2006年北京市东城区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 计算i(1−i)2等于（ ）A 2−2iB 2+2iC −2D 22. 已知(2x 2−xp )6的展开式中，不含x 的项是2027，那么正数p 的值是（ ） A 1 B 2 C 3 D 43. 在△ABC 中，已知sinC =2sin(B +C)cosB ，那么△ABC 一定是( ) A 等腰直角三角形 B 等腰三角形 C 直角三角形 D 等边三角形4. 已知直线y =2x 上一点P 的横坐标为a ，有两个点A(−1, 1)，B(3, 3)，那么使向量PA →与PB →夹角为钝角的一个充分不必要条件是（ ） A −1<a <2 B 0<a <1 C −√22<a <√22D 0<a <25. 若指数函数f(x)=a x (a >0, a ≠1)的部分对应值如表：则不等式f −1(|x|)<0的解集为（ ）0或0<x <1}6. 有一排7只发光的二极管，每只二极管点亮时可发出红光或绿光，若每次恰有3只二极管点亮，且相邻的两只不能同时点亮，根据三只点亮的不同位置，或不同颜色来表示不同的信息，则这排二极管能表示的信息种数共有（ ）钟． A 10 B 48 C 60 D 807. 设f(x)是定义在实数集R 上的函数，满足f(0)=1，且对任意实数a 、b 都有f(a)−f(a −b)=b(2a −b +1)，则f(x)的解析式可以是（ ）A f(x)=x 2+x +1B f(x)=x 2+2x +1C f(x)=x 2−x +1D f(x)=x 2−2x +18. 已知{a n }是首项为1，公比为q 的等比数列，P n =a 1+a 2C n 1+a 3C n 2+⋯+a n+1C n n(n ∈N ∗, n >2)，Q n =C n 0+C n 2+C n 4+⋯+C n m ，（其中m =2[n2]，[t]表示t 的最大整数，如[2.5]=2）．如果数列{Pn Q n}有极限，那么公比q 的取值范围是（ ）A −1<q ≤1，且q ≠0B −1<q <1，且q ≠0C −3<q ≤1，且q ≠0D −3<q <1，且q ≠0二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9. 某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2:3:4，现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，其中A 型号产品有16件，那么此样品容量为n =________．10. 若焦点在x 轴上的椭圆x 22+y 2m =1的离心率为12，则m =________．11. 如果过点(0, 1)斜率为k 的直线l 与圆x 2+y 2+kx +my −4=0交于M 、N 两点，且M 、N 关于直线x +y =0对称，那么直线l 的斜率k =________；不等式组{kx −y +1≥0kx −my ≤0y ≥0表示的平面区域的面积是________．12. 设函数f(x)={2(x >0)x 2+bx +c(x ≤0)，若f(−4)=f(0)，f(−2)=−2，则f(x)的解析式为f(x)=________，关于x 的方程f(x)=x 的解的个数为________．13. 已知过球面上三点A 、B 、C 的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC =BC =6，AB =4，则球的半径等于________，球的表面积等于________．14. 设函数f(x)=sin(ωx +φ)，其中ω>0，−π2<φ<π2，给出四个论段： ①它的周期是π②它的图象关于直线x =π12对称 ③它的图象关于点(π3，0)对称 ④在区间(−π6，0)上是增函数，以其中两个论段作为条件，另两个论段作为结论，写出一个你认为正确的命题________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人．