2011年“华约”自主招生数学试题(解析版)
- 格式：docx
- 大小：385.02 KB
- 文档页数：10
2011年“华约”自主招生数学试题（解析版）一、选择题1．设复数z 满足|z |<1且15||2z z +=则|z | =（ ）A ．45B ．34C ．23D ．12【答案】D【解析】由15||2z z +=得25||1||2z z +=，已经转化为一个实数的方程．解得|z | ＝2（舍去），12．2．在正四棱锥P －ABCD 中，M 、N 分别为PA 、PB 的中点，且侧面与底面所成二面角的正切DM 与AN 所成角的余弦为（ ）A ．13B ．16C ．18D ．112【答案】D【解析】本题有许多条件，可以用“求解法”，即假设题中的一部分要素为已知，利用这些条件来确定其余的要素．本题中可假设底面边长为已知（不妨设为2），利用侧面与底面所成二面角可确定其他要素，如正四棱锥的高等．然后我们用两种方法，一种是建立坐标系，另一种是平移其中一条线段与另一条在一起．解法一：如图1，设底面边长为2，如图建立坐标系，则A （1，－1，0），B （1，1，0），C （－1，1，0），D （－1，－1，0），P （0，，则1111(,(,2222M N -，31213(,,),(,2222DM AN =-=-．设所成的角为θ，则1cos 6DM AN DM ANθ==．3．已知1223+--=x x x y ，过点（－1, 1）的直线l 与该函数图象相切，且（－1, 1）不是切点，则直线l 的斜率为 （ ） A ．2B ．1C ．-1D ．-2【答案】C【解析】显然（－1, 1）在1223+--=x x x y 的图象上．设切点为)12,(020300+--x x x x ， 2232--='x x y ，所以223020--=x x k ．另一方面，)1(1)12(002030---+--=x x x x k )2(00-=x x 223020--=x x ．所以x 0＝1,所以1-=k ．选C ． 4．若222cos cos 3A B A B π+=+，则的最小值和最大值分别为 （ ）A ．21-，32B ．12，32C ．21-，21+D ．12，21+【答案】B【解析】首先尽可能化简结论中的表达式22cos cos A B +，沿着两个方向：①降次：把三角函数的平方去掉；②去角：原来含两个角，去掉一个．解：221cos 21cos 21cos cos 1(cos 2cos 2)222A B A B A B +++=+=++11cos()cos()1cos()2A B A B A B =++-=--，可见答案是B【答案】B【解析】题目中的条件是通过三个圆来给出的，有点眼花缭乱．我们来转化一下，就可以去掉三个圆，已知条件变为：ΔO O 1 O 2边O 1 O 2上一点C ，OO 1、OO 2延长线上分别一点A 、B ，使得O 1A =O 1C ，O 2B =O 2C ． 解法一：连接12O O ，C 在12O O 上，则1221OOO OO O πα∠+∠=-，111212O AC O CA OO O ∠=∠=∠，222112O BC O CB OO O ∠=∠=∠，故 1212211()22O CA O CB OO O OO O πα-∠+∠=∠+∠=，12()2O CA O CB παβπ+=-∠+∠=，sin cos2αβ=．解法二：对于选择填空题，可以用特例法，即可以添加条件或取一些特殊值，在本题中假设两个小圆的半径相等，则12212OO O O O Oπα-∠=∠=，1212124O CA O CB OO O πα-∠=∠=∠=，12()2O CA O CB παβπ+=-∠+∠=，sin cos2αβ=．6．已知异面直线a ，b 成60°角．A 为空间一点则过A 与a ，b 都成45°角的平面 （ ）A ．有且只有一个B ．有且只有两个C ．有且只有三个D ．有且只有四个 【答案】D【解析】已知平面过A ，再知道它的方向，就可以确定该平面了．因为涉及到平面的方向，我们考虑它的法线，并且假设a ，b 为相交直线也没关系．于是原题简化为：已知两条相交直线a ，b 成60°角，求空间中过交点与a ，b 都成45°角的直线．答案是4个．7．已知向量3131(0,1),(,),(,),(1,1)22a b c xa yb zc ==--=-++=则222x y z ++的最小值为（ ）A ．1B ．43C ．32D ．