自动控制原理-2-1数学模型

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自动控制原理第2章

自动控制理论
电气信息学院
任课教师: 高秀梅
1
第二章控制系统的数学模型
§2-1 微分方程 §2-2 传递函数 §2-3 动态结构图 §2-4 信号流图 §2-5 梅逊（Mason）公式 §2-6 自动控制系统的传递函数
2
一、什么是数学模型？二、为什么要建立数学模型？三、建立数学模型的方法？四、数学模型的形式有哪些？
2) . 比例定理： f (t ) Kf1 (t ), L[ f1 (t )] F1 (s) 若则 st
0
L[ f (t )] Kf1 (t )e dt KF1 ( s)
1）和2）为拉氏变换的线性特性。 3). 微分定理：若 L df (t ) df (t ) e at dt sF (s) f (0 ) dt dt 0 则
1、系统输入量： F(t) 输出量： y(t) 2、列写方程组：
F(t)
k m f y(t)
11
§2-1 微分方程
3、消去中间变量并写成标准形式：
m d y (t ) f dy ( t ) 1 y (t ) F (t ) 2 k k dt k dt
令T
2 2
2
m f 1 , , K k k 2 mk
有
T
d y (t ) dt 2
dy ( t ) 2 T y ( t ) KF ( t ) dt
12
§2-1 微分方程
例3 求下图的微分方程
i1
i1
i
i2
13
§2-1 微分方程二、线性微分方程式的求解
工程实践中常采用拉氏变换法求解线性常微分方程。拉氏变换法求解微分方程的基本思路：

自动控制原理第二章

4

解析法：依据系统及元件各变量之间所遵循的物理、化学定律列写出变量间的数学表达式，并实验验证。适用于简单、典型、常见的
系统，
实验法：对系统或元件输入一定形式的信号（阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信号等），根据系统或元件的输出响应，经过数据处理而辨识出系统的数学模型。适用于复杂、
非常见的系统。实际上常常是把这两种方法结合起来建立数学模型更为有效。
许多情况下传递函数是能完全反映系统的动态性能的。
20
一、传递函数的概念与定义
Ur(s)
G(s)
Uc(s)
U c( s ) G( s ) U r( s )
21
二、关于传递函数的几点说明
传递函数仅适用于线性定常系统，否则无法用拉氏变换导出；传递函数完全取决于系统内部的结构、参数，而与输入、输出无关；传递函数只表明一个特定的输入、输出关系，对于多输入、多输出系统来说没有统一的传递函数；（可定义传递函数矩阵，见第九章）
L
R i
ui
C
uc
24
解：为了改善系统的性能，常引入图示的无源网络作为校正元件。无源网络通常由电阻、电容、电感组成，利用电路理论可方便地求出其动态方程，对其进行拉氏变换即可求出传递函数。这里用直接求的方法。因为电阻、电容、电感的复阻抗分别为R、 1∕Cs、Ls，它们的串并联运算关系类同电阻。
式中：T为时间常数，为阻尼系数。 ⑦二阶微分环节，传递函数为
2 2
1 G(s) 2 2 T s 2 Ts 1
式中：为时间常数，为阻尼系数此外，还经常遇到一种延迟环节，设延迟时间为，该环节的传递函数为：

G(s) s 2 s 1

自动控制原理课件第二章线性系统的数学模型

c(t ) e
dt Leabharlann t

c( s )
g ( ) r ( ) d e s ( ) d 0 0 g ( )e s r ( )e s d d 0 0

0
g ( )e
5) 闭环系统传递函数G(s)的分母并令其为0，就是系统的特征方程。
• 涉及的是线性系统非线性系统必须进行线性化处理
§2-6 信号流程图
系统很复杂，为方便研究，也为了与实际对应，通常将复杂系统分解为若干典型环节的连接
数学模型的定义数学模型：描述系统变量间相互关系的动态性能的运动方程建立数学模型的方法：
解析法: 依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相应的数学关系式，建立模型。自动控制系统的组成可以是电气的，机械的，液压的，气动的等等，然而描述这些系统的数学模型却可以是相同的。因此，通过数学模型来研究自动控制系统，就摆脱了各种类型系统的外部关系而抓住这些系统的共同运动规律，控制系统的数学模型是通过物理学，化学，生物学等定律来描述的，如机械系统的牛顿定律，电气系统的克希霍夫定律等都是用来描述系统模型的基本定律。实验法: 人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。数学模型的形式时间域：复数域：频率域：微分方程差分方程传递函数结构图频率特性状态方程
1 例1 : F ( s) ( s 1)(s 2)(s 3) c c c 1 2 3 s 1 s 2 s 3
1 1 c1 [ ( s 1)]s 1 ( s 1)(s 2)(s 3) 6 1 1 c2 [ ( s 2)]s 2 ( s 1)(s 2)(s 3) 15 1 1 c3 [ ( s 3)]s 3 ( s 1)(s 2)(s 3) 10 1 1 1 1 1 1 F ( s) 6 s 1 15 s 2 10 s 3 1 1 1 f (t ) e t e 2t e 3t 6 15 10

