河北省张家口市第一中学2019_2020学年高二数学上学期12月月考试题(含解析)

张家口市2019-2020学年度第一学期期末教学质量监测高二数学注意事项：1.本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分.2.考试时间120分钟，满分150分.3.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置.4.全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.为调查学生观看电影《我和我的祖国》的情况，采用分层抽样的方法，从某中学3000无人(其中高一年级1200人，高二年级1000人，高三年级800人)中抽取n 人.已知从高一抽取了18人，则从高二和高三年级共抽取的人数为（ ）A. 24B. 27C. 30D. 32 【答案】B【解析】【分析】根据分层抽样的等比例性质，结合题意，进行计算即可.【详解】根据分层抽样的等比例抽样的性质，设从高二和高三抽取x 人， 可得：1818001200x = 解得27x =故选：B.【点睛】本题考查分层抽样等比例抽取的性质，属基础题.2.已知命题200:,10p x R x ∃∈+<，那么命题p 的否定是（ ）A. 200,10x R x ∃∈+>B. 200,10x R x ∃∈+≥C. 200,10x R x ∀∈+≥D. 200,10x R x ∀∈+< 【答案】C【解析】【分析】根据特称命题的否定的求解原则，即可写出其命题的否定.【详解】命题200:,10p x R x ∃∈+<，那么命题p 的否定是：200,10x R x ∀∈+≥.故选：C.【点睛】本题考查特称命题的否定，属基础题.3.从1,2,3,4,5这五个数中，随机抽取两个不同的数，则这两个数的积为奇数的概率是（ ） A. 310 B. 15 C. 320 D. 110【答案】A【解析】【分析】先计算所有的可能性，从中选出满足题意的可能，用古典概率计算公式即可求得.【详解】从5个数中选择两个，总共有10种可能，其中满足乘积为奇数的可能相当于从3个奇数中选2个，共有3种可能:1和3,1和5,3和5. 故这两个数的积为奇数的概率310P =. 故选：A .【点睛】本题考查古典概型的概率计算，难点是对满足题意的可能性进行求解.4.已知定点()() 2,,2,,M a N a a -为常数，且2PM PN -=，则动点P 的轨迹是（ ）A. 一条射线B. 椭圆C. 双曲线D. 双曲线的一支【答案】D【解析】【分析】根据题意，结合曲线的特征，进行判断即可.【详解】根据题意，动点P 到两个定点M 和N 的距离之差为定值，且该定值小于M 、N 的距离，故动点P 的轨迹方程是以M 和N 为焦点的双曲线， 又因为2PM PN -=，故只是双曲线上靠近焦点N 的一支.故选：D.【点睛】本题考查双曲线的定义，属基础题，易错点是没有注意到此题表述的是双曲的一支，而不是整个双曲线.5.命题“若4a π=”，则tan 1a ="的否命题是（ ） A. “若4a π≠"，则tan 1a ≠” B. “若4a π≠"，则tan 1a =”C. “若4a π=，则tan 1a ≠” D. “若tan 1a ≠，则4a π≠”【答案】A【解析】【分析】根据否命题的转化规则，进行转化并选择即可.【详解】根据否命题的要求，需要将条件和结论都要否定， 故命题：若4a π=，则tan 1a =的否命题是： 若4a π≠，则tan 1a ≠.故选：A.【点睛】本题考查命题的否命题的求解，注意条件和结论都要进行否定.6.将一枚质地均匀的硬币向上抛掷三次，下列两个事件中，是对立事件的是（ ）A. 事件1A ：“恰有两次正面向上”，事件1B ：“恰有两次反面向上”B. 事件2A ：“恰有两次正面向上”，事件2B ：“恰有一次正面向上”C. 事件3A ：“至少有一次正面向上”，事件3B ：“至多一次正面向上”D. 事件4A ：“至少有一次正面向上”，事件4B ：“恰有三次反面向上”【答案】D【解析】【分析】根据对立事件的定义，对每个选项进行逐一判断即可.【详解】将一枚质地均匀的硬币向上抛掷三次，共有8种可能，对A ：除恰有两次正面向上，和恰有两次反面向上，还有三次都是正面等事件，故不对立； 对B ：除恰有两次正面向上，和恰有一次正面向上，还有三次都是正面等事件，故不对立； 对C ：至少有一次正面向上，和至多一次正面向上，两个事件不互斥，故一定不对立； 对D ：两个事件对立.故选：D【点睛】本题考查对立事件的定义，属概念辨析题.7.双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线方程为3y x =，则双曲线C 的离心率为（ ）A. 2B. 3C. 2D. 23【答案】C【解析】【分析】根据渐近线方程，即可求得,a b 之间关系，将其转化为,a c 关系，即可求得.【详解】因为渐近线方程为3y x =故3b a =，故可得：21132b e a ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭. 故选：C.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，属基础题.8.奖饭店推出甲.乙两种新菜品，为了了解两种菜品的受欢迎程度，现统计一周内两种菜品每天的销售量，得到下面的茎叶图.下列说法中，不正确的是（ ）A. 甲菜品销售量的众数比乙菜品销售量的众数小B. 甲菜品销售量的中位数比乙菜品销售量的中位数小C. 甲菜品销售量的平均值比乙菜品销售量的平均值大D. 甲菜品销售量的方差比乙菜品销售量的方差大.【答案】C【解析】【分析】根据茎叶图的数据，对每个选项的描述进行分析即可.【详解】甲的众数是61，乙的众数是62，甲的众数小于乙的众数，故A 选项描述正确； 甲的中位数是61，乙的中位数是62，甲的中位数小于乙的中位数，故B 选项描述正确； 甲的平均数是61，乙的众数是61，平均数相等，故C 选项描述不正确； 甲的方差是3207，乙的方差是2247，甲的方差比乙的方差大，故D 选项描述正确 故选：C.【点睛】本题考查众数、中位数、平均数以及方差的计算，属基础题.9.过抛物线21:8C y x =的焦点F 的直线交抛物线C 于,A B 两点，线段AB 的中点为5,2M a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则AB =（ ） A. 8116 B. 418 C. 13 D. 9【答案】D【解析】【分析】根据抛物线焦点弦的计算公式，即可求得. 【详解】对抛物线21:8C y x =，其焦点坐标为()2,0，故4p = 根据抛物线焦点弦公式可得：52492A B AB y y p =++=⨯+=. 故选：D.【点睛】本题考查抛物线中焦点弦的计算公式，属基础题.10.长方体1111ABCD A B C D -中，11,2,AB AD AA E ===为棱1AA 的中点，则直线1C E 与平面11CB D 所成角的余弦值为（ ） A. 6 B. 53 C. 5 D. 23【答案】A【解析】【分析】根据题意建立空间直角坐标系，用向量法进行处理. 【详解】根据题意，建立如图所示直角坐标系：则：1C E (1,1,1)=--设平面11B D C 的法向量为n (,,)x y z =则100n B D n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得：020x y x z --=⎧⎨--=⎩ 取n (2,2,1)=--则1,cos n C E =11n C En C E ⋅53933==⋅ 设直线1C E 与平面11B D C 的夹角为θ则53sin θ=，261sin cos θθ=-=故选：A.【点睛】本题考查线面角的求解，属基础题.11.已知12,F F 分别是双曲线()22221:0,0x y C a b a b=->>的左、右焦点，以线段12,F F 为直径的圆与双曲线C 的右支交于,P Q 两点.若212PQF π∠=，则双曲线C 的离心率为（ ） A. 2 B. 2 C. 21+ D. 31+【答案】B【解析】【分析】 根据题意，结合已知条件，求解三角形边长，利用双曲线定义进行求解.【详解】根据题意，作图如下：因为21212PQF PF F π∠==∠， 故在12Rt PF F 中：2sin 212PF c π=⨯，1cos 212PF c π=⨯由双曲线的定义可知：cos 2sin221212c c a ππ⨯-⨯= 故可得：121212e cos sin ππ==-. 故选：B.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，关键的步骤是根据几何关系，利用双曲线的定义来进行求解.12.已知A 为椭圆2214x y +=的左顶点，直线(0)y kx k =≠与该椭圆相交于,P Q 两点，连接,.AP AQ 设直线,AP AQ 的斜率分别为12,k k ，则2212112k k +的最小值为（ ）A.B.C.D. 【答案】D【解析】【分析】设出直线,AP AQ 的方程，联立椭圆方程，根据P 、Q 两点关于原点对称，找到1k 与2k 之间的关系，再用均值不等式进行处理即可.【详解】设()()1122,,,P x y Q x y ，直线AP 方程为：()12y k x =+联立椭圆方程可得：()222211114161640k x k x k +++-= 故可得21121164214k x k --=+，解得211218214k x k -+=+，同理可得222228214k x k -+=+ 因为120x x +=，故可得：22122212828201414k k k k -+-++=++ 整理化简得：2212116k k =. 故2212112k k+≥==，当且仅当22122k k =时取得最小值. 故选：D.【点睛】本题考查直线与椭圆的综合应用，涉及均值不等式的使用，韦达定理的应用；本题的难点在于找到斜率之间的关系.第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知某5个数,,,,a b c d e 的平均数为8，方差为1，现加入一个新数据8，此时这6个数的方差为2s ，则2s ____1(填“>”或“< -").【答案】<【解析】【分析】根据方差的计算公式，进行推理证明. 【详解】根据题意：()()()222188815a b e ⎡⎤-+-++-=⎣⎦加入新的数据后，平均数未发生变化，故6个数字的方差为:()()()()()()222222211888888165s a b e a b e ⎡⎤⎡⎤=-+-++-<-+-++-=⎣⎦⎣⎦ 故答案为：<.【点睛】本题考查方差的计算，属基础题.14.在区间,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上随机取一个数x ，则 y cos x =的值在0到2之间的概率为__________.【答案】49【解析】【分析】求解出不等式cos x ⎡∈⎢⎣⎦的解集，利用几何概型的概率计算公式求解即可. 【详解】当,2x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，解不等式：0cosx ≤≤， 可得不等式解集为,,2662x ππππ⎡⎤⎡⎤∈--⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，区间长度为23π 根据几何概型计算公式，y cos x =的值在0243392P ππ== 故答案：49. 