证明不再是猜想是定理了四色原理世界近代三大数学难题之一.四色猜想的提出来自英国.1852年,毕业于伦敦大学的弗南西斯·格思里(Francis Guthrie)来到一家科研单位搞地图着色工作时,发现了一种有趣的现象：“看来,每幅地图都可以用四种颜色着色,使得有共同边界的国家着上不同的颜色.”这个结论能不能从数学上加以严格证明呢?他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试.兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠,可是研究工作没有进展.1852年10月23日,他的弟弟就这个问题的证明请教他的老师、著名数学家德·摩尔根,摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径,于是写信向自己的好友、著名数学家哈密尔顿爵士请教.哈密尔顿接到摩尔根的信后,对四色问题进行论证.但直到1865年哈密尔顿逝世为止,问题也没有能够解决.1872年,英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题,于是四色猜想成了世界数学界关注的问题.世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战.1878～1880年两年间,著名的律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文,宣布证明了四色定理,大家都认为四色猜想从此也就解决了.11年后,即1890年,数学家赫伍德以自己的精确计算指出肯普的证明是错误的.不久,泰勒的证明也被人们否定了.后来,越来越多的数学家虽然对此绞尽脑汁,但一无所获.于是,人们开始认识到,这个貌似容易的题目,其实是一个可与费马猜想相媲美的难题：先辈数学大师们的努力,为后世的数学家揭示四色猜想之谜铺平了道路.进入20世纪以来,科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行.1913年,伯克霍夫在肯普的基础上引进了一些新技巧,美国数学家富兰克林于1939年证明了22国以下的地图都可以用四色着色.1950年,有人从22国推进到35国.1960年,有人又证明了39国以下的地图可以只用四种颜色着色；随后又推进到了50国.看来这种推进仍然十分缓慢.电子计算机问世以后,由于演算速度迅速提高,加之人机对话的出现,大大加快了对四色猜想证明的进程.1976年,在J. Koch的算法的支持下,美国数学家阿佩尔(Kenneth Appel)与哈肯(Wolfgang Haken)在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上,用了1200个小时,作了100亿判断,终于完成了四色定理的证明.四色猜想的计算机证明,轰动了世界,当时中国科学家也有在研究这原理.它不仅解决了一个历时100多年的难题,而且有可能成为数学史上一系列新思维的起点.证明方法将地图上的无限种可能情况减少为1,936种状态,这些状态由计算机一个挨一个的进行检查.这一工作由不同的程序和计算机独立的进行了复检.在1996年,Neil Robertson、Daniel Sanders、Paul Seymour和Robin Thomas使用了一种类似的证明方法,检查了633种特殊的情况.这一新证明也使用了计算机,如果由人工来检查的话是不切实际的.四色定理是第一个主要由计算机证明的理论,这一证明并不被所有的数学家接受,因为它不能由人工直接验证.最终,人们必须对计算机编译的正确性以及运行这一程序的硬件设备充分信任.德·摩尔根：地图四色定理德·摩尔根致哈密顿的信我的一位学生今天请我解释一个我过去不知道,现在仍不甚了了的事实.他说如果任意划分一个图形并给各部分着上颜色,使任何具有公共边界的部分颜色不同,那么需要且仅需要四种颜色就够了.下图是需要四种颜色的例子.现在的问题是是否会出现需要五种或更多种颜色的情形.就我目前的理解,若四个不订分割的区域两两具有公共边界线,则其中三个必包围第四个而使其不与任何第五个区域相毗邻.这事实若能成立,那么用四种颜色即可为任何可能的地图着色,使除了在公共点外同种颜色不会.现画出三个两两具有公共边界的区域ABC,那么似乎不可能再画第四个区域与其他三个区域的每一个都有公共边界,除非它包围了其中一个区域.但要证明这一点却很棘手,我也不能确定问题复杂的程度一对此您的意见如何呢?并且此事如果当真,难道从未有人注意过吗?我的学生说这是在给一幅英国地图着色时提出的猜测.我越想越觉得这是显然的事情.如果您能举出一个简单的反例来,说明我像一头蠢驴,那我只好重蹈史芬克斯①的复辙了…….各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢。

