河北省张家口市第一中学(实验班)2020-2021学年高二下学期期中数学试题

试题解析：（1）由 ，得 2分
所以圆 的圆心坐标为
又圆 的圆心在直线 上
依题意可知两圆外切于 点，设圆 的圆心坐标为 3分
15．如图，已知正三棱柱 的各条棱长都相等， 是侧棱 的中点，则异面直线 所成的角的大小是
16．设 为椭圆 的左､右焦点，点P在椭圆上，若线段 的中点在y轴上，则 的值为___________.
四、解答题
17．如图，三棱柱 的侧棱垂直于底面，其高为 ，底面三角形的边长分别为 ，以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积 .
【详解】
由题意，椭圆 ，可得 ，可得 ，
所以焦点为 ,
根据椭圆的定义 ，所以A正确；
椭圆的离心率为 ，所以B错误；
其中 面积的最大值为 ，所以C错误；
由原点 到直线 的距离 ，
所以以线段 为直径的圆与直线 相切，所以D正确.
故选：AD
12．BC
【分析】
作图，在四棱锥 中，根据题意逐一证明或排除.
【详解】
作图在四棱锥 中：
由题：侧面 平面 ，交线为 ，底面 为矩形， ，则
平面 ，过点B只能作一条直线与已知平面垂直，所以选项A错误；
连接 交 于 ，连接 ， 中， ∥ ， 面 ，
面 ，所以 面 ，所以选项B正确；
四棱锥 的体积是四棱锥 的体积的一半，取 中点 ，连接 ，
，则 平面 ， ，四棱锥 的体积
所以选项D错误.
10．ABC
【分析】
根据面面垂直的判定定理，即可得作出判断.
【详解】
由面面垂直定理可以判断 正确，
对于选项 ， ， ， ，也可以得到 ，故 错.
故选： .
【点睛】
本题主要考查的是面面垂直的判定定理、充分条件的判断，考查学生的分析问题解决问题的能力，是基础题.

唐山一中2020—2021学年度第二学期期中考试高二年级 数学试卷说明：1.考试时间120分钟，满分150分。

2．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

卷Ⅰ(选择题 共60分)一．单项选择题（共8小题，每小题5 分，计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意.） 1.在复平面内，复数z =2+3i3−4i(i 是虚数单位)，则复数z 的共轭复数所对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2.已知a ，b ，c ∈R ，则“a <b ”是“ac 2<bc 2”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件 3.4名学生报名参加语、数、英兴趣小组，每人选报1种，则不同方法有( )A. 43种B. 34种C. A 43种D. C 43种4.在(2x 3+1x2)n(n ∈N ∗)的展开式中，若存在常数项，则n 的最小值是( )A. 3B. 5C. 8D. 105.某中学组织了“自主招生数学选拔赛”，已知此次选拔赛的数学成绩X 服从正态分布 N （75,121），考生共有1000人，估计数学成绩在75分到86分之间的人数约为( )人．(参考数据P(μ−σ<X <μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<X <μ+2σ)=0.9544) A. 261 B. 341 C. 477 D. 6836.某射手每次射击击中目标的概率均为p(0<p <1)，且各次射击的结果互不影响.设随机变量X 为该射手在n 次射击中击中目标的次数，若E(X )=3，D(X )=65，则n 和p 的值分别为( ) A. 5，12B. 5，35C. 6，12D. 6，357.圆柱形金属饮料罐的体积一定，要使生产这种金属饮料罐所用的材料最省，它的高与底面半径之比为( ) A. 2:1 B. 1:2 C. 1:4 D. 4:18.有3位男生，3位女生和1位老师站在一起照相，要求老师必须站中间，与老师相邻的不能同时为男生或女生，则这样的排法种数是( ) A. 144 B. 216 C. 288 D. 432二．多项选择题（共4小题，每小题5 分，计20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得2分.） 9.用一个平面去截正方体，截面的形状可能是( )A. 正三角形B. 正方形C. 正五边形D. 正六边形 10.下列说法正确的是( )A. 将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a 后，方差也变为原来的a 倍B. 若四条线段的长度分别是1，3，5，7，从中任取3条，则这3条线段能够成三角形的概率为 14C. 线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱D. 设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为 19，A 发生且B 不发生的概率与B 发生且 A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率为 2311.已知F 为抛物线y 2=2px(p >0)的焦点，过点F 且斜率为√3的直线l 交抛物线于A 、B 两点(点A 在第一象限)，交抛物线的准线于点C.则下列结论正确的是( )A. AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =FC ⃗⃗⃗⃗⃗B. |AF|=2|BF|C. |AB|=3pD. 以AF 为直径的圆与y 轴相切 12.已知函数f(x)=e x +alnx ，其中正确结论的是( )A. 当a =0时，函数f(x)有最大值．B. 对于任意的a <0，函数f(x)一定存在最小值．C. 对于任意的a >0，函数f(x)是(0,+∞)上的增函数．D. 对于任意的a >0，都有函数f(x)>0．卷Ⅱ(非选择题 共90分)三．填空题（共4小题，每小题5 分，计20分.）13.若命题“∃x ∈R,x 2+(a −1)x +1<0”是假命题，则实数a 的取值范围为 . 14.已知(2+mx)(1+x)3的展开式中x 3的系数为5，则m =________．15.根据某地区气象台统计，该地区下雨的概率是 35，刮风的概率为 12，既刮风又下雨的概率为110，则在刮风天里，下雨的概率为_______．16.已知实验女排和育才女排两队进行比赛，在一局比赛中实验女排获胜的概率是 23，没有平局．若采用三局两胜制，即先胜两局者获胜且比赛结束，则实验女排获胜的概率为____．四．解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（10分）某城市为鼓励人们乘坐地铁出行，地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量30乘坐站数x 0<X ≤10 10<X ≤2020<X ≤30票价(元)369甲、乙乘坐不超过10站的概率分别为14，13；甲、乙乘坐超过20站概率分别为12，13． (1)求甲、乙两人付费相同的概率；(2)设甲、乙两人所付费用之和为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望．18. （12分）在四棱锥P −ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA =PD =2，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠A =60°，E 是AD 的中点． (1)求证：BE ⊥平面PAD ；(2)求平面PAB 与平面PBC 所成角的余弦值．19.（12分）新型冠状病毒的传染性是非常强的，而且可以通过接触传播或者是呼吸道飞沫传播，感染人群年龄大多数是40岁以上的人群.该病毒进入人体后有潜伏期，并且潜伏期越长，感染他人的可能性越高，现对100个病例的潜伏期(单位：天)进行调查，统计发现潜伏期中位数为5，平均数为7.21，方差为5.08.如果认为超过8天的潜伏期属于“长潜伏期”.