【点睛】本题考查几何概型概率的计算，涉及解三角不等式.15.已知椭圆()222:1024x y C b b+=<<的左、右焦点分别为12,,F F P 为椭圆上一点，1123,3PF F PF π=∠=，则b =______. 【答案】32【解析】【分析】在焦点三角形中，由余弦定理，列出关于b 的等式，求解方程即可. 【详解】根据椭圆的定义：223PF a =-在焦点三角形12PF F 中，由余弦定理可得：22212121242PF PF c cos F PF PF PF +-∠=，代值可得：22441827c a a =-+由224c b =-代入可得()2444418227b -=⨯-⨯+294b =，即可得32b =. 故答案为：32. 【点睛】本题考查由几何关系求椭圆的方程，属基础题.16.如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为菱形，且2,60,AB DAB PAD =∠=∆是等边三角形，6,PB Q =点是侧面PBC 内的一个动点，且满足DQ AC ⊥，则Q 点所形成的轨迹长度是_______.【答案】73【解析】【分析】 根据题意，Q 点在一个过BD ，且与直线AC 垂直的平面内，且Q 点的轨迹是该平面内与平面PBC 的交线段的长度.据此进行求解.【详解】根据题意，连接AC ，BD ，记其交点为O ，取PC 上一点为M ，连接MB ，MD ，作图如下：若满足题意DQ AC ⊥，又AC BD ⊥，故AC ⊥平面DBQ ，则点Q 只要在平面DBQ 与平面PBC 的交线上即可.假设如图所示：平面DBM 与平面DBQ 是同一个平面，则Q 点的轨迹就是线段BM.根据假设，此时直线AC ⊥平面DBM ，则AC MO ⊥.故三角形MOC 为直角三角形.因为三角形P AD 是等边三角形，三角形BAD 也是等边三角形，故AD PB ⊥，又因为BC //AD ，故BC ⊥PB ，故三角形PBC 为直角三角形，故2210PC PB BC =+=故在三角形P AC 中，2,23,10PA AC PC ===由余弦定理可得：33021023cos PCA ∠==⨯故在直角三角形MOC 中， 210OC MC cos PCA ==∠ 在直角三角形PBC 中，BC cos PCB PC ∠=10510=在三角形BCM 中：2222829BM BC CM BC CM cos PCB =+-⨯⨯⨯∠=故可得：BM =.故答案为3. 【点睛】本题综合考查立体几何知识，其中的难点在于如何找到动点的轨迹；本题中利用作直线的垂面找到了动点的轨迹，这是常考的知识点.本题属立体几何综合性难题.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知命题p ：“实数m 满足：方程22152x y m m +=-+表示双曲线”，命题q ：“实数m 满足：()22210m m t t -+<>，并且q 是p 的必要不充分条件，求实数t 的取值范围.【答案】4t ≥【解析】【分析】先求出命题为真对应的集合，然后根据集合对应的关系，求参数范围.【详解】方程22152x y m m +=-+表示双曲线， ()()520,m m -+<∴ 25m ∴-<<由()222100m m t t -+-<>，得11t m t -<<+.因为q 是p 的必要不充分条件，1215t t -≤-⎧∴⎨+>⎩或1215t t -<-⎧⎨+≥⎩解得4t ≥.【点睛】本能考查由命题之间的关系，转化为集合之间的关系求参数范围的问题.18.初三年级为了增强学生体质，提高体育成绩，让学生每天进行一个小时的阳光体育活动.随着锻炼时间的增长，学生身体素质越来越好，体育成绩90分以上的学生也越来越多.用y 表示x 月后体育成绩90分以上的学生的百分比，得到了如下数据.（1）求出y 关于x 的回归直线方程；（2）试根据()1求出的线性回归方程，预测7个月后，体育成绩90分以上的学生的百分比是多少?参考公式:由最小二乘法所得回归直线的方程是^^^y b x a =+其中，()()()^^^1122211,n ni i i ii i n n i i i i x x y y x y nx y b a y b x x nx x x====---===---∑∑∑∑. 【答案】（1）^0.080.22y x =+；（2）78%【解析】【分析】（1）根据表格数据，结合参考公式，代值计算即可；（2）令（1）中求出的回归方程中的7x =，求出函数值即为预测值.【详解】（1）由表格数据可得：_3,0.46x y == ^122150.085n i ii n i i x y x y b xx ==-==-∑∑^^0.460.0830.22a y b x =-=-⨯=故^y 关于x 的回归直线方程为^0.080.22y x =+.（2）由（1）知：^0.080.22y x =+令7x =，解得^0.7878%y ==.【点睛】本题考查回归直线方程的求解，以及用回归直线方程进行预测，属基础题. 19.已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，点A 是抛物线C 上任意一点，且min 1AF =. （1）求抛物线C 的方程；（2）设经过点()0,2、倾斜角为3π的直线l 与抛物线C 交于,M N 两点，抛物线C 的准线与y 轴交于E 点，求MEN ∆的面积.【答案】（1）24x y =；（2）【解析】【分析】（1）根据min 1AF =，即可求得抛物线方程；（2）根据（1）中所求抛物线方程，将三角形面积转化为121222P x x +-，即可求得面积. 【详解】（1）由抛物线定义及min 1AF =，可得24p =∴抛物线C 的方程为24.x y =（2）设直线方程为：2y =+ 联立抛物线方程24x y =，消y 得280x --=.12128x x x x +==-，121222MEN p S x x ∆∴=+-===【点睛】本题考查抛物线方程的求解，以及抛物线中三角形面积的求解，属抛物线基础题. 20.近年来，智能手机的更新换代极其频繁和快速，而青少年对新事物的追求更是强烈，为了调查大学生更换手机的时间，现对某大学中的大学生使用一部手机的年限进行了问卷调查，并从参与调查的大学生中抽取了男生、女生各100人进行抽样分析，制成如下的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图，估计男大学生使用手机年限的中位数和女大学生使用手机年限的众数；（2）根据频率分布直方图，求出男大学生和女大学生使用手机年限的平均值，并分析比较男大学生和女大学生哪个群体更换手机的频率更高.【答案】（1）中位数为2. 4，众数为2.5；（2）男大学生平均值是 2.35，女大学生平均值是2.4；男大学生【解析】【分析】（1）选最高的长方形底边中点对应的值即为众数，选面积和为0.5的底边对应值即是中位数； （2）用每个小长方形底边中点值乘以每个小长方形的面积之和即为平均值.【详解】（1）设男大学生使用手机年限的中位数为a ，则()0.110.2120.50.5,a ⨯⨯+⨯+-=所以估计男大学生使用手机年限的中位数为2. 4，估计女大学生使用手机年限的众数为2.5.（2）根据频率分布直方图，男大学生使用手机年限的平均值是0.50. 1 1.50.2 2.50.5 3.50.15 4. 50.05 2.35⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=女大学生使用手机年限的平均值是0. 50.05 1.50. 2 2.50.6 3.50.1 4. 50.05 2.4⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=因为2.4 2.35>，所以男大学生更换手机的频率更高.【点睛】本题综合考查频率分布直方图中众数、中位数、平均值的计算题，属重要的基础题. 21.如图，四棱柱''''ABCD A B C D -的底面是菱形，'AA ⊥平面,2,60ABCD AB BAD =∠=点P 是侧棱'CC 上的点，'A P PB ⊥，（1）证明：平面''A PD ⊥平面;PBD（2）若P 是'CC 的中点，求二面角''A BP D --的余弦值.【答案】（1）证明见详解；（22105【解析】【分析】 （1）在平面''A PD 中找A P '，证明其垂直于平面PBD 即可；（2）建立空间直角坐标系，通过计算两个平面法向量的夹角，从而求解二面角的平面角.【详解】（1）证明：由'AA ⊥平面,ABCD BD ⊂平面,ABCD 得'AA BD ⊥.又底面ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥.而'AC AA A ⋂=.所以BD ⊥平面''ACC A .所以'BD A P ⊥又',A P PB PB BD B ⊥⋂=，所以'A P ⊥平面PBD .又'A P ⊂平面''A PD ，所以平面''A PD ⊥平面PBD .（2）设,''BD B D 的中点分别为,'O O ，分别以直线,,'OB OC OO为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.当P 是'CC 中点时，设'2CC a =，则'PC PC a ==.则有22222222''''12,4A P A C PC a PB PC CB a =+=+=+=+， 2222''44A B A A AB a =+=+.又'90A PB ∠=，所以222''A P PB A B +=即22212444a a a +++=+，得6a =则有()('0,3,26,1,0,0,3,6,()(0)'1,0,26A B P D --.()()(1,3,6,1,3,26,2,0,26PB A B D B =--=--'='设向量m ⊥平面'PBA ，()111,,m x y z =， 则00m PB m A B '⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1111113603260x z x z ⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩不妨取12z ，则m (33,1,2= 设向量n ⊥平面'PBD ，且()222,,n x y z = 则00n PB n D B '⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2222236060x z x z ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，不妨取21z =，则n )6,0,1= 设,m n 的夹角为θ，则1022105307m n cos m n θ⋅===⨯ 所以二面角''A BP D --的余弦值为210521 【点睛】本题考查由线面垂直推证面面垂直，以及用向量法求解二面角的大小，属综合中档题.22.已知点()()1,0,1,0M N -，设TMN ∆的面积为S ，内切圆半径为r ，且3.S r = （1）求点T 的轨迹W 的方程；（2）已知()()2,0,2,0B C -，点P 是直线4x =上的动点，直线PB 与曲线W 的一个交点为E .