世界地图为什么只有 4 种颜色？在一张世界地图上，要给相邻国家涂上不同的颜色，至少需要多少种颜色呢？答案是四种颜色。

这就是数学界非常有名的四色定理，这个最初源于给地图上国家上色的有趣问题被誉为世界近代三大数学问题之一。

数学家用了100 多年的时间才给出了真正的证明，所用的计算机证明也登上了数学舞台。

如今，在图论领域，还有许多由四色定理衍生出来的有趣问题。

例如，一个起源于收音机广播电台的问题：在一个无限大的网格纸上填入数字，同一个数字之间的“距离”必须大于这个数字本身，那么最少需要多少个数字能覆盖整个平面？年幼的你会对着书房墙面上的世界地图发呆吗？凝视着那五颜六色的图案，畅想着自己将来有一天能够环游世界。

而在 19 世纪的英国，一个古老且经典的数学问题——着色问题，就诞生于这样一份凝视。

应用四色定理填色的世界地图，图片来源：自然资源部标准地图服务系统四色问题的起源故事开始于 1852 年，英国地图制图师弗朗西斯·古特里（Francis Guthrie）在观察地图时提出了一个“给地图着色”的问题。

他发现只需要四种颜色就可以对地图进行着色，使得相邻的国家颜色不同。

但令他不解的是，这个数字“4”是否是最优的呢？于是他向他的弟弟弗雷德里克·古特里（Frederick Guthrie）及其朋友们寻求帮助。

在交流中，他们逐渐认识到这个问题与数学有着深刻的联系。

于是弗雷德里克向他的老师——伦敦大学学院的数学家奥古斯塔斯·德摩根（Augustus De Morgan）寻求帮助。

德摩根教授尝试之后也无能为力，于是写信将这个问题转交给了他的好友爱尔兰数学家威廉·哈密顿（William Hamilton）教授。

遗憾的是，充满智慧的哈密顿对这个问题并没有太大的兴趣。

摩尔根在信中写道：“一位学生今天让我说明一个事实，我们不知道它是否可作为一个事实。

他说将平面上的一个图形，任意划分成有限个部分并对其每个部分染色，使得相邻部分具有不同的颜色，而且只能用四种颜色。

四色问题
英国人格思里于1852年提出四色问题(four colour problem，亦称四色猜想)，即在为一平面或一球面的地图着色时，假定每一个国家在地图上是一个连通域，并且有相邻边界线的两个国家必须用不同的颜色，问是否只要四种颜色就可完成着色。

1878年英国数学家凯莱重新提出这问题，引起人们关注。

次年，英国数学家肯普提出用可约构形证明四色问题，虽然他的证明过程有漏洞，但为该问题的解决指出方向。

1890年英国人希伍德沿着这方向证明了任何地图只用五种颜色着色便够了，取得初步进展。

1913年美国数学家伯克霍夫发现一些新的可约构形。

1968年挪威数学家奥雷等人证明了用四种颜色一定可以把不超过四十个国家的地图着色，推进了四色问题的研究。

70年代初人们努力寻找可约构形中的不可免完备集，因为用它可以通过数学归纳法证明四色问题。

1976年美国数学家哈肯和阿佩尔花了1200多小时的电子计算器工作时间，找到一个由1936个可约构形所组成的不可免完备集，因而在美国数学会通报上宣称证明了四色猜想。

