随机振动的功率谱分析
在物理学中，信号通常是波的形式，例如电磁波、随机振动或者声波。当波的频谱密度乘以一个适当的系数后将得到每单位频率波携带的功率，这被称为信号的功率谱密度（power spectral density, PSD ）或者谱功率分布（spectral power distribution, SPD ）。功率谱密度的单位通常用每赫兹的瓦特数（W/Hz ）表示，或者使用波长而不是频率，即每纳米的瓦特数（W/nm ）来表示。
功率谱是一种概率统计方法，是对随机变量均方值的量度。一般用于随机振动分析，连续瞬态响应只能通过概率分布函数进行描述，即出现某水平响应所对应的概率。功率谱密度函数是结构在随机动态载荷激励下响应的统计结果，是一条功率谱密度值与频率值的关系曲线，其中功率谱密度可以是位移功率谱密度、速度功率谱密度、加速度功率谱密度、力功率谱密度等形式。数学上，功率谱密度值与频率值的关系曲线下的面积就是方差，即响应标准偏差的平方值。谱是个很不严格的东西，常常指信号的Fourier 变换，是一个时间平均（ time average ）概念。功率谱指的是信号在每个频率分量上的功率，频谱其实是一个幅度谱，只是信号在各个分量上的幅度值。因为通信中一般对于信号的分析都是把信号看作电压值，所以功率就是电压的平方再除以电阻值。为了分析简单归一化，令R=1，这时候功率谱就是频谱模的平方了。模也就是实部分量和虚部分量平方和的开方，故功率谱保留了频谱的幅度信息，但是丢掉了相位信息，所以频谱不同的信号其功率谱是可能相同的。
功率谱和频谱有两个重要区别：其一，功率谱是随机过程的统计平均概念，平稳随机过程的功率谱是一个确定函数；而频谱是随机过程样本的Fourier 变换，对于一个随机过程而言，频谱也是一个“随机过程”；其二，功率概念和幅度概念的差别，我们只能对宽平稳的各态历经的二阶矩过程谈功率谱，其存在性取决于二阶矩是否存在及其Fourier 变换是否收敛；而频谱的存在性仅仅取决于该随机过程的该样本的Fourier 变换是否收敛。
若一个确定信号f(t)，－∞＜t ＜∞，满足狄氏条件，且绝对可积，即满足：
⎰∞
∞-∞
则f(t)的傅里叶变换存在，为：
⎰∞
∞--=
dt e
t f F t j ωω)()(
S(ω)与s(t)满足Parseval 定理： ⎰⎰∞∞-∞∞-=ωωπd F dt t f 2
2)(21)(
一个随机过程的样本函数，尽管它的总能量是无限的，但其平均功率却是有限值，即：
⎰-∞→∞<=2/2/2
)(1lim T T T dt t x T P
若f(t)是功率有限信号，从f(t)中截取|t |≤T/2的一段，得到一个截断函数f T (t)，如下图所示。
该截断函数可以表示为：
⎪⎩⎪⎨⎧><=2/02/)()(T t T t t f t f T
如果T 是有限值，则f T (t)的能量也是有限的。令f T (t)的傅里叶变换为F T (ω)，则利用Parseval 定理f T (t)的能量E T 可表示为： E T =∫f T 2(t )dt =12π∫|F T (ω)|2dω∞−∞∞−∞
因为，
∫f T 2(t )dt =∫
f 2(t)dt T/2−T/2
∞−∞ 所以f(t)的平均功率为：
P =lim T→∞1∫f 2(t)dt T/2−T/2=1∫lim T→∞|F T (ω)|2dω∞
−∞ 当T →∞时，f T (t)→f(t)，此时|F T (ω)|2T 可能趋近于一极限。假若此极限存在，定
义它是f(t)的功率谱密度函数，简称功率谱，记作S(ω)。这样便得到f(t)的功率谱为：
S (ω)=lim T→∞|F T (ω)|2T
由此可得：
P =12π∫S(ω)dω∞
−∞
由上式可见，功率谱表示单位频带内信号功率随频率的变化情况，也就是说，它反映了信号功率在频域的分布状况。显然，功率谱曲线S (ω)所覆盖的面积在数值
上等于信号的平均功率。S(ω)是频率ω的实偶函数，它保留了频谱F T(ω)的幅度信息而丢掉了相位信息。因此，凡是具有同样幅度谱而相位谱不同的信号都有相同的功率谱。
