2006年高考理科数学试题及答案(全国卷2)

2006年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅱ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合M={x|x＜3}，N={x|log2x＞1}，则M∩N=（）A．∅B．{x|0＜x＜3}C．{x|1＜x＜3}D．{x|2＜x＜3}2．（5分）函数y=sin2x•cos2x的最小正周期是（）A．2πB．4πC．D．3．（5分）=（）A．B．C．i D．﹣i4．（5分）如图，PA、PB、DE分别与⊙O相切，若∠P=40°，则∠DOE等于（）度．A．40 B．50 C．70 D．805．（5分）已知△ABC的顶点B，C在椭圆+y2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（）A．B．6 C．D．126．（5分）已知函数f（x）=lnx+1（x＞0），则f（x）的反函数为（）A．y=e x+1（x∈R）B．y=e x﹣1（x∈R）C．y=e x+1（x＞1）D．y=e x﹣1（x＞1）7．（5分）如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和．过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB：A′B′=（）A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：38．（5分）函数y=f（x）的图象与函数g（x）=log2x（x＞0）的图象关于原点对称，则f（x）的表达式为（）A． B．C．f（x）=﹣log2x（x＞0）D．f（x）=﹣log2（﹣x）（x＜0）9．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．10．（5分）若f（sinx）=2﹣cos2x，则f（cosx）等于（）A．2﹣sin2x B．2+sin2x C．2﹣cos2x D．2+cos2x11．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=，则=（）A．B．C．D．12．（5分）函数的最小值为（）A．190 B．171 C．90 D．45二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）在的展开式中常数项为（用数字作答）．14．（4分）已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB=1，BC=4，则边BC上的中线AD的长为．15．（4分）过点的直线l将圆（x﹣2）2+y2=4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k=．16．（4分）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2500，3000）（元）月收入段应抽出人．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）已知向量，，．（1）若，求θ；（2）求的最大值．19．（12分）某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意出取2件产品进行检验．设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．（1）用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及ξ的数学期望；（2）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝的概率．20．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC，D、E分别为BB1、AC1的中点．（I）证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线；（II）设，求二面角A1﹣AD﹣C1的大小．24．（12分）设函数f（x）=（x+1）ln（x+1）．若对所有的x≥0，都有f（x）≥ax成立，求实数a的取值范围．25．（14分）已知抛物线x2=4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M．（Ⅰ）证明为定值；（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出S=f（λ）的表达式，并求S的最小值．27．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，且方程x2﹣a n x﹣a n=0有一根为S n﹣1，n=1，2，3，…．（1）求a1，a2；（2）猜想数列{S n}的通项公式，并给出严格的证明．2006年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）已知集合M={x|x＜3}，N={x|log2x＞1}，则M∩N=（）A．∅B．{x|0＜x＜3}C．{x|1＜x＜3}D．{x|2＜x＜3}【分析】解出集合N，结合数轴求交集．【解答】解：N={x|log2x＞1}={x|x＞2}，用数轴表示可得答案D故选D．2．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）函数y=sin2x•cos2x的最小正周期是（）A．2πB．4πC．D．【分析】将函数化简为：y=Asin（ωx+φ）的形式即可得到答案．【解答】解：所以最小正周期为，故选D3．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）=（）A．B．C．i D．﹣i【分析】化简复数的分母，再分子、分母同乘分母的共轭复数，化简即可．【解答】解：故选A．4．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）如图，PA、PB、DE分别与⊙O相切，若∠P=40°，则∠DOE等于（）度．A．40 B．50 C．70 D．80【分析】连接OA、OB、OP，由切线的性质得∠AOB=140°，再由切线长定理求得∠DOE的度数．【解答】解：连接OA、OB、OP，∵∠P=40°，∴∠AOB=140°，∵PA、PB、DE分别与⊙O相切，∴∠AOD=∠POD，∠BOE=∠POE，∴∠DOE=∠AOB=×140°=70°．故选C．5．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）已知△ABC的顶点B，C在椭圆+y2=1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（）A．B．6 C．D．12【分析】由椭圆的定义：椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a，可得△ABC的周长．【解答】解：由椭圆的定义：椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a，可得△ABC的周长为4a=，故选C6．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）已知函数f（x）=lnx+1（x＞0），则f（x）的反函数为（）A．y=e x+1（x∈R）B．y=e x﹣1（x∈R）C．y=e x+1（x＞1）D．y=e x﹣1（x＞1）【分析】本题考查反函数的概念、求反函数的方法、指数式与对数式的互化，求函数的值域；将y=lnx+1看做方程解出x，然后由原函数的值域确定反函数的定义域即可．【解答】解：由y=lnx+1解得x=e y﹣1，即：y=e x﹣1∵x＞0，∴y∈R所以函数f（x）=lnx+1（x＞0）反函数为y=e x﹣1（x∈R）故选B7．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和．过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB：A′B′=（）A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：3【分析】设AB的长度为a用a表示出A'B'的长度，即可得到两线段的比值．【解答】解：连接AB'和A'B，设AB=a，可得AB与平面α所成的角为，在Rt△BAB'中有AB'=，同理可得AB与平面β所成的角为，所以，因此在Rt△AA'B'中A'B'=，所以AB：A'B'=，故选A．8．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）函数y=f（x）的图象与函数g（x）=log2x（x＞0）的图象关于原点对称，则f（x）的表达式为（）A． B．C．f（x）=﹣log2x（x＞0）D．f（x）=﹣log2（﹣x）（x＜0）【分析】先设函数f（x）上的点为（x，y），根据（x，y）关于原点的对称点为（﹣x，﹣y）且函数y=f（x）的图象与函数g（x）=log2x（x＞0）的图象关于原点对称，得到x与y的关系式，即得答案．【解答】解：设（x，y）在函数f（x）的图象上∵（x，y）关于原点的对称点为（﹣x，﹣y），所以（﹣x，﹣y）在函数g（x）上∴﹣y=log2（﹣x）⇒f（x）=﹣log2（﹣x）（x＜0）故选D．9．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【分析】由题意设出双曲线的方程，得到它的一条渐近线方程y=x即y=x，由此可得b：a=4：3，结合双曲线的平方关系可得c与a的比值，求出该双曲线的离心率．【解答】解：∵双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，∴设双曲线的方程为，（a＞0，b＞0）由此可得双曲线的渐近线方程为y=±x，结合题意一条渐近线方程为y=x，得=，设b=4t，a=3t，则c==5t（t＞0）∴该双曲线的离心率是e==．故选A．10．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）若f（sinx）=2﹣cos2x，则f（cosx）等于（）A．2﹣sin2x B．2+sin2x C．2﹣cos2x D．2+cos2x【分析】本题考查的知识点是函数解析式的求法，根据已知中f（sinx）=2﹣cos2x，结合倍角公式对解析式进行凑配，不难得到函数f（x）的解析式，然后将cosx 代入，并化简即可得到答案．【解答】解：∵f（sinx）=2﹣（1﹣2sin2x）=1+2sin2x，∴f（x）=1+2x2，（﹣1≤x≤1）∴f（cosx）=1+2cos2x=2+cos2x．故选D11．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=，则=（）A．B．C．D．【分析】根据等差数列的前n项和公式，用a1和d分别表示出s3与s6，代入中，整理得a1=2d，再代入中化简求值即可．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由等差数列的求和公式可得且d≠0，∴，故选A．12．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）函数的最小值为（）A．190 B．171 C．90 D．45【分析】利用绝对值的几何意义求解或者绝对值不等式的性质求解．【解答】解法一：f（x）==|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣19|表示数轴上一点到1，2，3，…，19的距离之和，可知x在1﹣19最中间时f（x）取最小值．即x=10时f（x）有最小值90，故选C．解法二：|x﹣1|+|x﹣19|≥18，当1≤x≤19时取等号；|x﹣2|+|x﹣18|≥16，当2≤x≤18时取等号；|x﹣3|+|x﹣17|≥14，当3≤x≤17时取等号；…|x﹣9|+|x﹣11|≥2，当9≤x≤11时取等号；|x﹣10|≥0，当x=10时取等号；将上述所有不等式累加得|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣19|≥18+16+14+…+2+0=90（当且仅当x=10时取得最小值）故选C．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）（2006•全国卷Ⅱ）在的展开式中常数项为45（用数字作答）．【分析】利用二项式的通项公式（让次数为0，求出r）就可求出答案．【解答】解：要求常数项，即40﹣5r=0，可得r=8代入通项公式可得T r=C108=C102=45+1故答案为：45．14．（4分）（2006•全国卷Ⅱ）已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB=1，BC=4，则边BC上的中线AD的长为．【分析】先根据三个内角A、B、C成等差数列和三角形内角和为π可求得B的值，进而利用AD为边BC上的中线求得BD，最后在△ABD中利用余弦定理求得AD．【解答】解：∵△ABC的三个内角A、B、C成等差数列∴A+C=2B∵A+B+C=π∴∵AD为边BC上的中线∴BD=2，由余弦定理定理可得故答案为：15．（4分）（2006•全国卷Ⅱ）过点的直线l将圆（x﹣2）2+y2=4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k=．【分析】本题考查的是直线垂直时斜率之间的关系，及直线与圆的相关性质，要处理本题我们先要画出满足条件的图形，数形结合容易得到符合题目中的条件的数理关系，由劣弧所对的圆心角最小弦长最短，及过圆内一点最短的弦与过该点的直径垂直，易得到解题思路．【解答】解：如图示，由图形可知：点A在圆（x﹣2）2+y2=4的内部，圆心为O（2，0）要使得劣弧所对的圆心角最小，只能是直线l⊥OA，所以．16．（4分）（2006•全国卷Ⅱ）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2500，3000）（元）月收入段应抽出25人．【分析】直方图中小矩形的面积表示频率，先计算出[2500，3000）内的频率，再计算所需抽取人数即可．【解答】解：由直方图可得[2500，3000）（元）月收入段共有10000×0.0005×500=2500人按分层抽样应抽出人故答案为：25三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）（2006•全国卷Ⅱ）已知向量，，．（1）若，求θ；（2）求的最大值．【分析】（1）利用向量垂直的充要条件列出方程，利用三角函数的商数关系求出正切，求出角．（2）利用向量模的平方等于向量的平方，利用三角函数的平方关系及公式，化简，利用三角函数的有界性求出范围．【解答】解：（1）因为，所以得又，所以θ=（2）因为=所以当θ=时，的最大值为5+4=9故的最大值为319．（12分）（2006•全国卷Ⅱ）某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意出取2件产品进行检验．设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．（1）用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及ξ的数学期望；（2）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝的概率．【分析】（1）由取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品可知变量ξ的取值，结合变量对应的事件做出这四个事件发生的概率，写出分布列和期望．（2）由上一问做出的分布列可以知道，P（ξ=2）=，P（ξ=3）=，这两个事件是互斥的，根据互斥事件的概率公式得到结果．【解答】解（1）由题意知抽检的6件产品中二等品的件数ξ=0，1，2，3==，∴ξ的分布列为ξ0123P∴ξ的数学期望E（ξ）=（2）∵P（ξ=2）=，P（ξ=3）=，这两个事件是互斥的∴P（ξ≥2）=20．（12分）（2006•全国卷Ⅱ）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC，D、E分别为BB1、AC1的中点．（I）证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线；（II）设，求二面角A1﹣AD﹣C1的大小．【分析】（Ⅰ）设O为AC中点，连接EO，BO，欲证ED为异面直线AC1与BB1的公垂线，只需证明ED与直线AC1与BB1都垂直且相交，根据线面垂直的性质可知ED⊥CC1，而ED⊥BB1，即可证得；（Ⅱ）连接A1E，作EF⊥AD，垂足为F，连接A1F，根据二面角的平面角定义可知∠A1FE为二面角A1﹣AD﹣C1的平面角，在三角形A1FE中求出此角即可．【解答】解：（Ⅰ）设O为AC中点，连接EO，BO，则EO C1C，又C1C B1B，所以EO DB，EOBD为平行四边形，ED∥OB．（2分）∵AB=BC，∴BO⊥AC，又平面ABC⊥平面ACC1A1，BOÌ面ABC，故BO⊥平面ACC1A1，∴ED⊥平面ACC1A1，ED⊥AC1，ED⊥CC1，∴ED⊥BB1，ED为异面直线AC1与BB1的公垂线．（6分）（Ⅱ）连接A1E，由AA1=AC=AB可知，A1ACC1为正方形，∴A1E⊥AC1，又由ED⊥平面ACC1A1和EDÌ平面ADC1知平面ADC1⊥平面A1ACC1，∴A1E⊥平面ADC1．作EF⊥AD，垂足为F，连接A1F，则A1F⊥AD，∠A1FE为二面角A1﹣AD﹣C1的平面角．不妨设AA1=2，则AC=2，AB=，ED=OB=1，EF==，tan∠A1FE=，∴∠A1FE=60°．所以二面角A1﹣AD﹣C1为60°．（12分）24．（12分）（2006•全国卷Ⅱ）设函数f（x）=（x+1）ln（x+1）．若对所有的x ≥0，都有f（x）≥ax成立，求实数a的取值范围．【分析】令g（x）=（x+1）ln（x+1）﹣ax对g（x），求导得g'（x）=ln（x+1）+1﹣a，令g'（x）=0⇒x=e a﹣1﹣1，当a≤1时，对所有的x＞0都有g'（x）＞0，所以g（x）在[0，+∞）上为单调增函数，又g（0）=0，所以对x≥0时有g（x）≥g（0），即当a≤1时都有f（x）≥ax，所以a≤1成立，当a＞1时，对于0＜x＜e a﹣1﹣1时，g'（x）＜0，所以g （x）在（0，e a﹣1﹣1）上是减函数，又g（0）=0，所以对于0＜x＜e a﹣1﹣1有g （x）＜g（0），即f（x）＜ax，所以当a＞1时f（x）≥ax不一定成立综上所述即可得出a的取值范围．【解答】解法一：令g（x）=（x+1）ln（x+1）﹣ax，对函数g（x）求导数：g′（x）=ln（x+1）+1﹣a令g′（x）=0，解得x=e a﹣1﹣1，（i）当a≤1时，对所有x＞0，g′（x）＞0，所以g（x）在[0，+∞）上是增函数，又g（0）=0，所以对x≥0，都有g（x）≥g（0），即当a≤1时，对于所有x≥0，都有f（x）≥ax．（ii）当a＞1时，对于0＜x＜e a﹣1﹣1，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，e a﹣1﹣1）是减函数，又g（0）=0，所以对0＜x＜e a﹣1﹣1，都有g（x）＜g（0），即当a＞1时，不是对所有的x≥0，都有f（x）≥ax成立．综上，a的取值范围是（﹣∞，1]．解法二：令g（x）=（x+1）ln（x+1）﹣ax，于是不等式f（x）≥ax成立即为g（x）≥g（0）成立．对函数g（x）求导数：g′（x）=ln（x+1）+1﹣a令g′（x）=0，解得x=e a﹣1﹣1，当x＞e a﹣1﹣1时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，当﹣1＜x＜e a﹣1﹣1，g′（x）＜0，g（x）为减函数，所以要对所有x≥0都有g（x）≥g（0）充要条件为e a﹣1﹣1≤0．由此得a≤1，即a的取值范围是（﹣∞，1]．25．（14分）（2006•全国卷Ⅱ）已知抛物线x2=4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M．（Ⅰ）证明为定值；（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出S=f（λ）的表达式，并求S的最小值．【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x o，y o），根据抛物线方程可得焦点坐标和准线方程，设直线方程与抛物线方程联立消去y，根据判别式大于0求得x1+x2和x1x2，根据曲线4y=x2上任意一点斜率为y′=，可得切线AM和BM的方程，联立方程求得交点坐标，求得和，进而可求得•的结果为0，进而判断出AB⊥FM．（2）利用（1）的结论，根据x1+x2的关系式求得k和λ的关系式，进而求得弦长AB，可表示出△ABM面积．最后根据均值不等式求得S的范围，得到最小值．【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x o，y o），焦点F（0，1），准线方程为y=﹣1，显然AB斜率存在且过F（0，1）设其直线方程为y=kx+1，联立4y=x2消去y得：x2﹣4kx﹣4=0，判别式△=16（k2+1）＞0．x1+x2=4k，x1x2=﹣4于是曲线4y=x2上任意一点斜率为y′=，则易得切线AM，BM方程分别为y=（）x1（x﹣x1）+y1，y=（）x2（x﹣x2）+y2，其中4y1=x12，4y2=x22，联立方程易解得交点M坐标，x o==2k，y o==﹣1，即M（，﹣1）从而，=（，﹣2），（x2﹣x1，y2﹣y1）•=（x1+x2）（x2﹣x1）﹣2（y2﹣y1）=（x22﹣x12）﹣2[（x22﹣x12）]=0，（定值）命题得证．这就说明AB⊥FM．（Ⅱ）由（Ⅰ）知在△ABM中，FM⊥AB，因而S=|AB||FM|．∵，∴（﹣x1，1﹣y1）=λ（x2，y2﹣1），即，而4y1=x12，4y2=x22，则x22=，x12=4λ，|FM|====．因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y=﹣1的距离，所以|AB|=|AF|+|BF|=y1+y2+2=+2=λ++2=（）2．于是S=|AB||FM|=（）3，由≥2知S≥4，且当λ=1时，S取得最小值4．27．（12分）（2006•全国卷Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n，且方程x2﹣a n x﹣a n=0有一根为S n﹣1，n=1，2，3，…．（1）求a1，a2；（2）猜想数列{S n}的通项公式，并给出严格的证明．【分析】（1）验证当n=1时，x2﹣a1x﹣a1=0有一根为a1根据根的定义，可求得a1，同理，当n=2时，也可求得a2；（2）用数学归纳法证明数列问题时分为两个步骤，第一步，先证明当当n=1时，已知结论成立，第二步，先假设n=k时结论成立，利用此假设结合题设条件证明当n=k+1时，结论也成立即可．【解答】解：（1）当n=1时，x2﹣a1x﹣a1=0有一根为S1﹣1=a1﹣1，于是（a1﹣1）2﹣a1（a1﹣1）﹣a1=0，解得a1=．当n=2时，x2﹣a2x﹣a2=0有一根为S2﹣1=a2﹣，于是（a2﹣）2﹣a2（a2﹣）﹣a2=0，解得a2=．（2）由题设（S n﹣1）2﹣a n（S n﹣1）﹣a n=0，S n2﹣2S n+1﹣a n S n=0．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，代入上式得S nS n﹣2S n+1=0．①﹣1由（1）得S1=a1=，S2=a1+a2=+=．由①可得S3=．由此猜想S n=，n=1，2，3，．下面用数学归纳法证明这个结论．（i）n=1时已知结论成立．（ii）假设n=k时结论成立，即S k=，当n=k+1时，由①得S k+1=，即S k+1=，故n=k+1时结论也成立．综上，由（i）、（ii）可知S n=对所有正整数n都成立．。