后来他们又将组成不可免完备集的可约构形减至1834个。

四色问题的研究对平面图理论、代数拓扑论、有限射影几何和计算器编码程序设计等理论的发展起了推动作用。

四色定理，也被称为四色问题，是一个著名的图论问题，它提出了一个简洁而有趣的断言：任何平面地图都可以用不超过四种颜色进行着色，使得任意两个相邻的地区颜色不同。

尽管四色定理的最简单证明仍然非常复杂，需要使用高级数学工具，但我可以尝试为您提供一个基本的思路。

思路如下：
1. 假设存在一个需要五种或更多颜色才能正确着色的地图。

2. 选择其中一个地图并标记为A。

3. 找到A与其他地图相邻的地图，标记为B。

4. 找到A与B相邻的地图，标记为C。

5. 找到A、B和C都相邻的地图，标记为D。

6. 因为A、B、C和D都相邻，根据四色定理，它们应该可以用不超过四种颜色进行着色。

然而，根据假设，我们需要五种或更多颜色。

这导致了矛盾。

7. 因此，根据反证法，我们可以得出结论：任何平面地图都可以用不超过四种颜色进行着色。

需要注意的是，这只是一个简单的思路，而且四色定理的详细证明涉及复杂的图论和组合数学的技术。

数学家们在数十年的努力中最终证明了这个定理的正确性。

四⾊定理四⾊定理⼜称四⾊猜想、四⾊问题，是世界三⼤数学猜想之⼀。

四⾊定理是⼀个著名的数学定理，通俗的说法是：每个平⾯地图都可以只⽤四种颜⾊来染⾊，⽽且没有两个邻接的区域颜⾊相同。

1976年借助电⼦计算机证明了四⾊问题，问题也终于成为定理，这是第⼀个借助计算机证明的定理。

四⾊定理[1]问题的提出肯普的研究肯普的贡献缓慢的进展计算机证明修正和改良⽬录研究历史1推理2问题影响3实际应⽤4问题的提出1852年，毕业于伦敦⼤学的格斯⾥（FrancisGuthrie ）来到⼀家科研单位搞地图着⾊⼯作时，发现每幅地图都可以只⽤四种颜⾊着⾊。

这个现象能不能从数学上加以严格证明呢？他和他正在读⼤学的弟弟决⼼试⼀试，但是稿纸已经堆了⼀⼤叠，研究⼯作却是没有任何进展。

1852年10⽉23⽇，他的弟弟就这个问题的证明请教了他的⽼师、著名数学家德·摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向⾃⼰的好友、著名数学家哈密顿爵⼠请教，但直到1865年哈密顿逝世为⽌，问题也没有能够解决。

1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四⾊猜想成了世界数学界关注的问题，世界上许多⼀流的数学家都纷纷参加了四⾊猜想的⼤会战。

从此，这个问题在⼀些⼈中间传来传去，当时，三等分⾓和化圆为⽅问题已在社会上“臭名昭著”，⽽“四⾊瘟疫”⼜悄悄地传播开来了。

肯普的研究1878～1880年两年间，著名的律师兼数学家肯普(Alfred Kempe)和泰勒(Peter Guthrie Tait)两⼈分别提交了证明四⾊猜想的论⽂，宣布证明了四⾊定理。

⼤家都认为四⾊猜想从此也就解决了，但其实肯普并没有证明四⾊问题。

11年后，即1890年，在⽜津⼤学就读的年仅29岁的赫伍德以⾃⼰的精确计算指出了肯普在证明上的漏洞。

他指出肯普说没有极⼩五⾊地图能有⼀国具有五个邻国的理由有破绽。

不久泰勒的证明也被⼈们否定了。

⼈们发现他们实际上证明了⼀个较弱的命题——五⾊定理。

四色问题一、四色问题的概念“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。

”用数学语言表示，即“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。

”（这里所指的相邻区域，是指有一整段边界是公共的。

如果两个区域只相遇于一点或有限多点，就不叫相邻的。

因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆。

）二、四色问题的发现四色问题又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一。

（世界近代另外两大大数学难题：费马最后定理：当整数n > 2时，关于x, y, z 的不定方程n n n z y x ，无正整数解。

哥德巴赫猜想：任一大于2的整数都可写成三个质数之和。

）四色猜想的提出来自英国。

1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯·格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家都被着上不同的颜色。