动态微分方程自动控制原理

若考虑电动机负载力矩和粘性摩擦力力矩时：
T
Tnian
Tfu

GD 2 375
dn dt
（2-2）
ia
La
+ -
Ea
电动机机械微分方程
若考虑电动机负载力矩和粘性摩擦力力矩时：
T
Tnian
T fu

GD 2 375
dn dt
其中
Tnian

f .w
f
d
dt
，通常忽略不计。
电动机电磁转距与电枢电流成正比
T Cmia
（3）消去中间变量
将（2-3）带入（2-4）得
ia

GD 2 dn 375Cm dt
dia GD2 d 2n dt 375Cm dt 2
（2-3）（2-4）
（2-5）（2-6）
将（2-5）,（2-6）带入（2-1）得
La GD2 Ra d 2n GD2ra dn n ua
－阻尼器的粘性摩擦力－弹簧的弹力
（3）消去中间变量，得到输入与输出的关系方程
y(t) f
将以上各式代入（1）式得
m d 2 y F f dy Ky
整理得
d 2 y dy
dt 2
m f Ky F
dt
dt 2
dt
例3：设有带直流电动机系统，如图所示。试列写系统
微分方程。
解：（1）确定输入输出量
+ U1 R1 I1
I3 R01
Ug R2
-
R02 I2
R12
K UK
0
Ud D
n
R3 CF
+ R4

自动控制原理：第二章控制系统数学模型

TaTLma KJe K
dMdML m dtdt
L
Tm
Ra J K eKm
——机电时间常数(秒)；
Ta
La Ra
—电动机电枢回路时间常数 (秒)
若输出为电动机的转角q ，则有
TaTm
d 3q
dt 3
Tm
d 2q
dt 2
dq
dt
1 Ke
ua
Tm J
ML
TaTm J
dM L dt
—— 三阶线性定常微分方程 9
扰动输入为负载转矩ML。（1）列各元件方程式。电动机方程式为：
TaTm
d 2w
dt 2
测输T速Km出发td为d电wt电测压机速w 反 K馈1e系ua数
Tm J
M反L馈电TaJT压m
dM L dt
ua Kae ut Ktw e ur ut 12
（2）消去中间变量。从以上各式中消去中间变
量ua，e，ut，最后得到系统的微分方程式
y = Kx
式中， K f 'x0 是比例系数，它是函数f(x)在A点
的切线斜率。
18
对于有两个自变量x1,x2的非线性函数f(x1,x2)，同样可以工作在某工作点(x10,x20)附近进行线性化。
这种小偏差线性化对控制系统大多数工作状态是可行的。事实上，自动控制系统在正常情况下都处于一个稳定的工作状态，即平衡状态，这时被控量与期望值保持一直，控制系统也不进行控制动作。一旦被控量偏离期望值产生偏差时，控制系统便开始控制动作，以便减小这个偏差。因此控制系统中被控量的偏差一般不会很大，只是“小偏差”。
RC传网0 递络函的数阶G跃(响s)确应立曲了线t 电路输入

自动控制原理-第二章控制系统的数学模型

dn dtn f ( t )
t
f (t)dt 0
t
f ( )d
n
ki .L[ f (t )]
i 1
sF (s) f (0 )
s2F (s) sf (0 ) f (0 )
snF (s) sn1 f (0 ) sn2 f (0 ) f (n1) (0 )
电枢回路方程为
La
dia (t) dt

Raia (t)

Ea (t)

ua (t)
电磁转矩方程 M m Cmia (t)
电动机轴上转矩平衡方程
Jm
dm (t)
dt

fmm (t)

