6 电势差与电场强度的关系1．电势差与电场强度的关系匀强电场中两点间的电势差等于电场强度与这两点沿电场方向的距离的乘积．公式表示为U ＝Ed .2．关于E ＝U d的说明(1)在匀强电场中,电场强度的大小等于两点间的电势差与沿电场方向距离的比值,公式表示为E ＝U d.也就是说,电场强度在数值上等于沿电场方向每单位距离上降低的电势．(2)由公式E ＝U d得出的电场强度单位是伏/米,以前学习的电场强度单位是牛/库．由E ＝U d知d ＝1 m 时,E ＝U 是否可以理解为电场强度和电势差是一回事？提示：d ＝1 m 时,E ＝U 表示某匀强电场的电场强度在数值上等于沿电场线方向上,距离为1 m 的两点间的电势差的大小,但二者不是一回事．考点一 对公式U ＝Ed 和E ＝U d的进一步理解1．关系式表明了电场强度与电势差的关系(1)大小关系：由E ＝U d可知,电场强度在数值上等于沿电场方向每单位距离上降低的电势．(2)方向关系：电场中电场强度的方向就是电势降低最快的方向．(3)物理意义：电场强度是电势差对空间位置的变化率,反映了电势随空间变化的快慢． 2．U ＝Ed 的两个推论(1)在匀强电场中,沿任意一个方向,电势下降都是均匀的,故在同一直线上相同间距的两点间电势差相等．如果把某两点间的距离平均分为n 段,则每段两端点间的电势差等于原电势差的1/n .(2)在匀强电场中,沿任意方向相互平行且相等的线段两端点的电势差相等． 3．在非匀强电场中,公式E ＝U d 可用来定性分析问题,由E ＝U d可以得出结论在等差等势面中等势面越密的地方场强就越大,如图甲所示．再如图乙所示,a 、b 、c 为某条电场线上的三个点,且距离ab ＝bc ,由于电场线越密的地方电场强度越大,故U ab <U bc .【例1】 如图所示,实线表示某静电场的电场线,虚线表示该电场的等势面．下列判断正确的是( )A．1、2两点的场强相等B．1、3两点的场强相等C．1、2两点的电势相等D．2、3两点的电势相等解答本题时应注意,非匀强电场中距离相等的等势面间的电势差不相等．【答案】 D【解析】根据电场线的疏密表示电场强度的大小知,1点的电场强度大于2点、3点的电场强度,选项A、B错误；根据沿着电场线方向电势逐渐降低,在同一等势面上各点的电势相等知,1点的电势高于2点电势,2点、3点处于同一等势面上,电势相等,选项C错误,D正确．总结提能一般情况下,电场线分布图中画出的等势面是等差等势面,在匀强电场中,因为电场强度处处相等,所以等差等势面间也是等间距的．但在非匀强电场中,由于电场强度的变化,所以等差等势面间的间距不相等．如图所示,在电场强度为E＝4.0×103 N/C的匀强电场中有相距5.0 cm的A、B两点,两点连线与电场强度方向成30°角,求A、B两点间的电势差．答案：173 V解析：过B点作一垂直于电场线的平面即等势面,过A点作电场线的平行线,二者交于B′点,如图所示,显然φB＝φB′.U AB＝U AB′＝E·AB′＝E·AB cos30°＝4.0×103×0.05×32V≈173 V.考点二巧用“等分法”画电场线(1)根据“电场线与等势面垂直,并且由电势高的等势面指向电势低的等势面”,若知道电场中电势的分布情况,就可以知道电场线的分布情况．(2)在匀强电场中,只要找到两个电势相等的点就可以得到一条等势线．(3)电势相等的点可根据匀强电场的特点利用等分法去找．(4)等分法画电场线的步骤：①非匀强电场明确电势的分布情况,根据电场线与等势面垂直,并且指向电势低的等势面画出电场线．②匀强电场只要找到两个电势相等的点,就可得到一条等势线,从而画出电场线．【例2】如图所示的方框中为一匀场电场,A、B、C三点为电场中的三点,电势分别为φA＝24 V,φB＝12 V,φC＝－24 V,试用作图法作出该电场的电场线．匀强电场的特点：电场线等距离且平行,沿任意直线上电势均匀分布．