广东省高考数学压轴卷试题理(含解析)

2025届广东省广州增城市高三压轴卷数学试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数22,0,()1,0,x x x f x x x ⎧-=⎨+<⎩，则((1))f f -=（ ）A ．2B ．3C ．4D ．52．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、，圆222x y b +=与双曲线在第一象限内的交点为M ，若123MF MF =．则该双曲线的离心率为A ．2B ．3C D 3．天干地支，简称为干支，源自中国远古时代对天象的观测.“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”称为十天干，“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”称为十二地支.干支纪年法是天干和地支依次按固定的顺序相互配合组成，以此往复，60年为一个轮回.现从农历2000年至2019年共20个年份中任取2个年份，则这2个年份的天干或地支相同的概率为（ ） A ．219B ．995C ．4895D ．5194．已知2π()12cos ()(0)3f x x ωω=-+>.给出下列判断： ①若12()1,()1f x f x ==-，且12minπx x -=，则2ω=；②存在(0,2)ω∈使得()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到的图象关于y 轴对称； ③若()f x 在[]0,2π上恰有7个零点，则ω的取值范围为4147,2424⎡⎫⎪⎢⎭⎣； ④若()f x 在ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围为20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦.其中，判断正确的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．已知[]2240a b a b +=⋅∈-，，，则a 的取值范围是（ ） A ．[0，1]B ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．[1，2] D．[0，2]6．若2nx ⎛+ ⎝的二项式展开式中二项式系数的和为32，则正整数n 的值为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．47．设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，22()log (1)1f x x ax a =++-+(a 为常数)，则不等式(34)5f x +>-的解集为（ ） A ．(,1)-∞-B ．(1,)-+∞C ．(,2)-∞-D ．(2,)-+∞8．已知在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若函数()3222111()324f x x bx a c ac x =+++-存在极值，则角B 的取值范围是（ ） A ．0,3π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．,3π⎛⎫π⎪⎝⎭D ．,6π⎛⎫π⎪⎝⎭9．已知实数x ，y 满足2212x y +≤，则2222267x y x y x +-++-+的最小值等于（）A ．5B ．7C-D ．9-10．复数1z 在复平面内对应的点为()22,3,2,z i =-+则12z z =（ ） A ．1855i -+ B ．1855i -- C ．815i -+D ．815i --11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[]0.51-=-，[]1.51=，已知函数12()4324x x f x -=-⋅+（02x <<），则函数[]()y f x =的值域为（ ） A ．13,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B ．{}1,0,1-C ．1,0,1,2D ．{}0,1,212．已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中错误的是（ ） A ．若m //α，α//β，则m //β或m β⊂ B ．若m //n ，m //α，n α⊄，则n //αC ．若m n ⊥，m α⊥，n β⊥，则αβ⊥D ．若m n ⊥，m α⊥，则n //α二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