按照年龄统计样本得到下面的列联表：长潜伏期 非长潜伏期40岁以上 15 55 40岁及以下1020(2)假设潜伏期Z 服从正态分布N(μ,σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差， 现在很多省份对入境旅客一律要求隔离14天，请用概率的知识解释其合理性；附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)． 若随机变量Z 服从正态分布N(μ,σ2)，则P(μ−σ<Z <μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<Z <μ+2σ)=0.9544，P(μ−3σ<Z <μ+3σ)=0.9974，√5.08≈2.25．K 2≥k 0.1 0.05 k 2.706 3.84120.（12分）某餐厅通过查阅了最近5次食品交易会参会人数x (万人)与餐厅所用原材料(2)已知购买原材料的费用C(元)与数量t(袋)的关系为C ={400t −20,0<t <36,t ∈N380t,t ≥36,t ∈N,投入使用的每袋原材料相应的销售收入为700元，多余的原材料只能无偿返还，据悉本次交易大会大约有15万人参加，根据(1)中求出的线性回归方程，预测餐厅应购买多少袋原材料，才能获得最大利润，最大利润是多少？(注：利润L =销售收入−原材料费用)． 参考公式：b̂=∑(x i −x )(y i −y )n i=1∑(x i −x )2ni=1=∑x i y i −nxy n i=1∑x i 2−nx2ni=1，a =y −b̂x ． 参考数据：∑x i y i 5i=1=1343，∑x i 25i=1=558，∑y i 2=32375i=1．21.（12分）已知椭圆X :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)经过点P(2,√2)，一个焦点F 的坐标为(2,0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l:y =kx +1与椭圆C 交于A,B 两点，O 为坐标原点，求OA⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围．22.（12分）已知f(x)=12x 2+ae x −lnx ．(1)设x =12是f(x)的极值点，求实数a 的值，并求f(x)的单调区间； (2)a >0时，求证：f(x)>12．高二期中考试数学参考答案一、单选题 CBBB BBAD二、多选题 9. ABD 10. BD 11. AD 12. BC 三、填空题 13. [−1,3] 14. 1 15. 15 16. 2027 四、解答题17.解：(1)由题意知甲乘坐超过10站且不超过20站的概率为1−14−12=14， 乙乘坐超过10站且不超过20站的概率为1−13−13=13， 设“甲、乙两人付费相同”为事件A ， 则P (A )=14×13+14×13+12×13=13，所以甲、乙两人付费相同的概率是13．……………………………………（4分） (2)由题意可知X 的所有可能取值为：6，9，12，15，18． P (X =6)=14×13=112，P (X =9)=14×13 +14×13=16， P (X =12)=14×13+12 ×13+14×13=13，P(X =15)=14×13+12 ×13=14，P (X =18)=12×13=16．…………………………………………………………（8分） X 6 9 12 15 18 P11216131416所以X 的数学期望E (X )=6×112+9×16 +12×13+15×14+18×16=514．……（10分）18.(1)证明：由PA =PD =2，E 是AD 的中点，得PE ⊥AD ，由平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD =AD ，且PE ⊂平面PAD ， 可得PE ⊥平面ABCD ，又BE ⊂平面ABCD ，所以PE ⊥BE ， 又由于四边形ABCD 是边长为2的菱形，∠A =60°，所以BE ⊥AD ，又PE ∩AD =E ，且PE ，AD ⊂平面PAD ，所以BE ⊥平面PAD ；……………………（5分） (2)解：由(1)可知EA ，EB ，EP 两两垂直，以E 为原点，EA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,EP⃗⃗⃗⃗⃗ 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图，则P(0,0,√3)，A(1,0，0)，B(0,√3,0)，C(−2,√3,0)，所PA⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,−√3)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,−√3)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,√3,−√3)， 设平面PAB 的一个法向量为n⃗ =(x,y ，z)， 则{PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0，即{x −√3z =0√3y −√3z =0, 令z =1，可得n ⃗ =(√3,1,1)，………………（8分）同理可得平面PBC 的一个法向量为m⃗⃗⃗ =（0,1,1），………………（10分） 所以平面PAB 与平面PBC 所成角的余弦值为|cos⟨m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ ⟩|=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ | |n ⃗⃗ ||=√105．………（12分）19.解：(1)K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100×(15×20−55×10)270×30×25×75≈1.587，由于1.587<2.706，故没有90%以上的把握认为“长潜伏期”与年龄有关；………………（6分） (2)若潜伏期Z ～N(7.21,2.252)，此时μ+3σ=7.21+3×2.25=13.96， 由P(Z ≥13.96)=1−0.99742=0.0013，显然潜伏期超过14天的概率很低，因此隔离14天是合理的．………………………………（12分）20.解：(1)由所给数据可得：x =13+9+8+10+125=10.4，y =32+23+18+24+285=25（2分）b ̂=i i −5x 5i=1y ∑x 2−5x25=1343−5×10.4×25558−5×10.42=2.5………………（4分） ，a ̂=y −b̂x =25−2.5×10.4=−1， 则y 关于x 的线性回归方程为ŷ=2.5x ̂−1;………………（6分） (2)由(1)中求出的线性回归方程知，当x =15时，y =36.5， 即预计需要原材料36.5袋，因为C ={400t −20,0<t <36,t ∈N380t,t ≥36,t ∈N,…………（9分）所以当t <36时，利润L =700t −(400t −20)=300t +20， 当t =35时，L max =300×35+20=10520；当t >36时，利润L =700×36.5−380t ，最大为700×36.5−380×37=11490， 当t =36时，L =700×36−380×36=11520，综上，餐厅应该购买36袋原材料，才能使利润获得最大，为11520元.……（12分）21.