【答案】见解析【解析】在图示的匀强电场中,沿AB方向和AC方向电势都是均匀降低的,因φA＝24 V,φC＝－24 V,则AC连线的中点O的电势必为零,而AO的中心点O′的电势一定等于12 V,即O′和B在同一等势面上,连接BO′即为该匀强电场中的一条等势线,根据电场线与等势面垂直可画出电场的电场线,如图所示,作图步骤如下：(1)连接AC,并作出AC的中点O；(2)再作出AO的中点O′；(3)连接O′B；(4)过A点作直线O′B的垂线AD,电场E的方向由A→D.总结提能在匀强电场中,电场线是一簇相互平行的直线,等势面也相互平行且电场线垂直于等势面,根据在匀强电场中沿任意方向电势均匀变化来确定等势面,从而确定电场方向．如图所示,A、B、C是匀强电场中的等腰直角三角形的三个顶点,已知A、B、C三点的电势分别为φA＝15 V,φB＝3 V,φC＝－3 V,试确定场强的方向,并画出电场线．答案：见解析解析：根据A 、B 、C 三点电势的特点,在AC 连线上取M 、N 两点,使AM ＝MN ＝NC ,如图所示,尽管AC 不一定是场强方向,但可以肯定AM 、MN 、NC 在场强方向上的投影长度相等,由U ＝Ed 可知,U AM＝U MN ＝U NC .φA －φC 3＝15－－33V ＝6 V ．由此可知,φN ＝3 V,φM ＝9 V,B 、N 两点等电势,BN的连线即为等势面,那么电场线与BN 垂直．电场强度的方向为电势降低的方向：斜向下．考点三 匀强电场中电场强度、电势、电势差的综合问题此类问题涉及的概念、公式较多,要根据需要灵活选择： (1)U AB ＝Ed 或E ＝U ABd,可用于确定电势差或场强； (2)U AB ＝φA －φB ,可用于确定某点电势；若φB ＝0,则φA ＝U AB ； (3)E p ＝qφ,用于确定某点电势能,在φ＝0处,E p ＝0；(4)在电场中转移电荷,电场力做功W AB ＝qU AB ,知道了W AB 和q 便可推知电场中一些点的电势关系．(5)电场中电势相等的点构成等势面,电场线的方向总是和等势面垂直且由电势高的等势面指向电势低的等势面,知道了等势面便可推知电场线的分布情况．【例3】 如图所示的电场,等势面是一簇互相平行的竖直平面,间隔均为d ,各面电势已在图中标出,现有一质量为m 的带电小球以速度v 0、方向与水平方向成45°角斜向上射入电场,要使小球做直线运动,问：(1)小球应带何种电荷？电荷量是多少？(2)在入射方向上小球最大位移量是多少？(电场足够大)解答本题应把握以下三点： (1)物体做直线运动的条件； (2)对小球的受力分析； (3)公式E ＝Ud的意义．【答案】 (1)正电 mgd U (2)2v 24g【解析】 (1)作出电场线如图甲所示,由题意知,只有小球受到向左的电场力,电场力和重力的合力与初速度才可能在一条直线上,如图乙所示,只有当F 合与v 0在一条直线上才可能使小球做直线运动．所以小球带正电,小球沿v 0方向做匀减速直线运动．由图乙知qE ＝mg .相邻等势面间的电势差用U 表示,所以E ＝U d ,所以q ＝mg E ＝mgdU.(2)由图乙知F 合＝qE2＋mg2＝2mg (因为qE ＝mg )由动能定理得：－F 合s m ＝0－12mv 20 所以s m ＝mv 2022mg＝2v 24g 总结提能 (1)由等势面的分布情况,根据电场线与等势面的关系,画出该电场的电场线,根据粒子的运动特点进行受力分析,判断粒子的带电性质,然后选用相应的物理规律求有关物理量．(2)应用公式U ＝Ed 时需要注意下面几个问题：①此式仅适用于匀强电场．②d 是指电场两点间电场线方向上的距离,而不是两点间连线的长度．如图所示,在匀强电场中,一电荷量为q ＝5.0×10－10C 的正电荷,由a 点移到b 点和由a点移到c 点,电场力做的功都是3.0×10－8J,已知a 、b 、c 三点的连线组成直角三角形,ab ＝20 cm,θ＝37°.求：(1)a 、b 两点间的电势差； (2)匀强电场的场强大小； (3)电场强度的方向． 