”这个现象能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。

兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。

弟弟格里斯只好就此请教他的老师、著名数学家德·摩尔根（A ，Demorgan ，1806～1871）。

摩尔根也没能证明此题，于是写信向他的好友、著名数学家哈密尔顿爵士请教。

哈密尔顿随即也试图对该问题进行论证。

但是直到十多年之后的1865年，哈密尔顿去世的时候，他也没有能证明此题。

从此，这个问题在一些人中间传来传去，当时，三等分角和化圆为方问题已在社会上“臭名昭著”，而“四色瘟疫”又悄悄地传播开来了。

三、四色问题的提出1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。

世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。

（凯利一生仅出版一本专著，便是1876年的《椭圆函数初论》，但发表了近1000篇论文，其中一些影响极为深远。

地图四色问题地图四色猜想，和哥德巴赫（Gold Bach）猜想,费马（Pierre de Fermat）大定理一起被称作三大著名数学难题。

1852年,F.格思里(Francis Guthrie 1831-1899)和他哥哥弗雷德里克同在伦敦上学。

他写信给哥哥,说他发现每张地图上的国家总能用四种颜色来着色,而使邻国的颜色都不相同。

这里邻国的意思是指有共同的边界线而不是只在一些点处接触。

而且国家是指连通在一起的区域。

.格思里问弗雷德里克，有没有数学方法证明这个四色猜想正确与否。

当时，弗雷德里克还在伦敦大学的学院中，弟兄两都在听德摩根的课，德摩根是当时主要的数学家之一。

弗雷德里克不能回答弟弟的问题，就去请教德摩根，但德摩根也找不出任何方法，于是他就写信去请教当时图论界的权威－－哈密顿。

事实上，1852年10月23日, 德摩根在致哈密顿的一封信中提供了有关四色定理来源的最原始记载。

他在信中简述了自己对证明四色定理的设想和感受。

他在信中说：“我的一位学生今天请我解释一个我过去不知道，现在仍不甚了了的事实。

他说如果任意划分一个图形并给各部分着上颜色，使任何具有公共边界的部分颜色不同，那么需要且仅需要四种颜色就够了。

下图是需要四种颜色的例子（图２）。

现在的问题是是否会出现需要五种或更多种颜色的情形。

就我目前的理解，若四个不定分割的区域两两具有公共边界线，则其中三个必包围第四个而使其不与任何第五个区域相毗邻。

这事实若能成立，那么用四种颜色即可为任何可能的地图着色，使除了在个别公共点外同种颜色不会相邻。

画出三个两两具有公共边界的区域ABC，那么除非包围其中一个区域，似乎不可能再画出第四个区域与其他三个区域的每一个都有公共边界了（图2）。

但要证明这一点却很棘手，我也不能确定问题复杂的程度一对此您的意见如何呢？并且此事如果当真，难道从未有人注意过吗？我的学生说这是在给一幅英国地图着色时提出的猜测。

我越想越觉得这是显然的事情。

四色问题作者：来源：《初中生世界·八年级》2014年第04期绘制地图，除了要求保证其准确性外，如何给地图着色，从而能明显地区分地图上的各个区域，也是十分重要的. 很早以前，绘图员就发现，只要配置几种颜色就可以给任何地图着色了. 究竟最少要用几种颜色呢？这倒变成数学家们十分感兴趣的问题了.四色问题的提出1852年，毕业于伦敦大学的英国青年数学家格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家都被着上不同的颜色. ”这个现象能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟决心试一试. 兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作依然没有进展.1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教了他的老师——著名数学家德·摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友——著名数学家哈密顿爵士请教. 哈密顿接到摩尔根的信后，对四色问题进行论证. 但直到1865年哈密顿逝世为止，问题也没有能够解决.1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题.世界上许多数学家争相进行研究，其中有肯普、希伍德、闵可夫斯基等，结果仍然进展甚微. 人们开始认识到，这貌似简单的题目，其实是一道超级数学难题.四色问题的证明1878～1880两年间，著名的律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理，大家都认为四色猜想从此也就解决了. 谁知到了1890年，在牛津大学就读的年仅29岁的赫伍德以自己的精确计算指出了肯普在证明上的漏洞. 不久，泰勒的证明也被人们否定了. 人们发现他们实际上证明了一个较弱的命题——五色定理，就是说对地图着色，用五种颜色就够了.1913年，美国著名数学家、哈佛大学的伯克霍夫利用肯普的想法，结合自己新的设想，证明了某些大的构形是可约的. 后来美国数学家富兰克林于1939年证明了22国以下的地图都可以用四色着色. 1950年，温恩从22国推进到35国，1968年，奥尔又证明了39国，随后在1975年又有报道称有人已证明到了50国.地图与拓扑对于地图着色问题来说，各个区域的实际形状与大小都不重要，重要的仅仅是它们的相对位置. 右边四幅图，有地图，有从地图演变过来的图，这些图对于着色来说都是等价的，每幅图5个区域之间的相互位置是一样的，按数学家的说法，它们具有拓扑的等价性.二色地图大多数地图都需要用4种颜色来上色，但是有些特殊的情况不要用这么多的颜色，其中一种就是地图中只有端点在整幅地图边界上的线段的情况. 在这种情况下只需要2种颜色. 将线一条一条地画在一张纸上，每增加一条线时，将新增加的直线的一边的地区全部换成另一种颜色，这使得在旧的邻边和新的邻边两边的颜色都不相同.同样的方法也可以推广到穿过整个纸面的简单曲线或者闭合的圆圈的情况. 当一张地图中的所有交点均为偶点，即所有交点有且仅有偶数条邻边时，这张地图就可以用2种颜色上色.三色地图当一张地图中的交点出现奇点的情况（即交点有奇数条邻边），运用2色就不可能了，必须用3种以上的颜色. 这里的三张地图恰好都只需要3种颜色. 想想看，它们有什么特殊的地方？我们还是回到大多数地图的情况，这里是我们制作的3张“数学”地图，看看它们是不是必须用四色才能完成着色任务，如果用二色、三色试一下，有没有可能.给点涂色这里有一个图形，上面有若干个顶点（交叉点）. 如果我们给这些点涂色，并要求任何一根线的两个顶点的颜色不同，最少需要多少种颜色？给线涂色如果我们给这里的图形中的曲线涂色，并要求相邻的线段的颜色不同，最少需要多少种颜色？。

