2019-2020学年高中数学 2.2.2双曲线的简单几何性质(1)导学案 理新人教A版选修1-1.doc

2.2.2 双曲线的简单几何性质

课后篇巩固提升

基础巩固

1.双曲线=1的左焦点与右顶点之间的距离等于 ( )

A.6 B.8 C.9 D.10

解析由已知得左焦点(-5,0),右顶点(3,0),所以左焦点与右顶点之间的距离等于8.

答案B

2.中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的实轴与虚轴相等,一个焦点到一条渐近线的距离为,则双曲线方程为( )

A.x2-y2=1 B.x2-y2=2

C.x2-y2= D.x2-y2=

解析由题意,设双曲线方程为=1(a>0),

则c=a,一条渐近线为y=x,∴,

∴a2=2.∴双曲线方程为x2-y2=2.

答案B

3.若实数k满足0

A.焦距相同 B.实半轴长相等

C.虚半轴长相等 D.离心率相等

解析由于00,即曲线=1为焦点在x轴上的双曲线,焦点坐标为(,0);25-k>0,即曲线=1为焦点在x轴上的双曲线,焦点坐标为(,0),故两曲线的焦距相同,故选A.

答案A

4.下列双曲线中,不是以2x±3y=0为渐近线的是( )

A.=1 B.=1

C.=1 D.=1

解析C项中的双曲线=1,焦点在x轴上,渐近线方程为y=±x,不是2x±3y=0.

答案C

5.两正数a,b的等差中项为,等比中项为,且a>b,则双曲线=1的离心率e为(

)

A. B. C. D.

解析因为两正数a,b的等差中项为,等比中项为,所以解得因为a>b,所以所以e=.故选D.

答案D

6.(2019江苏高考)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2-=1(b>0)经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是 .

解析∵双曲线x2-=1(b>0)过点(3,4),

∴32-=1,

解得b2=2,即b=或b=-(舍去).

∵a=1,且双曲线的焦点在x轴上,

∴双曲线的渐近线方程为y=±x.

答案y=±x

7.已知双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的标准方程为 .

学必求其心得，业必贵于专精

2020-2021学年高中数学人教A版选修1-1配套作业：2.2.2 双曲线的简单几何性质含解析

第二章 2。2 2。2.2

A级 基础巩固

一、选择题

1．以椭圆错误!＋错误!＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程为（ C )

A．错误!－错误!＝1

B．错误!－错误!＝1

C．错误!－错误!＝1或错误!－错误!＝1

D．以上都不对

[解析］ 当顶点为（±4,0)时，a＝4，c＝8，b＝43,双曲线方程为错误!－错误!＝1；当顶点为（0,±3)时，a＝3，c＝6，b＝3错误!,双曲线方程为错误!－错误!＝1。

2．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是（ C )

A．2 B．2错误!

C．4 D．42

[解析] 双曲线2x2－y2＝8化为标准形式为x24－y28＝1，∴a＝2,∴实轴长为2a＝4。

3．(全国Ⅱ文,5）若a〉1，则双曲线x2a2－y2＝1的离心率的取值范围是（ C ) 学必求其心得，业必贵于专精

A．(错误!，＋∞) B．（错误!，2 ）

C．(1,错误!) D．（1,2）

[解析] 由题意得双曲线的离心率e＝错误!.

∴c2＝a2＋1a2＝1＋错误!.

∵a>1，∴0〈错误!<1，∴1<1＋错误!〈2，∴1〈e〈错误!.故选C．

4．（2018·全国Ⅲ文，10)已知双曲线C：错误!－错误!＝1（a>0,b>0）的离心率为错误!,则点(4,0）到C的渐近线的距离为( D )

A．2 B．2

C．错误! D．2错误!