2006年高考安徽数学试题分析２００６年安徽高考改革已经进入了一个崭新的阶段，整体发生了前所未有的变化，首次自行编制并颁布《考试说明》。

继２００５年英语自主命题后，２００６年语文、数学、英语自主命题，首次计算机网上阅卷。

这些变化，曾经使２００６年参加高考的４６万考生和家长、广大高三教师以及社会方方面面关心高考的各界人士高度关注。

现在２００６年安徽高考已经尘埃落定。

就高考而言，全省各地“几家欢乐几家愁”。

语文、数学、英语自主命题，成功得失众说纷纭。

下面我将通过对安徽数学试卷的数据分析，分析安徽高考数学试题的特点。

通过回顾备考２００６年高考的风雨历程，审视２００６年高三复习备考策略的成败得失，为２００７年高三复习、高考备考积累经验。

一、统计数据分析一题型结构２００６年安徽高考数学卷从题型结构来看，基本上保持了《高考说明》和《考试大纲》的要求。

即选择题、填空题、解答题三种题型结构与２００５年全国卷相同。

题量、分值也保持不变。

其难度和区分度的要求达到或基本达到２００５年全国卷的程度。

二理科成绩呈正态分布２００５年安徽理科考生的成绩呈正态分布，峰值在６５～９５之间，而且不高。

说明考生的分布比较均匀，考试对考生的区分度较好，中等难度（ｐ＝）值在０．４～０．７之间）的试卷比例合适。

但是容易题（ｐ值为０．７以上）比例较低，难度题（ｐ值为０．３以下）比例较高。

２００６安徽数学试题有较强的区分度。

现在我们还没有看见２００６年全省数学成绩的有关统计数据，现以安庆市为例进行分析：理科考生的成绩仍然呈正态分布，从考生分布的直方图可以看出，考分峰值７３．７１～１０３．７１，容易题比例较２００５年全国数学试卷有较大比例的提高（即ｐ值为０．７以上的题目）。

选择题１～１０题都不难，给后面综合题的解答赢得了宝贵的时间，这是２００６年数学考分有较大提高的一个重要原因。

从数学高考成绩统计数据可以看出，试卷的信度较好，说明高考测试分数偏离真分数的幅度较小，测量误差得到较好的控制，分数与考生的数学能力接近，成绩真实可信。

2009年全国高考理科数学试题及答案（全国卷Ⅱ）一、选择题： 1. 10i2-i=A. -2+4iB. -2-4iC. 2+4iD. 2-4i解：原式10i(2+i)24(2-i)(2+i)i ==-+.故选A.2. 设集合{}1|3,|04x A x x B x x -⎧⎫=>=<⎨⎬-⎩⎭，则A B =A. ∅B. ()3,4C.()2,1-D. ()4.+∞解：{}{}1|0|(1)(4)0|144x B x x x x x x x -⎧⎫=<=--<=<<⎨⎬-⎩⎭.(3,4)A B ∴=.故选B. 3. 已知ABC ∆中，12cot 5A =-， 则cos A = A. 1213 B.513 C.513-D. 1213-解：已知ABC ∆中，12cot 5A =-，(,)2A ππ∴∈.12cos 13A ===-故选D. 4.曲线21xy x =-在点()1,1处的切线方程为A. 20x y --=B. 20x y +-=C.450x y +-=D. 450x y --=解：111222121||[]|1(21)(21)x x x x x y x x ===--'==-=---, 故切线方程为1(1)y x -=--,即20x y +-= 故选B.5. 已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，E 为1AA 中点，则异面直线BE 与1CD 所成的角的余弦值为A.1010B.15C.31010D.35解：令1AB =则12AA =,连1A B 1C D ∥1A B ∴异面直线BE 与1CD 所成的角即1A B与BE 所成的角。

在1A BE ∆中由余弦定理易得1310cos 10A BE ∠=。

故选C 6. 已知向量()2,1,10,||52a a b a b =⋅=+=，则||b =A.5B.10 C.5 D. 25解：222250||||2||520||a b a a b b b =+=++=++||5b ∴=。

(3)已知0＜a＜1，log m＜log n＜0，则
(A)1＜n＜m (B) 1＜m＜n (C)m＜n＜1 (D) n＜m＜1
(4)在平面直角坐标系中，不等式组 表示的平面区域的面积是
(A) (B)4 (C) (D)2
（5）双曲线 上的点到左准线的距离是到左焦点距离的 ，则m=（）
(A) (B) (C) (D)
(A) (B) (C) (D)
【考点分析】本题考查球面距的计算，基础题。
解析：如图，
∴
∴ ，∴点E、F在该球面上的球面距离为
故选择B。
【名师点拔】两点球面距的计算是立体几何的一个难点，其通法的关键是求出两点的球面角，而求球面角又需用余弦定理。
（10）函数 满足 ，则这样的函数个数共有D
(A)1个(B)4个(C)8个(D)10个
【名师点拔】
（8）若多项式 D
(A)9 (B)10 (C)－9 (D)－10
【考点分析】本题考查二项式展开式的特殊值法，基础题。
解析：令 ，得 ，
令 ，得
（9）如图，O是半径为l的球心，点A、B、C在球面上，OA、OB、OC两两垂直，E、F分别是大圆弧AB与AC的中点，则点E、F在该球面上的球面距离是B
(A) (B)4 (C) (D)2
【考点分析】本题考查简单的线性规划的可行域、三角形的面积。
解析：由题知可行域为 ，
，故选择B。
【名师点拔】
（5）若双曲线 上的点到左准线的距离是到左焦点距离的 ，则 C
(A) (B) (C) (D)
【考点分析】本题考查双曲线的第二定义，基础题。
解析：由题离心率 ，由双曲线的第二定义知
解析： ，故选择C。
【名师点拔】本题是求有关三角函数的值域的一种通法，即将函数化为

2006年全国高考数学试题Ⅲ的评析一、2005年高考全国卷数学试题的特点在《2005年高考数学大纲》中明确指出：数学科的考试将会按照“考查基础知识的同时，注重考查能力”的原则，确立以能力立意命题的指导思想，据此，教育部考试中心命制的全国卷1、全国卷2、全国卷3三套试卷，分文、理科共六份试题．试题的设计体现了数学学科的特点，突出了知识的基础性，注意了在知识网络交汇点设题，着力反映了概念性、思辩性、量化的灵活性、解法的多样性及应用的广泛性，在数学思想方法及数学理性思维方面作了比较深入的考查。

试题“温和平缓”，既似曾相识，又推陈出新；既符合考生实际，又符合高考对选拔的要求。

相比之下，“全国卷1”比“全国卷2”和“全国卷3”要难些，但没有使学生望而生畏的题目，新题不难，难题不怪，“纯净淡雅”，平易近人。

既全面的考查了基础知识，又突出了对重点内容的考查；既关注了考查数学的基本方法和技巧，又注重了对能力的考查和思维能力的提升。

所有这些，对中学数学都具有很好的导向作用。

二、全国高考数学试题Ⅲ的评析2005年高考甘肃采用的高考数学试题模版是全国卷Ⅲ，试卷题量与2004年相同。

2005年高考数学试卷总体呈现平稳，没有出现难题、偏题和怪题。

命题凸现了高中数学的主干知识，以“死题”考知识，用“活题”考能力，加强了数学运算能力的考查。

文理科试卷的差异较往年缩小了。

从定量上看，此套试卷继续保持2004年在全国卷Ⅲ在文理差异上的风格，即减少相同题，减少姊妹题增加不同题，但不同题的数量较2004年有所减少，其中，选择题相异的有１道，填空题差异有２道，（而且这３道试题都是因为文理考试知识的不同要求命制的）解答题差异的有2.5道。