四色定理是什么意思？引言下图是一张世界地图，从这张地图看很清楚的看到每个国家的位置，英国数学家法兰西斯·古德里在1852年提出：“是否只用四种颜色就能为所有地图染色?”由此出现了四色定理。

1.四色定理下图是一张抽象画的地图，四色定理可以表述为：一张地图最多只要用四种颜色就快用完全表示出来。

四色定理最核心的一点是：彼此相邻的两个区域颜色不能相同。

然而，人们发现，要证明宽松一点的“五色定理”（即“只用五种颜色就能为所有地图染色”）很容易，但四色问题却出人意料地异常困难。

曾经有许多人发表四色问题的证明或反例，但都被证实是错误的。

2.普通数学表述虽然靠着“经验”感觉一张地图最多用四种颜色即可解决，但是作为数学还是需要严谨的描述。

其定义可以描述为：•将平面划分为有限个区域，使得任意两个区域的交集是空集，所有的区域的并集是整个平面；•所有区域中，只有一个区域是无界区域，其余区域都是有界区域。

3.图论阐述图论可以把上面问题更进一步抽象画，即将一个地图转化为图论中的一个无向平面图。

具体来说，是将地图中的每一个国家用其内部的一个点代表，作为一个顶点。

如果两个国家相邻，就在两个顶点之间连一条线。

这样得到的图必然是一个平面图（不会有两条边相交），而与每个国家选取的代表点无关。

四色定理可以叙述为：必然可以用四种颜色给平面图的顶点染色，使得相连的顶点颜色不同一个四个国家的地图转化为一个平面图要注意的是，并非所有的地图都可以转化为图论中的平面图。

如果一个国家有飞地的话，就不能用只一个点来代表一个国家。

另外，如果一个国家是“国中国”，那么即便可以地图其转化为平面图，也会造成讨论上的不便。

但是，“国中国”的着色十分容易解决，因为它只有一个邻国，只需将它染成和邻国不一样的颜色就可以。

所以在大部分有关四色问题的讨论中可以忽略“国中国”的情形。

同样地，只有两个邻国的情形也可以被忽略。

如果规定不能够有四个或者以上的国家有公共边界，那么地图转化成的平面图里面，每个区域都是至多由三条边围成的。

四色原理简介这是一个拓扑学问题，即找出给球面（或平面）地图着色时所需用的不同颜色的最小数目。

着色时要使得没有两个相邻（即有公共边界线段）的区域有相同的颜色。

1852年英国的格思里推测：四种颜色是充分必要的。

1878年英国数学家凯利在一次数学家会议上呼吁大家注意解决这个问题。

直到1976年，美国数学家阿佩哈尔、哈肯和考西利用高速电子计算机运算了1200个小时，才证明了格思里的推测。

四色问题的解决在数学研究方法上的突破，开辟了机器证明的美好前景。

四色定理的诞生过程世界近代三大数学难题之一(另外两个是费马定理和哥德巴赫猜想)。

四色猜想的提出来自英国。

1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯·格思里(Francis Guthrie)来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。

”,用数学语言表示，即“将平面任意地细分为不相重迭的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。

”这个结论能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。

兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。

1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教他的老师、著名数学家德·摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家哈密尔顿爵士请教。

