高中数学离散型随机变量的均值苏教版选修2-3
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离散型随机变量的均值
教学目标
（1）通过实例，理解取有限值的离散型随机变量均值（数学期望）的概念和意义；
（2）能计算简单离散型随机变量均值（数学期望），并能解决一些实际问题．
教学重点，难点：取有限值的离散型随机变量均值（数学期望）的概念和意义．
教学过程
一．问题情境
1．情景：
前面所讨论的随机变量的取值都是离散的，我们把这样的随机变量称为离散型随机变量．这样刻画离散型随机变量取值的平均水平和稳定程度呢？
甲、乙两个工人生产同一种产品，在相同的条件下，他们生产100件产品所出的不合格品数分别用12,XX表示，12,XX的概率分布如下．
1X 0 1 2 3
kp 0.7 0.1 0.1 0.1
2X 0 1 2 3
kp 0.5 0.3 0.2 0
2．问题：
如何比较甲、乙两个工人的技术？
二．学生活动
1． 直接比较两个人生产100件产品时所出的废品数．从分布列来看，甲出0件废品的概率比乙大，似乎甲的技术比乙好；但甲出3件废品的概率也比乙大，似乎甲的技术又不如乙好．这样比较，很难得出合理的结论．
2． 学生联想到“平均数”，，如何计算甲和乙出的废品的“平均数”？
3． 引导学生回顾《数学3（必修）》中样本的平均值的计算方法．
三．建构数学
1．定义 在《数学3（必修）》“统计”一章中，我们曾用公式1122...nnxpxpxp计算样本的平均值，其中ip为取值为ix的频率值．
类似地，若离散型随机变量X的分布列或概率分布如下：
X 1x 2x „
nx
P 1p 2p „ np
其中，120,1,2,...,,...1inpinppp，则称1122...nnxpxpxp为随机变量X的均值或X的数学期望，记为()EX或．
2．性质
（1）()Ecc；（2）()()EaXbaEXb．（,,abc为常数）
四．数学运用
1．例题：
例1．高三（1）班的联欢会上设计了一项游戏，在一个小口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同．某学生一次从中摸出5个球，其中红球的个数为X，求X的数学期望．
分析：从口袋中摸出5个球相当于抽取5n个产品，随机变量X为5个球中的红球的个数，则X服从超几何分布(5,10,30)H．
解：由2．2节例1可知，随机变量X的概率分布如表所示：
X
0 1 2 3 4 5
P 258423751 807523751 855023751 380023751 70023751 4223751
从而
2584807585503800700425()0123451.66672375123751237512375123751237513EX 答：X的数学期望约为1.6667．
说明：一般地，根据超几何分布的定义，可以得到0()rnrnMNMnrNrCCMEXnCN． 例2．从批量较大的成品中随机取出10件产品进行质量检查，若这批产品的不合格品率为0.05，随机变量X表示这10件产品中不合格品数，求随机变量X的数学期望()EX．
解：由于批量较大，可以认为随机变量~(10,0.05)XB，
1010()(1),0,1,2,...,10kkkkPXkpCppk
随机变量X的概率分布如表所示：
X 0 1 2 3 4 5
kp 001010(1)Cpp 11910(1)Cpp 22810(1)Cpp 33710(1)Cpp 44610(1)Cpp 55510(1)CppX 6 7 8 9 10
kp 66410(1)Cpp 77310(1)Cpp 88210(1)Cpp
99110(1)Cpp 1010010(1)Cpp
故100()0.5kkEXkp
即抽10件产品出现不合格品的平均件数为0.5件．
说明：例2中随机变量X服从二项分布，根据二项分布的定义，可以得到：当~(,)XBnp 时，()EXnp．
例3．设篮球队A与B进行比赛，每场比赛均有一队胜，若有一队胜4场则比赛宣告结束，假定,AB在每场比赛中获胜的概率都是12，试求需要比赛场数的期望．
分析：先由题意求出分布列，然后求期望
解：（1）事件“4X”表示，A胜4场或B胜4场（即B负4场或A负4场），且两两互斥．
4400044411112(4)()()()()222216PXCC；
（2）事件“5X”表示，A在第5场中取胜且前4场中胜3场，或B在第5场中取胜且前4场中胜3场（即第5场A负且4场中A负了3场），且这两者又是互斥的，所以
33431141441111114(5)()()()()22222216PXCC
（3）类似地，事件“6X”、 “7X”的概率分别为 33532252551111115(6)()()()()22222216PXCC，
33633363661111115(7)()()()()22222216PXCC
比赛场数的分布列为
X
4
5 6 7
P 216 416 516 516
故比赛的期望为2455()45675.812516161616EX（场）
这就是说，在比赛双方实力相当的情况下，平均地说，进行6场才能分出胜负．
2．练习：
据气象预报，某地区下个月有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01．现工地上有一台大型设备，为保护设备有以下三种方案：
方案1：运走设备，此时需花费3800元；
方案2：建一保护围墙，需花费2000元．但围墙无法防止大洪灾，若大洪灾来临，设备受损，损失费为60000元；
方案：不采取措施，希望不发生洪水，此时大洪水来临损失60000元，小洪水来临损失1000元．
试选择适当的标准，对3种方案进行比较．
五．回顾小结：
1．离散型随机变量均值（数学期望）的概念和意义；
2．离散型随机变量均值（数学期望）的计算方法；
3．超几何分布和二项分布的均值（数学期望）的计算方法．