Mm

MC
(t)
若以角速度 m 为输出量、电枢电压 ua 为输入量，
消去中间变量，直流电动机的微分方程为
(s2+s+1)Uc(s)= Ur(s)+0.1(s+2)
即 U S 1 U S 0.1S 2
C
S2 S 1 r
S2 S 1
通电瞬间, ur(t)=1 或 Ur(s)=L[ur(t)]=1/S
故 U S 1 1 0.1S 2
C
S2 S 1 S S2 S 1
再对上式两边求反拉氏变换：
u c
t

L1 U C
S

L1
S
2
1 S
1
1 S

S
2
1 S
1
=1+1.15e-0.5tSin(0.866t-120°)+ 0.2e-0.5tSin(0.866t+30°)

第二版自动控制原理第2章

但实际上有的系统还是了解一部分的，这时称为灰盒，
可以分析计算法与工程实验法一起用，较准确而方便地建立系统的数学模型。实际控制系统的数学模型往往是很复杂的，在一般情况下，常常可以忽略一些影响较小的因素来简化，但这就出现了一对矛盾，简化与准确性。不能过于简化，而使数学模型变的不准确，也不能过分追求准确性，使系统的数学模型过于复杂。

（3）例3.求指数函数 f(t)=e-at 的拉氏变换
F ( s) e e dt e
at st 0 0

( a s ) t

几个重要的拉氏变换
f ( t) F(s)
1 ( s a ) t 1 dt e sa sa 0
F(s) w
s

f ( t)
水 Q1 Q1单位时间进水量
Q2单位时间出水量
Q10 Q20 0
此时水位为H 0
H(t)
阀门 Q2
解：dt时间中水箱内流体增加(或减少) CdH
应与水总量 (Q1Q2)dt相等。即：
CdH =(Q1Q2)dt
dH C Q1 Q2 dt
Q2
1 R
据托里拆利定理，出水量与水位高度平方根成正比，则有
自动控制原理
——第二章系统数学模型
第二章控制系统的数学模型

2-1 引言 2-2 微分方程（时域模型） 2-3 传递函数（复域模型） 2-4 结构图和信号流图（图形描述） 2-5 小结
§2-1 引言

1.数学模型的概念
描述系统内部变量之间关系的表达式，自控系
统分析与设计的基础。
原函数之和的拉氏变换等于各原函数的拉氏变换之和。 (2)微分性质

自动控制原理第二章自动控制原理控制系统的数学模型

第二章控制系统的数学模型2-1 控制系统的时域模型一、建立系统微分方程的基本步骤(P23，第二自然段)：⑴ 分析系统工作原理、各变量之间的关系，确立系统的输入变量和输出变量； ⑵ 依据支配系统工作的基本规律，逐个列写出各元件的微分方程；⑶ 消去中间变量，列写出只含有输入和输出变量以及它们的各阶导数的微分方程； ⑷ 将方程写成规范形式。

例2-1：系统输入i u ，输出o u ；从输入到输出顺序列写各元件方程， td id Lu L =，i R u R =，⎰=t id C u o 1，及o R L i u u u u ++=利用输出电压与回路电流的关系消去中间变量，t d u d C i o =，22t d u d C t d id o =；o o o i u t d u d RC td u d LC u ++=22 写成规范的微分方程(标准形式)：i o o o u u td u d RC t d u d LC =++2；或 i o u u p T p T =++)1(221，其中LC T =1，RC T =2，t d dp =。

“系统初始条件均为零”是指在零时刻以前系统的输入和输出及他们的各阶导数均为零。

在复数域，复变量s 对应微分算子，而s /1对应积分运算。

“输出对输入的响应” 是指，初始条件为零时，系统输出的运动情况。

因此，可以直接列写控制系统在复数域的方程。

就本例而言有：)()(s sI L s U L =，)()(s I R s U R =，)(1)(s I sC s U o =，及 )()()()(s U s U s U s U o R L i ++=；消去中间变量)()(s U s C s I o ⋅=，得()()1(221U s U s T s T i o =++例2-2：系统输入F ，输出x ；力平衡方程：)()()()(2s X K s f s F s X ms +-=；整理得，)()()(2s F s X K s f ms =++。

自动控制原理复习课(2)

Gk ( s ) 2 4 s(0.5s 1) s( s 2)
和 ts ；
（1）二阶系统的标准形式为：
2 n Gk ( s) s( s 2n )
调节时间
ts 3 4
n