［解析］ 由题意，得e＝错误!＝错误!,c2＝a2＋b2，得a2＝b2。又因为a〉0,b>0，所以a＝b，渐近线方程为x±y＝0，点（4,0）到渐近线的距离为错误!＝2错误!，

故选D．

5．(2019·全国Ⅲ卷理,10)双曲线C：错误!－错误!＝1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若|PO｜＝|PF|，则△PFO的面积为（ A )

§2.3.2双曲线的简单几何性质(2)

学习目标

1．根据双曲线的方程研究曲线的几何性质；

2．双曲线与直线的关系．

学习过程

一、课前准备

复习1：说出双曲线的几何性质?

复习2：双曲线的方程为221914xy，其顶点坐标是( )，( )；

渐近线方程 ．

二、新课导学

※ 学习探究

探究1：椭圆22464xy的焦点是？

探究2：双曲线的一条渐近线方程是30xy，则可设双曲线方程为？

问题：若双曲线与22464xy有相同的焦点，它的一条渐近线方程是30xy，则双曲线的方程是？

※ 典型例题

例1双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高为55m，试选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程．

例2点(,)Mxy到定点(5,0)F的距离和它到定直线l:165x的距离的比是常数54，求点M的轨迹．

例3过双曲线22136xy的右焦点，倾斜角为30的直线交双曲线于,AB两点，求,AB两点的坐标．

变式：求AB ？

思考：1AFB的周长？

※ 动手试试

练1．若椭圆22214xya与双曲线2212xya的焦点相同，则a=____.

练2 ．若双曲线2214xym的渐近线方程为32yx，求双曲线的焦点坐标．

三、总结提升

※ 学习小结

1．双曲线的综合应用：与椭圆知识对比，结合；

2．双曲线的另一定义；

3．直线与双曲线的位置关系．

※ 知识拓展

双曲线的第二定义：到定点的距离与到定直线的距离之比大于1的点的轨迹是双曲线．

学习评价

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.

A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1．若椭圆2212516xy和双曲线22145xy的共同焦点为F1，F2，P是两曲线的一个交点，则12PFPF的值为（ ）．

3.2.2

双曲线的简单几何性质

学 习 目 标 核 心 素 养

1.掌握双曲线的简单几何性质．(重点)

2．理解双曲线的渐近线及离心率的意义．(难点) 1.通过学习双曲线的几何性质，培养学生的直观想象、数学运算核心素养．

2．借助双曲线几何性质的应用及直线与双曲线位置关系的应用，提升学生的直观想象及数学运算、逻辑推理核心素养.

(1)复习椭圆的简单几何性质：范围、对称性、顶点、长轴、短轴、离心率等性质．

(2)用多媒体展示几组焦点在x轴、y轴上开口大小各不相同的双曲线，观察双曲线形状的美．

(3)根据椭圆的几何性质，那么双曲线有哪些几何性质呢？

1．双曲线的几何性质

标准方程 x2a2－y2b2＝1

(a＞0，b＞0) y2a2－x2b2＝1

(a＞0，b＞0)

图形

性质 范围 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a

对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点

顶点 (－a,0)，(a,0) (0，－a)，(0，a)

轴长 实轴长＝2a，虚轴长＝2b

离心率 e＝ca>1

渐近线

y＝±bax y＝±abx

思考：渐近线相同的双曲线是同一条双曲线吗？

[提示] 渐近线相同的双曲线有无数条，但它们实轴与虚轴的长的比值相同．

2．双曲线的中心和等轴双曲线

(1)双曲线的中心

双曲线的对称中心叫做双曲线的中心．

(2)等轴双曲线

实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率e＝2.

3．直线与双曲线的位置关系

将y＝kx＋m与x2a2－y2b2＝1联立消去y得一元方程(b2－a2k2)x2－2a2kmx－a2(m2＋b2)＝0.

Δ的取值 位置关系 交点个数

k＝±ba时

相交 只有一个交点

k≠±ba且Δ＞0 有两个交点

k≠±ba且Δ＝0 相切 只有一个交点

k≠±ba且Δ＜0 相离 没有公共点

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)双曲线x22－y24＝1的焦点在y轴上． ( )