答案：(1)60 V (2)375 V/m(3)电场强度方向与ac 平行,由a 指向c解析：因为正电荷q 从a 到b 和从a 到c ,电场力做功相等,所以由W ＝qU 可得U ab ＝U ac ,b 、c 两点在同一等势面上,则电场强度方向与ac 平行,由a 指向c .U ab ＝W ab q ＝3.0×10－85.0×10－10V ＝60 V.由U ＝Ed 得,E ＝U d ＝U ab ab cos θ＝600.2×0.8V/m ＝375 V/m.1．(多选)对公式U ＝Ed 的理解,下列说法中正确的是( CD ) A ．在相同距离上的两点,电势差大的其电场强度也必定大 B ．此公式适用于所有电场中的问题C ．在匀强电场中,公式中的d 是通过两点的等势面间的垂直距离D ．在匀强电场中,沿着电场线的方向,任何相等距离上的电势降落必定相等2．(多选)如图所示,为一个点电荷的电场中三条电场线,已知电子在A 点的电势能为－8 eV(以无穷远处为零电势参考点),则以下判断中正确的是( AC )A ．电场线方向一定由A 指向BB ．电子在A 点所受静电力一定小于在B 点所受的静电力C ．A 点电势一定高于B 点的电势D ．A 、B 两点间的电势差一定大于8 V解析：由于无穷远处的电势为0,而电子在A 点的电势能为负,说明A 点的电势必大于0,由电场线是点电荷的电场线且由高电势指向低电势知,电场线一定由A 指向B ,故A 、C 正确；由电场线的分布可知,A 点的场强必大于B 点的场强,故B 错误；A 点的电势能是－8 eV,说明A 点到无穷远处的电势差是8 V,故D 错误．3．在一个匀强电场中有a 、b 两点相距为d ,电场强度为E ,把一个电量为q 的负电荷由a 移到b 点时,电场力对电荷做正功W ,以下说法正确的是( C )①a 点电势比b 点电势低 ②a 、b 两点电势差大小为U ＝Ed ③a 、b 两点电势差大小为U ＝Wq④该电荷在b 点电势能较a 点大 A ．①② B ．②③ C ．①③D ．③④解析：由题意电场力做正功W ,逆着电场线移动电荷,①对；电势能减少,④错；a 、b 两点连线不一定是沿电场线方向,②错；由静电力做功与电势差的关系,③对．故选C.4．(多选)如图所示,一电场的电场线分布关于y 轴(沿竖直方向)对称,O 、M 、N 是y 轴上的三个点,且OM ＝MN .P 点在y 轴右侧,MP ⊥ON .则( AD )A．M点的电势比P点的电势高B．将负电荷由O点移动到P点,电场力做正功C．M、N两点间的电势差大于O、M两点间的电势差D．在O点静止释放一带正电粒子,该粒子将沿y轴做直线运动解析：作出过点M的等势线,因电场线与等势线是正交的,且沿电场线方向电势是降低的,故A正确；将负电荷从O点移到P点时,因所处位置电势降低,其电势能增大,故应是克服电场力做功,B错误；由E＝U/d及电场线疏密程度知O、M两点间电势差应大于M、N两点间电势差,C 错误；在y轴上各点场强方向相同,故从O点由静止释放的带正电粒子运动中始终受到沿y轴正方向的电场力,D正确．5．(多选)如图所示,直线a、b和c、d是处于匀强电场中的两组平行线,M、N、P、Q是它们的交点,四点处的电势分别为φM、φN、φP、φQ,一电子由M点分别运动到N点和P点的过程中,电场力所做的负功相等,则以下说法正确的是( BD )A．直线a位于某一等势面内,φM>φQB．直线c位于某一等势面内,φM>φNC．若电子由M点运动到Q点,电场力做正功D．若电子由P点运动到Q点,电场力做正功解析：一电子由M点分别运动到N点和P点的过程中,电场力所做的负功相等,所以N、P 两点的电势相同,并且φM>φN＝φP,由于MQ和NP平行,所以MQ也为一条等势线,故直线c位于某一等势面内,A错误,B正确；若电子由M点运动到Q点,电场力做功为零,C错误；若电子由P点运动到Q点,电子从低电势向高电势运动,电场力做正功,D正确．。