3 4 3s或4s ( 2%或4%） 0.5 2
4 ；则 n 2rad / s 比较上述两式， 2 n 2 则 0.5 （2）超调量 % e 100% 16%
U 0 ( s ) / Ui ( s )
。
则
U 0 ( s) R2 Ui ( s) R1 ( R2C2 s 1)
或无源网络：RC,RL及RLC等。（如作业）质量-弹簧-阻尼、液位平衡等系统。
例2-2：简化图示系统的结构图，并求出传递函数 C(s) / R(s) 。解：结构图经等效变换为下图：
自动控制原理复习课
二、控制系统的数学模型
1.微分方程、传递函数、差分方程频率特性 2.结构图、信号流图电学、力学等。熟悉典型环节的传递函数。
例2-1：求下图所示系统的传递函数解：对于理想放大器
Ui ( s) 0 0 U 0 ( s) R1 z 其中z R2 1 R2C2 s
C ( s)
R( s )
-
2 n s( s 2 n )
C ( s)
kt s
1 kt s
n 2 ( s) s( s 2n )
与典型二阶系统的标准形式
n 2 (1 kt s) n 2 1 s( s 2 ) s 2 2( k / 2) s 2 n t n n n
10 K
所以在K=1时，系统的稳态误差为 ess ess1 ess 2 0.05

自动控制原理课件chapter2_1

d d 2 ( )0 ,( 2 )0 , di f di f
Rn +1
0 if 0
图2-3
小偏差线性化示意图
图2-4
RL网络
例2-3，设铁芯线圈电路如图2-4所示，其磁通与线圈中电流之间的关系如图2-5所示，试写出以为输入，为输出的微分方程。解（1）设铁芯线圈磁通变化时产生的感应电势为：
图2-5磁通与线圈中电流之间Biblioteka 关系(2.3） (2.4)
或
d u c (t ) d u c (t ) T1 + T2 + u c (t ) = u r (t ) 2 dt dt
2
uc (t ) =
1 i (t )dt C∫
式中T1=LC，T2=RC为电路的时间常数，单位为秒。式(2.3)和式(2.4)是线性定常二阶线性微分方程。
二、非线性方程的线性化
（一）R-L-C电路电路图2-1所示R-L-C电路中，R、L、C均为常值， ur(t)为输入电压， uc(t)为输出电压，输出端开路。求出uc(t)与ur(t)的微分方程。
图2-1 R-L-C 无源电路
（1）根据克希霍夫定律可写出原始方程式：
di (t ) 1 L + ∫ i (t )dt + Ri (t ) = ur (t ) dt C
(2.1)
（2）式中i(t)是中间变量，它与输出uc(t)有如下关系：
1 u c (t ) = C
∫ i(t )d t
( 2 .2 )
(3) 消去式(2.1)、式(2.2)的中间变量i(t)后，输入输出微分方程式：
d 2uc (t ) duc (t ) LC + RC + uc (t ) = ur (t ) 2 dt dt

自动控制原理胡寿松第六版

C(s)
1G2(s)G3(s)H2(s) G4(s)
H3(s)/G2(s) H1(s)
G2(s)G3(s)G4(s) 1G2(s)G3(s)H2(s)
C(s)
H3(s)/G2(s) H1(s)
G1(s)
G 2(s)G 3(s)G 4(s)
C(s)
1G 2(s)G 3(s)H 2(s)G 3(s)G 4(s)H 3(s)
C(s) G5 (s)
5
C R ( (s s) ) G 1 1 (s G )G 3 3 (( ss )) G G 4 2 (( ss ))H G 4 (( ss ))G 5(s) 6
• 信号流图的组成及性质
信号流图是以点和有向线段，描述系统的组成、结构、信号传递关系的图形。它完全表述了一个系统。
M m ( s ) C s m ( s ) M s ( s )
M s(s) C M U A (s)
s ( J m s fm ) m ( s ) M m ( s )
传动机构：将电机的角位移，转换为线位移; E ( s ) E 1 ( s ) E 2 ( s )
L(s)r m(s)
G2(s)G4(s)
G3(s)H(s) G4(s)H(s)
C(s) G5 (s)
3
R(s) G 1 ( s ) G 3 ( s ) G 2 ( s ) G 4 ( s )
G 3 ( s ) G 4 ( s ) H ( s )
C(s) G5 (s)
4
R(s)
1
G 1 ( s ) G 3 ( s ) G 2 ( s ) G 4 ( s ) 1G3(s)G4(s)H(s)
r(t) e(t)
c(t)