设ξ为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且P(ξ>0)=710．(1)求文娱队的队员人数；(2)写出ξ的概率分布列并计算E(ξ)．16. 已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx +c ，曲线y =f(x)在点x =1处的切线l 不过第四象限且斜率为3，又坐标原点到切线l 的距离为√1010，若x =23时，y =f(x)有极值． （1）求a ，b ，c 的值；（2）求y =f(x)在[−3, 1]上的最大值和最小值．17. 如图，三棱锥P −ABC 中，PC ⊥平面ABC ，PC =AC =2，AB =BC ，D 是PB 上一点，且CD ⊥平面PAB ． （1）求证：AB ⊥平面PCB ；（2）求异面直线AP 与BC 所成角的大小； （3）求二面角C −PA −B 的大小．18. 设A ，B 分别是直线y =2√55x 和y =−2√55x 上的两个动点，并且|AB →|=√20，动点P 满足OP →=OA →+OB →．记动点P 的轨迹为C ． (I) 求轨迹C 的方程；(II)若点D 的坐标为(0, 16)，M 、N 是曲线C 上的两个动点，且DM →=λDN →，求实数λ的取值范围．19. 已知f(x)=(x −1)2，g(x)=10(x −1)，数列{a n }满足a 1=2，(a n+1−a n )g(a n )+f(a n )=0，b n =910(n +2)(a n −1)．（1）求证：数列{a n −1}是等比数列；（2）当n 取何值时，{b n }取最大值，并求出最大值；（3）若t mb m <t m+1b m+1对任意m ∈N ∗恒成立，求实数t 的取值范围． 20. 已知函数f(x)=|1−1x |，(x >0)．(1)当0<a <b ，且f(a)=f(b)时，求证：ab >1；(2)是否存在实数a ，b(a <b)，使得函数y =f(x)的定义域、值域都是[a, b]，若存在，则求出a ，b 的值，若不存在，请说明理由．(3)若存在实数a ，b(a <b)，使得函数y =f(x)的定义域为[a, b]时，值域为[ma, mb](m ≠0)，求m 的取值范围．2006年北京市东城区高考数学一模试卷（理科）答案1. D2. C3. B4. B5. D6. D7. A8. C9. 72 10. 3211. 1,1412. f(x)={2(x >0)x 2+4x +2(x ≤0),313.3√62,54π14. ①②→③④或①③→②④15. 解：设既会唱歌又会跳舞的有x 人，则文娱队中共有(7−x)人，只会一项的人数是(7−2x)人．…(1)∵ P(ξ>0)=P(ξ≥1)=1−P(ξ=0)=710， ∴ P(ξ=0)=310，即C 7−2x 2C 7−x2=310．∴(7−2x)(6−2x)(7−x)(6−x)=310，解得x =2．故文娱队共有5人． …(2)ξ的取值为0，1，2 P(ξ=1)=C 52˙=35，P(ξ=2)=C 22C 52=110，…ξ的概率分布列为：∴ E(ξ)=0×310+1×35+2×110=45． …16. 解：（1）由f(x)=x 3+ax 2+bx +c ，得f′(x)=3x 2+2ax +b ， 当x =1时，切线l 的斜率为3，可得2a +b =0．①当x =23时，y =f(x)有极值，则f′(23)=0，即4a +3b +4=0② 联立①②解得a =2，b =−4． 设切线l 的方程为y =3x +m ， 由原点到切线l 的距离为√1010， 则=√32+1=√1010解得m =±1．∵ 切线l 不过第四象限，∴ m =1，由于切点的横坐标为x =1，∴ f(1)=4， ∴ 1+a +b +c =4，∴ c =5． 故a =2，b =−4，c =5．（2）由（1）可得f(x)=x 3+2x 2−4x +5， ∴ f′(x)=3x 2+4x −4． 令f′(x)=0，得x =−2，x =23．