元胞自动机

▪ 将某些变换规则应用于每个结点状态，就会发生自 动机的演化。
➢ 这些规则决定着晶格格座的状态；对于局域规则，格座 状态是其前一状态及近邻格点（座）状态的函数，而在 整体变换规则下，则为所有格座状态的函数。传统元胞 自动机大多采用局域变换规则。
➢ 这种方法对于在规则晶格结构方面的应用是比较容易接 受的。特别对于非均匀介质，在讨论的晶格区域采用较 小的晶格间距比较妥当； 而且，还必须考虑对变换速率 进行合理修正和重正化。
➢ 广义微结构元胞自动机可以采用元胞或格座的离散空间 格栅，这时的空间既可以是实空间，也可以是动量空间 或波矢空间。然而，在空间上通常被认为是均匀的，亦 即所有格座都是等价的，并被排布在规则晶格上，其中 的变换规则在各处都是一样的。
1 概述
➢ 同时，像常规自动机那样，假定它们是有限个可能状态 中的一个，并对所有元胞状态同步更新。此外，它们与 常规自动机不同的是，格座变换既可以按照确定性定律， 也可以按照概率性定律。因而，广义微结构元胞自动机 在计算材料学中的发展势头日益强劲。
➢ 鉴于这些特点，元胞自动机方法为模拟动力学系统的演 化提供了一种直接的手段，这些动力学系统包含有大量 基于短程相互作用或长程相互作用的相似组元。对于一 个简单的物理系统，时间是其唯一个独立变量（自变量） 这种直接方法，就相当于对多少有些复杂的偏微分方程 组，利用有限差分近似法给出其离散解。
1 概述
1 概述
▪ 在材料科学中，有时对常规有限差分计算方法补充 一些“如果.. . 就..”规则是很有意义的。
➢ 在塑性学、断裂力学或晶体生长等领域遇到的情况。上 述附加规则的方法为处理“ 数学上的奇点(即非光滑函数 表述中的临界或自发效应)问题提供了一种简单有效的选 择。这些规则经常出现在微结构模拟中：
元胞自动机
1 概述
▪ 元胞自动机(Cellular Automata)作为描述处理复杂 系统在离散空间、时间上演化规律的算法，通常采 用对晶格格座的局域或整体的确定性和概率性变换 规则进行具体操作。
▪ 空间变量可以代表实空间、动量空间或波矢空间。
▪ 晶格定义为具有固定数目的点，这些点可以看作是 有限差分场中的结点。
▪ 由于元胞自动机的应用并不局限于微观体系， 所 以它为在微结构模拟中实现不同空间及时间尺度的 方法之间的跨越，提供了一个非常方便的数值工具。
1 概述
▪ 元胞自动机以离散时间步发展演化。
➢ 经过一个时间间隔，要对所有结点的态变量值同时更新。
▪ 近年来，通过对Wolfram (1986) 创立的经典元胞 自动机(CCA)方法的合理拓展，已经建立起一批更 广义的元胞自动机(GCA)方法。
➢ 后者作为元胞自动机方法的变种，它比原来的方法有更 强的适应性，尤其是在计算材料学中的一些特殊应用方 面优点突出。
1 概述
▪ 元胞自动机通常被认为是离散计算方法的普遍化推 广，具有更加广泛的适用性和多功能的特点。
➢ 元胞自动机并不简单地等同于普通模拟方法，例如各种 有限差分法、有限元法、伊辛( Ising) 法、波茨( Potts) 方法等。
➢ 这种灵活适用性是基于这样个事实：除了采用简明的数 学表达式作为变量和变换规则之外，自动机还能够实际 地包括任何元素或规则。
1 概述
▪ 同时，从物理角度看，分子动力学表示的是真正的 微观模型，而在使用元胞自动机方法时，并不局限 任何特定体系，可适用于任何系统。
▪ 与蒙特卡罗方法相比，由元胞自动机方法得到的平 衡系综的热力学量， 在物理上更缺少依据和基础。 由于这个原因，在进行元胞自动机计算机实验之前， 一个重要工作就是，检验基本模拟单元是否切实体 现了"基础物理实体"的特性。
1 概述
▪ 如果对主微分方程补充上述所说的“如果…就”的 变换规则，就可以对复杂系统的动力学行为特性进 行模拟。通常而言，所考查粒子之间的局域相互作 用是这一问题的根本基础。
▪ 元胞自动机模拟一般是在基本尺 法对连续体空间进行离散化和映射处理的派生方法， 不存在物理特征线度或时间刻度的内禀标定问题。 这就是说，对连续体系统的元胞自动机模拟，需要 定义相应的基本单元和对应的变换规则，展现系统 在给定层次上的行为特性。这就解释了为什么将元 胞自动机方法放在本章关于介观-微观方法中介绍， 而不是与蒙特卡罗方法或分子动力学放在一起。
➢ 晶格一般是规则晶格， 其维数、大小可以是任意的。 它表述了系统由基础实体(elementary entities)形成的 构象，这些"基础实体"被认为与所用模型密切相关，它 们可以是任意大小的连续体型体积单元、原子颗粒、晶 格缺陷或生物界中的动物等等。
1 概述
➢ 构成系统的基本实体，可以由广义态变量(诸如无量纲数、 粒子密度、晶格缺陷密度、粒子速度、颜色、血压或动 物种类等)进行量化表述。在每个独立的格座，这些态变 量的实际取值都是确定的。并且认为，每一个结点代表 有限个可能的离散状态中的一个态。
➢ 应该强调指出，这些元胞自动机方法对"基础实体"类型 和选用的变换规则没有任何限制。它们可以对不同的处 理状况进行描述，诸如：简单有限差分模拟中态变量值 的分布，混合算法的色问题，“教室里的儿童健康情况" 在任何变换条件下的模糊集合元素， 以及元胞的初级生 长与衰减过程等。
➢ 在计算材料学领域， 元胞自动机的变换规则般存在于有 限差分、有限元，以及关于时间和2个或3个空间坐标的 偏微分藕合方程组的蒙特卡罗近似之中。同时，局域变 换描述近邻格座之间的短程相互作用，而整体变换规则 能够处理长程相互作用。通常，根据各个态变量的取值 可以给出相应格座的状态。
离散位错动力学模拟经常包含有这样一个规则“如果两个反平 行螺位错相互靠近到其间距小于5个伯格斯矢量时，它们就会自 发淹没。
在断裂力学或弹簧模型中，会经常包含这样的规则“如果裂纹 速度达到某个值，试验样品将自主损坏。
在重结晶模拟中，会经常遇到这样的规则“如果晶体局域取向 误差达到某一个值，格座将满足成核的动力学非稳定性临界条 件” 或“局域储存的弹性能达到某个临界值，格座将满足成核 的热力学非稳定性条件”。