直线PC 与曲线W 的一个交点为F ，并且,,P E F 都不在坐标轴上.求证：直线EF 经过定点.【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见详解. 【解析】【分析】（1）根据3S r =可以推得T 点的约束条件，满足椭圆方程的定义，即可求解.（2）设出直线PB 和PC 的方程，求得E 、F 两点的坐标，得到EF 的直线方程，从而可以证明直线恒过的定点.【详解】（1）设TMN ∆的周长为l ，则由3S r =，得132lr r =，即6l = 所以4TM TN +=，即T 在以,M N 为焦点，以4为长轴长的椭圆上. 设该椭圆方程为()222210x y a b a b+=>> 则222,13a b a ==-=. 所以点T 的轨迹W 的方程为22143x y +=. （2）证明：设()()()11224,,,,,P t E x y F x y则直线PB 的方程为()26t y x =+ ()()2222221432744108026x y t x t x t t y x ⎧+=⎪⎪⇒+++-=⎨⎪=+⎪⎩， 221122410854222727t t x x t t ---=⇒=++ ()211225421822662727t t t t y x t t ⎛⎫-=+=+= ⎪++⎝⎭， 即22254218,2727t t E t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭直线PC 的方程为()22t y x =- ()()22222214334412022x y t x t x t t y x ⎧+=⎪⎪⇒+-+-=⎨⎪=-⎪⎩， 22222241226233t t x x t t--=⇒=++ ()22222266222233t t t t y x t t ⎛⎫--=-=-= ⎪++⎝⎭， 即222266,33t t F t t ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭设直线EF 与x 轴交点为(),0K m ，则,KE KF 共线.又KE =22254218,2727t t m tt ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭ 222266,33t KF m t t ⎛⎫-=-- ⎪++⎝⎭则22222261835427272623t t m t t t t t t m ⎛⎫⎛⎫--⋅=⋅ ⎪ ⎪+---+++⎝⎭⎝⎭m=化简得 1.1,0所以直线EF经过定点()【点睛】本题考查用定义法求椭圆方程，以及证明直线横过定点的问题，属椭圆中的中档题.。

张家口市第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1．若几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．π2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则A=（）A．30°B．60°C．120°D．150°3．sin45°sin105°+sin45°sin15°=（）A．0B．C．D．14．已知幂函数y=f（x）的图象过点（，），则f（2）的值为（）A．B．﹣C．2D．﹣25．∃x∈R，x2﹣2x+3＞0的否定是（）A．不存在x∈R，使∃x2﹣2x+3≥0B．∃x∈R，x2﹣2x+3≤0C．∀x∈R，x2﹣2x+3≤0D．∀x∈R，x2﹣2x+3＞06．两个随机变量x，y的取值表为x0134y 2.2 4.3 4.8 6.7若x，y具有线性相关关系，且＝bx＋2.6，则下列四个结论错误的是（）y^A．x与y是正相关B．当y的估计值为8.3时，x＝6C．随机误差e的均值为0D．样本点（3，4.8）的残差为0.657．设m是实数，若函数f（x）=|x﹣m|﹣|x﹣1|是定义在R上的奇函数，但不是偶函数，则下列关于函数f（x）的性质叙述正确的是（）A ．只有减区间没有增区间B ．是f （x ）的增区间C ．m=±1D ．最小值为﹣38． 函数f （x ）=lnx ﹣+1的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．9． 如图，四面体D ﹣ABC 的体积为，且满足∠ACB=60°，BC=1，AD+=2，则四面体D ﹣ABC 中最长棱的长度为（）A ．B ．2C ．D ．310．已知命题且是单调增函数；命题，.:()(0xp f x a a =>1)a ≠5:(,44q x ππ∀∈sin cos x x >则下列命题为真命题的是（ ）A ．B ．C.D ．p q ∧p q ∨⌝p q ⌝∧⌝p q⌝∧11．已知全集，集合，集合，则集合为R U ={|||1,}A x x x R =≤∈{|21,}xB x x R =≤∈U AC B （ ） A.B.C.D.]1,1[-]1,0[]1,0()0,1[-【命题意图】本题考查集合的运算等基础知识，意在考查运算求解能力.12．下列命题中正确的是（ ）A ．复数a+bi 与c+di 相等的充要条件是a=c 且b=dB ．任何复数都不能比较大小C ．若=，则z 1=z 2D ．若|z 1|=|z 2|，则z 1=z 2或z 1=二、填空题13．在数列中，则实数a= ，b= ．14．设函数f （x ）=，①若a=1，则f （x ）的最小值为 ；②若f （x ）恰有2个零点，则实数a 的取值范围是 ．　15．已知直线l 的参数方程是（t 为参数），曲线C 的极坐标方程是ρ=8cos θ+6sin θ，则曲线C 上到直线l 的距离为4的点个数有 个．　16．二面角α﹣l ﹣β内一点P 到平面α，β和棱l 的距离之比为1：：2，则这个二面角的平面角是 度．17．【泰州中学2018届高三10月月考】设函数是奇函数的导函数，，当时，()f x '()f x ()10f -=0x >，则使得成立的的取值范围是__________．()()0xf x f x -<'()0f x >x 18．某高中共有学生1000名，其中高一年级共有学生380人，高二年级男生有180人.如果在全校学生中抽取1名学生，抽到高二年级女生的概率为，先采用分层抽样（按年级分层）在全校抽取19.0100人，则应在高三年级中抽取的人数等于.三、解答题19．【常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）】已知函数.()()2ln R f x x ax x a =-+-∈（1）若函数是单调递减函数，求实数的取值范围；()f x a （2）若函数在区间上既有极大值又有极小值，求实数的取值范围.()f x ()0,3a 20．（本题满分15分）如图，已知长方形中，，，为的中点，将沿折起，使得平面ABCD 2AB =1AD =M DC ADM ∆AM 平面．⊥ADM ABCM （1）求证：；BM AD ⊥（2）若，当二面角大小为时，求的值．)10(<<=λλDB DE D AM E --3πλ【命题意图】本题考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，意在考查空间想象能力和运算求解能力．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，AB⊥PA，BC=2AB=2AD=4BE，平面PAB⊥平面ABCD ，（Ⅰ）求证：平面PED⊥平面PAC；（Ⅱ）若直线PE与平面PAC所成的角的正弦值为，求二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值．22．某校为了解2015届高三毕业班准备考飞行员学生的身体素质，对他们的体重进行了测量，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右前3个小组的频率之比为1：2：4，其中第二小组的频数为11．（Ⅰ）求该校报考飞行员的总人数；（Ⅱ）若经该学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的学生中（人数很多）任选3人，设X表示体重超过60kg的学生人数，求X的数学期望与方差．23．已知等差数列{a n}满足a2=0，a6+a8=10．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．24．（1）求z=2x+y的最大值，使式中的x、y满足约束条件（2）求z=2x+y的最大值，使式中的x、y满足约束条件+=1．张家口市第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案（参考答案）一、选择题1．【答案】B【解析】解：根据几何体的三视图，得该几何体是圆锥被轴截面截去一半所得的几何体，底面圆的半径为1，高为2，所以该几何体的体积为V几何体=×π•12×2=．故选：B．【点评】本题考查了利用空间几何体的三视图求几何体体积的应用问题，是基础题目．2．【答案】A【解析】解：∵sinC=2sinB，∴c=2b，∵a2﹣b2=bc，∴cosA===∵A是三角形的内角∴A=30°故选A．【点评】本题考查正弦、余弦定理的运用，解题的关键是边角互化，属于中档题．3．【答案】C【解析】解：sin45°sin105°+sin45°sin15°=cos45°cos15°+sin45°sin15°=cos（45°﹣15°）=cos30°=．故选：C．【点评】本题主要考查了诱导公式，两角差的余弦函数公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．4．【答案】A【解析】解：设幂函数y=f（x）=xα，把点（，）代入可得=α，∴α=，即f（x）=，故f（2）==，故选：A．5．【答案】C【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，∃x∈R，x2﹣2x+3＞0的否定是：∀x∈R，x2﹣2x+3≤0．故选：C．6．【答案】^【解析】选D.由数据表知A是正确的，其样本中心为（2，4.5），代入＝bx＋2.6得b＝0.95，即＝0.95x＋y^y2.6，当＝8.3时，则有8.3＝0.95x＋2.6，∴x＝6，∴B正确．根据性质，随机误差的均值为0，∴C正确．样y^e本点（3，4.8）的残差＝4.8－（0.95×3＋2.6）＝－0.65，∴D错误，故选D.e^7．【答案】B【解析】解：若f（x）=|x﹣m|﹣|x﹣1|是定义在R上的奇函数，则f（0）=|m|﹣1=0，则m=1或m=﹣1，当m=1时，f（x）=|x﹣1|﹣|x﹣1|=0，此时为偶函数，不满足条件，当m=﹣1时，f（x）=|x+1|﹣|x﹣1|，此时为奇函数，满足条件，作出函数f（x）的图象如图：则函数在上为增函数，最小值为﹣2，故正确的是B，故选：B【点评】本题主要考查函数的奇偶性的应用，根据条件求出m的值是解决本题的关键．注意使用数形结合进行求解．8．【答案】A【解析】解：∵f（x）=lnx﹣+1，∴f ′（x ）=﹣=，∴f （x ）在（0，4）上单调递增，在（4，+∞）上单调递减；且f （4）=ln4﹣2+1=ln4﹣1＞0；故选A ．【点评】本题考查了导数的综合应用及函数的图象的应用．　