金太阳广东省2025届高考压轴卷数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．执行如图所示的程序框图后，输出的值为5，则P 的取值范围是（ ）.A ．37,48⎛⎤⎥⎝⎦B ．59,610⎛⎤⎥⎝⎦C ．715,816⎛⎤⎥⎝⎦D ．1531,1632⎛⎤⎥⎝⎦ 2．已知向量a ，b ，b =(13，且a 在b 方向上的投影为12，则a b ⋅等于（ ） A ．2B ．1C ．12D ．03．曲线24x y =在点()2,t 处的切线方程为（ ） A ．1y x =-B ．23y x =-C ．3y x =-+D ．25y x =-+4．已知复数z ＝（1+2i ）（1+ai ）（a ∈R ），若z ∈R ，则实数a ＝（ ） A ．12B ．12-C ．2D ．﹣25．若函数()ln f x x =满足()()f a f b =，且0a b <<，则224442a b a b+-+的最小值是（ ）A ．0B ．1C ．32D ．226．已知函数()3sin ,f x x a x x R =+∈，若()12f -=，则()1f 的值等于（ ） A ．2B ．2-C ．1a +D ．1a -7．如图所示，为了测量A 、B 两座岛屿间的距离，小船从初始位置C 出发，已知A 在C 的北偏西45︒的方向上，B 在C 的北偏东15︒的方向上，现在船往东开2百海里到达E 处，此时测得B 在E 的北偏西30的方向上，再开回C 处，由C 向西开26百海里到达D 处，测得A 在D 的北偏东22.5︒的方向上，则A 、B 两座岛屿间的距离为（ ）A ．3B ．32C ．4D ．428．函数1()ln 1f x x x =--的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．9．已知三棱锥D ABC -的体积为2，ABC 是边长为2的等边三角形，且三棱锥D ABC -的外接球的球心O 恰好是CD 中点，则球O 的表面积为（ ） A ．523πB ．403πC ．253πD ．24π10．如图，2AB =是圆O 的一条直径，,C D 为半圆弧的两个三等分点，则()AB AC AD ⋅+=（ ）A ．52B ．4C ．2D ．13+11．已知集合{}1,2,3,,M n =（*n N ∈），若集合{}12,A a a M =⊆，且对任意的b M ∈，存在{},1,0,1λμ∈-使得i j b a a λμ=+，其中,i j a a A ∈，12i j ≤≤≤，则称集合A 为集合M 的基底.下列集合中能作为集合{}1,2,3,4,5,6M =的基底的是（ ）A ．{}1,5B ．{}3,5C ．{}2,3D ．{}2,412．甲乙丙丁四人中，甲说：我年纪最大，乙说：我年纪最大，丙说：乙年纪最大，丁说：我不是年纪最大的，若这四人中只有一个人说的是真话，则年纪最大的是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019-2020年高考冲刺压轴广东卷数学（理卷二） 含解析注意事项：1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0．5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效．3．非选择题必须用0．5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．漏涂、错涂、多涂的答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回． 参考公式：①体积公式：1=,=3V S h V S h ⋅⋅柱体锥体，其中V S h ，，分别是体积，底面积和高． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2015·广东省佛山市二模·1）集合{}40 <<∈=x N x A 的子集个数为（ ）A ．3B ．4C ．7D ．82．（2015·广东省肇庆市三模·1）设i 为虚数单位，则复数)1(i i z -=对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．（2015·广东省广州市二模·2）已知0a b >>，则下列不等关系式中正确的是（ ）A ．sin sin a b >B ．22log log a b <C ．1122a b <D ．1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4．（2015·广东省惠州市二模·5）在ABC ∆中，2=AB ，3=AC ，3AB AC ⋅=，则=BC ( )ABCD5．（2015·广东省揭阳市二模·4）已知1sin()3πα+=，则cos 2α=（ ）B.89C.79-D.796．（2015·广东省深圳市二模·4）如图1，已知某品牌墨水瓶的外形三视图和尺寸，则该墨水瓶的容积为（ ）（瓶壁厚度忽略不计）A ．π8+B ．π48+C ．π16+D ．π416+7．（2015·广东省湛江市二模·5）在右图所示的程序框图中，输出的i 和s 的值分别为（ ）．A ．3,21B ．3,22C ．4,21D ．4,228．（2015·广东省汕头市二模·7）图11正视图侧视图俯视图二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．（2015·广东省佛山市二模·9）不等式112<-x 的解集为 ． 10．（2015·广东省肇庆市三模·10）某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有 种（用数字作答）．11．