快速傅里叶变换
实验报告
班 级：
姓 名：
学 号:
快速傅里叶变换
一．实验目的
1.在理论学习的基础上，通过本实验加深对快速傅立叶变换的理解；
2.熟悉并掌握按时间抽取FFT算法的程序；
3.了解应用FFT进行信号频谱分析过程中可能出现的问题，例如混淆、泄漏、栅栏效应等，以便在实际中正确应用FFT。
二．实验内容
1.仔细分析教材第六章‘时间抽取法FFT ’的算法结构，编制出相应的用FFT进行信号分析的C语言（或MATLAB 语言）程序；
2.用FFT程序分析正弦信号
()sin(2)[()(*)],(0)1ytftututNTtu设
分别在以下情况进行分析并讨论所得的结果：
a） 信号频率f＝50Hz，采样点数N=32,采样间隔T=0.000625s
b） 信号频率f＝50Hz，采样点数N=32,采样间隔T=0.005s
c） 信号频率f＝50Hz，采样点数N=32,采样间隔T=0.0046875s
d） 信号频率f＝50Hz，采样点数N=32,采样间隔T=0.004s
e） 信号频率f＝50Hz，采样点数N=64,采样间隔T=0.000625s
f） 信号频率f＝250Hz，采样点数N=32,采样间隔T=0.005s
g） 将c） 信号后补32个0，做64点FFT
三．实验要求
1.记录下实验内容中各种情况下的X (k)值，做出频谱图并深入讨论结果，说明参数的变化对信号频谱产生哪些影响。频谱只做模特性，模的最大值＝1，全部归一化；
2.打印出用C语言（或MATLAB 语言）编写的FFT源程序，并且在每一小段处加上详细的注释说明；
3.用C语言（或MATLAB 语言）编写FFT程序时，要求采用人机界面形式：
N , T , f 变量均由键盘输入，补零或不补零要求设置一开关来选择。
四．实验分析
对于本实验进行快速傅里叶变换，依次需要对信号进行采样，补零（要求补零时），码位倒置，蝶形运算，归一化处理并作图。
此外，本实验要求采用人机界面形式，N,T,F变量由键盘输入，补零或不补零设置一开关来选择。
1.采样
本实验进行FFT运算，给出的是正弦信号，需要先对信号进行采样，得到有限长序列nx， Nn......2,1,0
Matlab实现：
t=0:T:T*(N-1);
x=sin(2*pi*f*t);
2.补零
根据实验要求确定补零与否，可以用if语句做判断，若为1，再输入补零个数，
并将补的零放到采样得到的序列的后面组成新的序列，此时新的序列的元素个数等于原采样点个数加上补零个数，并将新的序列个数赋值给N。
Matlab实现：
a=input('是否增加零点? 是请输入1 否请输入0\n');
if(a)
ZeroNum=input('请输入增加零点的个数:\n');
else
ZeroNum=0;
end
if (a)
x=[x zeros(1, ZeroNum)];%%指令zeros(a,b)生成a行b列全0矩阵，在单行矩阵x后补充0
end
N=N+ZeroNum;
3.码位倒置
本实验做FFT变换的级数为M，NM2log
做序列数对应的二进制数的码位倒置，dec2bin（）函数将十进制数转换为二进制数，fliplr（）将二进制数进行码位倒置 ，bin2dec（）将二进制数转换为十进制数，并将按码位倒置得到的序列赋值为nA，Nn......2,1,0
Matlab实现:
M=log2(N); %% M位二进制数
for t=1:1:N
s=dec2bin(t-1,M); %%将十进制数转换为二进制数，M表示二进制码位数的上限
s=fliplr(s); %%将二进制数进行码位倒置
s=bin2dec(s); %%将二进制数转换为十进制数
b=s+1; %%二进制数从0开始，而矩阵中元素序数从1开始，故需+1
A(b)=x(t);
end
4.蝶形运算
用三层for循环来实现:1.实现FFT每一级运算,共M级，此处for循环用来控制级数；2.实现分组，此处for循环用来控制旋转因子；3.实现每一组中FFT运算，此处for循环用来控制进行蝶形运算的两点之间的距离。
最终得到的kA即为FFT变换的结果。
Matlab实现：
for L=1:1:M