9． 【答案】 B【解析】解：因为AD •（BC •AC •sin60°）≥V D ﹣ABC =，BC=1，即AD •≥1，因为2=AD+≥2=2，当且仅当AD==1时，等号成立，这时AC=，AD=1，且AD ⊥面ABC ，所以CD=2，AB=，得BD=，故最长棱的长为2．故选B ．【点评】本题考查四面体中最长的棱长，考查棱锥的体积公式的运用，同时考查基本不等式的运用，注意等号成立的条件，属于中档题．　10．【答案】D 【解析】考点：1、指数函数与三角函数的性质；2、真值表的应用.11．【答案】C.【解析】由题意得，，，∴，故选C.[11]A =-，(,0]B =-∞(0,1]U AC B = 12．【答案】C【解析】解：A ．未注明a ，b ，c ，d ∈R ．B ．实数是复数，实数能比较大小．C ．∵ =，则z 1=z 2，正确；D ．z 1与z 2的模相等，符合条件的z 1，z 2有无数多个，如单位圆上的点对应的复数的模都是1，因此不正确．故选：C ．二、填空题13．【答案】a= ，b= ．【解析】解：由5，10，17，a﹣b，37知，a﹣b=26，由3，8，a+b，24，35知，a+b=15，解得，a=，b=；故答案为：，．【点评】本题考查了数列的性质的判断与归纳法的应用．14．【答案】　≤a＜1或a≥2　．【解析】解：①当a=1时，f（x）=，当x＜1时，f（x）=2x﹣1为增函数，f（x）＞﹣1，当x＞1时，f（x）=4（x﹣1）（x﹣2）=4（x2﹣3x+2）=4（x﹣）2﹣1，当1＜x＜时，函数单调递减，当x＞时，函数单调递增，故当x=时，f（x）min=f（）=﹣1，②设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）若在x＜1时，h（x）=与x轴有一个交点，所以a＞0，并且当x=1时，h（1）=2﹣a＞0，所以0＜a＜2，而函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有一个交点，所以2a≥1，且a＜1，所以≤a＜1，若函数h（x）=2x﹣a在x＜1时，与x轴没有交点，则函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有两个交点，当a≤0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），当h（1）=2﹣a≤0时，即a≥2时，g（x）的两个交点满足x1=a，x2=2a，都是满足题意的，综上所述a的取值范围是≤a＜1，或a≥2．15．【答案】　2　【解析】解：由，消去t 得：2x ﹣y+5=0，由ρ=8cos θ+6sin θ，得ρ2=8ρcos θ+6ρsin θ，即x 2+y 2=8x+6y ，化为标准式得（x ﹣4）2+（y ﹣3）2=25，即C 是以（4，3）为圆心，5为半径的圆．又圆心到直线l 的距离是，故曲线C 上到直线l 的距离为4的点有2个，故答案为：2．【点评】本题考查了参数方程化普通方程，考查了极坐标方程化直角坐标方程，考查了点到直线的距离公式的应用，是基础题．16．【答案】　75　度．【解析】解：点P 可能在二面角α﹣l ﹣β内部，也可能在外部，应区别处理．当点P 在二面角α﹣l ﹣β的内部时，如图，A 、C 、B 、P 四点共面，∠ACB 为二面角的平面角，由题设条件，点P 到α，β和棱l 的距离之比为1：：2可求∠ACP=30°，∠BCP=45°，∴∠ACB=75°．故答案为：75．【点评】本题考查与二面角有关的立体几何综合题，考查分类讨论的数学思想，正确找出二面角的平面角是关键．17．【答案】()(),10,1-∞-⋃【解析】18．【答案】25【解析】考点：分层抽样方法．三、解答题19．【答案】（1）2）.a ≤193a <<【解析】试题分析：（1）原问题等价于对恒成立，即对恒成立，结合均值不等式的结论可()0f x '≤()0,+∞12a x x≤+()0,+∞得a ≤（2）由题意可知在上有两个相异实根，结合二次函数根的分布可得实数的()2210x ax f x x-+-'==()0,3a取值范围是.193a <<试题解析：（2）∵函数在上既有极大值又有极小值，()f x ()0,3∴在上有两个相异实根，()2210x ax f x x-+-'==()0,3即在上有两个相异实根，2210x ax -+=()0,3记，则，得，()221g x x ax =-+()()003{ 40030a g g ∆><<>>{012 193a a a a -<<<即.193a <<20．【答案】（1）详见解析；（2）.3λ=【解析】（1）由于，，则， 2AB=AM BM ==AM BM ⊥又∵平面平面，平面平面＝，平面，⊥ADM ABCM ADM ABCM AM ⊂BM ABCM ∴平面，…………3分⊥BM ADM 又∵平面，∴有；……………6分⊂AD ADM BM AD⊥21．【答案】【解析】解：（Ⅰ）∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，AB⊥PA∴PA⊥平面ABCD结合AB⊥AD，可得分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系o﹣xyz，如图所示…可得A（0，0，0）D（0，2，0），E（2，1，0），C（2，4，0），P（0，0，λ）（λ＞0）∴，，得，，∴DE⊥AC且DE⊥AP，∵AC、AP是平面PAC内的相交直线，∴ED⊥平面PAC．∵ED⊂平面PED∴平面PED⊥平面PAC（Ⅱ）由（Ⅰ）得平面PAC的一个法向量是，设直线PE与平面PAC所成的角为θ，则，解之得λ=±2∵λ＞0，∴λ=2，可得P的坐标为（0，0，2）设平面PCD的一个法向量为=（x0，y0，z0），，由，，得到，令x0=1，可得y0=z0=﹣1，得=（1，﹣1，﹣1）∴cos＜，由图形可得二面角A﹣PC﹣D的平面角是锐角，∴二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值为．【点评】本题在四棱锥中证明面面垂直，并且在线面所成角的正弦情况下求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．着重考查了线面垂直、面面垂直的判定定理和利用空间向量研究直线与平面所成角和二面角大小的方法，属于中档题．22．【答案】【解析】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设该校报考飞行员的总人数为n，前三个小组的频率为p1，p2，p3，则，解得，，，…由于，故n=55．…（Ⅱ）由（Ⅰ）知，一个报考学生的体重超过60公斤的概率为：p=，由题意知X服从二项分布，即：X～B（3，），…∴P（X=k）=，k=0，1，2，3，∴EX==，DX==．…【点评】本题考查相互独立事件概率、离散型随机变量的分布列及数学期望等基础知识，考查数据处理能力，考查化归与转化思想，是中档题．23．【答案】【解析】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a2=0，a6+a8=10．∴，解得，∴a n﹣1+（n﹣1）=n﹣2．（2）=．∴数列{}的前n项和S n=﹣1+0+++…+，=+0++…++，∴=﹣1++…+﹣=﹣2+﹣=，∴S n=．24．【答案】【解析】解：（1）由题意作出可行域如下，，结合图象可知，当过点A（2，﹣1）时有最大值，故Z max=2×2﹣1=3；（2）由题意作图象如下，，根据距离公式，原点O到直线2x+y﹣z=0的距离d=，故当d有最大值时，|z|有最大值，即z有最值；结合图象可知，当直线2x+y﹣z=0与椭圆+=1相切时最大，联立方程化简可得，116x2﹣100zx+25z2﹣400=0，故△=10000z2﹣4×116×（25z2﹣400）=0，故z2=116，故z=2x+y的最大值为．【点评】本题考查了线性规划的应用及圆锥曲线与直线的位置关系的应用．　。

精品文档，欢迎下载！河北省张家口市第一中学2019-2020学年高二数学上学期12月月考试题（实验班，含解析）一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.某工厂甲，乙，丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为600件，400件，300件，用分层抽样方法抽取容量为n 的样本，若从丙车间抽取6件，则n 的值为（ ） A. 18 B. 20C. 24D. 26【答案】D 【解析】由分层抽样的定义可得：6300600400300n =++，解得：26n =. 本题选择D 选项.2.若0,0a b >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取,a b 的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当0, 0a >b >时，a b +≥，则当4a b +≤时，有4a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件.【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取,a b 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.3.《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事．“田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．”双方从各自的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为A.13B.14C.15D.16【答案】A 【解析】分析：由题意结合古典概型计算公式即可求得最终结果.详解：记田忌的上等马、中等马、下等马分别为a ,b ,c ，齐王的上等马、中等马、下等马分别为A ,B ,C ，由题意可知，可能的比赛为：Aa ,Ab ,Ac ,Ba ,Bb ,Bc ,Ca ,Cb ,Cc ,共有9种，其中田忌可以获胜的事件为：Ba ，Ca ,Cb ，共有3种，则田忌马获胜的概率为3193p ==.本题选择A 选项.点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用. 4.随机调查某学校50名学生在学校的午餐费，结果如表：这50个学生的午餐费的平均值和方差分别是( )A. 7.2元，0.56元2B. 7.2C. 7元，0.6元2D. 7元，【答案】A 【解析】 【分析】直接利用平均数公式与方差公式求解即可. 【详解】先计算这50个学生午餐费的平均值是()16107208207.250x =⨯⨯+⨯+⨯=， 所以方差是()()()222211067.22077.22087.20.5650S ⎡⎤=⨯⨯-+⨯-+⨯-=⎣⎦,故选A ．【点睛】本题主要考查平均数公式与方差公式的应用，属于基础题. 样本数据的算术平均数公式：12n 1(++...+)x x x x n =；样本方差公式：2222121[()()...()]n s x x x x x x n=-+-++-.5.