总体的感觉是：数学试题整体不难，应该说成绩优秀的学生得高分并不困难。

1、选择题：平淡中考知识，创新中考能力选择题都是容易题和中等题，大多数题属于“一捅就破”的题型，主要考查了数学的基本概念、基本知识和基本的计算、解题方法。

2008年普通高等学校招生全国统一考试（2全国Ⅱ卷）数学(理)试题一、选择题 ( 本大题 共 12 题, 共计 60 分)1．设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n M N =∈-=Z 则，≤≤（ ）A ．{}01，B ．{}101-，，C ．{}012，，D ．{}1012-，，，2．设a b ∈R ，且0b ≠，若复数3()a bi +是实数，则（ ） A ．223b a = B ．223a b =C ．229b a =D ．229a b =3．函数1()f x x x=-的图像关于（ ） A ．y 轴对称 B ． 直线x y -=对称C ． 坐标原点对称D ． 直线x y =对称4．若13(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===，，，，，则（ ） A ．a <b <cB ．c <a <bC ． b <a <cD ． b <c <a5．设变量x y ，满足约束条件：222y x x y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩，，．≥≤≥，则y x z 3-=的最小值（ ）A ．2-B ．4-C ．6-D ．8-6．从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为（ ） A ．929B ．1029C ．1929D ．20297．64(1)(1)x x -+的展开式中x 的系数是（ ） A ．4- B ．3-C ．3D ．48．若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．29．设1a >，则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是（ ） A ．(22)，B ．(25)，C ．(25)，D ．(25)，10．已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE SD ，所成的角的余弦值为（ ）A ．13B ．23C ．33D ．2311．等腰三角形两腰所在直线的方程分别为20x y +-=与740x y --=，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（ ） A ．3B ．2C ．13-D ．12-12．已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（ ） A ．1B ．2C ．3D ．2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13．设向量(12)(23)==，，，a b ，若向量λ+a b 与向量(47)=--，c 共线，则=λ ．14．设曲线ax y e =在点(01)，处的切线与直线210x y ++=垂直，则a = ．15．已知F 是抛物线24C y x =：的焦点，过F 且斜率为1的直线交C 于A B ，两点．设FA FB >，则FA 与FB 的比值等于 ．16．平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件： 充要条件① ； 充要条件② ． （写出你认为正确的两个充要条件）三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分） 在ABC △中，5cos 13B =-，4cos 5C =． （Ⅰ）求sin A 的值； （Ⅱ）设ABC △的面积332ABC S =△，求BC 的长．18．（本小题满分12分）购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a 元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金．假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为41010.999-． （Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率p ；（Ⅱ）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）．19．（本小题满分12分）如图，正四棱柱1111ABCD A BC D -中，124AA AB ==，点E 在1CC 上且EC E C 31=． （Ⅰ）证明：1AC ⊥平面BED ； （Ⅱ）求二面角1A DE B --的大小．EA 1B 1C 1D 120．（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知1a a =，13n n n a S +=+，*n ∈N ． （Ⅰ）设3n n n b S =-，求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）若1n n a a +≥，*n ∈N ，求a 的取值范围．21．（本小题满分12分）设椭圆中心在坐标原点，(20)(01)A B ，，，是它的两个顶点，直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点． （Ⅰ）若6ED DF =，求k 的值； （Ⅱ）求四边形AEBF 面积的最大值．22．（本小题满分12分） 设函数sin ()2cos xf x x=+．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）如果对任何0x ≥，都有()f x ax ≤，求a 的取值范围．2008年普通高等学校招生全国统一考试（2全国Ⅱ卷）数学(理)试题答案解析:一、选择题1．答案：B解析:依题M={-2,-1,0,1},N={-1,0,1,2,3},从而M∩N={-1,0,1},故选B. 2．答案：A解析: (a+bi)3=a3+3a2·bi+3a(bi)2+(bi)3=a3+3a2bi-3ab2-b3i=(a3-3ab2)+(3a2b-b3)i为实数3a2b-b3=0,又∵b≠0,∴3a2-b2=0.∴b2=3a2.选A.3．答案：C解析:∵f(x)=f(-x),∴f(x)= -x是奇函数.∴f(x)的图象关于坐标原点对称.4．答案：C解析:a=lnx,b=2lnx=lnx2,c=ln3x.∵x∈(e-1,1),∴x＞x2.故a＞b,排除A、B.∵e-1＜x＜1,∴-1＜lnx＜ln1=0.∴lnx＜ln3x.∴a＜c.故b＜a＜c,选C.5．答案：D解析:作出可行域.令z=0,则l0:x-3y=0,平移l在点M(-2,2)处z取到最小,最小值为-8.6．答案：D解析:排除法即可.P=1-=1-. 7．答案：B解析:化简原式=［(1-)4(1+)4］·(1-)2 =［(1-)(1+)］4·(1-)2=(1-x)4·(1-)2=(1-4x+6x2-4x3+x4)(1-2+x).故系数为1-4=-3,选B.8．答案：B解析:依题可知|MN|=|sina-cosa|=|sin(a-)|,故|MN|max=.9．答案：B解析:依题可知离心率e===,∵a＞1,∴0＜＜1.∴(+1)2∈(1,4).∴e∈(2,5).10．答案：C解析:作图.连结EO,则所求角为∠AEO或其补角.(∵EO∥SD)设侧棱长为a,则OE=SD=a,AO=a,AE= a.由余弦定理得cos∠AEO==. 11．答案：A解析:依题设底边所在直线斜率为k,则底边方程为l:y=kx,l 1:x+y-2=0,k1=-1,l 2:x-7y-4=0,k2=.由等腰三角形特征有:直线l到l1所成角的正切与直线l2到l所成角的正切相等,从而,得k=3,故选A.12．已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（）A．1 B．2C．3D．2答案：C解析:依题意有示意图截面示意图为其中AH为公共弦长的一半,OA为球半径,∴OH=.故选C.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．答案：2解析:λa+b=λ(1,2)+(2,3)=(λ+2,2λ+3),∵λa+b与c共线,∴(λ+2)·(-7)-(2λ+3)·(-4)=0.解出λ=2.14．答案：2解析:y=e ax,y′=e ax·a,y′|x=0=e a·0·a=a.又x+2y+1=0的斜率为-,∴由题意a·(-)=-1.∴a=2.15．答案：解析:lAB:y-0=x-1,即y=x-1,联立x a =3+2,xb=3-2,∴=3+2.16．解析：两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形．注：上面给出了四个充要条件．如果考生写出其他正确答案，同样给分．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：（Ⅰ）由5cos13B=-，得12sin13B=，由4cos5C=，得3sin5C=．所以33sin sin()sin cos cos sin65A B C B C B C=+=+=． ······························ 5分（Ⅱ）由332ABCS=△得133sin 22AB AC A ⨯⨯⨯=， 由（Ⅰ）知33sin 65A =，故 65AB AC ⨯=， ································································· 8分又 s i n 20s i n 13A B BA C AB C⨯==， 故 2206513AB =，132AB =． 所以 s i n 11s i n 2A B A BC C ⨯==． ······················································ 10分18．解：各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是p ，记投保的10 000人中出险的人数为ξ， 则4~(10)B p ξ，．（Ⅰ）记A 表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金，则A 发生当且仅当0ξ=， ··········································································· 2分()1()P A P A =-1(0)P ξ=-=4101(1)p =--， 又410()10.999P A =-，故0.001p =． ················································································· 5分 （Ⅱ）该险种总收入为10000a 元，支出是赔偿金总额与成本的和． 支出 100005000ξ+， 盈利 10000(1000050a ηξ=-+，盈利的期望为 100001000050E aE ηξ=--， ································· 9分由43~(1010)B ξ-，知，31000010E ξ-=⨯，4441010510E a E ηξ=--⨯4443410101010510a -=-⨯⨯-⨯．0E η≥4441010105100a ⇔-⨯-⨯≥1050a ⇔--≥ 15a ⇔≥（元）．故每位投保人应交纳的最低保费为15元． ·········································· 12分 19．解法一：依题设知2AB =，1CE =． （Ⅰ）连结AC 交BD 于点F ，则BD AC ⊥．由三垂线定理知，1BD AC ⊥． ··························································· 3分 在平面1ACA 内，连结EF 交1AC 于点G ，由于122AA ACFC CE==， 故1Rt Rt A AC FCE △∽△，1AAC CFE ∠=∠， CFE ∠与1FCA ∠互余．于是1AC EF ⊥． 1AC 与平面BED 内两条相交直线BD EF ，都垂直， 所以1AC ⊥平面BED ． ····································································· 6分 （Ⅱ）作GH DE ⊥，垂足为H ，连结1A H ．由三垂线定理知1A H DE ⊥， 故1A HG ∠是二面角1A DE B --的平面角． ············································ 8分223EF CF CE =+=， 23CE CF CG EF ⨯==，2233EG CE CG =-=． 13EG EF =，12315EF FD GH DE ⨯=⨯=． 又221126AC AA AC =+=，11563AG AC CG =-=． AB CDEA 1B 1C 1D 1 FH G11tan 55A GA HG HG∠==． 所以二面角1A DE B --的大小为arctan55． ······································ 12分 解法二：以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴， 建立如图所示直角坐标系D xyz -．依题设，1(220)(020)(021)(204)B C E A ，，，，，，，，，，，．(021)(220)DE DB ==，，，，，，11(224)(204)AC DA =--=，，，，，． ··························································· 3分 （Ⅰ）因为10AC DB =，10AC DE =， 故1AC BD ⊥，1AC DE ⊥． 又DBDE D =，所以1AC ⊥平面DBE ． ····································································· 6分 （Ⅱ）设向量()x y z =，，n 是平面1DA E 的法向量，则DE ⊥n ，1DA ⊥n ． 故20y z +=，240x z +=．令1y =，则2z =-，4x =，(412)=-，，n ．············································ 9分 1AC ，n 等于二面角1A DE B --的平面角， 11114cos 42AC AC AC ==，n n n ． 所以二面角1A DE B --的大小为14arccos42． ······································ 12分 20．解：（Ⅰ）依题意，113n n n n n S S a S ++-==+，即123n n n S S +=+，由此得1132(3)n n n n S S ++-=-． ···························································· 4分ABC DEA 1B 1C 1D 1 yxz因此，所求通项公式为13(3)2n n n n b S a -=-=-，*n ∈N ．① ···················································· 6分 （Ⅱ）由①知13(3)2n n n S a -=+-，*n ∈N ， 于是，当2n ≥时，1n n n a S S -=-1123(3)23(3)2n n n n a a ---=+-⨯---⨯ 1223(3)2n n a --=⨯+-，12143(3)2n n n n a a a --+-=⨯+-22321232n n a --⎡⎤⎛⎫=∙+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当2n ≥时，21312302n n n a a a -+⎛⎫⇔∙+- ⎪⎝⎭≥≥9a ⇔-≥．又2113a a a =+>．综上，所求的a 的取值范围是[)9-+∞，．12分21．（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为2214x y +=，直线AB EF ，的方程分别为22x y +=，(0)y kx k =>． ···························· 2分 如图，设001122()()()D x kx E x kx F x kx ，，，，，，其中12x x <， 且12x x ，满足方程22(14)4k x +=， 故212214x x k =-=+．①由6ED DF =知01206()x x x x -=-，得021221510(6)77714x x x x k=+==+；DF B yxAOE由D 在AB 上知0022x kx +=，得0212x k=+． 所以221012714k k=++， 化简得2242560k k -+=， 解得23k =或38k =． ········································································· 6分 （Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点E F ，到AB 的距离分别为21112222(1214)55(14)x kx k k h k +-+++==+，22222222(1214)55(14)x kx k k h k +-+-+==+． ··············································· 9分又2215AB =+=，所以四边形AEBF 的面积为121()2S AB h h =+ 214(12)525(14)k k +=+22(12)14k k+=+22144214k kk ++=+ 22≤，当21k =，即当12k =时，上式取等号．所以S 的最大值为22． ············ 12分 解法二：由题设，1BO =，2AO =．设11y kx =，22y kx =，由①得20x >，210y y =->， 故四边形AEBF 的面积为BEF AEF S S S =+△△222x y =+ ······················································································· 9分 222(2)x y =+22222244x y x y =++ 22222(4)x y +≤22=，当222x y =时，上式取等号．所以S 的最大值为22． 12分 22．解：（Ⅰ）22(2cos )cos sin (sin )2cos 1()(2cos )(2cos )x x x x x f x x x +--+'==++． ············ 2分 当2π2π2π2π33k x k -<<+（k ∈Z ）时，1cos 2x >-，即()0f x '>； 当2π4π2π2π33k x k +<<+（k ∈Z ）时，1cos 2x <-，即()0f x '<． 因此()f x 在每一个区间2π2π2π2π33k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，（k ∈Z ）是增函数，()f x 在每一个区间2π4π2π2π33k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，（k ∈Z ）是减函数． ··················· 6分 （Ⅱ）令()()g x ax f x =-，则22cos 1()(2cos )x g x a x +'=-+ 2232cos (2cos )a x x =-+++211132cos 33a x ⎛⎫=-+- ⎪+⎝⎭．故当13a ≥时，()0g x '≥．又(0)0g =，所以当0x ≥时，()(0)0g x g =≥，即()f x ax ≤． ················ 9分 当103a <<时，令()sin 3h x x ax =-，则()cos 3h x x a '=-． 故当[)0arccos3x a ∈，时，()0h x '>． 因此()h x 在[)0arccos3a ，上单调增加．故当(0arccos3)x a ∈，时，()(0)0h x h >=，即sin3x ax>．于是，当(0arccos3)x a∈，时，sin sin()2cos3x xf x axx=>>+．当0a≤时，有π1π222f a⎛⎫=>∙⎪⎝⎭≥．因此，a的取值范围是13⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，．12分。