for J=0:1:(2^(L-1)-1)
for k=(J+1):2^L:N
T=A(k)+A(k+2^(L-1))*exp((-i*2*pi*J*2^(M-L))/N);
A(k+2^(L-1))=A(k)-A(k+2^(L-1))*exp((-i*2*pi*J*2^(M-L))/N);
A(k)=T;
end
end
end %%A(k)即为FFT变换结果
5.归一化处理及作图
实验要求对FFT运算结果进行归一化处理，对FFT运算结果序列kA均取绝对值得序列kB，并取出绝对值中最大值m，序列kB中所有元素均除以m，即得到归一化处理后的序列。用stem函数即可实现作图。
Matlab实现：
%%归一化处理
B=abs(A);%%将矩阵A中元素均取绝对值，得矩阵B
m=max(B);%%取矩阵B中的最大值 X=B/m; %%A（k）的幅值归一化处理之后的结果
%%作图
for i=1:1:N
stem(i-1,X(i));%%stem（A,B）表示以矩阵A中元素为纵坐标，B中元素为横坐标（一一对应）作图
hold on %%采样时间点值与元素序数相差1，故
end
axis([0 N 0 1]);%%axis限定横，纵坐标范围
五．实验结果及分析
本实验时域上加时窗，对应于频域上与sinc函数做卷积，当采样为整数倍周期时，时窗对频谱图无影响，当采样是非整数个周期时，时窗对频谱图影响较大。
采样频率sf对应数字域的2。
a) 信号频率f＝50Hz，采样点数N=32,采样间隔T=0.000625s
(1)X(k)值如下表：
X(0) X(1) X(2) X(3) X(4) X(5) X(6) X(7)
0 0-16i 0 0 0 0 0 0
X(8) X(9) X(10) X(11) X(12) X(13) X(14) X(15)
0 0 0 0 0 0 0 0
X(16) X(17) X(18) X(19) X(20) X(21) X(22) X(23)
0 0 0 0 0 0 0 0
X(24) X(25) X(26) X(27) X(28) X(29) X(30) X(31)
0 0 0 0 0 0 0 0+16i
(2)频谱图如下：
(3)分析：
b) 信号频率f＝50Hz，采样点数N=32,采样间隔T=0.005s
(1)X(k)值如下表：
X(0) X(1) X(2) X(3) X(4) X(5) X(6) X(7)
0 0 0 0 0 0 0 0
X(8) X(9) X(10) X(11) X(12) X(13) X(14) X(15)
0-16i 0 0 0 0 0 0 0
X(16) X(17) X(18) X(19) X(20) X(21) X(22) X(23)
0 0 0 0 0 0 0 0
X(24) X(25) X(26) X(27) X(28) X(29) X(30) X(31)
0+16i 0 0 0 0 0 0 0
(2)频谱图如下：
(3)分析：
c) 信号频率f＝50Hz，采样点数N=32,采样间隔T=0.0046875s
(1)X(k)值如下表：
X(0) X(1) X(2) X(3) X(4) X(5) X(6) X(7)
1.1033 1.1273 1.2050 1.3568 1.6339 2.1750 3.4960 10.2519
X(8) X(9) X(10) X(11) X(12) X(13) X(14) X(15)
-10.153 -3.3953 -2.0703 -1.5226 -1.2361 -1.0707 -0.9739 -0.9225
X(16) X(17) X(18) X(19) X(20) X(21) X(22) X(23)
-0.9063 -0.9225 -0.9739 -1.0707 -1.2361 -1.5226 -2.0703 -3.3953
X(24) X(25) X(26) X(27) X(28) X(29) X(30) X(31)
-10.15 10.2519 3.4960 2.1750 1.6339 1.3568 1.2050 1.1273
(2)频谱图如下：