方程221102x y m m +=--表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围为（ ）A. ()2,+∞B. ()()2,66,10⋃C. ()2,10D. ()2,6【答案】D 【解析】根据题意，方程221102x y m m +=--表示焦点在x 轴上的椭圆，则有10020102x m m m ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩，解可得2＜m ＜6； 故答案为D ．6.已知双曲线C 的离心率为2，焦点为1F 、2F ，点A 在C 上，若122F A F A =，则21cos AF F ∠=（ ）A.14B.13D.3【答案】A 【解析】 试题分析：由已知设21,2,F A m F A m ==则由定义得12122,2,4,2.F A F A a m a F A a F A a -=∴===122,24.ce F F c a a====Q 在12AF F ∆中，由余弦定理得()()2222222121212124441cos 22244a a a AF F F AF AF F AF F F a a+-+-∠===⋅⨯⨯，故选A ． 考点：1.双曲线的几何性质（焦点三角形问题）；2.余弦定理． 【此处有视频，请去附件查看】7.已知抛物线24y x =，过焦点且倾斜角为60°的直线与抛物线交于A 、B 两点，则△AOB 的面积为A.3 B.83C.43D.23【答案】C 【解析】试题分析：由题意知，直线AB 的方程为3(1)y x =-，联立直线AB 与抛物线的方程可得：，解之得：(3,23)A ，123(,33B -，所以2212316(3)(23)333AB =-++=，而原点到直线AB 的距离为3d =1432ABC S AB d ∆=⨯⨯=C ． 考点：1、抛物线的简单几何性质；2、直线与抛物线的相交问题；8.已知动点(,)M x y 2222(5)(5)8x y x y ++-+=，则M 的轨迹方程是（ ）A. 221169x y +=B. 221169x y -= C. 221(0)169x y x -=>D. 221(0)169y x y -=>【答案】C 【解析】【详解】此方程表示点M 到点(5,0)-的距离与到点(5,0)的距离之差为8，而这正好符合双曲线的定义，点M 的轨迹是双曲线的右支，534c b a =⎧⇒=⎨=⎩，M 的轨迹方程是221(0)169x y x -=>，故选C. 9.已知非零向量12,e e u r u u r 不共线，如果12AB e e =+u u u r u r u u r ，1228AC e e =+u u u r u r u u r ，1233AD e e =-u u u r u r u u r，则四点A ，B ，C ，D （ ） A. 一定共线B. 恰是空间四边形的四个顶点C. 一定共面D. 可能不共面【答案】C 【解析】 【分析】通过已知向量关系，求出5AC AB AD =-u u u r u u u r u u u r，说明四点A ，B ，C ，D 共面.【详解】Q 非零向量12,e e u r u u r 不共线， 12AB e e =+u u u r u r u u r ，1228AC e e =+u u u r u r u u r ，1233AD e e =-u u u r u r u u r,∴ 1212125553328AB AD e e e e e e AC -=+-+=+=u u u r u u u r u r u u r u r u u r u r u u r u u u r,∴5AC AB AD =-u u u r u u u r u u u r ,由平面向量基本定理可知，四点A ，B ，C ，D 共面. 故选：C【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的应用，平面向量的基本运算，属于中档题. 10.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：221||x y x y +=+就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C 2； ③曲线C 所围成“心形”区域的面积小于3. 其中，所有正确结论的序号是 A. ① B. ②C. ①②D. ①②③【答案】C 【解析】 【分析】将所给方程进行等价变形确定x 的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围. 【详解】由221xy x y+=+得,221y x y x -=-,2222||3341,10,2443x x x y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭厔, 所以x 可为的整数有0,-1,1,从而曲线22:1C x y x y +=+恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-1,0),(-1,1)六个整点,结论①正确.由221x y x y +=+得,222212x y x y +++…,解得222x y +≤,所以曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过2. 结论②正确.如图所示,易知()()()()0,1,1,0,1,1,,0,1A B C D -, 四边形ABCD 的面积13111122ABCD S =⨯⨯+⨯=,很明显“心形”区域的面积大于2ABCD S ,即“心形”区域的面积大于3,说法③错误.故选C.【点睛】本题考查曲线与方程､曲线的几何性质，基本不等式及其应用,属于难题,注重基础知识､基本运算能力及分析问题解决问题的能力考查,渗透“美育思想”.11.如图，设动点P 在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上，记11D PD Bλ=，当∠APC 为钝角时，λ的取值范围是（ ）A. 20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 12,33⎛⎫⎪⎝⎭D. 2,13⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用∠APC 不是平角，∠APC 为钝角等价于cos 0APC ∠<，即0PA PC ⋅<u u u r u u u r,从而可求λ的取值范围.【详解】由题设，建立如图所示空间直角坐标系：则有(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),,(0,0,1)A B C D ，11(1,1,1),(,,)D B D P λλλ∴=-=-u u u u r u u u u r，()112,,(1,0,1)(1,,1)PA PD D A λλλλλλ∴=+=--+-=---u u u r u u u u r u u u u r， ()112,,(0,1,1)(,1,1)PC PD DC λλλλλλ=+=--+-=---u u u r u u u r u u u u r ， 显然∠APC 不是平角，所以∠APC 为钝角等价于cos 0APC ∠<，∴ 0PA PC ⋅<u u u r u u u r，2(1)()()(1)(1)(1)(31)0λλλλλλλ∴--+--+-=--<，得113λ<<，因此，λ的取值范围是1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭, 故选：B【点睛】本题主要考查了利用空间向量求向量的夹角，解一元二次不等式，属于中档题. 12.设f （x ）在x 处可导，则()()lim2h f x h f x h h→+--等于（ ）A. ()2'f xB.()1'2f x C. ()'f xD.()4'f x【答案】C 【解析】 【分析】利用导数的定义即可求解. 【详解】()f x Q 在x 处可导，()()lim()2h f x h f x h f x h'→+--∴=.故选：C【点睛】本题主要考查了导数的定义，属于容易题. 二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.若向量(2a =r，1，2)-，//e a r r 且1e =r ，则e =r______．【答案】212,,333⎛⎫- ⎪⎝⎭或212,,333⎛⎫-- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】设e =r （2λ，λ，﹣2λ），则|e r|==1，由此能求出结果． 【详解】∵向量a =r （2，1，﹣2），e r ∥a r 且|e r|＝1， ∴设e =r（2λ，λ，﹣2λ），则|e r|==1， 解得13λ=±，∴e =r（212333-，，）或e =r（23-，13-，23）．故答案为（212333-，，）或（23-，13-，23）． 【点睛】本题考查向量的求法，考查向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．14.如图茎叶图记录了甲．乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为______，______．【答案】 (1). 5 (2). 8 【解析】 【分析】根据茎叶图中的数据，结合中位数与平均数的概念，求出x 、y 的值． 【详解】根据茎叶图中的数据，得： ∵甲组数据的中位数为15，∴x ＝5； 又∵乙组数据的平均数为16.8， ∴()9151018245y +++++=16.8，解得：y ＝8；综上，x 、y 的值分别为5、8． 故答案为(1). 5 (2). 8【点睛】本题考查了利用茎叶图求数据的中位数与平均数的问题，是基础题．15.如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点，直线2b y =与椭圆交于,B C 两点，且090BFC ∠=，则该椭圆的离心率是__________．【答案】63【解析】由题意得33(,),(,),22b b B a C a -，故，3(,)2bc -， 又90BFC ∠=o ，所以2222236()()0322b c c a e -+=⇒=⇒= 【考点】椭圆离心率【名师点睛】椭圆离心率的考查，一般分两个层次，一是由离心率的定义，只需分别求出,a c ，这注重考查椭圆标准方程中量的含义，二是整体考查，求,a c 的比值，这注重于列式，即需根据条件列出关于,a c 的一个等量关系，通过解方程得到离心率的值. 【此处有视频，请去附件查看】16.函数y ＝13x 3－ax 2＋x －2a 在R 上不是单调函数，，则a 的取值范围是________． 【答案】(－∞，－1)∪(1，＋∞) 【解析】试题分析：函数导数221y x ax =-+'，因为函数在R 上不是单调函数，所以导数值有正有负，即导函数221y x ax =-+'与x 轴有两个交点01a ∴∆>∴>或1a <- 考点：函数单调性点评：本题通过函数导数判定函数单调性，在R 上不是单调函数，则存在极值点，即存在导数值大于零和小于零的情况三、解答题（本大题共6小题，共72分）17.