白炽灯 滤光片 单缝 双缝 遮光筒 屏
（2）现要测量某一电压表的内阻。给定的器材有：待测电压表（量程 2V，内阻约为4kΩ）；电流表（量程1.2mA，内阻约500Ω）；直流电 源E（电动势约2.4V，内阻不计）；固定电阻3个：R1=4000Ω， R2=10000Ω，R3=15000Ω；电键S及导线若干 mA 要求测量时两电表指针偏转均超过其量程的一半。 i.试从3个固定电阻中选用1个，与其它器材一起组成测量电路，并在虚 线框内画出测量电路的原理图。（要求电路中各器材用题中给定的符号 标出。） ii.电路接通后，若电压表读数为U，电流表读数为I，则电压表内阻RV × a c b d R
第Ⅱ卷（共10题，共174分）
注意事项： 第Ⅱ卷用0.5mm的黑色签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上。答在 试题卷上无效。 22.（17分） （1）利用图中装置研究双缝干涉现象时，有下面几种说法： A.将屏移近双缝，干涉条纹间距变窄 B.将滤光片由蓝色的换成红色的，干涉条纹间距变宽 C.将单缝向双缝移动一小段距离后，干涉条纹间距变宽 D.换一个两缝之间距离较大的双缝，干涉条纹间距变窄 E.去掉滤光片后，干涉现象消失 其中正确的是：_______________。
A.无水螈的池塘中，锄足蝌蚪数量为J型增长
B.三种蝌蚪之间为竞争关系 C.水螈更喜捕食锄足蟾蝌蚪 D.水螈改变了三种蝌蚪间相互作用的结果。 5.采用基因工程技术将人凝血因子基因导入山羊受精卵，培育出了转基 因羊。但是，人凝血因子只存在于该转基因羊的乳汁中。以下有关叙 述，正确的是 A.人体细胞中凝血因子基因编码区的碱基对数目，等于凝血因子氨基 酸数目的3倍 B.可用显微注射技术将含有人凝血因子基因的重组DNA分子导入羊的 受精卵 C.在该转基因羊中，人凝血因子基因存在于乳腺细胞，而不存在于其他 体细胞中 D.人凝血因子基因开始转录后，DNA连接酶以DNA分子的一条链为模 板合成mRNA 6.在常温常压下呈气态的化合物，降温使其固化得到的晶体属于 A.分子晶体 B.原子晶体 C.离子晶体 D.何种晶体无法判断 7.下列叙述正确的是 A.同一主族的元素，原子半径越大，其单质的熔点一定越高 B.同一周期元素的原子，半径越小越容易失去电子 C.同一主族的元素的氢化物，相对分子质量越大，它的沸点一定越高 D.稀有气体元素的原子序数越大，其单质的沸点一定越高 8.用NA代表阿伏加德罗常数，下列说法正确的是 A.0.5molAl与足量盐酸反应转移电子数为1NA B.标准状况下，11.2LSO3所含的分子数为0.5NA C.0.1molCH4所含的电子数为1NA D.46gNO2和N2O4的混合物含有的分子数为1NA 9.把分别盛有熔融的氯化钾、氯化镁、氯化铝的三个电解槽串联，在一 定条件下通电一段时间后，析出钾、镁、铝的物质的量之比为 A.1:2:3 B.3:2:1 C.6:3:1 D.6:3:2 10.浓度均为0.1mol·L－1的三种溶液等体积混合，充分反应后没有沉淀 的一组溶液是 A.BaCl2 NaOH NaHCO3 B.Na2CO3 MgCl2 H2SO4 C.AlCl3 NH3·H2O NaOH D.Ba(OH)2 CaCl2 Na2SO4 11.在0.1mol·L－1CH3COOH溶液中存在如下电离平衡： CH3COOHCH3COO－＋H+

2006年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题北京卷源头学子小屋本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，第 I 卷 1 至2 页,第 II 卷 3 至 9 页，共 150 分 考试时间 120 分钟 考试结束 将本试卷和答题卡一并交回 第 I 卷（选择题共 40 分） 注意事项：1． 答第 I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号 不能答在试卷上一、本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求 的一项（1）在复平面内，复数1ii+ 对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限（2）若a 与b c -都是非零向量，则“a b a c ⋅=⋅”是“()a b c ⊥-”的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（3）在 1，2，3，4,5 这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位数字之和为奇数的共有( )（A ）36 个 （B ）24 个 （C ）18 个 （D ）6 个（4）平面α的斜线 AB 交α于点 B ，过定点 A 的动直线l 与 AB 垂直，且交α于点 C ，则动 点 C 的轨迹是（A ）一条直线 （B ）一个圆（C ）一个椭圆 （D ）双曲线的一支（5）已知(31)4,1()log ,1aa x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩ 是(,)-∞+∞上的减函数，那么 a 的取值范围是（A ）（0，1） （B ）（0，13） （C ）11,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭ （D ）]1,17⎡⎢⎣（6）在下列四个函数中，满足性质：“对于区间（1，2）上的任意1x ,2x (12x x ≠ ).2121()()f x f x x x -<-恒成立”的只有（A ）1()f x x=（B ）()f x x = （C ）()2xf x = （D ）2()f x x = （7）设4710310()22222()n f n n N +=++++⋅⋅⋅+∈,则()f n 等于（A ）2(81)7n - （B ）12(81)7n +- （C ）32(81)7n +- （D ）42(81)7n +-（8）下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口 A 、B 、 C 的机动车辆数如图所示，图中 123,,x x x 分别表示该时段单位时间通过路段 AB ⋂,BC ⋂，CA ⋂的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则（A ） 123x x x >> （B ） 132x x x >> （C ）231x x x >> （D ）321x x x >>第 II 卷（共 110 分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚二、填空题：本大题共 6 小题，每小 题 5 分，共 30 分 把答 案填在题中横线上(9）22132lim 1n x x x →-++-的值等于______.(10）在72()x x的展开式中, 2x 的系数是______.（用数字作答） (11）若三点 A （2，2），B （a ，0），C （0，b ） (ab ≠0)共线，则,11a b+的值等于______ (12）在△ABC 中，若 sin A: sinB: sinC =5:7:8. 则∠B 的大小是______(13）已知点 P （x ，y ）的坐标满足条件4,1,x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩点O 为坐标原点，那么|PO |的最小值等于______,最大值等于______.（14）已知A 、B 、C 三点在球心为 O ，半径为R 的球面上，AC ⊥BC ，且 AB=R ，那么 A 、B 两点间的球面距离为______ 球心到平面 ABC 的距离为______.三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 （15）（本小题共 12 分）x 3x 2x 1C BA505530353020已知函数1)4()cos x f x xπ-=. （Ⅰ）求()f x 的定义域；（Ⅱ）设α的第四象限的角，且tan α43=-，求()f α的值（16）（本小题共 13 分）已知函数32()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极大值5，其导函数()y f x '= 的图象经过点（1，0），（2，0），如图所示，求：（Ⅰ）0x 的值； （Ⅱ）a ，b ，c 的值.(17）（本小题共 14 分）如图，在底面为平行四边形的四棱锥 P —ABCD 中，AB ⊥AC ，PA ⊥平面 ABCD ，且 PA=AB ，点 E 是 PD 的中点. （Ⅰ）求证：AC ⊥PB ；（Ⅱ）求证：PB//平面 AEC ； （Ⅲ）求二面角 E —AC —B 的大小.（18）（本小题共 13 分）某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案. 方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过.假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是 a ，b ，c ，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响. 求：（Ⅰ）分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率；（Ⅱ）试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.（说明理由）（19）（本小题共 14 分）已知点 M （－2，0），N （2，0），动点 P 满足条件|PM |－|PN |= P 的轨迹为 W.（Ⅰ）求 W 的方程；（Ⅱ）若 A ，B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA 、OB 的最小值.（20）（本小题共 14 分）在数列n a 中，若 12,a a 是正整数，且12n n n a a a --=-,n =3，4，5，…，则称n a 为“绝对差数列”.（Ⅰ）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）；（Ⅱ）若“绝对差数列”n a 中，203a =,210a =，数列{}n b 满足12n n n n b a a a ++=++ n=1，2，3，…，分虽判断当n →∞时, n a 与n b 的极限是否存在，如果存在，求出其极限值；（Ⅲ）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.2006年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案北京卷一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）（1） 答案：D 解析：1i i +111i i i （＋）＝＝－－故选D （2）答案：C解析：a b a c ⋅=⋅⇔a b a c 0••－＝⇔a b c 0•（－）＝⇔a b c ⊥（－）故选C（3） 答案：B解析：依题意，所选的三位数字有两种情况：（1）3个数字都是奇数，有33A 种方法（2）3个数字中有一个是奇数，有1333C A ，故共有33A ＋1333C A ＝24种方法，故选B（4） 答案：A解析：设l 与l '是其中的两条任意的直线，则这两条直线确定一个平面，且斜线AB 垂直这个平面，由过平面外一点有且只有一个平面与已知直线垂直可知过定点A 与AB 垂直所有直线都在这个平面内，故动点C 都在这个平面与平面α的交线上，故选A（5） 答案：C解析：：依题意，有0<a <1且3a －1<0，解得0<a <13，又当x <1时，（3a －1）x ＋4a >7a －1，当x >1时，log a x <0，所以7a －1≥0解得x ≥17故选C （6） 答案：A解析：2112121212x x 111|||||x x x x x x |x x |－－＝＝－|12x x 12∈，（，）12x x ∴>1121x x ∴<1∴1211|x x －|<|x 1－x 2|故选A （7） 答案：D解析：依题意，()f n 为首项为2，公比为8的前n ＋4项求和，根据等比数列的求和公式可得D （8） 答案：C解析：依题意，有x 1＝50＋x 3－55＝x 3－5，∴x 1<x 3，同理，x 2＝30＋x 1－20＝x 1＋10 ∴x 1<x 2，同理，x 3＝30＋x 2－35＝x 2－5∴x 3<x 2故选C二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） （9） 答案：12-解析：22132lim 1x x x x →-++-＝1x 1x 2lim x 1x 1x →-+••（）（＋）（＋）（－）＝1x 21lim x 12x →－＋＝－－ （10）答案：－14解析：73rr7rr r r2r+1772T C2C x x －－＝）（－）＝（－）令73r 22－＝得r ＝1故 2x 的系数为172C ⨯（－）＝－14（11） 答案：12解析：a 22AB ＝（－，－），C 2b 2A ＝（－，－） ，依题意，有（a －2）•（b －2）－4＝0即ab －2a －2b ＝0所以11a b +＝12（12） 答案：3π解析： sin :sin :sin 5:7:8A B C =⇔a :b :c ＝5:7:8设a ＝5k ，b ＝7k ，c ＝8k ，由余弦定理可解得B ∠的大小为3π. （13） 答案：102解析：画出可行域，如图所示：易得A （2，2），OA ＝22 B （1，3），OB ＝10 C （1，1），OC ＝2 故|OP|的最大值为10， 最小值为2. （14）答案：13Rπ32R 解析：如右图，因为AC BC ⊥，所以AB 是截面 的直径，又AB ＝R ，所以△OAB 是等边三角形，所以∠AOB ＝3π，故,A B 两点的球面距离为3R π，于是∠O 1OA ＝30︒，所以球心到平面ABC 的距离OO 1＝Rcos30︒＝32R .（15）解：（Ⅰ）由 cos 0x ≠得()2x k k Z ππ≠+∈，故()f x 在定义域为},,2x x k k Z ππ⎧≠+∈⎨⎩（Ⅱ）因为4tan 3α=-，且α是第四象限的角, 所以43sin ,cos ,55αα=-=BO 1CA故12)4()cos f πααα-=2212(2cos 2)22cos ααα-=1sin 2cos 2cos ααα-+=22cos 2sin cos cos αααα-=2(cos sin )αα=- 145=（16）（Ⅰ）0x 的值； （Ⅱ）,,a b c 的值. 解法一：（Ⅰ）由图象可知，在（－∞，1）上()0f x '>,在(1,2)上()0f x '<,在(2,)+∞上()0f x '>, 故()f x 在(,1)-∞,(2,)+∞上递增,在(1,2)上递减,因此()f x 在1x =处取得极大值,所以01x =.(Ⅱ)2()32,f x ax bx c '=++ 由(1)0,(2)0,(1)5,f f f ''===得320,1240,5,a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得2,9,12.a b c ==-= 解法二:(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)设2()(1)(2)32,f x m x x mx mx m '=--=-+12oyx又2()32,f x ax bx c '=++ 所以3,,2,32m a b m c m ==-= 323()2.32m f x x mx mx =-+由(1)5f =,即325,32m m m -+= 得6m =,所以2,9,12a b c ==-=.（17） 解法一：（Ⅰ）∵PA ⊥平面 ABCD ，∴AB 是 PB 在平面 ABCD 上的射影. 又∵AB ⊥AC ，AC ⊂平面ABCD ， ∴AC ⊥PB.（Ⅱ）连接BD ，与 AC 相交于 O ，连接 EO.∵ABCD 是平行四边形， ∴O 是 BD 的中点 又 E 是 PD 的中点 ∴EO ∥PB.又 PB ∉平面 AEC ，EO ⊂平面 AEC ， ∴PB ∥平面 AEC.（Ⅲ）如图，取AD 的中点F ，连EF ，FO ，则EF 是△PAD 的中位线，∴EF //PA 又PA ⊥平面ABCD ，∴EF ⊥平面ABCD同理FO 是△ADC 的中位线，∴FO //AB ∴FO ⊥AC 由三垂线定理可知∴∠EOF 是二面角E －AC －D 的平面角.又FO ＝12AB ＝12PA ＝EF ∴∠EOF ＝45︒而二面角E AC B --与二面角E －AC －D 互补，故所求二面角E AC B --的大小为135︒.另法：取 BC 中点 G ，连接 OG ，则点 G 的坐标为(,,0)22a b ,OG =(0,,0)2b . 又(0,,),22b bOE =-(,0,0).AC a = ,,OE AC OG AC ∴⊥⊥EOG ∴∠是二面角E AC B --的平面角cos cos ,2OE OG EOG OE OG OE OG⋅=<>==-⋅ 135O EOG ∴∠=∴二面角E-AC-B 的大小为135o .（18）解析：记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为 A ，B ，C ， 则(),(),()P A a P B b P C c === （Ⅰ）应聘者用方案一考试通过的概率1()()()()p P A B C P A B C P A B C P A B C =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅(1)(1)(1)ab c bc a ac b abc =-+-+-+ 2;ab bc ca abc =++-应聘者用方案二考试通过的概率 2111()()()333p p A B p B C p A C =⋅+⋅+⋅ 1()3ab bc ca =++.（Ⅱ）因为[,,0,1a b c ⎤∈⎦,所以122()23p p ab bc ca abc -=++-]2(1)(1)(1)0,3ab c bc a ca b ⎡=-+-+-≥⎣ 故12p p ≥,即采用第一种方案,该应聘者考试通过的概率较大.（19） 解法一：（Ⅰ）由|PM|－|PN|=知动点 P 的轨迹是以 ,M N 为焦点的双曲线的右支，实半轴长a =又半焦距 c=2，故虚半轴长b ==所以 W 的方程为22122x y -=,x ≥（Ⅱ）设 A ，B 的坐标分别为11(,)x y , 22(,)x y当 AB ⊥x 轴时,12,x x =从而12,y y =-从而22121211 2.OA OB x x y y x y ⋅=+=-= 当AB 与x 轴不垂直时,设直线AB 的方程为y kx m =+,与W 的方程联立,消去y 得 222(1)220.k x kmx m ----= 故1222,1km x x k +=- 21222,1m x x k +=- 所以 1212OA OB x x y y ⋅=+1212()()x x kx m kx m =+++221212(1)()k x x km x x m =++++2222222(1)(2)211k m k m m k k++=++-- 22221k k +=-2421k =+-. 又因为120x x >,所以210k ->,从而 2.OA OB ⋅>综上,当A B ⊥x 轴时, OA OB ⋅取得最小值2.解法二:(Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）设 A ，B 的坐标分别为，则11(,)x y , 22(,)x y ,则22()()2(1,2).i i i i i i x y x y x y i -=+-==令,,i i i i i i s x y t x y =+=-则2,i i s t =且0,0(1,2)i i s t i >>=所以1212OA OB x x y y ⋅=+1122112211()()()()44s t s t s t s t =+++--1212112,22s s t t =+≥=当且仅当1212s s t t =,即1212,x x y y =⎧⎨=-⎩时”=”成立.所以OA 、OB 的最小值是2.（20）（Ⅰ）解：12345673,1,2,1,1,0,1a a a a a a a =======,89101,0, 1.a a a ===（答案不惟一）（Ⅱ）解：因为在绝对差数列{}n a 中203a =,210a =.所以自第 20 项开始，该数列是203a =,210a =,2223242526273,3,0,3,3,,a a a a a a o ======⋅⋅.⋅即自第 20 项开始 每三个相邻的项周期地取值 3，0，3. 所以当n →∞时，n a 的极限 不存在.当20n ≥时, 126n n n n b a a a ++=++=,所以lim 6n n b →∞= （Ⅲ）证明：根据定义，数列{}n a 必在有限项后出现零项.证明如下 假设{}n a 中没有零项，由于12n n n a a a --=-,所以对于任意的n ，都有1n a ≥,从而 当12n n a a -->时, 1211(3)n n n n a a a a n ---=-≤-≥;当 12n n a a --<时, 2121(3)n n n n a a a a n ---=-≤-≥即n a 的值要么比1n a -至少小1，要么比2n a -至少小1.令212122212(),(),n n n n n n n a a a C a a a --->⎧=⎨<⎩1,2,3,,n =⋅⋅⋅ 则101(2,3,4,).A n C C n -<≤-=⋅⋅⋅由于1C 是确定的正整数，这样减少下去，必然存在某项 10C <，这与0n C >(1,2,3,,n =⋅⋅⋅) 矛盾. 从而{}n a 必有零项.若第一次出现的零项为第n 项，记1(0)n a A A -=≠，则自第n 项开始，每三个相邻的项周期地取值 0，A , A , 即331320,,0,1,2,3,,,n k n k n k a a A k a A +++++=⎧⎪==⋅⋅⋅⎨⎪=⎩所以绝对差数列{}n a中有无穷多个为零的项.。