当x 变化时，f(x)和f′(x)的变化情况如下表：在x =23处取得极小值f(23)=9527．又f(−3)=8，f(1)=4，∴ f(x)在[−3, 1]上的最大值为13，最小值为9527．17. 解法一：（1）∵ PC ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，∴ PC ⊥AB ．∵ CD ⊥平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，∴ CD ⊥AB ． 又PC ∩CD =C ，∴ AB ⊥平面PCB ．（2）过点A 作AF // BC ，且AF =BC ，连接PF ，CF ．则∠PAF 为异面直线PA 与BC 所成的角．由（1）可得AB ⊥BC ，∴ CF ⊥AF ． 由三垂线定理，得PF ⊥AF ．则AF =CF =√2，PF =√PC 2+CF ∧=√6， 在Rt △PFA 中，tan∠PAF =PFAF =√6√2=√3，即∠PAF =π3．∴ 异面直线PA 与BC 所成的角为π3． （3）取AP 的中点E ，连接CE 、DE ．∵ PC =AC =2，∴ CE ⊥PA ，CE =√2．∵ CD ⊥平面PAB ，由三垂线定理的逆定理，得DE ⊥PA ． ∴ ∠CED 为二面角C −PA −B 的平面角．由（1）AB ⊥平面PCB ，又∵ AB =BC ，AC =2，∴ BC =√2． 在Rt △PCB 中，PB =√PC 2+BC 2=√6，CD =PC⋅BC PB=2×√2√6=2√3．在Rt △CDE 中，sin∠CED =CDCE =2√3√2=√63． ∴ 二面角C −PA −B 的大小为arcsin √63． 解法二：（1）同解法一．（2）由（1）AB ⊥平面PCB ，∵ PC =AC =2，又∵ AB =BC ，可求得BC =√2． 以B 为原点，如图建立坐标系．则A(0,√2，0)，B(0, 0, 0)，C(√2，0，0)，P(√2，0，2)．AP →=(√2,−√2,2)，BC →=(√2,0,0)． ∴ cos <AP →，BC →>=|AP →|⋅|BC →|˙=22√2×√2=12． ∴ 异面直线AP 与BC 所成的角为π3．（3）设平面PAB 的法向量为m →=(x, y, z)．AB →=(0,−√2,0)，AP →=(√2,−√2,2)，则{AP →⋅m →=0˙，即{−√2y =0√2x −√2y +2z =0，令z =−1，得m →=(√2,0,−1)．设平面PAC 的法向量为n →=(x′, y′, z′)．PC →=(0,0,−2)，AC →=(√2,−√2,0)，则{AC →⋅n →=0˙，即{−2z ′=0√2x ′−√2y ′=0，令x′=1，得n →=(1, 1, 0)．∴ cos <m →，n →>=|m →||n →|˙=√2√3×√2=√33， ∴ 二面角C −PA −B 的大小为arccos √33． 18. 解：(I) 设P(x, y)， 为A 、B 分别为直线y =2√55x 和y =−2√55x 上的点， 故可设A(x 1，2√55x 1)，B(x 2，−2√55x 2)． ∵ OP →=OA →+OB →， ∴ {x =x 1+x 2y =2√55(x 1−x 2)， ∴ {x 1+x 2=x x 1−x 2=√52y ，… 又|AB →|=√20，∴ (x 1−x 2)2+45(x 1+x 2)2=20．…∴ 54y 2+45x 2=20．即曲线C 的方程为x 225+y 216=1．… (II) 设N(s, t)，M(x, y)， 则由DM →=λDN →，可得(x, y −16)=λ (s, t −16)． 故x =λs ，y =16+λ (t −16)．… ∵ M 、N 在曲线C 上， ∴ {s 225+t 216=1λ2s 225+(λt−16λ+16)216=1.… 消去s 得λ2(16−t 2)16+(λt−16λ+16)216=1．由题意知λ≠0，且λ≠1， 解得t =17λ−152λ．…又|t|≤4， ∴ |17λ−152λ|≤4．解得 35≤λ≤53(λ≠1)．