（2015·广东省惠州市二模·9）设0,0a b >>，若1a b +=，则11a b +的最小值为__________．12．（2015·广东省茂名市二模·12）已知直线1y kx =+与曲线b ax x y ++=3相切于点(1，3)，则b 的值为 ．13．（2015·广东省深圳市二模·12）设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知153=S ，1539=S ，则=6S ．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14．（2015·广东省汕头市二模·14）15．（2015·广东省佛山市二模·15）（几何选讲） 如图1，AB 是圆O 的直径，CD ⊥AB 于D ，且AD ＝2BD ，E 为AD 的中点，连接CE 并延长交圆O 于F ，若2=CD ，则EF ＝ ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（2015·广东省肇庆市三模·16）（本小题满分12分）已知函数x x x x f 2c o s )23s i n ()s i n (3)(-++=ππ．（1）求函数)(x f 的最小正周期； （2）若]0,2[πθ-∈，103)32(=+πθf ，求)42sin(πθ-的值．17．（2015·广东省广州市二模·17）（本小题满分12分）某市为了宣传环保知识，举办了一次“环保知识知多少”的问卷调查活动（一人答一份）．现从回收的年龄在20～60岁的问卷中随机抽取了n 份，统计结果如下面的图表所示．组号年龄分组答对全卷的人数答对全卷的人数占本组的概率1 [20,30) 28 b2 [30,40) 27 0.93 [40,50) 50.5 4a0.4（1）分别求出a ，b ，c ，n 的值；（2）从第3，4组答对全卷的人中用分层抽样的方法抽取6人，在所抽取的6人中随机抽取2人授予“环保之星”，记X 为第3组被授予“环保之星”的人数，求X 的分布列与数学期望．AB图118．（2015·广东省惠州市二模·18）（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ADC ∠=︒，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，2PA PD AD ===，1BC =，CD =（1）求证：平面PQB ⊥平面PAD ；（2）若二面角M BQ C --为 30，设PM t MC =⋅，试确定 t 的值．MPCABDQ19．（2015·广东省揭阳市二模·18）(本小题满分14分)已知等比数列{}n a 满足：0n a >，15a =，n S 为其前n 项和，且13220S S S ，，7成等差数列．（1）求数列{n a }的通项公式； （2）设525452+2log log log n n b a a a =+++，求数列{1nb }的前n 项和n T ．20．（2015·广东省茂名市二模·20）（本小题满分14分）已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>过点P ，离心率为12，过直线4:=x l 上一点M 引椭圆E 的两条切线，切点分别是A 、B ．（1）求椭圆E 的方程；（２）是否存在实数λ，使得BC AC BC AC ⋅=+λ恒成立？(点C 为直线AB 恒过的定点)若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．21．（2015·广东省深圳市二模·21）（本小题满分14分）已知函数xbax x x f +-=ln )(，对任意的),0(∞+∈x ，满足0)1()(=+xf x f ， 其中b a ,为常数．（1）若)(x f 的图像在1=x 处切线过点)5,0(-，求a 的值；（2）已知10<<a ，求证：0)2(2>a f ； （3）当)(x f 存在三个不同的零点时，求a 的取值范围．2015年高考冲刺压轴卷·广东卷数学（理卷二）参考答案与解析1．D【命题立意】本题旨在考查集合的子集个数．【解析】集合A 的元素是自然数，所以A ＝｛1,2,3｝,共3个元素，其子集个数为23＝8个． 故选:D 2．A【命题立意】本题考查复数的乘法运算法则、考查复数的几何意义．【解析】z=i （1-i ）=1+i 所以z 对应的点为（1，1）所以z 对应的点位于第一象限，故选A ． 3．D【命题立意】考查不等式的性质，容易题. 【解析】因为2ππ>，则sin sin2ππ<，所以选项A 错误；因为b a >，则22log log a b >，所以选项B 错误；若0a b >>，则1122a b >，所以选项C 错误；若0a b >>，则1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以选项D 正确. 4．B【命题立意】本题考查向量的数量积运算及余弦定理． 【解析】13cos 2AB AC A ⋅=⇒=，又由余弦定理知7=BC ． 5．D【命题立意】考查诱导公式、二倍角公式，容易题. 【解析】由1sin()3πα+=得31sin -=α，∴97)31(21sin 212cos 22=⨯-=-=αα.6．C【命题立意】本题考查了三视图和体积公式．