【人教版】2019届中考数学题型专项研究第2讲：方程(组)的解法(教师用)

第 1 页 共 13 页 2019年中考数学题型专项研究 第2讲方程（组）的解法

1．解一元一次方程．

2．解二元一次方程组．

3．解一元二次方程．

4．解分式方程．

1．去分母时，容易出现漏项或者是两边所乘的不是最简公分母．

2．去括号时，如果括号前是负因数，容易出现部分变号错误．

3．移项时，对“被移动的项”理解错误，导致该变号的不变，不该变号的变了号．

4．化系数为1时，两边同时除以未知数的系数，容易把该系数写到分子上．

消元：代入消元、加减消元 降次：直接开方、因式分解

近几年直接考查解方程(组)题目较少，但方程(组)是解决实际问题的有效工具，所以能够准确解方程(组)就显得尤为重要． 1．一元一次方程的解法是解方程(组)的基础，而这类方程的解法又分为两类：

有分母——去分母有括号——去括号移项、合并同类项、化系数为1

2．一元二次方程的解法较多，所以要掌握各类方法的特征：

(1)因式分解法较为常用(判别式能够开方开尽的基本可以进行因式分解)，最终要整理为

乘积为0的形式． 第 2 页 共 13 页

只有二次项和一次项的通常考虑提公因式； 只有二次项和常数项的通常考虑平方差公式； 暂时无法分解因式时可以先考虑打开括号，整理后再做观察． (2)直接开平方法，能够直接实现降次目的，但比较局限，只针对能够整理成完全平方式

等于非负数的题型． (3)配方法的目的是实现直接开平方；配方时要首先化二次项系数为1，再在方程两边同

时加上一次项系数一半的平方．

(4)求根公式法较为通用，只要b2－4ac>0，均可把a，b，c代入x＝－b±b2－4ac2a求解．应

用此法首先要把方程整理为ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的形式． 3．解分式方程目标是化分式方程为整式方程，首先要找到各分母的最简公分母，其次

不要出现漏项，最后一定要记得检验求得的根是否是增根． 4．解二元一次方程组的目标是消元，代入消元法是通用法，但通常只针对其中一个未

知数的系数较为简单时，否则会导致计算困难；加减消元法关键看相同未知数的系数特征决定，要注意两式加减时的符号问题． 【典例解析】 【例题1】（2017湖南岳阳）我市某校组织爱心捐书活动，准备将一批捐赠的书打包寄往贫困地区，其中每包书的数目相等．第一次他们领来这批书的，结果打了16个包还多40本；第二次他们把剩下的书全部取来，连同第一次打包剩下的书一起，刚好又打了9个包，那么这批书共有多少本？ 【分析】设这批书共有3x本，根据每包书的数目相等．即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设这批书共有3x本， 根据题意得： =， 解得：x=500， ∴3x=1500． 第 3 页 共 13 页

答：这批书共有500本． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，根据每包书的数目相等．列出关于x的一元一次方程是解题的关键． 【例题2】（2017毕节）某同学准备购买笔和本子送给农村希望小学的同学，在市场上了解到某种本子的单价比某种笔的单价少4元，且用30元买这种本子的数量与用50元买这种笔的数量相同． （1）求这种笔和本子的单价； （2）该同学打算用自己的100元压岁钱购买这种笔和本子，计划100元刚好用完，并且笔和本子都买，请列出所有购买方案． 【考点】B7：分式方程的应用；95：二元一次方程的应用． 【分析】（1）首先设这种笔单价为x元，则本子单价为（x﹣4）元，根据题意可得等量关系：30元买这种本子的数量=50元买这种笔的数量，由等量关系可得方程=，再解方程可得答案； （2）设恰好用完100元，可购买这种笔m支和购买本子n本，根据题意可得这种笔的单价×这种笔的支数m+本子的单价×本子的本数n=1000，再求出整数解即可． 【解答】解：（1）设这种笔单价为x元，则本子单价为（x﹣4）元，由题意得： =， 解得：x=10， 经检验：x=10是原分式方程的解， 则x﹣4=6． 答：这种笔单价为10元，则本子单价为6元；

（2）设恰好用完100元，可购买这种笔m支和购买本子n本， 由题意得：10m+6n=100， 整理得：m=10﹣n， ∵m、n都是正整数， ∴①n=5时，m=7，②n=10时，m=4，③n=15，m=1； ∴有三种方案： ①购买这种笔7支，购买本子5本； 第 4 页 共 13 页

②购买这种笔4支，购买本子10本； ③购买这种笔1支，购买本子15本． 【例题3】（2017•宁德）小明作业本中有一页被墨水污染了，已知他所列的方程组是正确的．写出题中被墨水污染的条件，并求解这道应用题．