解：(1)解：(1)根据椭圆的定义，2a =|PF 1|+|PF 2|=√(2+2)2+(√2)2+√2=4√2，解得a =2√2， 又c =2，∴b 2=a 2−c 2=(2√2)2−22=4，∴所以椭圆C 的方程为x 28+y 24=1；………………（5分）(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由{y =kx +1x 28+y 24=1，消去y ，整理得(1+2k 2)x 2+4kx −6=0；又△=16k 2+24(1+2k 2)=64k 2+24>0，解得k ∈R ；由根与系数的关系得x 1+x 2=−4k 1+2k 2,x 1x 2=−61+2k 2；………………（8分） ∴y 1y 2=k 2x 1x 2+k(x 1+x 2)+1=−6k 21+2k −4k 21+2k +1=1−8k 21+2k ，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=−61+2k 2+1−8k 21+2k 2=−8k 2−51+2k 2=−4−11+2k 2； 又−1≤−11+2k 2<0，∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是[−5,−4)．………………（12分） 22.解：(1)由题意，函数f(x)的定义域为(0,+∞)， 又由f ′(x)=x +ae x −1x ，且x =12是函数f(x)的极值点， 所以f ′(12)=12+ae 12−2=0，解得a =3√e2e，………………（2分）又a >0时，在(0,+∞)上，f ′(x)是增函数，且f ′(12)=0， 所以f ′(x)>0，得x >12，f ′(x)<0，得0<x <12，所以函数f (x )的单调递增区间为(12,+∞)，单调递减区间为(0,12)．………………（5分） (2)由(1)知因为a >0，在(0,+∞)上，f ′(x)=x +ae x −1x 是增函数，又f ′(1)=1+ae −1>0(且当自变量x 逐渐趋向于0时，f ′(x)趋向于−∞)， 所以，∃x 0∈(0,1)，使得f ′(x 0)=0，所以x 0+ae x 0−1x 0=0，即ae x 0=1x 0−x 0，………………（7分）在x ∈(0,x 0)上，f ′(x)<0，函数f(x)是减函数， 在x ∈(x 0,+∞)上，f ′(x)>0，函数f(x)是增函数， 所以，当x =x 0时，f (x )取得极小值，也是最小值，所以f(x)min =f(x 0)=12x 02+ae x 0−lnx 0=12x 02+1x−x 0−lnx 0,(0<x 0<1)，（9分） 令g(x)=12x 2+1x −x −lnx,(0<x <1)，则g′(x)=x−1x2−1−1x=(x−1)−1+xx2，当x∈(0,1)时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减，所以g(x)>g(1)=12，即f(x)≥f(x)min>12成立．………………（12分）。

张家口市第一中学2019-2020学年级高二12月考试数学试卷(普实班)一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.某工厂甲，乙，丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为600件，400件，300件，用分层抽样方法抽取容量为n 的样本，若从丙车间抽取6件，则n 的值为（ ） A. 18 B. 20C. 24D. 26【答案】D 【解析】由分层抽样的定义可得：6300600400300n =++，解得：26n =. 本题选择D 选项.2.若0,0a b >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取,a b 的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当0, 0a >b >时，a b +≥，则当4a b +≤时，有4a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件.【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取,a b 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.3.《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事．“田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．”双方从各自的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为 A.13B.14C.15D.16【答案】A 【解析】分析：由题意结合古典概型计算公式即可求得最终结果.详解：记田忌的上等马、中等马、下等马分别为a ,b ,c ，齐王的上等马、中等马、下等马分别为A ,B ,C ，由题意可知，可能的比赛为：Aa ,Ab ,Ac ,Ba ,Bb ,Bc ,Ca ,Cb ,Cc ,共有9种，其中田忌可以获胜的事件为：Ba ，Ca ,Cb ，共有3种，则田忌马获胜的概率为3193p ==.本题选择A 选项.点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用. 4.随机调查某学校50名学生在学校的午餐费，结果如表：这50个学生的午餐费的平均值和方差分别是( )A. 7.2元，0.56元2B. 7.2C. 7元，0.6元2D. 7元，【答案】A 【解析】 【分析】直接利用平均数公式与方差公式求解即可. 【详解】先计算这50个学生午餐费的平均值是()16107208207.250x =⨯⨯+⨯+⨯=， 所以方差是()()()222211067.22077.22087.20.5650S ⎡⎤=⨯⨯-+⨯-+⨯-=⎣⎦,故选A ．【点睛】本题主要考查平均数公式与方差公式的应用，属于基础题. 样本数据的算术平均数公式：12n 1(++...+)x x x x n =；样本方差公式：2222121[()()...()]n s x x x x x x n=-+-++-. 5.方程221102x y m m +=--表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围为（ ）A. ()2,+∞B. ()()2,66,10⋃C. ()2,10D. ()2,6【答案】D 【解析】根据题意，方程221102x y m m +=--表示焦点在x 轴上的椭圆，则有10020102x m m m ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩，解可得2＜m ＜6； 故答案为D ．6.已知双曲线C 的离心率为2，焦点为1F 、2F ，点A 在C 上，若122F A F A =，则21cos AF F ∠=（ ）A.14B.13C.4D.3【答案】A 【解析】 试题分析：由已知设21,2,F A m F A m ==则由定义得12122,2,4,2.F A F A a m a F A a F A a -=∴===122,24.ce F F c a a====Q 在12AF F ∆中，由余弦定理得()()2222222121212124441cos 22244a a a AF F F AF AF F AF F F a a+-+-∠===⋅⨯⨯，故选A ． 考点：1.双曲线的几何性质（焦点三角形问题）；2.余弦定理． 【此处有视频，请去附件查看】7.已知抛物线24y x =，过焦点且倾斜角为60°的直线与抛物线交于A 、B 两点，则△AOB 的面积为 A.3 B.83C.43D.23【答案】C 【解析】试题分析：由题意知，直线AB 的方程为3(1)y x =-，联立直线AB 与抛物线的方程可得：，解之得：(3,23)A ，123(,33B -，所以2212316(3)(23)333AB =-++=，而原点到直线AB 的距离为3d =1432ABC S AB d ∆=⨯⨯=C ． 考点：1、抛物线的简单几何性质；2、直线与抛物线的相交问题；8.已知动点(,)M x y 2222(5)(5)8x y x y ++-+=，则M 的轨迹方程是（ ）A. 221169x y += B. 221169x y -= C. 221(0)169x y x -=> D. 221(0)169y x y -=>【答案】C 【解析】【详解】此方程表示点M 到点(5,0)-的距离与到点(5,0)的距离之差为8，而这正好符合双曲线的定义，点M 的轨迹是双曲线的右支，534c b a =⎧⇒=⎨=⎩，M 的轨迹方程是221(0)169x y x -=>，故选C. 9.