【解析】几何体为圆柱体和长方体的组合体，∴24216V ππ=+⨯⨯=+．故选C ． 7．D【命题立意】本题考查程序框图．【解析】按程序框图的流水方向一步一步推到，或者寻找出规律即可，步骤略．【命题立意】本题考查的知识点是直方图和茎叶图．【解析】由频率分布直方图可知：第一组的频数为20×0.01×5=1个， 频数为20×0.02×5=2个， 则对应的茎叶图为A ， 故选A 9．()0,1【命题立意】本题旨在考查绝对值不等式的解法． 【解析】211,1211,01x x x -<∴-<-<∴<<，所以不等式的解集为()0,1故答案为：()0,1 10．10【命题立意】本题考查分类计数原理问题，关键是如何分类． 【解析】由题意知本题是一个分类计数问题一是3本集邮册一本画册，让一个人拿本画册就行了4种另一种情况是2本画册2本集邮册，只要选两个人拿画册24C =6种 根据分类计数原理知共10种， 故答案为：10 11．4【命题立意】本题考查基本不等式,“1”的代换．【解析】1111()()1b a b ab a b a +=++=+124a b ++≥+=，当且仅当a b =时取等号，所以11a b+的最小值为4． 12．3【命题立意】考查导数的几何意义，容易题．【解析】 b ax x y ++=3，∴a x y +='23， 切点为)3,1(，∴13+=k ，即2=k ，∴2132=+⨯a ，∴1-=a ，∴b +⨯-=11133，所以3b =．【命题立意】本题考查等差数列的前n 项和的计算．【解析】在等差数列中，3S ，63S S -，96S S -也成等差数列，即15，615S -，6153S -成等差数列，则62(15)S -=615315S -+，即666S =．故答案为:66．14．【命题立意】本题旨在考查参极坐标方程． 【解析】．故答案为．15 【命题立意】本题旨在考查相交弦定理和三角形的相似．【解析】在Rt ABC ∆中，CD ⊥AB 于D ，所以CD 2＝AD ·BD ＝2BD 2＝2，∴DB ＝AE ＝ED ＝1∴CE BC ===ACE ∽△FBE ，AE CE EF BE ∴=，故AE BE EF CE ⨯==16．（1）π（2）-50【命题立意】本题考查的是二倍角公式，辅助角公式以及和差公式进行化简求值． 【解析】（1）x x x x f 2cos cos sin 3)(-= （2分）212cos 2sin 23+-=x x （4分）21)62sin(--=πx （5分） 所以函数)(x f 的最小正周期ππ==22T ． （6分） （2）由（1）得21cos 21)2sin(21]6)32(2sin[)32(-=-+=--+=+θπθππθπθf ，（7分）由10321cos =-θ，得54cos =θ． （8分）因为]0,2[πθ-∈，所以53sin -=θ． （9分）所以2524cos sin 22sin -==θθθ，2571cos 22cos 2=-=θθ， （11分）所以502314sin2cos 4cos2sin )42sin(-=-=-πθπθπθ． （12分） 17．（1）10=a ，8.0=b ，03.0=c ，100=n ；（2）32. 【命题立意】考查频率分布直方图，分层抽样，随机变量的分布列、期望，中等题. 【解析】（1）根据频率直方分布图，得()0.0100.0250.035101c +++⨯=， 解得0.03c =．第3组人数为105.05=÷，所以1001.010=÷=n ． 第1组人数为1000.3535⨯=，所以28350.8b =÷=． 第4组人数为2525.0100=⨯，所以250.410a =⨯=． （2）因为第3，4组答对全卷的人的比为5:101:2=， 所以第3，4组应依次抽取2人，4人. 依题意X 的取值为0，1，2．()022426C C 20C 5P X ===，()112426C C 81C 15P X ===，()202426C C 12C 15P X ===，所以X 的分布列为：X0 1 2P25815 115所以2812012515153EX =⨯+⨯+⨯=． 18．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）3【命题立意】本题考查平面与平面垂直的证明，求实数的取值． 【解析】（Ⅰ）证法一：∵AD ∥BC ，BC=12AD ，Q 为AD 的中点， ∴四边形BCDQ 为平行四边形，∴CD ∥BQ ． …………………1分 ∵∠ADC=90°，∴∠AQB=90°，即QB ⊥AD ． …………………2分 又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD∩平面ABCD=AD ，…………………4分 ∴BQ ⊥平面PAD ． …………………5分 ∵BQ ⊂平面PQB ，∴平面PQB ⊥平面PAD ． …………………6分 证法二：AD ∥BC ，BC=12AD ，Q 为AD 的中点，∴四边形BCDQ 为平行四边形， ∴CD ∥BQ ． …………………1分 ∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°，即QB ⊥AD ． …………………2分 ∵PA=PD ，∴PQ ⊥AD ． …………………3分 ∵PQ∩BQ=Q PBQ 平面、⊂BQ PQ ， …………………4分 ∴AD ⊥平面PBQ ． …………………5分 ∵AD ⊂平面PAD ，∴平面PQB ⊥平面PAD ． …………………6分 （Ⅱ）法一：∵PA=PD ，Q 为AD 的中点，∴PQ ⊥AD ．