自动控制原理第二章

例2-2的机械系统的微分方程为
d 2 x(t ) dx(t ) m f kx(t ) F (t ) 2 dt dt
当初始条件为零时，对上式进行拉氏变换后可得传递函数为
X ( s) 1 G( s) 2 F ( s) ms fs k
三、性质： ★
1、传递函数表达系统本身固有的动态性能，与输入量大
an c ( n ) (t ) an 1c ( n 1) (t ) ... a1c (1) (t ) a0 c(t ) bm r ( m ) (t ) bm 1r ( m 1) (t ) ... b1r (1) (t ) b0 r (t ), (n m)
2-2 微分方程（基本数学模型）
一、微分方程的建立（时域）
控制系统中的输出量和输入量通常都是时间 t 的函数。
很多常见的元件或系统的输出量和输入量之间的关系都可以用一个微分方程表示，方程中含有输出量、输入量及它们各自对时间的导数或积分。这种微分方程又称为动态方程、运动方程或动力学方程。微分方程的阶数一般是指方程中最高导数项的阶数，又称为系统的阶数。
例2-1的RLC串联电路的微分方程为
d 2 u o (t ) du o (t ) LC RC u o (t ) u i (t ) 2 dt dt
当初始条件为零时，对上式进行拉氏变换后可得传递函数为
U o ( s) 1 G( s) U i ( s) LCs 2 RCs 1
本章只讨论解析法建立系统的数学模型。
3.模型表示形式
a.时域：微分方程；b.复数域：传递函数，c.频域：频率特性
三种数学模型之间的关系
线性定常系统
拉氏 s=jω 微分方程变换传递函数频率特性

自动控制原理(第二版)(赵四化)章 (2)

第2章控制系统的数学模型图2-3 直流电动机系统
第2章控制系统的数学模型
(2) 建立输入、输出量的动态联系。
在他励直流电动机系统中有机械运动及电磁运动，二者之间还存在耦合。根据几种关系建立的输入、输出量的动态联系为
机械运动：
J d f M
dt
（2-7）
电磁运动:
u
Ea
La
dIa dt
图中， A点为工作点， y0=f(x0)。 x、 y在工作点附近做小范围增量变化，即当x=x0+Δx 时，有 y=y0+Δy。则函数y=f(x)在工作点附近可以展开成泰勒级数：
y
f
(x0 )
f
(x0)x
1 2!
f
(x0 )x2
（2-13）
第2章控制系统的数学模型
当Δx很小时，可以忽略上式的高次项，则式(2-13)可以改写为
Ra Ia
（2-8）
第2章控制系统的数学模型
机电之间的耦合关系：
Ea=CeΩ
（2-９）
M=CmIa
（2-10）
其中， Ce为电动机电势常数； Cm为电动机力矩常数。
第2章控制系统的数学模型
(3) 消去中间变量，得到系统的数学模型。消去中间变量Ea、 Ia和M, 得
La CeCm
d 2
dt2
第2章控制系统的数学模型
G(s) Uo(s) 1 Ui (s) Ts 1
（2-23）
这一关系可以用图2-6所示的方框图表示，输入信号经过G(s)动态传递到输出，故称G(s)为RC电路的传递函数。
第2章控制系统的数学模型图2-6 RC电路方框图

自动控制原理第2章数学模型

y y0 K ( x x0 ) 或写为 y Kx
即：线性化方程
式中，
y0

f ( x0 )，K

df dx
，y
x x0
y
y0，x
x x0
严格地说，经过线性化后的所得的系统微分方程式，只是近似地表征系统的运动情况。
实践证明，对于绝大多数的控制系统，经过线性化后所得的系统数学模型，能以较高的精度反映系统的实际运动过程，所以线性化方法是很有实际意义的。
绝对的线性元件和线性系统不存在
非线性微分方程的线性化
实际物理元件或系统都是非线性的，构成系统的元件都具有不同程度的非线性。
建立的动态方程就是非线性微分方程，对其求解有诸多困难，因此，对非线性问题做线性化处理确有必要。
线性化:在满足一定条件的前提下，用近似的线性系统代替非线性方程。
线性化的基本条件:非线性特性必须是非本质的，系统各变量对于工作点仅有微小的偏离。
第二章控制系统的数学模型
本章内容
2.1 控制系统的时域数学模型 2.2 控制系统的复数域数学模型 2.3 控制系统的结构图/方框图 2.4 梅森公式与信号流图
系统的数学模型
数学模型
描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式。
分析和设计任何一个控制系统，首要任务是建立系统的数学模型。
b0s m a0s n
b1s m 1 a1s n 1
... bm 1s ... an 1s
bm an
N(s)=0 系统的特征方程，特征根特征方程决定着系统的动态特性。 N(s)中s的最高阶次等于系统的阶次。
系统传递函数的极点就是系统的特征根。零点和极点的数值完全取决于系统的结构参数。