D． 3
4
D．
7
2
D．
3
2
（13）、设常数
a

0
，

ax2

1 x
4
lim(a a2 an ) __________。
n
（14）、在 A ABCD 中， AB a, AD b, AN 3NC ，M 为 BC 的中点，则
2006（安徽卷） 理科数学
参考公式：
如果时间 A、B 互斥，那么 P( A B) P( A) P(B)
如果时间 A、B 相互独立，那么 P( AAB) P( A)AP(B)
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P，那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的
概率 Pn k Cnk Pk 1 Pnk
球的表面积公式 S 4 R2 ，其中 R 表示球的半径 球的体积公式V 4 R3 ，其中 R 表示球的半径
3
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。
（1）、复数
A． i
1 3i
C． 3 i
a
2
b
2
D． 4

a2
2
b2
，则
D． 3 i
D．
p
是
q
成立的
（5）、函数 y
x
，
2 A． y
x
，
2 C． y
（6）、将函数
x2 , x 0
x ， x 0
x ， x 0
y

解：（I）解法一：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，
则 ，
解法二：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，“一次取出的3个球上有两个数字相同”的事件记为B，则事件A和事件B是互斥事件，则
（II）由题意，ξ有可能的取值为：2，3，4，5，
所以随机变量ξ的概率分布为
ξ
2
3
4
解：（I）
（II）解法一：
解法二：
（18）（本小题满分12分）
设函数 ，其中 求 的单调区间.
解：由已知得函数 的定义域为 ，且 ，
（1）
（2）当
的变化情况如下表：
x
－
0
+
极小值
从上表可知
综上所述：
19．（本小题满分12分）
解法一：
（I）证明：∵平面A1B1C1∥平面ABC，
∴B1C1∥BC，A1C1∥AC.
取O为空间直角坐标系的原点，OE，OC，OB1
所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空
间直线坐标系.
则A（0，－ ，0），B（ ， ，0），C（0， ，0），B1（0，0， ）.
（I）
∴BC⊥A1C1.而BC∥B1C1，∴B1C1⊥A1C1.
又B1C1与AB1，A1C1显然相交，∴B1C1是AB1与A1C1的公垂线.
（A）－1（B）0（C）1（D）2
（7）在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为 ，焦点到相应准线的距离为1，则该椭
圆的离心率为
（A） （B） （C） （D）
（8）设 ，则p是q的
（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件
（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件
（9）已知集合 ，从这三个集合各取一个元素构成空间直角坐标系

2006年全国统一高考数学试卷Ⅱ（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）D．3．（5分）=（）．C4．（5分）如图，PA、PB、DE分别与⊙O相切，若∠P=40°，则∠DOE等于（）度．5．（5分）已知△ABC的顶点B，C在椭圆+y2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC ．D7．（5分）如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和．过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB：A′B′=（）8．（5分）函数y=f（x）的图象与函数g（x）=log2x（x＞0）的图象关于原点对称，则f（x）的表达式为（）．C9．（5分）已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（）．C D．11．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若，则=（）．C D．12．（5分）函数的最小值为（）二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）（2012•肇庆一模）在的展开式中常数项为_________（用数字作答）．14．（4分）已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB=1，BC=4，则边BC上的中线AD的长为_________．15．（4分）（2012•甘肃一模）过点的直线l将圆（x﹣2）2+y2=4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k=_________．16．（4分）（2014•江苏一模）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2500，3000）（元）月收入段应抽出_________人．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）已知向量，，．（1）若，求θ；（2）求的最大值．19．（12分）某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意出取2件产品进行检验．设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．（1）用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及ξ的数学期望；（2）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝的概率．20．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC，D、E分别为BB1、AC1的中点．（I）证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线；（II）设，求二面角A 1﹣AD﹣C1的大小．24．（12分）设函数f（x）=（x+1）ln（x+1）．若对所有的x≥0，都有f（x）≥ax成立，求实数a的取值范围．25．（14分）已知抛物线x2=4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M．（Ⅰ）证明为定值；（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出S=f（λ）的表达式，并求S的最小值．27．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，且方程x2﹣a n x﹣a n=0有一根为S n﹣1，n=1，2，3，…．（1）求a1，a2；（2）猜想数列{S n}的通项公式，并给出严格的证明．2006年全国统一高考数学试卷Ⅱ（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）D．所以最小正周期为3．（5分）=（）．C4．（5分）如图，PA、PB、DE分别与⊙O相切，若∠P=40°，则∠DOE等于（）度．∠AOB=×5．（5分）（2014•四川二模）已知△ABC的顶点B，C在椭圆+y2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另．D7．（5分）如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和．过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB：A′B′=（），AB'=所成的角为，A'B'=．C与9．（5分）（2011•普宁市模拟）已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（）．C D．由渐近线方程可得11．（5分）（2010•锦州二模）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若，则=（）．C D．，代入中∴12．（5分）函数的最小值为（）二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）（2012•肇庆一模）在的展开式中常数项为45（用数字作答）．14．（4分）已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB=1，BC=4，则边BC上的中线AD的长为．∴由余弦定理定理可得故答案为：15．（4分）（2012•甘肃一模）过点的直线l将圆（x﹣2）2+y2=4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k=．．16．（4分）（2014•江苏一模）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2500，3000）（元）月收入段应抽出25人．按分层抽样应抽出三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）已知向量，，．（1）若，求θ；（2）求的最大值．，化简）因为，所以）因为时，的最大值为19．（12分）某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意出取2件产品进行检验．设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．（1）用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及ξ的数学期望；（2）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝的概率．，，这两个事件是互斥的，根据互斥事件的答：==20．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC，D、E分别为BB1、AC1的中点．（I）证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线；（II）设，求二面角A 1﹣AD﹣C1的大小．EO C C EO=AC=，EF==，FE=24．（12分）设函数f（x）=（x+1）ln（x+1）．若对所有的x≥0，都有f（x）≥ax成立，求实数a的取值范围．25．（14分）已知抛物线x2=4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M．（Ⅰ）证明为定值；（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出S=f（λ）的表达式，并求S的最小值．的方程，联立方程求得交点坐标，求得和，进而可求得•，则易得切线（（=，=（（2[S=∵，即，==+2=+2=）S=（）27．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，且方程x2﹣a n x﹣a n=0有一根为S n﹣1，n=1，2，3，…．（1）求a1，a2；（2）猜想数列{S n}的通项公式，并给出严格的证明．．，﹣）﹣．，=+．，==对所有正整数参与本试卷答题和审题的老师有：wdlxh；wsj1012；zlzhan；zhwsd；yhx01248；涨停；wdnah；minqi5；qiss；翔宇老师；liuerq；xintrl；congtou；298520；jj2008（排名不分先后）菁优网2014年6月6日。

普通高等学校招生全国统一考试文科数学（全国卷Ⅰ）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页。

第Ⅱ卷3到10页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

不能答在试题卷上。

3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球是表面积公式)()()(B P A P B A P +=+ 24R S π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径)()()(B P A P B A P ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么334R V π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径k n kk n n P P C k P --=)1()(一．选择题（1）设集合M={x|x 2-x<0},N={x||x|<2},则（A ）M φ=N （B ）M M N =（C ）M N M =（D ）R N M =（2）已知函数y=e x 的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y=x 对称，则（A ）f(2x)=e 2x (x )R ∈ （B ）f(2x)=ln2lnx(x>0)（C ）f(2x)=2e 2x (x )R ∈（D ）f(2x)= lnx+ln2(x>0)（3）双曲线mx 2+y 2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m=（A ）-41 （B ）-4 (C)4 （D ）41 （4）如果(m 2+i)(1+mi)是实数,则实数m=（A ）1（B ）-1（C ）2（D ）-2（5）函数f(x)=tan(x+4π)的单调递增区间为（A ）(k π-2π, k π+2π),k Z ∈ （B ）(k π, (k+1)π),k Z ∈(C) (k π-43π, k π+4π),k Z ∈ （D ）(k π-4π, k π+43π),k Z ∈（6）∆ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c ，且c=2a ，则cosB=（A ）41 （B ）43 （C ）42 （D ）32（7）已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥高为4，体积为16，则这个球的表面积是（A ）16 π （B ）20π （C ）24π （D ）32π（8）抛物线y=-x 2上的点到4x+3y-8=0直线的距离的最小值是（A ）34 （B ）57（C ）58（D ）3（9）设平面向量a 1、a 2、a 3的和a 1+a 2+a 3=0，如果平面向量b 1、b 2、b 3满足|b i |=2|a i |，且a i 顺时针旋转30︒后与同向，其中i=1、2、3，则（A ）-b 1+b 2+b 3=0 （B ）b 1-b 2+b 3=0（C ）b 1+b 2-b 3=0 （D ）b 1+b 2+b 3=0（10）设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1+a 2+a 3=15，a 1a 2a 3=80，则a 11+a 12+a 13=（A ）120 （B ）105 （C ）90 （D ）75（11）用长度分别为2、3、4、5、6(单位:cm)的细木棒围成一个三角形(允许连接,但不允许折断),能够得到期的三角形面积的最大值为（A ）85cm 2（B ）610cm 2（C ）355cm 2（D ）20cm 2（12）设集合I={1，2，3，4，5}，选择I 的两个非空子和B ，要使B 中的最小的数大于A 中最大的数，则不同的选择方法共有（A ）50种 （B ）49种 （C ）48种 （D ）47种第Ⅱ卷注意事项：1．用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上。