∵面PAD ⊥面ABCD ，且面PAD∩面ABCD=AD ，∴PQ ⊥面ABCD ．……………7分 如图，以Q 为原点建立空间直角坐标系．则平面BQC 的法向量为(0,0,1)n =；……8分(0,0,0)Q，P，B，(1C -．设(,,)M x y z ，则(,,PM x y z =，(1,)MC x y z =---……9分 PM t MC =⋅,∴1(1))()1t x t x t x y t y y z t z z t ⎧=-⎪+=--⎧⎪⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪=-⎩⎪=⎪+⎩，………10分 在平面MBQ中，QB =，1t QM t ⎛=- +⎝⎭，∴平面MBQ 法向量为(3,0,)m t =．……12分 ∵二面角M BQ C --为30°，∴cos303n m n m⋅︒===⋅+3t =......14分 法二：过点M 作MO //PQ 交QC 于点O ，过O 作OE ⊥QB 交于点E ，连接ME ， 因为PQ ⊥面ABCD ,所以MO ⊥面ABCD ，由三垂线定理知ME ⊥QB ， 则MEO ∠为二面角M BQ C --的平面角。

2024年高考压轴卷【新高考卷】数学·全解全析一、单选题1．已知集合105x A x x ⎧⎫+=≥⎨⎬-⎩⎭，(){}22log 16B x y x ==-，则()R A B ⋂=ð（）A ．()1,4-B ．[]1,4-C ．(]1,5-D ．()4,52．宋代是中国瓷器的黄金时代，涌现出了五大名窑：汝窑、官窑、哥窑、钧窑、定窑．其中汝窑被认为是五大名窑之首．如图1，这是汝窑双耳罐，该汝窑双耳罐可近似看成由两个圆台拼接而成，其直观图如图2所示．已知该汝窑双耳罐下底面圆的直径是12厘米，中间圆的直径是20厘米，上底面圆的直径是8厘米，高是14厘米，且上、下两圆台的高之比是3:4，则该汝窑双耳罐的体积是（）A ．1784π3B ．1884π3C ．2304π3D ．2504π33．如图，左车道有2辆汽车，右车道有3辆汽车等待合流，则合流结束时汽车通过顺序共有（）种.A ．10B ．20C ．60D ．120【答案】A【分析】合流结束时5辆车需要5个位置，第一步从5个位置选2个位置安排左边的2辆汽车，第二步剩下3个位置安排右边的3辆汽车，从而由分步乘法计数原理可得结果.【详解】设左车辆汽车依次为12,A A ，右车辆汽车依次为123,,B B B ，则通过顺序的种数等价于将12,A A 安排在5个顺序中的某两个位置（保持12,A A 前后顺序不变），123,,B B B 安排在其余3个位置（保持123,,B B B 前后顺序不变），123,,B B B ，所以，合流结束时汽车通过顺序共有2353C C 10=.故选：A.4．已知等比数列{}n a 的各项均为负数，记其前n 项和为n S ，若6467813,8S S a a a -=-=-，则2a =（）A ．－8B ．－16C ．－32D ．－485．已知圆C ：22()1x y m +-=，直线l ：()1210m x y m ++++=，则直线l 与圆C 有公共点的必要不充分条件是（）A ．11m -≤≤B ．112m -≤≤C ．10m -≤≤D ．102m ≤≤6．已知函数2()log f x x =，则对任意实数,a b ，“0a b +≤”是“()()0f a f b +≤”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件故选：C.7．已知0.50.2a =，cos2b =，lg15c =，则（）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．b a c<<8．从椭圆22:1(0)x y C a b a b+=>>外一点()00,P x y 向椭圆引两条切线，切点分别为,A B ，则直线AB 称作点P关于椭圆C 的极线，其方程为00221x x y ya b+=.现有如图所示的两个椭圆12,C C ，离心率分别为12,e e ，2C 内含于1C ，椭圆1C 上的任意一点M 关于2C 的极线为l ，若原点O 到直线l 的距离为1，则2212e e -的最大值为（）A ．12B ．13C ．15D ．14二、多选题9．已知非零复数1z ，2z 在复平面内对应的点分别为1Z ，2Z ，O 为坐标原点，则下列说法正确的是（）A ．若1211z z -=-，则12=z z B ．若1212z z z z +=-，则120OZ OZ ⋅=C ．若1212z z z z +=-，则120z z ⋅=D ．若1212z z z z +=+，则存在实数t ，使得21z tz =10．已知四面体ABCD的一个平面展开图如图所示，其中四边形AEFD是边长为B，C分别为AE，FD的中点，BD=）⊥A．BE CDB．BE与平面DCE所成角的余弦值为15C．四面体ABCD的内切球半径为30D．四面体ABCD的外接球表面积为8π【点睛】11．对于数列{}n a （N n a +∈），定义k b 为1a ，2a ，…，k a 中最大值（1,2,,k n =⋅⋅⋅）（N n +∈），把数列{}n b 称为数列{}n a 的“M 值数列”.