已知非零向量12,e e u r u u r 不共线，如果12AB e e =+u u u r u r u u r ，1228AC e e =+u u u r u r u u r ，1233AD e e =-u u u r u r u u r，则四点A ，B ，C ，D （ ） A. 一定共线 B. 恰是空间四边形的四个顶点 C. 一定共面 D. 可能不共面【答案】C 【解析】 【分析】通过已知向量关系，求出5AC AB AD =-u u u r u u u r u u u r，说明四点A ，B ，C ，D 共面.【详解】Q 非零向量12,e e u r u u r不共线， 12AB e e =+u u u r u r u u r ，1228AC e e =+u u u r u r u u r ，1233AD e e =-u u u r u r u u r ,∴ 1212125553328AB AD e e e e e e AC -=+-+=+=u u u r u u u r u r u u r u r u u r u r u u r u u u r,∴5AC AB AD =-u u u r u u u r u u u r ,由平面向量基本定理可知，四点A ，B ，C ，D 共面. 故选：C【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的应用，平面向量的基本运算，属于中档题.10.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：221||x y x y +=+就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C 2； ③曲线C 所围成“心形”区域的面积小于3. 其中，所有正确结论的序号是 A. ① B. ②C. ①②D. ①②③【答案】C 【解析】【分析】将所给方程进行等价变形确定x 的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围. 【详解】由221x y x y+=+得,221y xy x -=-,2222||3341,10,2443x x x y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭厔, 所以x 可为的整数有0,-1,1,从而曲线22:1C x y x y +=+恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-1,0),(-1,1)六个整点,结论①正确.由221x y x y +=+得,222212x y x y +++…,解得222x y +≤,所以曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过2. 结论②正确.如图所示,易知()()()()0,1,1,0,1,1,,0,1A B C D -, 四边形ABCD 的面积13111122ABCD S =⨯⨯+⨯=,很明显“心形”区域的面积大于2ABCD S ,即“心形”区域的面积大于3,说法③错误.故选C.【点睛】本题考查曲线与方程､曲线的几何性质，基本不等式及其应用,属于难题,注重基础知识､基本运算能力及分析问题解决问题的能力考查,渗透“美育思想”. 11.如图，设动点P 在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上，记11D PD Bλ=，当∠APC 为钝角时，λ的取值范围是（ ）A. 20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用∠APC 不是平角，∠APC 为钝角等价于cos 0APC ∠<，即0PA PC ⋅<u u u r u u u r,从而可求λ的取值范围.【详解】由题设，建立如图所示空间直角坐标系：则有(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),,(0,0,1)A B C D ，11(1,1,1),(,,)D B D P λλλ∴=-=-u u u u r u u u u r，()112,,(1,0,1)(1,,1)PA PD D A λλλλλλ∴=+=--+-=---u u u r u u u u r u u u u r， ()112,,(0,1,1)(,1,1)PC PD DC λλλλλλ=+=--+-=---u u u r u u u r u u u u r ， 显然∠APC 不是平角，所以∠APC 为钝角等价于cos 0APC ∠<，∴ 0PA PC ⋅<u u u r u u u r，2(1)()()(1)(1)(1)(31)0λλλλλλλ∴--+--+-=--<，3因此，λ的取值范围是1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭, 故选：B【点睛】本题主要考查了利用空间向量求向量的夹角，解一元二次不等式，属于中档题. 12.设f （x ）在x 处可导，则()()lim2h f x h f x h h→+--等于（ ） A. ()2'f xB.()1'2f x C. ()'f xD.()4'f x【答案】C 【解析】 【分析】利用导数的定义即可求解. 【详解】()f x Q 在x 处可导，()()lim()2h f x h f x h f x h'→+--∴=.故选：C【点睛】本题主要考查了导数的定义，属于容易题.二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.若向量(2a =r，1，2)-，//e a r r 且1e =r ，则e =r______． 【答案】212,,333⎛⎫- ⎪⎝⎭或212,,333⎛⎫-- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】设e =r （2λ，λ，﹣2λ），则|e r|==1，由此能求出结果． 【详解】∵向量a =r （2，1，﹣2），e r ∥a r 且|e r|＝1， ∴设e =r（2λ，λ，﹣2λ），则|e r|==1，3∴e =r （212333-，，）或e =r（23-，13-，23）．故答案为（212333-，，）或（23-，13-，23）． 【点睛】本题考查向量的求法，考查向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．14.如图茎叶图记录了甲．乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为______，______．【答案】 (1). 5 (2). 8 【解析】 【分析】根据茎叶图中的数据，结合中位数与平均数的概念，求出x 、y 的值． 【详解】根据茎叶图中的数据，得： ∵甲组数据的中位数为15，∴x ＝5； 又∵乙组数据的平均数为16.8， ∴()9151018245y +++++=16.8，解得：y ＝8；综上，x 、y 的值分别为5、8． 故答案为(1). 5 (2). 8【点睛】本题考查了利用茎叶图求数据的中位数与平均数的问题，是基础题．15.如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点，直线2b y =与椭圆交于,B C 两点，且090BFC ∠=，则该椭圆的离心率是__________．【答案】63【解析】由题意得33(,),(,),22b b B a C a -，故，3(,)2bc -， 又90BFC ∠=o ，所以2222236()()0322b c c a e -+=⇒=⇒= 【考点】椭圆离心率【名师点睛】椭圆离心率的考查，一般分两个层次，一是由离心率的定义，只需分别求出,a c ，这注重考查椭圆标准方程中量的含义，二是整体考查，求,a c 的比值，这注重于列式，即需根据条件列出关于,a c 的一个等量关系，通过解方程得到离心率的值. 【此处有视频，请去附件查看】16.