2007年普通高等学校招生全国统一考试（2全国Ⅱ卷）数学(理)试题一、选择题 ( 本大题 共 12 题, 共计 60 分) 1．sin 210= （ ） A ．32B ．32-C ．12D ．12-2．函数sin y x =的一个单调增区间是（ ）A ．ππ⎛⎫- ⎪44⎝⎭，B ．3ππ⎛⎫ ⎪44⎝⎭，C ．3π⎛⎫π ⎪2⎝⎭，D ．32π⎛⎫π ⎪2⎝⎭，3．设复数z 满足12ii z+=，则z =（ ） A ．2i -+B ．2i --C ．2i -D ．2i +4．下列四个数中最大的是（ ） A ．2(ln 2)B ．ln(ln 2)C ．ln 2D ．ln 25．在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若123AD DB CD CA CB λ==+，，则λ=（ ）A ．23B ．13C ．13-D ．23-6．不等式2104x x ->-的解集是（ ） A ．(21)-， B ．(2)+∞， C ．(21)(2)-+∞ ，， D ．(2)(1)-∞-+∞ ，，7．已知正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长与底面边长相等，则1AB 与侧面11ACC A 所成角的正弦值等于（ ） A ．64B ．104C ．22D ．328．已知曲线23ln 4x y x =-的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．129．把函数e x y =的图像按向量(23)=，a 平移，得到()y f x =的图像，则()f x =（ ） A ．3e 2x -+B ．3e 2x +-C ．2e 3x -+D ．2e 3x +-10．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（ ） A ．40种B ．60种C ．100种D ．120种11．设12F F ，分别是双曲线2222x y a b-的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使1290F AF ∠= 且123AF AF =，则双曲线的离心率为（ ） A ．52B ．102C ．152D ．512．设F 为抛物线24y x =的焦点，A B C ，，为该抛物线上三点，若FA FB FC ++=0，则FA FB FC ++= （ ）A ．9B ．6C ．4D ．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．821(12)x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为 ．（用数字作答）14．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布2(1)(0)N σσ>，．若ξ在(01)，内取值的概率为0.4，则ξ在(02)，内取值的概率为 ．15．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm 的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm ，那么该棱柱的表面积为 cm 2． 16．已知数列的通项52n a n =-+，其前n 项和为n S ，则2limnn S n ∞=→ ． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）在ABC△中，已知内角Aπ=3，边23BC=．设内角B x=，周长为y．（1）求函数()y f x=的解析式和定义域；（2）求y的最大值．18．（本小题满分12分）从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率()0.96P A=．（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p；（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，ξ表示取出的2件产品中二等品的件数，求ξ的分布列．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD-中，底面A B C D为正方形，侧棱SD⊥底面A B C D E F，，分别为AB SC，的中点．（1）证明EF∥平面SAD；（2）设2SD DC=，求二面角A EF D--的大小．A EB CF SD20．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线34x y -=相切． （1）求圆O 的方程；（2）圆O 与x 轴相交于A B ，两点，圆内的动点P 使PA PO PB ，，成等比数列，求PA PB的取值范围．21．（本小题满分12分）设数列{}n a 的首项113(01)2342n n a a a n --∈==，，，，，，…． （1）求{}n a 的通项公式；（2）设32n n n b a a =-，证明1n n b b +<，其中n 为正整数．22．（本小题满分12分） 已知函数3()f x x x =-．（1）求曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程；（2）设0a >，如果过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，证明：()a b f a -<<．2007年普通高等学校招生全国统一考试（2全国Ⅱ卷）数学(理)试题答案解析: 一、选择题 1.答案：D解析：sin2100 =1sin 302-︒=-，选D 。