已知命题p ：“曲线C 1：22228x y m m ++=1表示焦点在x 轴上的椭圆”，命题q ：“曲线C 2：2211x y m t m t +=---表示双曲线”．（1）若命题p 是真命题，求m 的取值范围； （2）若p 是q 的必要不充分条件，求t 的取值范围． 【答案】（1）-4＜m ＜-2，或m ＞4；（2）-4≤t ≤-3或t ≥4 【解析】 【分析】（1）方程表示焦点在x 轴上的椭圆需满足228280m m m ⎧>+⎨+>⎩，解不等式即可求解（2）化简命题q 可得t ＜m ＜t +1，利用p 是q 的必要不充分条件可知{m |t ＜m ＜t +1}≠⊂{m |-4＜m ＜-2，或m ＞4}，建立不等式求解即可.【详解】（1）若p 为真：则228280m m m ⎧>+⎨+>⎩，解得-4＜m ＜-2，或m ＞4；（2）若q 为真，则（m -t )(m -t -1)＜0，即t ＜m ＜t +1，∵p 是q 的必要不充分条件， 则{m |t ＜m ＜t +1}≠⊂{m |-4＜m ＜-2，或m ＞4}， 即412t t -≤≤+≤-或t ≥4，解得-4≤t ≤-3或t ≥4.【点睛】本题主要考查了椭圆、双曲线的简单几何性质，必要不充分条件，真子集，属于中档题.18.20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如下：(1)求频率直方图中a 的值；(2)分别求出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数；(3)从成绩在[50,70)的学生中人选2人，求这2人的成绩都在[60,70)中的概率． 【答案】(1)0.005,(2)2,3,(3)0.3 【解析】【详解】（1）据直方图知组距=10，由()23672101a a a a a ++++⨯=，解得10.005200a == （2）成绩落在[)50,60中的学生人数为20.00510202⨯⨯⨯= 成绩落在[)60,70中的学生人数为30.00510203⨯⨯⨯= （3）记成绩落在中的2人为12,A A ，成绩落在[)60,70中的3人为1B 、2B 、3B ， 则从成绩在的学生中人选2人的基本事件共有10个：()()()()()()()()()()12111213212223121323,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A A A B A B A B A B A B A B B B B B B B其中2人的成绩都在中的基本事伯有3个：()()()121323,,,,,B B B B B B 故所求概率为310P =【此处有视频，请去附件查看】19.如图，已知三棱锥D －ABC 中，二面角A －BC －D 的大小为90°，且∠BDC ＝90°，∠ABC ＝30°，BC ＝3，23AB =．（1）求证：AC ⊥平面BCD ；（2）二面角B －AC －D 为45°，且E 为线段BC 的中点，求直线AE 与平面ACD 所成的角的正弦值．【答案】（1）见解析；（2）4214【解析】【分析】（1））△ABC中,根据条件利用余弦定理求出AC,根据勾股定理证明垂直即可（2）以C为原点，CB所在直线为x轴，CA所在直线为y轴，过点C作垂直于平面ABC的直线为z轴建立空间直角坐标系，求出平面ACD的法向量，利用直线与平面所成角公式计算即可.【详解】（1）△ABC中，由2223cos22AB BC ACABCAB BC+-∠==⋅，解得3AC=，从而AC2+BC2＝AB2，∴AC⊥BC；又二面角A-BC-D的大小为90°，即平面BCD⊥平面ABC，而平面BCD∩平面ABC＝BC，AC⊂平面ABC，故AC⊥平面BCD；（2）以C为原点，CB所在直线为x轴，CA所在直线为y轴，过点C作垂直于平面ABC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，故平面ABC的法向量ur＝(0，0，1)，设平面ACD的法向量rv＝(1，m，n)，由v CA⊥r u u u r，易知m＝0，从而rv＝(1，0，n)，22|cos,|21nu vn〈〉==+r r，解得n＝±1，结合实际图形，可知n取1时，二面角为135°，应舍去，所以rv＝(1，0，-1)，易知()0,3,0A ，B(3，0，0)，故3,0,02E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则3,3,02EA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，设直线AE 与平面ACD 所成的角为θ，则42sin |cos ,|14EA v θ=〈〉=u u u r r，即直线AE 与平面ABC 所成的角的正弦值为4214． 【点睛】本题主要考查了余弦定理，利用空间向量求直线与平面所成的角，二面角，属于中档题.20.若直线l 为曲线C 1：y =x 2与曲线C 2：y =x 3的公切线，求直线l 的斜率. 【答案】0或6427【解析】 【分析】分别设l 与C 1, C 2的切点分别为（a ，b ），（m ，n ），利用导数分别求出切线方程，由l 为公切线可知两切线重合，即可求解.【详解】曲线C 1：y =x 2，则y ′=2x ，曲线C 2：y =x 3，则y ′=3x 2， 直线l 与曲线C 1的切点坐标为（a ，b ），则切线方程为y =2ax -a 2， 直线l 与曲线C 2的切点坐标为（m ，n ），则切线方程为y =3m 2x -2m 3， ∴2a =3m 2，a 2=2m 3，∴m =0或m =89， ∴直线l 的斜率为0或6427【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求切线，属于中档题.21.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>过点(0,2)，且离心率2e =（1）求椭圆E方程；（2）设直:1()l x my m R =-∈交椭圆E 于,A B 两点，判断点9(,0)4G -与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由.【答案】(1)22142x y += (2) 点G 在以AB 为直径的圆外【解析】解法一：（Ⅰ）由已知得222{2,b c a a b c ===+解得2{a b c ===所以椭圆E 的方程为22142x y +=．（Ⅱ）设点1122(y ),B(,y ),A x x AB 中点为00H(,y )x ．由22221{(2)230,142x my m y my x y =-+--=+=得 所以12122223+=,=22m y y y y m m ++，从而022y m 2=+. 所以222222200000095525GH|()()(+1)++44216x y my y m y my =++=++=.22222121212()()(+1)()|AB|444x x y y m y y -+--==22221212012(+1)[()4](+1)()4m y y y y m y y y +-==-,故222222012222|AB|52553(+1)25172|GH|(+1)042162(2)21616(2)m m m my m y y m m m +-=++=-+=>+++ 所以|AB||GH|>2，故G 9(4-,0)在以AB 为直径的圆外． 解法二：（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）设点1122(y ),B(,y ),A x x ，则112299GA (,),(,).44x y GB x y =+=+u u u r u u u r由22221{(2)230,142x my m y my x y =-+--=+=得所以12122223+=,=22m y y y y m m ++， 从而121212129955GA GB ()()()()4444x x y y my my y y ⋅=+++=+++u u u r u u u r22212122252553(+1)25(+1)()4162(2)216m m m y y m y y m m =+++=-+++22172016(2)m m +=>+所以cos GA,GB 0,GA GB 〈〉>u u u r u u u r u u u r u u u r又，不共线，所以AGB ∠锐角.故点G 9(4-,0)在以AB 为直径的圆外．考点：1、椭圆的标准方程；2、直线和椭圆的位置关系；3、点和圆的位置关系． 【此处有视频，请去附件查看】22.已知抛物线C ；22y px =过点()1,1A ．()1求抛物线C 的方程；()2过点()3,1P -的直线与抛物线C 交于M ，N 两个不同的点(均与点A 不重合)，设直线AM ，AN 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k ⋅为定值． 【答案】（1）2y x =．（2）见解析． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，可求抛物线的标准方程；（2）设过点P （3，﹣1）的直线MN 的方程为()13x t y =++，代入y 2=x 利用韦达定理，结合斜率公式，化简，即可求k 1•k 2的值．【详解】（1）由题意得21p =，所以抛物线方程为2y x =．（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 的方程为()13x t y =++， 代入抛物线方程得230y ty t ---=．所以()2280t ∆=++>，12y y t +=，123y y t =--． 所以()()121212221212121212111111111111111312y y y y k k x x y y y y y y y y t t ----⋅=⋅=⋅====-----+++++--++,所以1k ，2k 是定值．【点睛】求定值问题常见的方法①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．。