函数y ＝13x 3－ax 2＋x －2a 在R 上不是单调函数，，则a 的取值范围是________． 【答案】(－∞，－1)∪(1，＋∞) 【解析】试题分析：函数导数221y x ax =-+'，因为函数在R 上不是单调函数，所以导数值有正有负，即导函数221y x ax =-+'与x 轴有两个交点01a ∴∆>∴>或1a <- 考点：函数单调性点评：本题通过函数导数判定函数单调性，在R 上不是单调函数，则存在极值点，即存在导数值大于零和小于零的情况三、解答题（本大题共6小题，共72分）17.已知命题p ：“曲线C 1：22228x y m m ++=1表示焦点在x 轴上的椭圆”，命题q ：“曲线C 2：2211x y m t m t +=---表示双曲线”． （1）若命题p 是真命题，求m 的取值范围； （2）若p 是q 的必要不充分条件，求t 的取值范围． 【答案】（1）-4＜m ＜-2，或m ＞4；（2）-4≤t ≤-3或t ≥4 【解析】 【分析】（1）方程表示焦点在x 轴上的椭圆需满足228280m m m ⎧>+⎨+>⎩，解不等式即可求解（2）化简命题q 可得t ＜m ＜t +1，利用p 是q 的必要不充分条件可知{m |t ＜m ＜t +1}≠⊂{m |-4＜m ＜-2，或m ＞4}，建立不等式求解即可.【详解】（1）若p 为真：则228280m m m ⎧>+⎨+>⎩，解得-4＜m ＜-2，或m ＞4；（2）若q 为真，则（m -t )(m -t -1)＜0，即t ＜m ＜t +1，∵p 是q 的必要不充分条件， 则{m |t ＜m ＜t +1}≠⊂{m |-4＜m ＜-2，或m ＞4}， 即412t t -≤≤+≤-或t ≥4，解得-4≤t ≤-3或t ≥4.【点睛】本题主要考查了椭圆、双曲线的简单几何性质，必要不充分条件，真子集，属于中档题.18.20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如下：(1)求频率直方图中a 的值；(2)分别求出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数；(3)从成绩在[50,70)的学生中人选2人，求这2人的成绩都在[60,70)中的概率． 【答案】(1)0.005,(2)2,3,(3)0.3 【解析】【详解】（1）据直方图知组距=10，由()23672101a a a a a ++++⨯=，解得10.005200a == （2）成绩落在[)50,60中的学生人数为20.00510202⨯⨯⨯= 成绩落在[)60,70中的学生人数为30.00510203⨯⨯⨯= （3）记成绩落在中的2人为12,A A ，成绩落在[)60,70中的3人为1B 、2B 、3B ， 则从成绩在的学生中人选2人的基本事件共有10个：()()()()()()()()()()12111213212223121323,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A A A B A B A B A B A B A B B B B B B B其中2人的成绩都在中的基本事伯有3个：()()()121323,,,,,B B B B B B 故所求概率为310P =【此处有视频，请去附件查看】19.如图，已知三棱锥D －ABC 中，二面角A －BC －D 的大小为90°，且∠BDC ＝90°，∠ABC ＝30°，BC ＝3，23AB =．（1）求证：AC ⊥平面BCD ；（2）二面角B －AC －D 为45°，且E 为线段BC 的中点，求直线AE 与平面ACD 所成的角的正弦值．【答案】（1）见解析；（242【解析】【分析】（1））△ABC中,根据条件利用余弦定理求出AC,根据勾股定理证明垂直即可（2）以C为原点，CB所在直线为x轴，CA所在直线为y轴，过点C作垂直于平面ABC的直线为z轴建立空间直角坐标系，求出平面ACD的法向量，利用直线与平面所成角公式计算即可.【详解】（1）△ABC中，由2223 cos22AB BC ACABCAB BC+-∠==⋅，解得3AC=，从而AC2+BC2＝AB2，∴AC⊥BC；又二面角A-BC-D的大小为90°，即平面BCD⊥平面ABC，而平面BCD∩平面ABC＝BC，AC⊂平面ABC，故AC⊥平面BCD；（2）以C为原点，CB所在直线为x轴，CA所在直线为y轴，过点C作垂直于平面ABC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，故平面ABC的法向量ur＝(0，0，1)，设平面ACD的法向量rv＝(1，m，n)，由v CA⊥r u u u r，易知m＝0，从而rv＝(1，0，n)，22|cos,|21nu vn〈〉==+r r，解得n＝±1，结合实际图形，可知n取1时，二面角为135°，应舍去，所以rv＝(1，0，-1)，易知()0,3,0A ，B (3，0，0)，故3,0,02E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则3,3,02EA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，设直线AE 与平面ACD 所成的角为θ，则42sin |cos ,|14EA v θ=〈〉=u u u r r，即直线AE 与平面ABC 所成的角的正弦值为4214． 【点睛】本题主要考查了余弦定理，利用空间向量求直线与平面所成的角，二面角，属于中档题.20.若直线l 为曲线C 1：y =x 2与曲线C 2：y =x 3的公切线，求直线l 的斜率. 【答案】0或6427【解析】 【分析】分别设l 与C 1, C 2的切点分别为（a ，b ），（m ，n ），利用导数分别求出切线方程，由l 为公切线可知两切线重合，即可求解.【详解】曲线C 1：y =x 2，则y ′=2x ，曲线C 2：y =x 3，则y ′=3x 2， 直线l 与曲线C 1的切点坐标为（a ，b ），则切线方程为y =2ax -a 2， 直线l 与曲线C 2的切点坐标为（m ，n ），则切线方程为y =3m 2x -2m 3， ∴2a =3m 2，a 2=2m 3，∴m =0或m =89， ∴直线l 的斜率为0或6427【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求切线，属于中档题.21.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>过点(0,2)，且离心率2e =（1）求椭圆E方程；（2）设直:1()l x my m R =-∈交椭圆E 于,A B 两点，判断点9(,0)4G -与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由.【答案】(1)22142x y += (2) 点G 在以AB 为直径的圆外【解析】解法一：（Ⅰ）由已知得222{2,b c a a b c ===+解得2{a b c ===所以椭圆E 的方程为22142x y +=．（Ⅱ）设点1122(y ),B(,y ),A x x AB 中点为00H(,y )x ．由22221{(2)230,142x my m y my x y =-+--=+=得 所以12122223+=,=22m y y y y m m ++，从而022y m 2=+. 所以222222200000095525GH|()()(+1)++44216x y my y m y my =++=++=. 22222121212()()(+1)()|AB|444x x y y m y y -+--==22221212012(+1)[()4](+1)()4m y y y y m y y y +-==-,故222222012222|AB|52553(+1)25172|GH|(+1)042162(2)21616(2)m m m my m y y m m m +-=++=-+=>+++ 所以|AB||GH|>2，故G 9(4-,0)在以AB 为直径的圆外． 