哈密尔顿接到摩尔根的信后，对四色问题进行论证。

但直到1 865年哈密尔顿逝世为止，问题也没有能够解决。

1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。

世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。

1878～1880年两年间，著名的律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理，大家都认为四色猜想从此也就解决了。

四色问题算法
《四色问题》（Four Color Problem），也被称为《四色定理》（Four Color Theorem），指的是任意一幅地图只需要用四种不同的颜色就可完整地涂色区分所含的各个區域。

它是一个维基百科挑战众人智慧的思想实验，自古就一直以来都是许多数学家无法解决的难题。

在1852年，英国统计学家弗兰克·鲁富（Frank Ramsey）正式提出了四色问题，就是测试一张地图是否可以用四种颜色渲染，而不会使相邻的领域出现同一种颜色。

由于众多的数学家一直认为，只要张数足够多地图均可完美染色，只需要使用四种颜色就可以解决四色问题，因此四色问题也被称为《四色定理》。

这个定理最容易被理解为，一张地图只需要用四种不同的颜色就可以完美地划分出里面各个区域，而不会使得相邻的区域出现同一种颜色。

与此同时，这个定理也应用到了计算机科学中，以用于解决其他不能使用此定理的问题，如网络图上的节点不会互相连接。

1960年，美国数学家卡尔·威尔金森（Karl Wilhelm Jordan）和美国数学家壁特·威尔金森（Berth Kalm）发表了他们的论文，证明四色问题的可能性，这是從古典时代以来实现内容提出时最重要的步骤。

最后，在1976年由群体编程实现了一套演算法，以此证实了这个定理。

数十年来，《四色问题》一直是一个广泛流传的智力挑战，但经过几百年的研究，通过群体编程，终于获得了正确的解决方案。

今天，《四色问题》进一步被应用到计算机科学和网络设计等诸多领域，为这些领域的发展和优化带来了操作上的便利。

四色猜想的证明把每个区域看成一个点，相邻的区域（点）用线连起来，则不可能存在连线交叉穿过的情况。

现存在一张地图（a ）需用上4种颜色才可区分相邻区域（点）。

下面证明是否存在必须用上第5种颜色的地图：假设存在这样的地图，则在必须染上第5种颜色的点的周围一定存在染有其它4种颜色的点与之相连（如图b ）。

由于E 是必须用上第5种颜色的点，所以无论从哪点开始按何种顺序染色最终都得使ABCDE5点两两异色。

而且在染色时颜色的选取只受之前染过颜色的点的限制，无需考虑其它未染色的点的颜色。

记5种颜色分别为“1”“2”“3”“4”“5”，则这5种颜色地位是平等的。

下面从上面那5点染起：不妨先将E 染为“1”，再染B 时要使它不能选E 的颜色，则BE 必相邻，不妨染为“2”，再染C 时要使它不能选ＥＢ的颜色则ＥＣ，ＢＣ必相连，不妨染为“３”，再染Ｄ时要使它不能选ＥＢＣ的颜色则ED，BD,CD必相连，不妨染为“4”，再染A时要使它不能选EBCD的颜色则EA，BA，ＣＡ，ＤＡ必相连，但Ａ与Ｃ由于ＢＤ相连而无法相连，这样Ａ的颜色只需选Ｃ的颜色而无需用上第５种颜色。

因此不存在必须用上第５种颜色才可区分相邻区域的地图。

综上所述：无论多么复杂的地图，只需４种颜色就可以将所有相邻区域分开，即四色定理得证。

关于四色定理证明过程中的详细说明一：对“不可能存在连线交叉穿过的情况”的证明：先谈区域间的交界线的定义问题：当区域间仅交于一点时，若把它看作交界线，则当有n个区域交于一点时，这n个点两两相邻，需用n种颜色才可区分，这样讨论“只需用几种颜色就可以将相邻区域分开”就毫无意义了，故点不能看作时交界线，交界线应该具有一定线度。

所以当区域M和N相邻后其它区域不可能通过MN的交界线而相邻。

二：对“染A时A无法与C相连”的证明：在E周围的四点定具有如图（c1）的相对位置关系，由于ＢＣＤＡ４点的地位是平等的，不妨将其按如图（c2）位置关系排列（即将它们的位置关系固定）。