自控第二章

Fi 0
式中：Fi是作用于质量块上
f
的主动力，约束力以及惯性
力。
将各力代入上等式，则得
K M y(t)
d2 y(t) dy(t) m dt2 f dt Ky(t) F (t)
(2 1 6)
式中：y——质量块m的位移（m）；
f——阻尼系数（N·s/m)；
K ——弹簧刚度（N/m)。
将式(2-1-6)的微分方程标准化
加若干倍，这就是叠加原理。
2－3 传递函数
传递函数的定义：
线性定常系统在零初始条件下，输出
的拉氏变换与输入的拉氏变换之比。
•传递函数是在拉氏变换基础上引申出来的复数域数学模型。传递函数不仅可以表征系统的动态特性，而且可以用来研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响。经典控制理论中广泛应用的根轨迹法和频域法，就是以传递函数为基础建立起来的。因此，传递函数是经典控制理论中最基本也是最重要的数学模型.
自动控制原理
第二章自动控制系统的数学模型
第二章自动控制系统的数学模型
主要内容 2-1 控制系统微分方程的建立 2-2 非线性微分方程的线性化 2-3 传递函数 2-4 动态结构图 2-5 系统的脉冲响应函数 2-6 典型反馈系统传递函数
基本要求 1.了解建立系统动态微分方程的一般方法。 2.熟悉拉氏变换的基本法则及典型函数的拉氏变换形式。 3.掌握用拉氏变换求解微分方程的方法。 4.掌握传递函数的概念及性质。 5.掌握典型环节的传递函数形式。
K s
1 Ts
K——比例系数 T——积分时间常数
可以应用在一些信号转换电路上，比如关于X轴对称的方波经过积分电路处理后，输出三角波。
3.微分环节
• 理想的微分环节，其输出与输入量的导数成比例。

自动控制原理-第二章全

其中： fs (t) Kx(t)
弹簧力
fd (t)
阻尼力
B
dx(t dt
)
m
K
B
所以有：
m
d 2 x(t) dt 2
B
dx(t) dt
Kx(t)
f
(t)
特点：f (t) 为作用于各部件的诸力之和，而每一个部件变化
了相同的位移x(t) 。
第二章自动控制系统的数学模型
2.1 元件和系统微分方程的建立
A1(0.5 j0.866) A2 (0.5 j0.866)
使等号两端的实部和虚部分别相等有解之得 A1 1, A2 0
0.5.866
所以
F (s)
1 s
s2
s s 1
1 s
(s
s 0.5 0.5)2 (0.866 )2
（4）对部分分式进行拉式反变换，即得微分方程的解。
第二章自动控制系统的数学模型
2.2 用拉普拉斯变换方法解微分方程
例：已知
d 2 xc dt 2
5 dxc dt
6xc
6u(t)
u(t) 1(t)
设初始条件为 xc (0) 2, xc (0) 2 求输出量 xc (t)
解：将微分方程取拉氏变换
(s
0.5 0.5)2 (0.866 )2
所以 f (t) 1 e0.5t cos 0.866 t 0.57e0.5t sin 0.866 t
第二章自动控制系统的数学模型
2.2 用拉普拉斯变换方法解微分方程
例：已知
F (s)
s2 s2
9s 33 6s 34
求 f (t) L1 F (s)
F (s) M (s) A1 A2 An