解法二：（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）设点1122(y ),B(,y ),A x x ，则112299GA (,),(,).44x y GB x y =+=+u u u r u u u r由22221{(2)230,142x my m y myx y =-+--=+=得所以12122223+=,=22m y y y y m m ++， 从而121212129955GA GB ()()()()4444x x y y my my y y ⋅=+++=+++u u u r u u u r22212122252553(+1)25(+1)()4162(2)216m m m y y m y y m m =+++=-+++22172016(2)m m +=>+所以cos GA,GB 0,GA GB 〈〉>u u u r u u u r u u u r u u u r又，不共线，所以AGB ∠锐角.故点G 9(4-,0)在以AB 为直径的圆外．考点：1、椭圆的标准方程；2、直线和椭圆的位置关系；3、点和圆的位置关系． 【此处有视频，请去附件查看】22.已知抛物线C ；22y px =过点()1,1A ．()1求抛物线C 的方程；()2过点()3,1P -的直线与抛物线C 交于M ，N 两个不同的点(均与点A 不重合)，设直线AM ，AN 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k ⋅为定值． 【答案】（1）2y x =．（2）见解析． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，可求抛物线的标准方程；（2）设过点P （3，﹣1）的直线MN 的方程为()13x t y =++，代入y 2=x 利用韦达定理，结合斜率公式，化简，即可求k 1•k 2的值．【详解】（1）由题意得21p =，所以抛物线方程为2y x =．（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 的方程为()13x t y =++， 代入抛物线方程得230y ty t ---=．所以()2280t ∆=++>，12y y t +=，123y y t =--． 所以()()121212221212121212111111111111111312y y y y k k x x y y y y y y y y t t ----⋅=⋅=⋅====-----+++++--++,所以1k ，2k 是定值．【点睛】求定值问题常见的方法①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．。

2020-2021学年河北省唐山一中高二下学期期中数学复习卷(2)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.若复数1+i1+ai为纯虚数(i为虚数单位，a为实数)，则a2的值为()A. 4B. 9C. 14D. 12.已知抛物线方程为x2=2py，且过点(1,4)，则抛物线的焦点坐标为()A. (1,0)B. (116,0) C. (0,116) D. (0,1)3.已知变量x，y线性相关，且由观测数据算得样本平均数为x=2，y=5，则由该观测数据得到的线性回归直线方程不可能是()A. y=2.1x+0.8B. y=−1.2x+7.4C. y=2.25x+0.5D. y=−1.25x+7.554.过点P(1,1)的直线，将圆形区域{x,y)|(x−2)2+y2≤4}分成两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为()A. x+y−2=0B. y−1=0C. x+3y−4=0D. x−y=05.若α//β，a//α，则a与β的关系是()A. a//βB. a⊂βC. a//β或a⊂βD. α∩β=A6.观察下列事实：的不同整数解的个数为4，的不同整数解的个数为8，的不同整数解的个数为12，……，则的不同整数解的个数为()A. 32B. 40C. 80D. 1007.在四面体P−ABC的四个面中，是直角三角形的面至多有()个．A. 0个B. 1个C. 3个D. 4个8.已知x与y之产间的几组数据如下表：x0123y0267则y与x的线性回归方程ŷ=bx+a必过()A. (1,2)B. (2,6)C. (32,154) D. (3,7)9.设点M(x1,f(x1))和点N(x2,f(x2))分别是函数f(x)=sinx+16x3和g(x)=x−1图象上的点，且x1≥0，x2≥0，若直线MN//x轴，则M，N两点间的距离的最小值为()A. 1B. 2C. 3D. 410.中国古代数学名著《九章算术》卷第五“商功”共收录28个题目，其中一个题目如下：今有城下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺，问积几何？其译文可用三视图来解释：某几何体的三视图如图所示(其中侧视图为等腰梯形，长度单位为尺)，则该几何体的体积为()A. 3795000立方尺B. 2024000立方尺C. 632500立方尺D. 1897500立方尺11.A. MN与垂直B. MN与垂直C. MN与平行D. MN与平行12.对于函数f(x)=x2+ax，下列结论正确的是()A. ∃a∈R，函数f(x)是奇函数B. ∀a∈R，函数f(x)是偶函数C. ∀a>0，函数f(x)在(−∞,0)上是减函数D. ∃a>0，函数f(x)在(0,+∞)上是减函数二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.如图所示一系列数表依次是三项式(a+b+c)n(n=0,1，2，3，…)展开式系数按一定规律排列所得，可发现数表的第k行共有k个数．依此类推，数表6的第3行第1个数为______ ，数表6的第5行第3个数为______ ．14.圆x2+y2=r2上有一点P(x0,y0)，则过此点的圆的切线方程为x0x+y0y=r2，类比可得过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点Q(x1,y1)的椭圆的切线方程为______ ．15.直线y=√3x+1被圆x2+y2−8x−2y+1=0所截得的弦长等于______ ．，且a⃗⋅(a⃗−b⃗ )=1，|a⃗|=2，则|b⃗ |=______ ．16.已知向量a⃗，b⃗ 的夹角为π3三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.附加题：本题满分10分．已知是平面内两个定点，且，若动点与连线的斜率之积等于常数，求点的轨迹方程，并讨论轨迹形状与值的关系．18.如图，在四棱锥O−ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC=π，OA⊥底面ABCD，OA=2，4M为OA的中点，N为BC的中点．(1)证明：直线MN//平面OCD．(2)求三棱锥N−CDM的体积．19. 有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为5组，各组的人数如表：(1)为了调查评委对7位歌手的支持状况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从E 组中抽取了8人．请将其余各组抽取的人数填入如表．(2)在(1)中，若A ，B 两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，设每位评委支持歌手不相互影响，求这2人至少有1人支持1号歌手的概率．20. 在平面直角坐标系xOy 中，F(1,0)，动点P 满足|PF⃗⃗⃗⃗⃗ |=OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅i +1，其中i =(1,0)，曲线C 为动点P 的轨迹． (I)求曲线C 的方程；(II)过(2,0)的直线l 与C 有两个不同的交点A ，B ，Q 为直线x =−2上一动点，QA ，QB 与y 轴分别交于两点M ，N ，M ，N 的中点为R ，问：直线QR 是否恒过一定点，如果是，求出该定点坐标．如果不是，说明理由．21.