如数列2，2，3，7，6的“M 值数列”为2，2，3，7，7，则（）A ．若数列{}n a 是递减数列，则{}n b 为常数列B ．若数列{}n a 是递增数列，则有n na b =C ．满足{}n b 为2，3，3，5，5的所有数列{}n a 的个数为8D ．若()1()2N n n a n -+=-∈，记n S 为{}n b 的前n 项和，则1001002(21)3S =-三、填空题12．已知向量()1,1,4a b == ，且b 在a 上的投影向量的坐标为()2,2--，则a 与b的夹角为.13．已知公比q 大于1的等比数列{}n a 满足135a a +=，22a =.设22log 7n n b a =-，则当5n ≥时，数列{}n b 的前n 项和n S =.14．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过点2F 且斜率为34-的直线与C 交于,A B两点．若112AF F F ⊥，则C 的离心率为；线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点D ，则22BF DF =．5.【点睛】方法点睛：椭圆求离心率或者范围关键是找到关于,a c 的齐次式求得.四、解答题15．如图，在平面四边形ABCD ，已知1BC =，3cos 5BCD ∠=-.（1）若AC 平分BCD ∠，且2AB =，求AC 的长；（2）若45CBD ∠=︒，求CD 的长.16．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC △是边长为2的正三角形，侧面11BB C C 是矩形，11AA A B =．(1)求证：三棱锥1A ABC -是正三棱锥；(2)若三棱柱111ABC A B C -的体积为221AC 与平面11AA B B 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)23【分析】（1）根据线面垂直的判定定理及性质定理，证明1A O ⊥平面ABC 即可；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角正弦即可.【详解】（1）分别取AB ，BC 中点D ，E ，连接CD ，AE 交于点O ，则点O 为正三角形ABC 的中心．因为11AA A B CA CB ==，得1CD AB AD AB ⊥⊥，，又11,,A D CD D A D CD =⊂ 平面1A CD ，所以AB ⊥平面1A CD ，又1A O ⊂平面1A CD ，则1AB A O ⊥；取11B C 中点1E ，连接111A E E E ，，则四边形11AA E E 是平行四边形，因为侧面11BB C C 是矩形，所以1BC EE ⊥，又BC AE ⊥，又11,,EE AE E EE AE =⊂ 平面11AA E E ，所以BC ⊥平面11AA E E ，又1A O ⊂平面11AA E E ，则1BC A O ⊥；又AB BC B ⋂=，,AB BC ⊂平面ABC ，所以1A O ⊥平面ABC ，所以三棱锥1A ABC -是正三棱锥．17．某学校为了解本学期学生参加公益劳动的情况，从学校内随机抽取了500名高中学生进行在线调查，收集了他们参加公益劳动时间（单位:小时）分配情况等数据，并将样本数据分成[0,2],(2,4]，(4,6],(6,8],(8,10],(10,12],(12,14],(14,16]，(16,18]九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.(1)为进一步了解这500名学生参加公益劳动时间的分配情况，从参加公益劳动时间在(12,14],(14,16],(16,18]三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人.记参加公益劳动时间在(14,16]内的学生人数为X ，求X 的分布列和期望；(2)以调查结果的频率估计概率，从该学校所有高中学生中随机抽取20名学生，用“20()P k ”表示这20名学生中恰有k 名学生参加公益劳动时间在(10,12]（单位:小时）内的概率，其中0,1,2,,20k = .当20()P k 最大时，写出k 的值.18．已知双曲线(22:10,0x y C a b a b-=>>）的左右焦点分别为12,F F ，C 的右顶点到直线2:a l x c =的距离为1，双曲线右支上的点到1F 的最短距离为3(1)求双曲线C 的方程；(2)过2F 的直线与C 交于M 、N 两点，连接1MF 交l 于点Q ，证明：直线QN 过x 轴上一定点.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.19．函数()e xf x a x=-图像与x 轴的两交点为()()()1221,0,0A x B x x x >，(1)令()()ln h x f x x x =-+，若()h x 有两个零点，求实数a 的取值范围；(2)证明：121x x <；(3)证明：当5a ≥时，以AB 为直径的圆与直线)1y x =+恒有公共点．（参考数据：0.25 2.5e 1.3e 12.2≈≈，）。