【考点】9A：二元一次方程组的应用． 【专题】12 ：应用题． 【分析】被污染的条件为：同样的空调每台优惠400元，设“五一”前同样的电视每台x元，空调每台y元，根据题意列出方程组，求出方程组的解即可得到结果． 【解答】解：被污染的条件为：同样的空调每台优惠400元， 设“五一”前同样的电视每台x元，空调每台y元， 根据题意得：，

解得：， 则“五一”前同样的电视每台2500元，空调每台3000元． 【点评】此题考查了二元一次方程组的应用，弄清题中的等量关系是解本题的关键． 【例题4】(2017湖北宜昌)某市总预算a亿元用三年时间建成一条轨道交通线．轨道交通线由线路敷设、搬迁安置、辅助配套三项工程组成．从2015年开始，市政府在每年年初分别对三项工程进行不同数额的投资． 2015年年初，对线路敷设、搬迁安置的投资分别是辅助配套投资的2倍、4倍．随后两

年，线路敷设投资每年都增加b亿元，预计线路敷设三年总投资为54亿元时会顺利如期完工；搬迁安置投资从2016年初开始遂年按同一百分数递减，依此规律，在 2017年年初只需投资5亿元，即可顺利如期完工；辅助配套工程在2016年年初的投资在前一年基础上的增长率是线路敷设2016年投资增长率的1.5倍，2017年年初的投资比该 第 5 页 共 13 页

项工程前两年投资的总和还多4亿元，若这样，辅助配套工程也可以如期完工．经测算，这三年的线路敷设、辅助配套工程的总投资资金之比达到3：2． （1）这三年用于辅助配套的投资将达到多少亿元？ （2）市政府2015年年初对三项工程的总投资是多少亿元？ （3）求搬迁安置投资逐年递减的百分数． 【考点】AD：一元二次方程的应用；B7：分式方程的应用． 【分析】（1）由线路敷设三年总投资为54亿元及这三年的线路敷设、辅助配套工程的总投资资金之比达到3：2，可得答案． （2）设2015年年初，对辅助配套的投资为x亿元，则线路敷设的投资为2x亿元，搬迁安置的投资是4x亿元，根据“线路敷设三年总投资为54亿元、辅助配套三年的总投资为36亿元”列方程组，解之求得x、b的值可得答案． （3）由x=5得出2015年初搬迁安置的投资为20亿元，设从2016年初开始，搬迁安置投资逐年递减的百分数为y，根据“2017年年初搬迁安置的为投资5亿”列方程求解可得． 【解答】解：（1）三年用于辅助配套的投资将达到54×=36（亿元）；

（2）设2015年年初，对辅助配套的投资为x亿元，则线路敷设的投资为2x亿元，搬迁安置的投资是4x亿元，

根据题意，得：， 解得：， ∴市政府2015年年初对三项工程的总投资是7x=35亿元；

（3）由x=5得，2015年初搬迁安置的投资为20亿元， 设从2016年初开始，搬迁安置投资逐年递减的百分数为y， 由题意，得：20（1﹣y）2=5， 解得：y1=0.5，y2=1.5（舍） 答：搬迁安置投资逐年递减的百分数为50%． 【专项训练】 一、选择题： 第 6 页 共 13 页

1. （2017深圳）一球鞋厂，现打折促销卖出330双球鞋，比上个月多卖10%，设上个

月卖出x双，列出方程（ ） A．10%x=330 B．（1﹣10%）x=330 C．（1﹣10%）2x=330 D．（1+10%）x=330 【考点】89：由实际问题抽象出一元一次方程． 【分析】设上个月卖出x双，等量关系是：上个月卖出的双数×（1+10%）=现在卖出的双数，依此列出方程即可． 【解答】解：设上个月卖出x双，根据题意得 （1+10%）x=330． 故选D． 2. （2017山东滨州）某车间有27名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每

人每天生产螺母16个或螺栓22个，若分配x名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下面所列方程中正确的是（ ） A．22x=16（27﹣x） B．16x=22（27﹣x） C．2×16x=22（27﹣x） D．2×22x=16（27﹣x） 【考点】89：由实际问题抽象出一元一次方程． 【分析】设分配x名工人生产螺栓，则（27﹣x）名生产螺母，根据每天生产的螺栓和螺母按1：2配套，可得出方程． 【解答】解：设分配x名工人生产螺栓，则（27﹣x）名生产螺母， ∵一个螺栓套两个螺母，每人每天生产螺母16个或螺栓22个， ∴可得2×22x=16（27﹣x）． 故选D．

3. （2017黑龙江佳木斯）“双11”促销活动中，小芳的妈妈计划用1000元在唯品会购买

价格分别为80元和120元的两种商品，则可供小芳妈妈选择的购买方案有（ ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【考点】95：二元一次方程的应用． 【分析】设购买80元的商品数量为x，购买120元的商品数量为y，根据总费用是1000元列出方程，求得正整数x、y的值即可． 【解答】解：设购买80元的商品数量为x，购买120元的商品数量为y， 依题意得：80x+120y=1000，