已知函数f(x)=ax−bx−2lnx，f(1)=0(Ⅰ)若函数f(x)在其定义域内为单调函数，求实数a的取值范围；(Ⅱ)若函数f(x)的图象在x=1处的切线斜率为0，且a n+1=f′(1a n−n+1)−n+1，已知a1=4，求证a n≥2n+2；(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，试比较11+a1+11+a2+11+a3+⋯+11+a n与25的大小，并说明你的理由．22.已知函数f(x)=lnx+1x．(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)设函数g(x)=(x+1)lnx−x+1，证明：当x>0且x≠1时，x−1与g(x)同号．【答案与解析】1.答案：D解析：解：∵1+i1+ai =(1+i)(1−ai)(1+ai)(1−ai)=1+a1+a2+1−a1+a2i为纯虚数，∴{1+a=01−a≠0，得a=−1．∴a2=1．故选：D．利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部为0且虚部不为0求得a值，进一步求得a2得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2.答案：C解析：解：由抛物线x2=2py，过点(1,4)，代入1=8p，p=18，抛物线方程为x2=14y，焦点在y轴上，p2=116，则抛物线的焦点坐标(0,116)，故选：C．将点(1,4)代入抛物线方程，求得p的值，求得抛物线方程，即可求得抛物线的焦点坐标．本题考查抛物线的标准方程及简单几何性质，考查待定系数法，属于基础题．3.答案：D解析：解：把样本平均数x=2，y=5，代入方程得，5=2.1×2+0.8，满足A中的方程；5=−1.2×2+7.4，满足B中的方程；5=2.25×2+0.5，满足C中的方程；5≠−1.25×2+7.55，不满足D中的方程．故选：D．把样本平均数x=2，y=5代入选项中的方程，计算是否满足方程即可．本题考查了线性回归方程过样本中心点的应用问题，是基础题．4.答案：A解析：要使面积之差最大，必须使过点P的弦最小，该直线与直线CP垂直，求得直线的斜率，再由点斜式可求得直线方程．本题主要考查直线和圆的位置关系，用点斜式求直线的方程，属于基础题．解：圆形区域的圆心坐标为C(2,0)．要使面积之差最大，必须使过点P的弦最小，∴该直线与直线CP垂直．又k CP=−1，所以直线的斜率为1，由点斜式可求得直线方程为y−1=x−1，即x−y=0，故选：D．5.答案：C解析：解：有α//β，a//α易知a在β内，或a//β，故选C．根据直线与平面的位置关系容易判断．本题主要考查了面面平行，线面平行的性质，属于基础题．6.答案：B解析：试题分析：观察已知条件中各式和与对应的整数解个数的关系可得，依次可知和为10时解的个数为40考点：归纳推理点评：归纳推理题目要根据题目已知给定的条件找到其一般规律，并按一般规律推测某一项具有的结论7.答案：D解析：解：如图，PA⊥底面ABC，△ABC是∠ABC为直角的直角三角形，则四面体P−ABC的四个面中，是直角三角形的面最多，有4个．故选：D．由题意画出图形得答案．本题考查棱锥的结构特征，正确画出图形是关键，是中档题．8.答案：C解析：解：∵x=0+1+2+34=32，y=0+2+6+74=154∴根据线性回归方程必过样本中心点，可得ŷ=bx+a必过(32,15 4).故选C．根据线性回归方程必过样本中心点，即可得到结论．本题考查线性回归方程，解题的关键是利用线性回归方程必过样本中心点，属于基础题．9.答案：A解析：解：∵当x≥0时，f′(x)=cosx+12x2>0，∴函数y=f(x)在[0,+∞)上单调递增．∵点M(x1,f(x1))和点N(x2,g(x2))分别是函数f(x)=sinx+16x3和g(x)=x−1图象上的点，且x1≥0，x2≥0，若直线MN//x轴，则f(x1)=g(x2)，即f(x)=sinx1+16x13=x2−1，则M，N两点间的距离为x2−x1=sinx1+16x13+1−x1．令ℎ(x)=sinx+16x3+1−x，x≥0，则ℎ′(x)=cosx+12x2−1，ℎ″(x)=−sinx+x≥0，故ℎ′(x)在[0,+∞)上单调递增，故ℎ′(x)=cosx+12x2−1≥ℎ′(0)=0，故ℎ(x)在[0,+∞)上单调递增，故ℎ(x)的最小值为ℎ(0)=1，即M，N两点间的距离的最小值为1，故选：A．x3+1−x，x≥0，求出其导函求出导函数f′(x)，根据题意可知f(x1)=g(x2)，令ℎ(x)=sinx+16数，进而求得ℎ(x)的最小值即为M、N两点间的最短距离．本题主要考查了利用函数的导数求出函数的单调性以及函数的极值问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．10.答案：D解析：由三视图可得，直观图为底面为侧视图是直棱柱，利用图中数据求出体积．本题考查直观图的体积，考查三视图，确定直观图的形状是关键．×(20+40)×50×1256=1897500解：由三视图可得，直观图为底面为侧视图，是直棱柱，体积为12立方尺，故选D．11.答案：D解析：12.答案：C解析：解：A中∃a∈R，函数f(x)是奇函数，则f(−x)=−f(x)，可得−x2=x2，显然不成立；B中∀a∈R，函数f(x)是偶函数，只有当a=0时，函数才是偶函数，故不成立；C中∀a>0，函数f(x)的导函数f′(x)=2x−a在(−∞,0)上小于零，故函数是减函数，正确；x2D中∃a>0，函数f(x)在(0,+∞)上是减函数显然错误．故选：C．A根据奇函数的定义判断即可；C求出函数的导函数，根据导函数判断函数的单调性；CD由定义判断可得．本题考查了函数奇偶性和导函数的应用．属于基础题型，应熟练掌握．13.答案：10；30解析：解：由(a+b+c)4=[(a+b+c)2]2=[a2+2a(b+c)+(b+c)2]2=[a2+2a(b+c)+(b+c)2][a2+2a(b+c)+(b+c)2]=a4+2a3(b+c)+a2(b+c)2+2a3(b+c)+4a2(b+c)2+2a(b+c)3+a2(b+c)2+2a(b+ c)3+(b+c)4=a4+4a3(b+c)+6a2(b+c)2+4a(b+c)3+(b+c)4=a4+4a3b+4a3c+6a2b2+12a2bc+6a2c2+4ab3+12ab2c+12abc2+4ac3+b4+4b3c+ 6b2c2+4bc3+c4再对照数表5，可得：数表5的第3行第1个数6为(a+b+c)4展开式中a2b2的系数，数表5的第5行第3个数6也为a2b2的系数，类似地，可得：数表6的第3行第1个数为(a+b+c)5展开式中a3b2的系数C53C22=10，数表6的第5行第3个数为(a+b+c)5展开式中a2b2c的系数C52C32C11=30，故答案为：10，30．根据题意，观察数表5中每一行的第一个数，依次为1、4、6、4、1、…，结合(a+b+c)4的展开式的知识，可得变化的规律，进而归纳出数表6的规律，可得答案．本题考查点是归纳与类比及三项式的相关运算，同时考查了归纳推理的能力，属于基础题．14.答案：x1xa2+y1yb2=1解析：解：类比过圆上一点的切线方程，可合情推理：过椭圆x2a +y2b=1上一点Q(x1,y1)处的切线方程为x1xa2+y1yb2=1．故答案为：x1xa2+y1yb2=1．由过圆x2+y2=r2上一点的切线方程x0x+y0y=r2，我们不难类比推断出过椭圆上一点的切线方程：用x0x代x2，用y0y代y2，即可得．本题考查利用类比推理得到结论、证明类比结论时证明过程与其类比对象的证明过程类似或直接转化为类比对象的结论．15.答案：4解析：【试题解析】先求出圆心和半径，再求出圆心到直线的距离，利用勾股定理即可求出直线被圆所截得的弦长．本题考查弦长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意圆的性质、点到直线的距离公式的合理运用．√64+4−4=4，解：圆x2+y2−8x−2y+1=0的圆心C(4,1)，半径r=12=2√3，圆心C(4,1)到直线y=√3x+1的距离d=√3−1+1|√3+1∴直线y=√3x+1被圆x2+y2−8x−2y+1=0所截得的弦长为：|AB|=2√r2−d2=2√16−12=4．故答案为4．16.