《自动控制原理》第2章自动控制系统的数学模型

dt
t 0
[
d
nf dt
(t
n
)
]
snF(s)
sn1
f
(0)
sn2
f
(1) (0)...
f
(n1) (0)
定理4 积分定理
2021年2月
t
[
f ( )d ] F (s)
0
s
自动控制原理
定理6 初值定理
设F(s)为f(t)的拉氏变换，且
lim
s
sF
(s)
存在
lim f (t) lim sF(s)
实验求取
2021年2月
自动控制原理
例2－1试列写图2-1所示电路
输入量 u r (t) 与输出量 u c (t) 的微分方程。
1. 确定输入、输出量 2. 列写与输入、输出有
关的微分方程
L
di(t) dt
Ri(t)
u
c
(t)
u
r
(t)
i(t) C du c (t)
dt
3. 消去中间变量
LC
d
2u c (t) dt 2
G(s) Ks1 Ks2 ... Ksn
s s1 s s2
s sn
且
Ks1 [(s
….
si )G(s)]ss1
(s2
Q( s1 ) s1)(s3 s1)...(sn
s1)
2021年2月
自动控制原理
例：已知函数
1 设因式展开为 G(s) s(s 1)3 (s 2)
G(s) K1 K2 K3 K4 K5 s s 2 s 1 (s 1)2 (s 1)3
u(c’t)
+

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f k
dy ( t ) dt
y(t)
1 F (t) k
若令Tm2 = m/k，Tf = f/k ，则方程化为
T
2 m
d
2 y(t dt 2
)

T
f
dy ( t ) dt
y(t)
1 k
F (t)
Tm 和Tf 称为系统的时间常数；1/k称为静态放大倍数。
11
电路系统举例
例2-2 电阻－电感－电容串联系统。RLC串联电路如图所示，试列出以ur(t)为输入量，uc(t)为输出量的网络微分方程式。
设线性定常系统的微分方程式为
a0
d nc(t ) dtn

a1
d n1c(t) dtn1

an1
dc(t) dt

anc(t)

b0
d mr(t ) dtm

b1
d m1r(t) dtm1

bm1
dr(t) dt

bmr(t)
式中，r(t)是输入量，c(t)是输出量。
34
在零初始条件下，对上式两端进行拉氏变换得
n 按照所选分析方法，确定数学模型的形式 n 根据允许的误差范围，进行准确性考虑，
建立尽量简化的、合理的数学模型
微分方程的建立步骤
1. 分析系统运动的因果关系，确定系统的输入量、输出量及内部中间变量，掌握各变量之间的关系
2. 做出合乎实际的假设，忽略次要因素，使问题简化 3. 根据支配系统动态特性的基本定律列出各部分的原始方
建立数学模型的方法
n 解析法
u 依据描述系统运动规律的定律列写运动方程
n 实验法（系统辨识）
u 基于系统输入输出的实验数据来建立数学模型 u 当系统机理复杂，难以分析或无法分析时使用
建立数学模型的原则
n 建模之前，全面了解系统的自然特征和运动机理，明确研究目的和准确性要求，选择合适的分析方法
程式 4. 列写各中间变量与其他变量的因果式（辅助方程） 5. 联立上述方程，消去中间变量 6. 将方程式化成标准形（输出在左，输入在右，导数降阶）
7
微分方程的标准形式
线性定常物理系统的微分方程一般具有以下形式：
a0
d nc(t ) dtn

a1
d n1c(t) dtn1

an1
dc(t dt
（4）列写中间变量i与输出变量uc 的关系式:
i(t ) C duc (t ) dt
13
（5）将上式代入原始方程，消去中间变量得
LC
d 2uc (t ) dt 2

RC
duc (t ) dt

uc (t )

ur (t)
（6）整理成标准形，令T1 = L/R，T2 = RC，则方程化为
T1T2
系统数学模型的特点
n 静态模型：在静态条件下（即变量各阶导数为零），描述变量之间关系的代数方程（组）叫静态（数学）模型。
n 动态模型：描述变量各阶导数之间关系的微分方程（组）叫动态（数学）模型。
数学模型的类型
u 时域模型：微分方程、差分方程、状态方程 u复域模型：传递函数、结构图 u频域模型：频率特性
求解
dy2 (t dt 2
)

3
dy(t dt
)

2
y(t
)

5

1(t
)
初始条件：y(0)= 1, y(0) =2
解：两边取拉氏变换
s2Y(s) sy(0) y(0) + 3sY(s) 3y(0) +2Y(s)=5/s
Y (s)