2006年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设集合M={x|x2﹣x＜0}，N={x||x|＜2}，则（）A．M∩N=∅B．M∩N=M C．M∪N=M D．M∪N=R2．（5分）已知函数y=e x的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x 对称，则（）A．f（2x）=e2x（x∈R）B．f（2x）=ln2•lnx（x＞0）C．f（2x）=2e x（x∈R）D．f（2x）=lnx+ln2（x＞0）3．（5分）双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m=（）A．B．﹣4 C．4 D．4．（5分）如果复数（m2+i）（1+mi）是实数，则实数m=（）A．1 B．﹣1 C．D．5．（5分）函数的单调增区间为（）A．B．（kπ，（k+1）π），k∈ZC．D．6．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（）A．B．C． D．7．（5分）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A．16πB．20πC．24πD．32π8．（5分）抛物线y=﹣x2上的点到直线4x+3y﹣8=0距离的最小值是（）A．B．C．D．39．（5分）设平面向量1、2、3的和1+2+3=0．如果向量1、2、，满足|i|=2|i|，且i顺时针旋转30°后与i同向，其中i=1，2，3，3则（）A．﹣1+2+3=0 B．1﹣2+3=0 C．1+2﹣3=0 D．1+2+3=010．（5分）设{a n}是公差为正数的等差数列，若a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，则a11+a12+a13=（）A．120 B．105 C．90 D．7511．（5分）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（）A．B．C．D．20cm212．（5分）设集合I={1，2，3，4，5}．选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有（）A．50种B．49种C．48种D．47种二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）已知正四棱锥的体积为12，底面对角线长为，则侧面与底面所成的二面角等于°．14．（4分）设z=2y﹣x，式中变量x、y满足下列条件：，则z的最大值为．15．（4分）安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日．不同的安排方法共有种（用数字作答）．16．（4分）设函数．若f（x）+f′（x）是奇函数，则φ=．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）ABC的三个内角为A、B、C，求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值．18．（12分）A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A 有效的概率为，服用B有效的概率为．（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；（Ⅱ）观察3个试验组，用ξ表示这3个试验组中甲类组的个数，求ξ的分布列和数学期望．19．（12分）如图，l1、l2是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段．点A、B在l1上，C在l2上，AM=MB=MN．（Ⅰ）证明AC⊥NB；（Ⅱ）若∠ACB=60°，求NB与平面ABC所成角的余弦值．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B，且向量．求：（Ⅰ）点M的轨迹方程；（Ⅱ）的最小值．21．（14分）已知函数．（Ⅰ）设a＞0，讨论y=f（x）的单调性；（Ⅱ）若对任意x∈（0，1）恒有f（x）＞1，求a的取值范围．22．（12分）设数列{a n}的前n项的和，n=1，2，3，…（Ⅰ）求首项a1与通项a n；（Ⅱ）设，n=1，2，3，…，证明：．2006年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）设集合M={x|x2﹣x＜0}，N={x||x|＜2}，则（）A．M∩N=∅B．M∩N=M C．M∪N=M D．M∪N=R【分析】M、N分别是二次不等式和绝对值不等式的解集，分别解出再求交集合并集．【解答】解：集合M={x|x2﹣x＜0}={x|0＜x＜1}，N={x||x|＜2}={x|﹣2＜x＜2}，∴M∩N=M，故选：B．2．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）已知函数y=e x的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称，则（）A．f（2x）=e2x（x∈R）B．f（2x）=ln2•lnx（x＞0）C．f（2x）=2e x（x∈R）D．f（2x）=lnx+ln2（x＞0）【分析】本题考查反函数的概念、互为反函数的函数图象的关系、求反函数的方法等相关知识和方法．根据函数y=e x的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称可知f （x）是y=e x的反函数，由此可得f（x）的解析式，进而获得f（2x）．【解答】解：函数y=e x的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称，所以f（x）是y=e x的反函数，即f（x）=lnx，∴f（2x）=ln2x=lnx+ln2（x＞0），选D．3．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m=（）A．B．﹣4 C．4 D．【分析】由双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，可求出该双曲线的方程，从而求出m的值．【解答】解：双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，∴m＜0，且双曲线方程为，∴m=，故选：A．4．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）如果复数（m2+i）（1+mi）是实数，则实数m=（）A．1 B．﹣1 C．D．【分析】注意到复数a+bi（a∈R，b∈R）为实数的充要条件是b=0 【解答】解：复数（m2+i）（1+mi）=（m2﹣m）+（1+m3）i是实数，∴1+m3=0，m=﹣1，选B．5．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）函数的单调增区间为（）A．B．（kπ，（k+1）π），k∈ZC．D．【分析】先利用正切函数的单调性求出函数单调增时x+的范围i，进而求得x的范围．【解答】解：函数的单调增区间满足，∴单调增区间为，故选C6．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（）A．B．C． D．【分析】根据等比数列的性质，可得b=a，将c、b与a的关系结合余弦定理分析可得答案．【解答】解：△ABC中，a、b、c成等比数列，则b2=ac，由c=2a，则b=a，=，故选B．7．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A．16πB．20πC．24πD．32π【分析】先求正四棱柱的底面边长，然后求其对角线，就是球的直径，再求其表面积．【解答】解：正四棱柱高为4，体积为16，底面积为4，正方形边长为2，正四棱柱的对角线长即球的直径为2，∴球的半径为，球的表面积是24π，故选C．8．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）抛物线y=﹣x2上的点到直线4x+3y﹣8=0距离的最小值是（）A．B．C．D．3【分析】设抛物线y=﹣x2上一点为（m，﹣m2），该点到直线4x+3y ﹣8=0的距离为，由此能够得到所求距离的最小值．【解答】解：设抛物线y=﹣x2上一点为（m，﹣m2），该点到直线4x+3y﹣8=0的距离为，分析可得，当m=时，取得最小值为，故选B．9．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）设平面向量1、2、3的和1+2+3=0．如果向量1、2、3，满足|i|=2|i|，且i顺时针旋转30°后与i同向，其中i=1，2，3，则（）A．﹣1+2+3=0 B．1﹣2+3=0 C．1+2﹣3=0 D．1+2+3=0 【分析】三个向量的和为零向量，在这三个向量前都乘以相同的系数，我们可以把系数提出公因式，括号中各项的和仍是题目已知中和为零向量的三个向量，当三个向量都按相同的方向和角度旋转时，相对关系不变．【解答】解：向量1、2、3的和1+2+3=0，向量1、2、3顺时针旋转30°后与1、2、3同向，且|i|=2|i|，∴1+2+3=0，故选D．10．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）设{a n}是公差为正数的等差数列，若a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，则a11+a12+a13=（）A．120 B．105 C．90 D．75【分析】先由等差数列的性质求得a2，再由a1a2a3=80求得d即可．【解答】解：{a n}是公差为正数的等差数列，∵a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，∴a2=5，∴a1a3=（5﹣d）（5+d）=16，∴d=3，a12=a2+10d=35∴a11+a12+a13=105故选B．11．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（）A．B．C．D．20cm2【分析】设三角形的三边分别为a，b，c，令p=，则p=10．海伦公式S=≤=故排除C，D，由于等号成立的条件为10﹣a=10﹣b=10﹣c，故“=”不成立，推测当三边长相等时面积最大，故考虑当a，b，c三边长最接近时面积最大，进而得到答案．【解答】解：设三角形的三边分别为a，b，c，令p=，则p=10．由海伦公式S=知S=≤=＜20＜3由于等号成立的条件为10﹣a=10﹣b=10﹣c，故“=”不成立，∴S＜20＜3．排除C，D．由以上不等式推测，当三边长相等时面积最大，故考虑当a，b，c三边长最接近时面积最大，此时三边长为7，7，6，用2、5连接，3、4连接各为一边，第三边长为7组成三角形，此三角形面积最大，面积为，故选B．12．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）设集合I={1，2，3，4，5}．选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有（）A．50种B．49种C．48种D．47种【分析】解法一，根据题意，按A、B的元素数目不同，分9种情况讨论，分别计算其选法种数，进而相加可得答案；解法二，根据题意，B中最小的数大于A中最大的数，则集合A、B 中没有相同的元素，且都不是空集，按A、B中元素数目这和的情况，分4种情况讨论，分别计算其选法种数，进而相加可得答案．【解答】解：解法一，若集合A、B中分别有一个元素，则选法种数有C52=10种；若集合A中有一个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有C53=10种；若集合A中有一个元素，集合B中有三个元素，则选法种数有C54=5种；若集合A中有一个元素，集合B中有四个元素，则选法种数有C55=1种；若集合A中有两个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C53=10种；若集合A中有两个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有C54=5种；若集合A中有两个元素，集合B中有三个元素，则选法种数有C55=1种；若集合A中有三个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C54=5种；若集合A中有三个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有C55=1种；若集合A中有四个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C55=1种；总计有49种，选B．解法二：集合A、B中没有相同的元素，且都不是空集，从5个元素中选出2个元素，有C52=10种选法，小的给A集合，大的给B集合；从5个元素中选出3个元素，有C53=10种选法，再分成1、2两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有2×10=20种方法；从5个元素中选出4个元素，有C54=5种选法，再分成1、3；2、2；3、1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有3×5=15种方法；从5个元素中选出5个元素，有C55=1种选法，再分成1、4；2、3；3、2；4、1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B 集合，共有4×1=4种方法；总计为10+20+15+4=49种方法．选B．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）（2006•全国卷Ⅰ）已知正四棱锥的体积为12，底面对角线长为，则侧面与底面所成的二面角等于60°．【分析】先根据底面对角线长求出边长，从而求出底面积，再由体积求出正四棱锥的高，求出侧面与底面所成的二面角的平面角的正切值即可．【解答】解：正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为，底面边长为2，底面积为12，所以正四棱锥的高为3，则侧面与底面所成的二面角的正切tanα=，∴二面角等于60°，故答案为60°14．（4分）（2006•全国卷Ⅰ）设z=2y﹣x，式中变量x、y满足下列条件：，则z的最大值为11．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2y ﹣x表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．【解答】解：，在坐标系中画出图象，三条线的交点分别是A（0，1），B（7，1），C（3，7），在△ABC中满足z=2y﹣x的最大值是点C，代入得最大值等于11．故填：11．15．（4分）（2006•全国卷Ⅰ）安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日．不同的安排方法共有2400种（用数字作答）．【分析】本题是一个分步计数问题，先安排甲、乙两人在假期的后5天值班，有A52种排法，其余5人再进行排列，有A55种排法，根据分步计数原理得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，首先安排甲、乙两人在假期的后5天值班，有A52=20种排法，其余5人再进行排列，有A55=120种排法，∴根据分步计数原理知共有20×120=2400种安排方法．故答案为：240016．（4分）（2006•全国卷Ⅰ）设函数．若f（x）+f′（x）是奇函数，则φ=．【分析】对函数求导结合两角差的正弦公式，代入整理可得，，根据奇函数的性质可得x=0时函数值为0，代入可求φ的值【解答】解：，则f（x）+f′（x）=，为奇函数，令g（x）=f（x）+f′（x），即函数g（x）为奇函数，g（0）=0⇒2sin（φ）=0，∵0＜φ＜π，∴φ=．故答案为：．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）ABC的三个内角为A、B、C，求当A 为何值时，取得最大值，并求出这个最大值．【分析】利用三角形中内角和为π，将三角函数变成只含角A，再利用三角函数的二倍角公式将函数化为只含角，利用二次函数的最值求出最大值【解答】解：由A+B+C=π，得=﹣，所以有cos=sin．cosA+2cos=cosA+2sin=1﹣2sin2+2sin=﹣2（sin﹣）2+当sin=，即A=时，cosA+2cos取得最大值为故最大值为18．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为．（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；（Ⅱ）观察3个试验组，用ξ表示这3个试验组中甲类组的个数，求ξ的分布列和数学期望．【分析】（1）由题意知本题是一个独立重复试验，根据所给的两种药物对小白鼠有效的概率，计算出小白鼠有效的只数的概率，对两种药物有效的小白鼠进行比较，得到甲类组的概率．（2）由题意知本试验是一个甲类组的概率不变，实验的条件不变，可以看做是一个独立重复试验，所以变量服从二项分布，根据二项分布的性质写出分布列和期望．【解答】解：（1）设A i表示事件“一个试验组中，服用A有效的小鼠有i只“，i=0，1，2，B i表示事件“一个试验组中，服用B有效的小鼠有i只“，i=0，1，2，依题意有：P（A1）=2××=，P（A2）=×=．P（B0）=×=，P（B1）=2××=，所求概率为：P=P（B0•A1）+P（B0•A2）+P（B1•A2）=×+×+×=（Ⅱ）ξ的可能值为0，1，2，3且ξ～B（3，）．P（ξ=0）=（）3=，P（ξ=1）=C31××（）2=，P（ξ=2）=C32×（）2×=，P（ξ=3）=（）3=∴ξ的分布列为：∴数学期望Eξ=3×=．19．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）如图，l1、l2是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段．点A、B在l1上，C在l2上，AM=MB=MN．（Ⅰ）证明AC⊥NB；（Ⅱ）若∠ACB=60°，求NB与平面ABC所成角的余弦值．【分析】（1）欲证AC⊥NB，可先证BN⊥面ACN，根据线面垂直的判定定理只需证AN⊥BN，CN⊥BN即可；（2）易证N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心，连接BH，∠NBH为NB与平面ABC所成的角，在Rt△NHB中求出此角即可．【解答】解：（Ⅰ）由已知l2⊥MN，l2⊥l1，MN∩l1=M，可得l2⊥平面ABN．由已知MN⊥l1，AM=MB=MN，可知AN=NB且AN⊥NB．又AN为AC在平面ABN内的射影．∴AC⊥NB（Ⅱ）∵AM=MB=MN，MN是它们的公垂线段，由中垂线的性质可得AN=BN，∴Rt△CAN≌Rt△CNB，∴AC=BC，又已知∠ACB=60°，因此△ABC为正三角形．∵Rt△ANB≌Rt△CNB，∴NC=NA=NB，因此N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心，连接BH，∠NBH为NB与平面ABC所成的角．在Rt△NHB中，cos∠NBH===．20．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）在平面直角坐标系xOy中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B，且向量．求：（Ⅰ）点M的轨迹方程；（Ⅱ）的最小值．【分析】（1）利用相关点法求轨迹方程，设P（x0，y0），M（x，y），利用点M的坐标来表示点P的坐标，最后根据x0，y0满足C的方程即可求得；（2）先将用含点M的坐标的函数来表示，再利用基本不等式求此函数的最小值即可．【解答】解：（I）椭圆方程可写为：+=1式中a＞b＞0，且得a2=4，b2=1，所以曲线C的方程为：x2+=1（x＞0，y＞0）．y=2（0＜x＜1）y'=﹣设P（x 0，y0），因P在C上，有0＜x0＜1，y0=2，y'|x=x0=﹣，得切线AB的方程为：y=﹣（x﹣x0）+y0．设A（x，0）和B（0，y），由切线方程得x=，y=．由=+得M的坐标为（x，y），由x0，y0满足C的方程，得点M 的轨迹方程为：+=1（x＞1，y＞2）（Ⅱ）||2=x2+y2，y2==4+，∴||2=x2﹣1++5≥4+5=9．且当x2﹣1=，即x=＞1时，上式取等号．故||的最小值为3．21．（14分）（2006•全国卷Ⅰ）已知函数．（Ⅰ）设a＞0，讨论y=f（x）的单调性；（Ⅱ）若对任意x∈（0，1）恒有f（x）＞1，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）根据分母不为0得到f（x）的定义域，求出f'（x），利用a的范围得到导函数的正负讨论函数的增减性即可得到f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对任意x∈（0，1）恒有f（x）＞1即要讨论当0＜a≤2时，当a＞2时，当a≤0时三种情况讨论得到a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（﹣∞，1）∪（1，+∞）．对f （x）求导数得f'（x）=e﹣ax．（ⅰ）当a=2时，f'（x）=e﹣2x，f'（x）在（﹣∞，0），（0，1）和（1，+∞）均大于0，所以f（x）在（﹣∞，1），（1，+∞）为增函数．（ⅱ）当0＜a＜2时，f'（x）＞0，f（x）在（﹣∞，1），（1，+∞）为增函数．（ⅲ）当a＞2时，0＜＜1，令f'（x）=0，解得x1=，x2=．当x变化时，f′（x）和f（x）的变化情况如下表：f （x ）在（﹣∞，），（，1），（1，+∞）为增函数，f （x ）在（，）为减函数． （Ⅱ）（ⅰ）当0＜a ≤2时，由（Ⅰ）知：对任意x ∈（0，1）恒有f （x ）＞f （0）=1．（ⅱ）当a ＞2时，取x 0=∈（0，1），则由（Ⅰ）知f （x 0）＜f （0）=1（ⅲ）当a ≤0时，对任意x ∈（0，1），恒有＞1且e﹣ax ≥1，得f （x ）=e ﹣ax ≥＞1． 综上当且仅当a ∈（﹣∞，2]时，对任意x ∈（0，1）恒有f （x ）＞1．22．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）设数列{a n }的前n 项的和，n=1，2，3，…（Ⅰ）求首项a 1与通项a n ；（Ⅱ）设，n=1，2，3，…，证明：．【分析】对于（Ⅰ）首先由数列{a n }的前n 项的和求首项a 1与通项a n ，可先求出S n ﹣1，然后有a n =S n ﹣S n ﹣1，公比为4的等比数列，从而求解；对于（Ⅱ）已知，n=1，2，3，…，将a n=4n﹣2n代入S n=a n﹣×2n+1+，n=1，2，3，得S n=×（4n﹣2n）﹣×2n+1+=×（2n+1﹣1）（2n+1﹣2）然后再利用求和公式进行求解．【解答】解：（Ⅰ）由S n=a n﹣×2n+1+，n=1，2，3，①得a1=S1=a1﹣×4+所以a1=2．再由①有S n﹣1=a n﹣1﹣×2n+，n=2，3，4，将①和②相减得：a n=S n﹣S n﹣1=（a n﹣a n﹣1）﹣×（2n+1﹣2n），n=2，3，整理得：a n+2n=4（a n﹣1+2n﹣1），n=2，3，因而数列{a n+2n}是首项为a1+2=4，公比为4的等比数列，即：a n+2n=4×4n﹣1=4n，n=1，2，3，因而a n=4n﹣2n，n=1，2，3，（Ⅱ）将a n=4n﹣2n代入①得S n=×（4n﹣2n）﹣×2n+1+=×（2n+1﹣1）（2n+1﹣2）=×（2n+1﹣1）（2n﹣1）T n==×=×（﹣）所以，=﹣）=×（﹣）＜（1﹣）。

2006年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数 学 （供理科考生使用） 第Ⅰ卷（选择题 共60分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 P(A+B)=P(A)+P(B) 24S R π= 如果事件A 、B 相互互斥，那么 球的表面积公式 P(A B)=P(A) P(B) 343V R π球＝ 如果时间A 在一次试验中发生的概率P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)k k n kn n P k C P P -=- 一. 选择题（1）设集合{1,2}A =,则满足{1,2,3}A B ⋃=的集合B 的个数是（A ）1（B ）3（C ）4（D ）8（2）设()f x 是R 上的任意函数,则下列叙述正确的是（A ）()()f x f x -是奇函数（B ）()()f x f x -是奇函数 （C ）()()f x f x --是偶函数（D ）()()f x f x +-是偶函数（3）给出下列四个命题:①垂直于同一直线的两条直线互相平行. ②垂直于同一平面的两个平面互相平行.③若直线12,l l 与同一平面所成的角相等,则12,l l 互相平行. ④若直线12,l l 是异面直线,则与12,l l 都相交的两条直线是异面直线. 其中假．命题的个数是 （A ）1 （B ）2（C ）3 （D ）4（4）双曲线224x y -=的两条渐近线与直线3x =围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是（A ）0003x y x y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩（B ）0003x y x y x -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤≤⎩（C ） 0003x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≤≤⎩（D ） 0003x y x y x -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩（5）设○+是R 上的一个运算,A 是R 的非空子集,若对任意,a b A ∈有a ○+b A ∈,则称A 对运算○+封闭,下列数集对加法、减法、乘法和除法（除数不等于零）四则运算都封闭的是（A ）自然数集 （B ）整数集 （C ）有理数集 （D ）无理数集（6）ABC 的三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c 设向量(,)p a c b =+,(,)q b a c a =-- ,若//p q,则角C 的大小为（A ）6π（B ）3π （C ）2π （D ）23π （7）与方程221(0)x x y e e x =-+≥的曲线关于直线y x =对称的曲线的方程为（A）ln(1y =（B ）ln(1y = （C ）ln(1y =-（D ）ln(1y =-（8）曲线221(6)106x y m m m +=<--与曲线221(59)59x y n n n+=<<--的 （A ）焦距相等 （B ）离心率相等 （C ）焦点相同（D ）准线相同（9）在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列,则n S 等于（A ）122n +-（B ）3n（C ） 2n（D ）31n-（10）直线2y k =与曲线2222918k x y k x += (,)k R ∈≠且k 0的公共点的个数为（A ）1（B ）2（C ）3（D ）4（11）已知函数11()(sin cos )sin cos 22f x x x x x =+--,则()f x 的值域是 （A ）[]1,1- （B ）2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （C ）2⎡-⎢⎣⎦（D ）1,2⎡--⎢⎣⎦（12）设(0,0)O ,(1,0)A ,(0,1)B ,点P 是线段AB 上的一个动点,AP AB λ=,若OP AB PA PB ⋅≥⋅,则实数λ的取值范围是（A ）112λ≤≤（B）11λ≤≤ （C）1122λ≤≤+（D）1122λ-≤≤+二. 填空题（13）设,0.(),0.x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩则1(())2g g =__________（14）2222464646()()...()575757lim 545454()()...()656565n n n n n →∞-+-++-=-+-++-_____________ （15）5名乒乓球队员中,有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛,则入选的3名队员中至少有一名老队员,且1、2号中至少有1名新队员的排法有_______种.（以数作答）（16）若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为α,则cos α=______三．解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）已知函数22()sin 2sin cos 3cos f x x x x x =++，x R ∈.求: （I ）函数()f x 的最大值及取得最大值的自变量x 的集合； （II ）函数()f x 的单调增区间.（18）（本小题满分12分）已知正方形ABCD .E 、F 分别是AB 、CD 的中点,将ADE 沿DE 折起,如图所示,记二面角A DE C --的大小为(0)θθπ<<.（I ）证明//BF 平面ADE ;（II ）若ACD 为正三角形,试判断点A 在平面BCDE 内的射影G 是否在直线EF 上,证明你的结论,并求角θ的余弦值.（19）（本小题满分12分）现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为16、12、13;已知乙项目的利润与产品价格的调整有关,在每次调整中价格下降的概率都是(01)p p <<,设乙项目产品价格在一年内进行2次独立的调整,记乙项目产品价格在一年内的下降次数为ξ,对乙项目每投资十万元, ξ取0、1、2时, 一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元.随机变量1ξ、2ξ分别表示对甲、乙两项目各投资十万元一年后的利润.（I ）求1ξ、2ξ的概率分布和数学期望1E ξ、2E ξ; （II ）当12E E ξξ<时,求p 的取值范围. （20）（本小题满分14分）已知点11(,)A x y ,22(,)B x y 12(0)x x ≠是抛物线22(0)y px p =>上的两个动点,O 是坐标原点,向量OA ,OB 满足O A O B O A O B +=-.设圆C 的方程为221212()()0x y x x x y y y +-+-+=（I ）证明线段AB 是圆C 的直径;（II ）当圆C 的圆心到直线X-2Y=0的距离的最小值为时，求P 的值。