答案：3解析：解：根据条件：a⃗⋅(a⃗−b⃗ )=a⃗2−a⃗⋅b⃗ =4−2|b⃗ |⋅1=1；2∴|b⃗ |=3．故答案为：3．,|a⃗|=2进行数量积的运算便可得出a⃗⋅(a⃗−b⃗ )=4−|b⃗ |，从而得出4−|b⃗ |=1，根据<a⃗,b⃗ >=π3这样便可求出|b⃗ |的值．考查向量夹角的概念，向量数量积的运算及计算公式．17.答案：()(1)时，圆且；(2)时，焦点在y轴上的椭圆，且；(3)时，焦点在x轴上的椭圆，且;(4)时，焦点在x轴上的双曲线，且；解析：试题分析：利用直接法求轨迹方程，先建立恰当的直角坐标系，再设点坐标，根据条件列出动点坐标关系，最后根据方程讨论轨迹：以为x轴，它的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，设，所以，当时，圆且；当时，焦点在y 轴上的椭圆，且；当时，焦点在x轴上的椭圆，且;当时，焦点在x轴上的双曲线，且；试题解析：以为x轴，它的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，，设，所以所以()(1)时，圆且；(2)时，焦点在y轴上的椭圆，且；(3)时，焦点在x轴上的椭圆，且;(4)时，焦点在x轴上的双曲线，且；考点：轨迹方程18.答案：证明：(1)取AD中点E，连接ME，NE，∵M为OA的中点，N为BC的中点，∴ME//OD，NE//CD，∵ME∩NE=E，OD∩CD=D，ME、NE⊂平面MNE，OD，CD⊂平面CDO，∴平面MNE//平面CDO，∵MN⊂平面MNE，∴直线MN//平面OCD．解：(2)∵OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点，∴AM⊥平面CDN，且AM=1，∵底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC=π4，∴S△CDN=12×12×1×sin135°=√28，∴三棱锥N−CDM的体积为V N−CDM=V M−CDN=13×S△CDN×AM=13×√28×1=√224．解析：本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题．(1)取AD中点E，连接ME，NE，推导出平面MNE//平面CDO，由此能证明直线MN//平面OCD．(2)三棱锥N−CDM的体积V N−CDM=V M−CDN，由此能求出结果．19.答案：解：(1)按相同的比例从不同的组中抽取人数．从B组100人中抽取6人，即从50人中抽取3人，从150人中抽取6人，填表如下：(2)A组抽取的4人为1，2，A，B，其中1，2支持1号歌手，B组抽取的4人为3，4，C，D，其中3，4支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，共有C41C41=16种方法，2人都不支持1号歌手共C21×C21=4种，故2人都不支持1号歌手的概率p=14，故这2人至少有1人支持1号歌手的概率p=1−14=34．解析：(1)利用分层抽样中每层所抽取的比例数相等直接计算各层所抽取的人数；(2)利用古典概型概率计算公式求出A，B两组被抽到的评委都不支持1号歌手的概率，从而求出这2人至少有1人支持1号歌手的概率．本题考查了分层抽样方法，考查了相互独立事件同时发生的概率乘法公式，若事件A，B是否发生相互独立，则p(AB)=p(A)p(B)，是中档题．20.答案：解：(Ⅰ)设曲线C上一点P(x,y)，则√(x−1)2+y2=x+1，即y2=4x，∴曲线C的方程为y2=4x．(Ⅱ)设A(x A,y A)，B(x B,y B)，Q(−2,t)，M(0,y M)，N(0,y R)，直线AB：my=x−2，①曲线C：y2=4x，②联立①②，得y2−4my−8=0，∴y A+y B=4m，y A y B=−8，QA：y=y A−tx A+2(x+2)+t，令x=0，y M=t+2(y A−t)x A+2=t+2(y A−t)my A+4，同理，y N=t+2(y B−t)my B+4，∴y M+y N=2t+2(y A−t)my A+4+2(y B−t)my B+4=2y+2⋅2my A y B−(mt−4)(y A+y B)−8tm2y A y B+4m(y A+y B)+16=t，∴R(0,t2)，∴QR：y=−t4(x−2)，∴直线QR过定点(2,0)．解析：(Ⅰ)设曲线C上一点P(x,y)，则√(x−1)2+y2=x+1由此能求出曲线C的方程．(Ⅱ)设A(x A,y A)，B(x B,y B)，Q(−2,t)，M(0,y M)，N(0,y R)，直线AB：my=x−2，曲线C：y2=4x，联立，得y2−4my−8=0，由此利用韦达定理、直线方程，结合已知条件能求出直线QR过定点(2,0)．本题考查曲线方程的求法，考查直线能否过定点的判断与求法，考查抛物线、直线方程等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．21.答案：解：(1)函数f(x)的定义域是(0,+∞)，因为f(1)=0所以有a=b所以f(x)=ax−ax −2lnx，f/(x)=a+ax2−2x=ax2−2x+ax2，当a=0时，f/(x)=−2x<0恒成立，所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递减，当a≠0时，若函数f(x)在其定义域内单调递增，则有f′(x)≥0恒成立即a≥2xx2+1=2x+1x，因为x>0所以a≥1且a=1时f′(x)不恒为0．若函数f(x)在其定义域内单调递减，则有f′(x)≤0恒成立即a≤2xx2+1，因为x>0所以a≤0，综上，函数f(x)在定义域内单调时a的取值范围是a≤0或a≥1；(2)因为函数f(x)的图象在x=1处的切线斜率为0，所以f′(1)=0，即2a−2=0所以a=1，所以f(x)=x−1x −2lnx，g(x)=1(1−x)n+ln(x−1)，令ℎ(x)=g(x)−x=1(1−x)n +ln(x−1)−x，所以ℎ/(x)=n1(1−x)n+1+1x−1−1，当n是偶数时n1(1−x)n+1<0,0<1x−1<1，所以ℎ′(x)<0即函数ℎ(x)在[2,+∞)单调递减，所以ℎ(x)≤ℎ(2)=−1，即g(x)≤x−1，当n是奇数时，令T(x)=ln(x−1)−x则T/(x)=1x−1−1≤0所以函数T(x)在[2,+∞)单调递减，所以T(x)≤T(2)=−2，又因为x≥2时1−x<0所以1(1−x)n<0，所以ℎ′(x)<0即函数ℎ(x)在[2,+∞)单调递减，所以ℎ(x)≤ℎ(2)=−1，即g(x)≤x−1，综上，对任意的正整数n，当x≥2时，有g(x)≤x−1．解析：(1)先求出b的值，要保证原函数在定义内单调，需保证其导函数在定义域上不变号，分类讨论，从而求得参数的范围；(2)函数f(x)的图象在x=1处的切线斜率为0，求出a的值，令ℎ(x)=g(x)−x=1(1−x)n+ln(x−1)−x，利用导数研究ℎ(x)的最小值小于等于−1即可．本题考察函数单调性与导数的关系，和分类讨论思想，及二次函数的知识，是导数中常见的恒成立问题，属中档题．22.答案：解：(I)函数f(x)的定义域是(0,+∞)，又f′(x)=1x −1x2=x−1x2，令f′(x)=0，得x=1，当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：所以，f(x)的增区间是(1,+∞)，减区间是(0,1)，(II)函数g(x)的定义域是(0,+∞)，又g′(x)=lnx+x+1x −1=lnx+1x=f(x)，由(I)可知，f(x)min=f(1)=1，所以，当x>0时，g′(x)>0，所以，g(x)在区间(0,+∞)上单调递增．因为g(1)=0，所以当x>1时，g(x)>g(1)=0且x−1>0；当0<x<1时，g(x)<g(1)=0且x−1<0，所以，当x>0且x≠1时，x−1与g(x)同号．解析：(I)先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系进而可求；(II)先对g(x)求导，然后结合导数可分析g(x)的特征，进而可证．本题主要考查了导数在单调性中的应用及利用导数证明不等式，属于中档试题．。