4.3(1)方程的认识

一元一次方程的认识和解法

一、重难点知识归纳及讲解

1、有关方程的概念

用等号“ =”来表示相等关系的式子，叫做等式.

含有未知数的等式叫做方程.

只含有一个未知数，并且未知数的指数是 1的方程，叫做一元一次方程.

使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解. 只含有一个未知数的方程的解，也叫做方程的根.

求得方程的解的过程，叫做解方程.

2、等式的基本性质

性质 1：等式两边同时加上（或减去）同一个数或同一个代数式，所得结果仍是等式，即：

若 a=b，则a＋m=b＋m，a－m=b－m.

性质 2：等式两边同时乘以同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式，即：

若 a=b，则am=bm， .

此外等式还有两条性质.

性质 3：若a=b，则b=a（等式的对称性）.

性质 4：若a=b，b=c，则a=c（等式的传递性）.

3、移项法则

方程中的任何一项都可以在改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项，这个法则叫做移项法则。

所移动的是方程中的项，并且是从方程的一边移到另一边，而不是在这方程的一边变换两项的位置。移项时要变号，不变号不能移项。

4、解一元一次方程的一般步骤

解一元一次方程的基本思路是通过对方程变形，把含有未知数的项移到方程的一边，把常数项移到方程的另一边，最终把方程转化到 x=a的形式。

解一元一次方程的一般步骤是：

（1）去分母：根据等式基本性质2，在方程两边都乘以各分母的最小公倍数；

（2）去括号：利用去括号法则、分配律，先去小括号，再去中括号，最后去大括号；

（3）移项：根据等式基本性质1，利用移项法则，把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边；

（4）合并同类项：利用合并同类项法则，把方程化成ax=b的形式；

（5）系数化为1：根据等式基本性质2，在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x=ba(a≠0).

1 第 1 页 第三章 一元一次方程

第一节 认识一元一次方程（一）

【学习目标】1、了解一元一次方程的定义；2、会列简单方程解决实际问题。

【学习方法】自主探究与合作交流相结合．

【学习重难点】重点：一元一次方程的概念.难点：列一元一次方程.

【学习过程】模块一 预习反馈

二、学习准备

1、等式的概念：含有 的式子，叫做等式.

2、代数式的概念：用 把 或 连接而成的式子叫做

代数式，单独的 也是代数式.

3、方程的概念：含有 的等式叫做方程.

4、使方程左右两边的值相等的 ，叫做方程的解.

5、一元一次方程的概念：在一个方程中，只含有 ，并且

这样的方程叫一元一次方程.

（1）阅读教材:第1节 《认识一元一次方程》

二、教材精读7、理解一元一次方程和方程的解的概念

（1）情景剧：小明在公园里认识了新朋友小彬

小明：小彬，我能猜出你的年龄。 小彬：不信。

小明：你的年龄乘2减5得数是多少？ 小彬：21

小明：你今年13岁。

小彬心里嘀咕：他怎么知道我的年龄是13岁的呢？

如果设小彬的年龄为X岁，那么“乘2再减5”就是 ，

所以得到等式 .

归纳：在小学我们已经知道，像这样含有未知数的等式叫做 .

在一个方程中，只含有 ，并且

“第4章二元一次方程组”分析

本章是继一元一次方程后，又一个体现符号表示思想的内容。方程不仅在数学上有着广泛的应用，同时也是学习物理、化学等其他学科知识的一个重要基础，它是刻画现实世界的一个有效数学模型。本章主要内容有：二元一次方程的概念及其解的不唯一性、二元一次方程组的解法及建立和运用二元一次方程组这种数学模型解决一些简单的实际问题。通过二元一次方程组的解法的学习，不仅让学生掌握用代入法、加减法解二元一次方程组，并且使学生了解一个重要的数学思想方法：消元（代入消元法、加减消元法）。通过二元一次方程组的应用体验波利亚的问题解决的四个步骤：理解问题、制定计划、执行计划、回顾。本章内容的学习是建立在有理数、整式的运算、一元一次方程等知识的基础上，是一元一次方程知识的延伸和拓广，也是今后学习一般线性方程组、函数等内容的基础，具有承上启下的作用。

一、教科书内容和课程教学目标

1. 本章教学要求。

（1）了解二元一次方程的意义，能根据具体问题中的数量关系列出二元一次方程。认识对给定的二元一次方程中的一个未知数的值，另一个未知数有一个确定的值，用列表的方法表示二元一次方程的解，知道二元一次方程的解有无数多个，了解两个未知数(变量)之间的变化关系。

（2）了解二元一次方程组的意义，会用代入法和加减法解二元一次方程组。

（3）会列二元一次方程组解决简单的实际问题，并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理。

2. 本章教材分析。

（1）4.1 二元一次方程。

在七年级上册，学生已经学习了一元一次方程，并能对一些简单的实际问题分析其等量关系，列出一元一次方程加以解决。在此基础上，本小节通过生活中的实际问题，以合作学习的方式，让学生列出方程，从而引出二元一次方程的概念，并让学生体验二元一次方程来源于生活，并是解决生活实际问题的需要。比原教材用天平上的数量关系直接引入的设计更具生活化，更能引起学生的兴趣。怎样正确理解二元一次方程的解是本小节的难点。因为学生脑子里已有的方程（一元一次方程）的解都是唯一的，而二元一次方程的解不唯一，并且这里所说的一个解实际上是一对数，这对数虽说有无数组，但却不是随意的。这对初学者来说是不容易理解的。本小节的例题：已知方程3x+2y=10（1）用关于x的代数式表示y；（2）求当x=-2，0，3时，对应的y的值，并写出方程3x+2y=10的三个解。其中“用一个字母的代数式表示另一个字母的安排”有助于学生进一步理解二元一次方程的解的不唯一性，并且为如何获得二元一次方程的解及后面用代入法解二元一次方程组打下伏笔。

4.3.1 对数的概念

【学习目标】

课程标准

学科素养

1.理解对数的概念、掌握对数的性质(重、难点).

2.掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质解方程(重点). 1、直观想象

2、数学运算

【自主学习】

一．对数

(1)指数式与对数式的互化及有关概念：

(2)底数a的范围是 .

二.常用对数与自然对数

三.对数的基本性质

(1)负数和零 对数.

(2)loga1＝ (a>0，且a≠1).

(3)logaa＝ (a>0，且a≠1).

(4)对数恒等式alogaN＝ (a>0且a≠1，N >0).

【小试牛刀】

思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)logaN是loga与N的乘积．( )

(2)(－2)3＝－8可化为log(－2)(－8)＝3.( )

(3)对数运算的实质是求幂指数．( )

(4)在b＝log3(m－1)中，实数m的取值范围是(1，＋∞)．( )

【经典例题】

题型一 指数式与对数式的互化

点拨：指数式与对数式互化的思路

(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式.

(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式. 例1 根据对数定义，将下列指数式写成对数式：

①3x＝127； ①14x＝64； ①log1612＝－14； ①ln 10＝x.

【跟踪训练】1 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：

(1)43＝64；(2)ln a＝b；(3)12m＝n；(4)lg 1000＝3.

题型二 利用指数式与对数式的互化求变量的值

点拨:①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题.

②利用幂的运算性质和指数的性质计算.

例2 利用指数式、对数式的互化求下列各式中x的值.

(1)log2x＝－12；(2)logx25＝2；(3)log5x2＝2.