2【答案】B【解析】由(1,1)xa yb zc ++=得1)111222y z y z y z y z x x ⎧⎧+=-=⎪⎪⎪⎪⎨⎨+⎪⎪--=-=⎪⎪⎩⎩， 由于222222()()2y z y z x y z x ++-++=+，可以用换元法的思想，看成关于x ，y + z ，y －z 三个变量，变形2(1)y z y z x ⎧-=⎪⎨⎪+=-⎩，代入222222()()2y z y z x y z x ++-++=+222228242(1)343()3333x x x x x =+-+=-+=-+，答案B8．AB为过抛物线y 2＝4x 焦点F 的弦，O 为坐标原点，且135OFA∠=，C 为抛物线准线与x 轴的交点，则ACB ∠的正切值为 （）A ．B．C ．D ．【答案】A【解析】解法一：焦点F （1，0），C （－1，0），AB 方程y ＝ x – 1，与抛物线方程y 2＝4x联立，解得A B (3+ (3- ，，于是22CA CB k k ==，tan 1CA CB CA CB k k ACB k k -∠==+，答案A解法二：如图，利用抛物线的定义，将原题转化为：在直角梯形ABCD 中，∠BAD ＝ 45°，EF ∥DA ，EF ＝ 2，AF ＝ AD ，BF ＝ BC ，求∠AEB ．tan tan 2DE GF AEF EAD AD AF ∠=∠===．类似的，有tan tan 2BEF EBC ∠=∠=2AEB AEF BEF AEF ∠=∠+∠=∠，tan tan 2AEB AEF ∠=∠= A【答案】DA ．存在某种分法，所分出的三角形都不是锐角三角形B ．存在某种分法，所分出的三角形恰有两个锐角三角形C ．存在某种分法，所分出的三角形至少有3个锐角三角形D ．任何一种分法所分出的三角形都恰有1个锐角三角形【答案】D【解析】我们先证明所分出的三角形中至多只有一个锐角三角形．如图，假设ΔABC 是锐角三角形，我们证明另一个三角形ΔDEF （不妨设在AC 的另一边）的（其中的边EF 有可能与AC 重合）的∠D 一定是钝角．事实上，∠D ≥ ∠ADC ，而四边形ABCD 是圆内接四边形，所以∠ADC ＝ 180°－∠B ，所以∠D 为钝角．这样就排除了B ，C ．下面证明所分出的三角形中至少有一个锐角三角形．假设ΔABC 中∠B 是钝角，在AC 的另一侧一定还有其他顶点，我们就找在AC 的另一侧的相邻（指有公共边AC ） ΔACD ，则∠D ＝ 180°－∠B 是锐角，这时如果或是钝角，我们用同样的方法继续找下去，则最后可以找到一个锐角三角形．所以答案是D ． 二、解答题解：（I ）tan tan tan tan()tan tan 1A BC A B A B +=-+=-，整理得tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++（II ）tan tan tan tan A C A B C =++，与（I ）比较知tan 3B B π==．又11224s i n 2s i n 2s i n 2s in 3A C Bπ+===，sin 2sin 2sin 2sin 2A C A C +=，sin()cos()cos 2()cos 2()A C A C A C A C +-=--+，而sin()sin 2A C B +==，1cos 2()cos 22A C B +==-，代入得2cos 2()13cos()A C A C -+=-，24cos ()3cos()10A C A C ----=，1cos()14A C -=-，，cos 124A C -=，12．已知圆柱形水杯质量为a 克，其重心在圆柱轴的中点处（杯底厚度及重量忽略不计，且水杯直立放置）．质量为b 克的水恰好装满水杯，装满水后的水杯的重心还有圆柱轴的中点处．（I ）若b ＝ 3a ，求装入半杯水的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值； （II ）水杯内装多少克水可以使装入水后的水杯的重心最低？为什么？ 解：不妨设水杯高为1．（I ）这时，水杯质量：水的质量=2 ：3．水杯的重心位置（我们用位置指到水杯底面的距离）为12，水的重心位置为14，所以装入半杯水的水杯的重心位置为11237242320+=+（II ） 当装入水后的水杯的重心最低时，重心恰好位于水面上．设装x 克水．这时，水杯质量 ：水的质量 ＝ a ：x ．水杯的重心位置为12，水的重心位置为2x b ，水面位置为xb ，于是122x ax xb a x b +=+，解得x a =13．已知函数21()(1)1()2x f x f f ax b ===+2，，3．令111()2n n x x f x +==，．（I ）求数列{}n x 的通项公式；（II ）证明12112n x x x e +>．