2006年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）1. 函数2log 2-=x y 的定义域是A ．),3(+∞B ．),3[+∞C ．),4(+∞D ．),4[+∞ 2. 若数列}{n a 满足: 311=a , 且对任意正整数n m ,都有n m n m a a a ⋅=+, 则 =++++∞→)(lim 21n n a a aA ．21 B ．32 C ．23D ．2 3. 过平行六面体1111D C B A ABCD -任意两条棱的中点作直线, 其中与平面11D DBB 平行的直线共有A ．4条B ．6条C ．8条D ．12条 4. “1=a ”是“函数||)(a x x f -=在区间),1[+∞上为增函数”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5. 已知,0||2||≠=b a 且关于x 的方程0||2=⋅++b a x a x 有实根, 则a 与b 的夹角的取值范围是 A ．]6,0[πB ．],3[ππC ．]32,3[ππD ．],6[ππ6. 某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目, 且在同一个城市投资的项目不超过2个, 则该外商不同的投资方案有A ． 16种B ．36种C ．42种D ．60种7. 过双曲线1:222=-by x M 的左顶点A 作斜率为1的直线l , 若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于点C B ,, 且||||BC AB =, 则双曲线M 的离心率是A ． 10B ．5C ．310D ．25 8. 设函数1)(--=x ax x f , 集合}0)(|{},0)(|{>'=<=x f x P x f x M , 若P M ⊂, 则实数a 的取值范围是A ．)1,(--∞B ．)1,0(C ．),1(+∞D ．),1[+∞9. 棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上, 若过该球球心的一个截 面如图1,则图中三角形(正四面体的截面)的面积是A ．22B ．23C ．2D ．310. 若圆0104422=---+y x y x 上至少有三个不同的点到直线0:=+by ax l 的距离为22,则直线l 的倾斜角的取值范围是 A ． ]412[ππ， B ．]12512[ππ， C ．]36[ππ， D ．]20[π， 11. 若5)1-ax （的展开式中3x 的系数是80-, 则实数a 的值是__________. 12. 已知⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤+-≥022011y x y x x 则22y x +的最小值是_____________.13. 曲线xy 1=和2x y =在它们的交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积是 ___________. 14. 若)0)(4sin()4sin()(≠-++=ab x b x a x f ππ是偶函数, 则有序实数对),(b a 可以 是__________.(注: 写出你认为正确的一组数字即可)15. 如图2, AB OM //, 点P 在由射线OM , 线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动, 且OB y OA x OP +=,则x 的取值范围是__________; 当21-=x 时, y 的取值范围是__________. 16.如图3, D 是直角ABC ∆斜边BC 上一点, βα=∠=∠=ABC CAD AD AB ,,记.(Ⅰ)证明: 02cos sin =+βα; (Ⅱ)若DC AC 3=,求β的值.图2OABPM图3CDBA17.某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检), 若安检不合格, 则必须整改. 若整改后经复查仍不合格, 则强制关闭. 设每家煤矿安检是否合格是相互独立的, 且每家煤矿整改前合格的概率是5.0, 整改后安检合格的概率是8.0,计算(结果精确到01.0);(Ⅰ) 恰好有两家煤矿必须整改的概率; (Ⅱ) 平均有多少家煤矿必须整改; (Ⅲ) 至少关闭一家煤矿的概率 . 18.如图4, 已知两个正四棱锥ABCD Q ABCD P --与的高分别为1和2, 4=AB (Ⅰ) 证明: ABCD PQ 平面⊥ ;(Ⅱ) 求异面直线PQ AQ 与所成的角;(Ⅲ) 求点P 到平面QAD 的距离. 19．已知函数x x x f sin )(-=, 数列}{n a 满足: 101<<a , a n+1=f (a n )， ,3,2,1=n 证明： (Ⅰ) 101<<<+n n a a ; (Ⅱ) 3161n n a a <+ .D图4CBAQ P20．对1个单位质量的含污物体进行清洗, 清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为:）物体质量（含污物）污物质量-1为8.0, 要求清洗完后的清洁度为99.0. 有两种方案可供选择, 方案甲: 一次清洗; 方案乙: 分两次清洗. 该物体初次清洗后受残留水等因素影响, 其质量变为)31(≤≤a a . 设用x 单位质量的水初次清洗后的清洁度是18.0++x x )1(->a x , 用y 单位质量的水第二次清洗后的清洁度是ay acy ++, 其中c )99.08.0(<<c 是该物体初次清洗后的清洁度.(Ⅰ)分别求出方案甲以及95.0=c 时方案乙的用水量, 并比较哪一种方案用水量较少; (Ⅱ)若采用方案乙, 当a 为某定值时, 如何安排初次与第二次清洗的用水量, 使总用水量最小? 并讨论a 取不同数值时对最少总用水量多少的影响. 21．已知椭圆134:221=+y x C , 抛物线)0(2)(:22>=-p px m y C , 且21,C C 的公共弦 AB 过椭圆1C 的右焦点 .(Ⅰ) 当轴时x AB ⊥, 求p m ,的值, 并判断抛物线2C 的焦点是否在直线AB 上; (Ⅱ) 是否存在p m ,的值, 使抛物线2C 的焦点恰在直线AB 上? 若存在, 求出符合条件的p m ,的值; 若不存在, 请说明理由 .2006年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）参考答案1.D ；2.A ；3.D ；4.A ；5.B ；6.D ；7.A ；8.C ；9.C ； 10.B ； 11.2-； 12.5； 13.34； 14.(1，1-) ； 15.(,0-∞) ,13(,)22； 16、解 (I)如图, 因为(2)2222BAD πππαπββ=-∠=--=-，所以 sin sin(2)cos 22παββ=-=-，即 sin cos 20αβ+=。

2006年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)数 学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。

全卷满分150分,考试时间120分钟。

1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致。

2.答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答第Ⅱ卷时，必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．书写。

在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。

4.考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 P （A+B ）＝P(A)+P(B) S =4πR 2如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 P(A ·B)=P(A)·P(B) 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 V =34πR 3n 次独立事件重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C k n P k (1－P)n －k其中R 表示球的半径如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 P(A ·B)=P(A)·P(B) 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 V =34πR 3n 次独立事件重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C k n P k (1－P)n －k 其中R 表示球的半径第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）复数i3i31-+等于（A ）i （B ）－i （C ）3+i （D ）3－i (2)设集合A={x ｜｜x －2｜≤2,x ∈R},B={y ｜y=2x -,－1≤x ≤2},R (A ∩B)等于（A ）R (B){x ｜x ∈R,x ≠0} (C){0} (D) (3)若抛物线y 2=2px 的焦点与椭圆22162xy+=的右焦点重合，则p 的值为（A ）－2(B)2 (C)－4 (D)4(4)设a ，b ∈R ，已知命题p ：a=b;命题q ：222()22a ba b++≤则p 是q 成立的 (A) 必要不充分条件 (B) 充分不必要条件（C ）充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 (5)函数y =⎩⎨⎧-≥0,,0,22＜x x x x 的反函数是（A ）y =⎪⎩⎪⎨⎧-≥0,0,2＜x x x x(B)y =⎩⎨⎧-≥0,0,2＜x x x x(C) y =⎪⎩⎪⎨⎧--≥0,0,2＜x x x x(D)y =⎩⎨⎧--≥0,0,2＜x x x x(6)将函数y =sin ωx (ω＞0)的图象按向量a =(6π-，0)平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（A ）y =sin(x 6π+) (B) y =sin(x 6π-)(C) y =sin(2x 3π+)(D) y =sin(2x 3π-)第（6）题图 （7）若曲线y =x 4的一条切线l 与直线x +4y －8=0垂直，则l 的方程为（A ）４x －y －3=0 (B)x +4y －5=0 (C)4x －y +3=0 (D)x +4y +3=0(8)设α＞0，对于函数f (x )=xax sin sin +(0＜x ＜π)，下列结论正确的是（A ）有最大值而无最小值 （B ）有最小值而无最大值 （C ）有最大值且有最小值 （D ）既无最大值又无最小值(9) 表面积为２3的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为(A)π32 (B)π31 (C)π32 (D)π332(10)如果实数x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤++≥+≥+-,01,01,01y x y y x 那么2x －y 的最大值为(A)2 (B)1 (C)－2 (D)－3(11) 如果111C B A ∆的三个内角的余弦值分别等于∆A 2B 2 C 2的三个内角的正弦值，则(A) 111C B A ∆和∆A 2B 2 C 2都是锐角三角形 (B) 111C B A ∆和∆A 2B 2 C 2都是钝角三角形(C) 111C B A ∆是钝角三角形，∆A 2B 2 C 2是锐角三角形(D) 111C B A ∆是锐角三角形，∆A 2B 2 C 2是钝角三角形(12)在正方体上任选３个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等．腰三角形的概率为 (A)71 (B)72 (C)73 (D)742006年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）第Ⅱ卷（非选题 共90分）注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡．．．上书写作答，在试题卷上书写作答无效．．．．．．．．．．．.二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置.（13）设常数a ＞0，（ax 2+x1）4展开式中x 3的系数为23,则∞-n lim (a+a 2+…+a n)= .(14)在平行四边形ABCD 中，AB =a , AD =b , AN =3, NC ,M 为BC 的中点，则MN =.(用a ,b 表示)（15）函数f(x)对于任意实数x 满足条件f(x+2)=)(1x f ，若f (1)=－5,则f (f (5))= .(16)多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的.如图，正方体的一个顶点A 在平面a 内，其余顶点在a 在同侧.正方体上与顶点A 相邻的三个顶点到a 的距离分别为1,2和4.P 是正方体的其余四个顶点中的一个，则P 到平面a 的距离可能是： ① 3；②4；③5；④6；⑤7. 以上结论正确的为 . （写出所有正确结论的编号．．）三.解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分12分)已知43π＜a ＜π，tan a +cot a =－310.（Ⅰ）求tan a 的值；（Ⅱ）求)4sin(282cos 112cos 2sin 82sin 522π--++a aa a a 的值.（18）（本小题满分12分）在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较.在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂.现有芳香度分别为0,1,2,3,4,5的六种添加剂可供选用.根据试验设计学原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验.用ξ表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和.（Ⅰ）写ξ出的分布列；（以列表的形式给出结论，不必写计算过程） （Ⅱ）求ξ的数学期望E.（要求写出计算过程或说明道理）(19)(本小题满分12分)如图，P 是边长为1的正六边形ABCDEF 所在平面外一点，PA =1,P 在平面ABC 内的射影为BF 的中点O .(Ⅰ)证明 P A ⊥BF ；(Ⅱ)求面APB 与面DPB 所成二面角的大小.(20)(本小题满分12分)已知函数f(x)在R 上有定义，对任意实数a ＞0和任意实数x,都有f (ax )=af (x ). (Ⅰ)证明f (0)=0;(Ⅱ)证明f (x )=⎩⎨⎧<≥,0,,0,x hx x kx 其中k 和h 均为常数;(Ⅲ)当(Ⅱ)中的k ＞0时，设1()()()g x f x f x =+ (0)x >,讨论g(x)在(0,+∞)内的单调性求极值.(21)(本小题满分12分)数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1=12,S n =n 2a n －n (n －1),n =1,2…(Ⅰ)写出S n 与S n －1的递进关系式(n ≥2),并求S n 关于n 的表达式; (Ⅱ)设1()n n n S f x xn+=，()n n b f p '= (P ∈R)，求数列{b n }的前n 项和T n .(22)(本小题满分14分) 如图，F 为双曲线C :22221xya b-= (a ＞0,b ＞0)的右焦点,P 为双曲线C 右支上一点,且位于x 轴上方，M 为左准线上一点，O 为坐标原点，已知四边形OFPM 为平行四边形|PF|=λ|OF|. (Ⅰ)写出双曲线C 的离心率e 与λ 的关系式;(Ⅱ)当λ=1时，经过焦点F 且平行于OP 的直线交双曲线于A 、B 两点，若|AB|＝12,求此时的双曲线方程.2006年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)数 学（理科）参考答案一、选择题：1.A 2.B 3.D 4.B 5.C 6.C 7.A 8.B 9.A 10.B 11.D 12.C 二、填空题：13. 1 14.41(b －a ) 15. 51-16. ①③④⑤提示：11i i===-故选A2．解：[0,2]A =，[4,0]B =-，所以(){0}R R C A B C = ，故选B 。