河北省张家口市第一中学2021-2022高二数学上学期12月月考试题（实验班，含解析）一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.某工厂甲，乙，丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为600件，400件，300件，用分层抽样方法抽取容量为n 的样本，若从丙车间抽取6件，则n 的值为（ ） A. 18 B. 20C. 24D. 26【答案】D 【解析】由分层抽样的定义可得：6300600400300n =++，解得：26n =. 本题选择D 选项.2.若0,0a b >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取,a b 的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当0, 0a >b >时，a b +≥，则当4a b +≤时，有4a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件.【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取,a b 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.3.《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事．“田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．”双方从各自的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为A.13B.14C.15D.16【答案】A 【解析】分析：由题意结合古典概型计算公式即可求得最终结果.详解：记田忌的上等马、中等马、下等马分别为a ,b ,c ，齐王的上等马、中等马、下等马分别为A ,B ,C ，由题意可知，可能的比赛为：Aa ,Ab ,Ac ,Ba ,Bb ,Bc ,Ca ,Cb ,Cc ,共有9种，其中田忌可以获胜的事件为：Ba ，Ca ,Cb ，共有3种，则田忌马获胜的概率为3193p ==.本题选择A 选项.点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用. 4.随机调查某学校50名学生在学校的午餐费，结果如表：这50个学生的午餐费的平均值和方差分别是( )A. 7.2元，0.56元2B. 7.2C. 7元，0.6元2D. 7元，【答案】A 【解析】 【分析】直接利用平均数公式与方差公式求解即可. 【详解】先计算这50个学生午餐费的平均值是()16107208207.250x =⨯⨯+⨯+⨯=， 所以方差是()()()222211067.22077.22087.20.5650S ⎡⎤=⨯⨯-+⨯-+⨯-=⎣⎦,故选A ．【点睛】本题主要考查平均数公式与方差公式的应用，属于基础题. 样本数据的算术平均数公式：12n 1(++...+)x x x x n =；样本方差公式：2222121[()()...()]n s x x x x x x n=-+-++-.5.方程221102x y m m +=--表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围为（ ）A. ()2,+∞B. ()()2,66,10⋃C. ()2,10D. ()2,6【答案】D 【解析】根据题意，方程221102x y m m +=--表示焦点在x 轴上的椭圆，则有10020102x m m m ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩，解可得2＜m ＜6； 故答案为D ．6.已知双曲线C 的离心率为2，焦点为1F 、2F ，点A 在C 上，若122F A F A =，则21cos AF F ∠=（ ）A.14B.13D.3【答案】A 【解析】 试题分析：由已知设21,2,F A m F A m ==则由定义得12122,2,4,2.F A F A a m a F A a F A a -=∴===122,24.ce F F c a a====在12AF F ∆中，由余弦定理得()()2222222121212124441cos 22244a a a AF F F AF AF F AF F F a a+-+-∠===⋅⨯⨯，故选A ． 考点：1.双曲线的几何性质（焦点三角形问题）；2.余弦定理． 【此处有视频，请去附件查看】7.已知抛物线24y x =，过焦点且倾斜角为60°的直线与抛物线交于A 、B 两点，则△AOB 的面积为A.3 B.83C.43D.23【答案】C 【解析】试题分析：由题意知，直线AB 的方程为3(1)y x =-，联立直线AB 与抛物线的方程可得：，解之得：(3,23)A ，123(,33B -，所以2212316(3)(23)333AB =-++=，而原点到直线AB 的距离为3d =1432ABC S AB d ∆=⨯⨯=C ． 考点：1、抛物线的简单几何性质；2、直线与抛物线的相交问题；8.已知动点(,)M x y 2222(5)(5)8x y x y ++-+=，则M 的轨迹方程是（ ）A. 221169x y +=B. 221169x y -= C. 221(0)169x y x -=>D. 221(0)169y x y -=>【答案】C 【解析】【详解】此方程表示点M 到点(5,0)-的距离与到点(5,0)的距离之差为8，而这正好符合双曲线的定义，点M 的轨迹是双曲线的右支，534c b a =⎧⇒=⎨=⎩，M 的轨迹方程是221(0)169x y x -=>，故选C. 9.已知非零向量12,e e 不共线，如果12AB e e =+，1228AC e e =+，1233AD e e =-，则四点A ，B ，C ，D （ ） A. 一定共线B. 恰是空间四边形的四个顶点C. 一定共面D. 可能不共面【答案】C 【解析】 【分析】通过已知向量关系，求出5AC AB AD =-，说明四点A ，B ，C ，D 共面. 【详解】非零向量12,e e 不共线， 12AB e e =+，1228AC e e =+，1233AD e e =-,∴ 1212125553328AB AD e e e e e e AC -=+-+=+=, ∴5AC AB AD =-,由平面向量基本定理可知，四点A ，B ，C ，D 共面. 故选：C【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的应用，平面向量的基本运算，属于中档题. 10.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：221||x y x y +=+就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C 2； ③曲线C 所围成“心形”区域的面积小于3. 其中，所有正确结论的序号是 A. ① B. ②C. ①②D. ①②③【答案】C 【解析】 【分析】将所给方程进行等价变形确定x 的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围. 【详解】由221x y x y+=+得,221y xy x -=-,2222||3341,10,2443x x x y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭, 所以x 可为的整数有0,-1,1,从而曲线22:1C x y x y +=+恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-1,0),(-1,1)六个整点,结论①正确.由221x y x y +=+得,222212x y x y +++,解得222x y +≤,所以曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过2. 结论②正确.如图所示,易知()()()()0,1,1,0,1,1,,0,1A B C D -, 四边形ABCD 的面积13111122ABCD S =⨯⨯+⨯=,很明显“心形”区域的面积大于2ABCD S ,即“心形”区域的面积大于3,说法③错误.故选C.【点睛】本题考查曲线与方程､曲线的几何性质，基本不等式及其应用,属于难题,注重基础知识､基本运算能力及分析问题解决问题的能力考查,渗透“美育思想”.11.如图，设动点P 在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上，记11D PD Bλ=，当∠APC 为钝角时，λ的取值范围是（ ）A. 20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 12,33⎛⎫⎪⎝⎭D. 2,13⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用∠APC 不是平角，∠APC 为钝角等价于cos 0APC ∠<，即0PA PC ⋅<,从而可求λ的取值范围.【详解】由题设，建立如图所示空间直角坐标系：则有(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),,(0,0,1)A B C D ，11(1,1,1),(,,)D B D P λλλ∴=-=-，()112,,(1,0,1)(1,,1)PA PD D A λλλλλλ∴=+=--+-=---， ()112,,(0,1,1)(,1,1)PC PD DC λλλλλλ=+=--+-=---， 显然∠APC 不是平角，所以∠APC 为钝角等价于cos 0APC ∠<，∴ 0PA PC ⋅<，2(1)()()(1)(1)(1)(31)0λλλλλλλ∴--+--+-=--<，得113λ<<，因此，λ的取值范围是1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭, 故选：B【点睛】本题主要考查了利用空间向量求向量的夹角，解一元二次不等式，属于中档题. 12.设f （x ）在x 处可导，则()()lim2h f x h f x h h→+--等于（ ）A. ()2'f xB.()1'2f x C. ()'f xD.()4'f x【答案】C 【解析】 【分析】利用导数的定义即可求解. 【详解】()f x 在x 处可导，()()lim()2h f x h f x h f x h'→+--∴=.故选：C【点睛】本题主要考查了导数的定义，属于容易题. 二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.若向量(2a =，1，2)-，//e a 且1e =，则e =______．【答案】212,,333⎛⎫- ⎪⎝⎭或212,,333⎛⎫-- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】设e =（2λ，λ，﹣2λ），则|e |==1，由此能求出结果． 【详解】∵向量a =（2，1，﹣2），e ∥a 且|e |＝1， ∴设e =（2λ，λ，﹣2λ），则|e |==1， 解得13λ=±，∴e =（212333-，，）或e =（23-，13-，23）．故答案为（212333-，，）或（23-，13-，23）． 【点睛】本题考查向量的求法，考查向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．14.如图茎叶图记录了甲．乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为______，______．【答案】 (1). 5 (2). 8 【解析】 【分析】根据茎叶图中的数据，结合中位数与平均数的概念，求出x 、y 的值． 【详解】根据茎叶图中的数据，得： ∵甲组数据的中位数为15，∴x ＝5； 又∵乙组数据的平均数为16.8， ∴()9151018245y +++++=16.8，解得：y ＝8；综上，x 、y 的值分别为5、8． 故答案为(1). 5 (2). 8【点睛】本题考查了利用茎叶图求数据的中位数与平均数的问题，是基础题．15.如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点，直线2b y =与椭圆交于,B C 两点，且090BFC ∠=，则该椭圆的离心率是__________．