解：由12(1)1()1()21xf f a b f x x =====+2，得，3（I ）方法一：先求出123412482359x x x x ====，，，，猜想11221n n n x --=+．用数学归纳法证明．当n = 1显然成立；假设n = k 成立，即11221k k k x --=+，则122()121kk k k kk x x f x x +===++，得证．方法二：121+=+n n n x x x 取倒数后整理得)11(21111-=-+n n x x ，所以)11()21(1111-=--x x n n 所以12111+=-n x（II ）方法一：证明12112n ex x x +>．事实上，12111112(1)(1)(1)242nn x x x +=+++．我们注意到2212(1)12(1)nn a a a a +<++<+，，，（贝努利（Bernoulli ）不等式的一般形式：nx x n +≥+1)1(，x ),1(+∞-∈）于是122121212111112(1)2(1)2(1)2222n n nnn nn e x x x -+++-+<+=+<+<方法二：原不等式en <+++⇔)211()211)(211(21)]211()211)(211ln[(2<+++⇔n1)211ln()211ln()211ln(2<++++++⇔n构造函数)0()1ln()(>-+=x x x x g01111)(<+-=-+='x xx x g ，所以0)0()(=<g x g所以)0()1ln(><+x x x令n x 21=则n n 21)211ln(<+1211212121)211ln()211ln()211ln(22<-=+++<++++++n n n14．已知双曲线221222:1(0,0),,x y C a b F F a b -=>>分别为C 的左右焦点．P 为C 右支上一点，且使21212=,3F PF F PF π∠∆又的面积为．（I ）求C 的离心率e ；（II ）设A 为C 的左顶点，Q 为第一象限内C 上的任意一点，问是否存在常数λ（λ>0）,使得22QF A QAF λ∠=∠恒成立．若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．解：（I ）如图，利用双曲线的定义，将原题转化为：在ΔP F 1 F 2中，21212=3F PF F PF π∠∆，的面积为，E 为PF 1上一点，PE ＝ PF 2，E F 1 ＝2a ，F 1 F 2 ＝ 2c ，求c a ．设PE =PF 2=EF 2=x ，F F 2=x，1221211(2)222F PF S PF FF x a x ∆==+=，224120x ax a +-=，2xa =．ΔE F 1 F 2为等腰三角形，1223EF F π∠=，于是2c =，ce a ==．（II ）21=λ此解法可能有误15．将一枚均匀的硬币连续抛掷n 次，以p n 表示未出现连续3次正面的概率． （I ）求p 1，p 2，p 3，p 4；（II ）探究数列{ p n }的递推公式，并给出证明；（III ）讨论数列{ p n }的单调性及其极限，并阐述该极限的概率意义．解析：（I ）显然p 1＝p 2＝1，878113=-=p ；又投掷四次连续出现三次正面向上的情况只有：正正正正或正正正反或反正正正，故161316314=-=p ．（II ）共分三种情况：①如果第n 次出现反面，那么前n 次不出现连续三次正面的概率121-⨯n P ；②如果第n 次出现正面，第n －1次出现反面，那么前n 次不出现连续三次正面和前n －2次不出现连续三次正面是相同的，所以这个时候不出现连续三次正面的概率是241-⨯n P ；③如果第n 次出现正面，第n －1次出现正面，第n －2次出现反面，那么前n 次不出现连续三次正面和前n －3次不出现连续三次正面是相同的，所以这个时候不出现连续三次正面的概率是381-⨯n P ．综上，=n P +⨯-121n P +⨯-241n P 381-⨯n P ．（4≥n ），④（III ）由（II ）知=-1n P +⨯-221n P +⨯-341n P 481-⨯n P ，（5≥n ）⑤，④－12×⑤，有=n P --1n P 4161-⨯n P （5≥n ）所以5≥n 时，p n 的单调递减，又易见p 1＝p 2＞p 3＞p 4＞…．3≥n 时，p n 的单调递减，且显然有下界0，所以p n 的极限存在．对=n P --1n P 4161-⨯n P 两边同时取极限可得0lim =-∞→n n p ．其统计意义：当投掷的次数足够多时，不出现连续三次正面向上的次数非常少，两者比值趋近于零．。