5/ s s 2 s2 3s 2
3

R
L
ur(t)
C
uc(t)
12
解：（1）确定输入量为 ur(t)，输出量为uc(t)，中
i(t) ur(t)
R
间变量为i(t)。
L
C
uc(t)
（2）网络按线性集中参数考虑且忽略输出端负载效应。
（3）由基尔霍夫定律写原始方程：
L di ( t ) R i ( t ) uc( t ) ur( t ) dt
2)微分性质
L
df (t dt
)

sF ( s)
f (0)
常用：若 f (0) f (0) f (n1) (0) 0 ,
则
L d
n x(t)
dt n

sn
X
(s)
3)积分性质 L f (t )dt 1 F ( s ) 1 f (1) (0)
导数存在
小偏差线性化具体步骤
(1)确定输入输出关系y=f(x) ;
(2)在y工作y0点 (f x'(0x,y00))(邻x 域x0将) f(21x!)f展''(开x0成)(x泰勒x0)级2 数:
(3)令 y y y0 , x x x0
并略去二阶以上的高次项，得到
y kx (k f '(x0 ))
f (t )
L1

n
i1
(
s
ci
s
i
)

n
cie sit
i1
u 重极点的情形见p35
常用拉氏变换表（p32-33）
f(t)
F(s)
(t)
1
u(t )
1 s
tu(t )
1 s2
e at
1
sa
拉氏变换的性质
1)线性性质 L[ af1(t) + bf2(t)] = aF1(s) + bF2(s)
令uc(0) = 0，得到零状态响应：
Uc(s)
1 RCs

1
U
r
(
s
)
当输入电压ur(t)给定时，Ur(s)也确定了, 输出电压便完全由1/(RCs+1)所决定。这时，上式也可写成
Uc(s) 1 U r (s) RCs 1
32
u 上式表明，输出电压Uc(s)与输入电压Ur(s)之比只与电路的结构形式及其参数有关，而与输入输出的具体形
f
(t)

1
2j
jF ( s )e st ds L1 ( F ( s ))
j
(t 0)
n 实际使用部分分式展开法+查表求反变换
21
u 部分分式展开法：
F (s)
B(s) A( s )

b0 s m b1 s m 1 bm 1 s bm sn a1sn1 an1s an
s2 s 5 s(s2 3s 2)

s2 s 5 s(s 1)(s 2)
5/2 5 3/2 s s1 s2
y(t) = 5/2 5 e t + 3/2 e2t
29
例2-5 如图所示的RC电路，当开关K突然接通后，试求出电容电压uc(t)的变化K规律。
解：按照一般步骤：
（1）输入量：F(t) 输出量：y(t) 中间变量：
弹性阻力Fk(t)，粘滞阻力Ff(t) （2）设系统按线性集中参数考虑，且无外力作用时，系统处于平衡状态。
F(t) K m y(t)
f
9
（3）按牛顿第二定律列写原始方程，即
F

F(t)
Fk (t )
Ff (t)

m
小偏差线性化要点总结
n 通常工作点为系统稳定工作状态，偏差信号不会很大
n 本质非线性系统若无法泰勒展开，则不可线性化
n 书写中一般省略偏量符号Δ，但仍应作偏
量理解
复习：拉普拉斯变换
n 拉氏变换定义：
F ( s ) f (t )e st dt L( f (t )) 0
n 拉氏反变换：
t 0
f1( )
f2(t

)d
为f1(t)和f2(t)的卷积，且有
L f1(t) f2(t) F1(s) F2(s)
27
线性常系数微分方程的求解
r(t)
c(t) 求解微分方程式
微分方程式
L
R(s)
C(s)
s的代数方程
求解代数方程
时域解c(t) L-1
s域解C(s)
28
例2-4
铁磁材料的饱和特性：磁场密度B增长率随激磁电流I增加而减小
线性化的常用方法
n 作图法：已知特性曲线，直接在工作点处作切线 n 实验法：在工作点附近实测偏量x, y 并计算斜率 n 解析法：用一次多项式近似表示特性曲线
---即在工作点附近使用泰勒展开 n 注意：使用解析法要求非线性函数在工作点处各阶
R
u0
C
uc
解：设输入量为ur (t)，输出量为uc (t)，写出电路方程：
RC
duc (t dt
)

uc
(t
)

ur
(t
)
记电容初始电压为uc(0)，对方程两端取拉氏变换
30
RCsU c (s) RCuc (0) Uc (s) Ur (s)
Uc (s)

1 RCs

1
Ur
(
s)

RC RCs
(s sn ) i1 (s si )
ci可用待定系数法或留数法求得。
22
拉普拉斯反变换
u 若F(s)无重极点，用部分分式展开法得到：
F ( s) c1 c2 cn

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