故实数λ的取值范围是35≤λ≤53(λ≠1)．…19. 证明：（1）由方程，(a n+1−a n )g(a n )+f(a n )=0 得：(a n+1−a n )×10×(a n −1)+(a n −1)2=0 整理得(a n −1)[10×(a n+1−a n )+a n −1]=0；显然由a 1=2，则a n 显然不是常数列，且不等于1，所以两边除以a n −1； 得10×(a n+1−a n )+a n −1=0．整理后得：10(a n+1−1)=9(a n −1)， a 1−1=1，{a n −1}就是首项为1，公比为910的等比数列．解：（2）将a n −1=(910)n−1代入b n =910(n +2)(a n −1)得b n =(910)n ×(n +2)．b n+1−b n =(910)n+1×(n +3)−(910)n ×(n +2)=(910)n ×7−n 10．∴ {b n }在[1, 7]上单调递增，在[8, +∞)上单调递减 ∴ 当n 取7或8，{b n }取最大值，最大值为9×(910)7（3）设数列{t n b n}，若t m b m <t m+1b m+1对任意m ∈N ∗恒成立，则数列{t nb n}为递增数列，设其通项为c n =1n+2(10t 9)n为递增数列； 那么对于任意的自然数n ，我们都有c n+1>c n 显然我们可以得：10t 9>n+3n+2该不等式恒成立条件是左边的比右边的最大值还要大，就行取n =1．求得t >65∴ 实数t 的取值范围为(65, +∞)20. (1)证明：∵ x >0， ∴ f(x)={1−1x ,x ≥1，1x−1,0<x <1.∴ f(x)在(0, 1)上为减函数，在(1, +∞)上是增函数． 由0<a <b ，且f(a)=f(b)，可得 0<a <1<b 和1a −1=1−1b ，即1a +1b =2． ∴ 2ab =a +b >2√ab ．故√ab >1，即ab >1．(2)解：不存在满足条件的实数a ，b ．若存在满足条件的实数a ，b ，使得函数y =f(x)=|1−1x |的定义域、值域都是[a, b]，则a >0，f(x)={1−1x,x ≥1，1x−1,0<x <1.①当a ，b ∈(0, 1)时，f(x)=1x−1在(0, 1)上为减函数， 故{f(a)=b ，f(b)=a ， 即{1a −1=b ，1b −1=a ，解得a =b ． 故此时不存在适合条件的实数a ，b ．②当a ，b ∈[1, +∞)时，f(x)=1−1x 在(1, +∞)上是增函数． 故{f(a)=a ，f(b)=b ， 即{1−1a =a ，1−1b =b ，此时a ，b 是方程x 2−x +1=0的根，此方程无实根， 故此时不存在适合条件的实数a ，b ．③当a ∈(0, 1)，b ∈[1, +∞)时，由于1∈[a, b]，而f(1)=0∉[a, b]， 故此时不存在适合条件的实数a ，b ． 综上可知，不存在适合条件的实数a ，b ．(3)解：若存在实数a ，b(a <b)，使得函数y =f(x)的定义域为[a, b]时， 值域为[ma, mb]，则a >0，m >0．①当a ，b ∈(0, 1)时，由于f(x)在(0, 1)上是减函数，故{1a −1=mb ，1b−1=ma ，此时刻得a ，b 异号，不符合题意，∴ a ，b 不存在．②当a ∈(0, 1)或b ∈[1, +∞)时，由(2)知0在值域内， 值域不可能是[ma, mb]，∴ a ，b 不存在， 故只有a ，b ∈[1, +∞)．∵ f(x)=|1−1x |在[1, +∞)上是增函数，∴ {f(a)=ma ，f(b)=mb ， 即{1−1a=ma ，1−1b =mb ，∴ a ，b 是方程mx 2−x +1=0的两个根，即关于x 的方程mx 2−x +1=0有两个大于1的实根．设这两个根为x 1，x 2，则x 1+x 2=1m ，x 1⋅x 2=1m ．∴ {Δ>0，(x 1−1)+(x 2−1)>0，(x 1−1)(x 2−1)>0，即{1−4m >0，1m−2>0，解得0<m<1．4．故m的取值范围是0<m<14。