【答案】63【解析】由题意得33(,),(,),22b b B a C a -，故，3(,)2bc -， 又90BFC ∠=，所以2222236()()0322b c c a e -+=⇒=⇒= 【考点】椭圆离心率【名师点睛】椭圆离心率的考查，一般分两个层次，一是由离心率的定义，只需分别求出,a c ，这注重考查椭圆标准方程中量的含义，二是整体考查，求,a c 的比值，这注重于列式，即需根据条件列出关于,a c 的一个等量关系，通过解方程得到离心率的值. 【此处有视频，请去附件查看】16.函数y ＝13x 3－ax 2＋x －2a 在R 上不是单调函数，，则a 的取值范围是________． 【答案】(－∞，－1)∪(1，＋∞) 【解析】试题分析：函数导数221y x ax =-+'，因为函数在R 上不是单调函数，所以导数值有正有负，即导函数221y x ax =-+'与x 轴有两个交点01a ∴∆>∴>或1a <- 考点：函数单调性点评：本题通过函数导数判定函数单调性，在R 上不是单调函数，则存在极值点，即存在导数值大于零和小于零的情况三、解答题（本大题共6小题，共72分）17.已知命题p ：“曲线C 1：22228x y m m ++=1表示焦点在x 轴上的椭圆”，命题q ：“曲线C 2：2211x y m t m t +=---表示双曲线”．（1）若命题p 是真命题，求m 的取值范围； （2）若p 是q 的必要不充分条件，求t 的取值范围． 【答案】（1）-4＜m ＜-2，或m ＞4；（2）-4≤t ≤-3或t ≥4 【解析】 【分析】（1）方程表示焦点在x 轴上的椭圆需满足228280m m m ⎧>+⎨+>⎩，解不等式即可求解（2）化简命题q 可得t ＜m ＜t +1，利用p 是q 的必要不充分条件可知{m |t ＜m ＜t +1}≠⊂{m |-4＜m ＜-2，或m ＞4}，建立不等式求解即可.【详解】（1）若p 为真：则228280m m m ⎧>+⎨+>⎩，解得-4＜m ＜-2，或m ＞4；（2）若q 为真，则（m -t )(m -t -1)＜0，即t ＜m ＜t +1，∵p 是q 的必要不充分条件， 则{m |t ＜m ＜t +1}≠⊂{m |-4＜m ＜-2，或m ＞4}， 即412t t -≤≤+≤-或t ≥4，解得-4≤t ≤-3或t ≥4.【点睛】本题主要考查了椭圆、双曲线的简单几何性质，必要不充分条件，真子集，属于中档题.18.20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如下：(1)求频率直方图中a 的值；(2)分别求出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数；(3)从成绩在[50,70)的学生中人选2人，求这2人的成绩都在[60,70)中的概率． 【答案】(1)0.005,(2)2,3,(3)0.3 【解析】【详解】（1）据直方图知组距=10，由()23672101a a a a a ++++⨯=，解得10.005200a == （2）成绩落在[)50,60中的学生人数为20.00510202⨯⨯⨯= 成绩落在[)60,70中的学生人数为30.00510203⨯⨯⨯= （3）记成绩落在中的2人为12,A A ，成绩落在[)60,70中的3人为1B 、2B 、3B ， 则从成绩在的学生中人选2人的基本事件共有10个：()()()()()()()()()()12111213212223121323,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A A A B A B A B A B A B A B B B B B B B其中2人的成绩都在中的基本事伯有3个：()()()121323,,,,,B B B B B B 故所求概率为310P =【此处有视频，请去附件查看】19.如图，已知三棱锥D －ABC 中，二面角A －BC －D 的大小为90°，且∠BDC ＝90°，∠ABC ＝30°，BC ＝3，23AB =．（1）求证：AC ⊥平面BCD ；（2）二面角B －AC －D 为45°，且E 为线段BC 的中点，求直线AE 与平面ACD 所成的角的正弦值．【答案】（1）见解析；（242【解析】 【分析】（1））△ABC 中,根据条件利用余弦定理求出AC,根据勾股定理证明垂直即可（2）以C 为原点，CB 所在直线为x 轴，CA 所在直线为y 轴，过点C 作垂直于平面ABC 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，求出平面ACD 的法向量，利用直线与平面所成角公式计算即可.【详解】（1）△ABC 中，由2223cos 22AB BC AC ABC AB BC +-∠==⋅， 解得3AC =，从而AC 2+BC 2＝AB 2，∴AC ⊥BC ；又二面角A -BC -D 的大小为90°，即平面BCD ⊥平面ABC ，而平面BCD ∩平面ABC ＝BC ，AC ⊂平面ABC ，故AC ⊥平面BCD ；（2）以C 为原点，CB 所在直线为x 轴，CA 所在直线为y 轴，过点C 作垂直于平面ABC 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，故平面ABC 的法向量u ＝(0，0，1)，设平面ACD 的法向量v ＝(1，m ，n )，由v CA ⊥，易知m ＝0， 从而v ＝(1，0，n )，22|cos ,|21n u v n 〈〉==+， 解得n ＝±1，结合实际图形，可知n 取1时，二面角为135°，应舍去， 所以v ＝(1，0，-1)，易知()0,3,0A ，B (3，0，0)，故3,0,02E ⎛⎫⎪⎝⎭，则3,3,02EA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 设直线AE 与平面ACD 所成的角为θ， 则42sin |cos ,|14EA v θ=〈〉=，即直线AE 与平面ABC 所成的角的正弦值为4214． 【点睛】本题主要考查了余弦定理，利用空间向量求直线与平面所成的角，二面角，属于中档题.20.若直线l 为曲线C 1：y =x 2与曲线C 2：y =x 3的公切线，求直线l 的斜率. 【答案】0或6427【解析】 【分析】分别设l 与C 1, C 2的切点分别为（a ，b ），（m ，n ），利用导数分别求出切线方程，由l 为公切线可知两切线重合，即可求解.【详解】曲线C 1：y =x 2，则y ′=2x ，曲线C 2：y =x 3，则y ′=3x 2， 直线l 与曲线C 1的切点坐标为（a ，b ），则切线方程为y =2ax -a 2， 直线l 与曲线C 2的切点坐标为（m ，n ），则切线方程为y =3m 2x -2m 3， ∴2a =3m 2，a 2=2m 3，∴m =0或m =89， ∴直线l 的斜率为0或6427【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求切线，属于中档题.21.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>过点(0,2)，且离心率2e =（1）求椭圆E方程；（2）设直:1()l x my m R =-∈交椭圆E 于,A B 两点，判断点9(,0)4G -与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由.【答案】(1)22142x y += (2) 点G 在以AB 为直径的圆外【解析】解法一：（Ⅰ）由已知得222{2,b c a a b c ===+解得2{a b c ===所以椭圆E 的方程为22142x y +=．（Ⅱ）设点1122(y ),B(,y ),A x x AB 中点为00H(,y )x ．由22221{(2)230,142x my m y my x y =-+--=+=得 所以12122223+=,=22m y y y y m m ++，从而022y m 2. 所以222222200000095525GH|()()(+1)++44216x y my y m y my =++=++=.22222121212()()(+1)()|AB|444x x y y m y y -+--==22221212012(+1)[()4](+1)()4m y y y y m y y y +-==-,故222222012222|AB|52553(+1)25172|GH|(+1)042162(2)21616(2)m m m my m y y m m m +-=++=-+=>+++ 所以|AB||GH|>2，故G 9(4-,0)在以AB 为直径的圆外． 解法二：（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）设点1122(y ),B(,y ),A x x ，则112299GA (,),(,).44x y GB x y =+=+由22221{(2)230,142x my m y my xy =-+--=+=得所以12122223+=,=22m y y y y m m ++， 从而121212129955GA GB ()()()()4444x x y y my my y y ⋅=+++=+++22212122252553(+1)25(+1)()4162(2)216m m m y y m y y m m =+++=-+++22172016(2)m m +=>+所以cos GA,GB 0,GA GB 〈〉>又，不共线，所以AGB ∠锐角.故点G 9(4-,0)在以AB 为直径的圆外．考点：1、椭圆的标准方程；2、直线和椭圆的位置关系；3、点和圆的位置关系． 【此处有视频，请去附件查看】22.已知抛物线C ；22y px =过点()1,1A ．()1求抛物线C 的方程；()2过点()3,1P -的直线与抛物线C 交于M ，N 两个不同的点(均与点A 不重合)，设直线AM ，AN 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k ⋅为定值． 【答案】（1）2y x =．（2）见解析． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，可求抛物线的标准方程；（2）设过点P （3，﹣1）的直线MN 的方程为()13x t y =++，代入y 2=x 利用韦达定理，结合斜率公式，化简，即可求k 1•k 2的值．【详解】（1）由题意得21p =，所以抛物线方程为2y x =．（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 的方程为()13x t y =++， 代入抛物线方程得230y ty t ---=．所以()2280t ∆=++>，12y y t +=，123y y t =--． 所以()()121212221212121212111111111111111312y y y y k k x x y y y y y y y y t t ----⋅=⋅=⋅====-----+++++--++,所以1k ，2k 是定值．【点睛】求定值问题常见的方法①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．。