一．
一．
单项选择题（每小题3分,共45分）
1．若级数∑∞
=1
n n u 发散，则∑∞
=1
n n au ()0≠a （① ）
① 一定发散 ② 可能收收敛，也可能发散
③ a ＞0时收敛，a ＜0 发散 ④a ＞0时收敛，a ＜0 时发散。 2．级数∑∞
=1n n u 收敛的充要条件是（ ③ ）
①0lim =∞→u n n ② 11lim r u
u n
n n =+∞
→ ③ s n n lim ∞→存在 ④ n
u n 2
1
≤
3.利用级数收敛时其一般项必须趋于零的性质,指出下列哪个级数一定发散.( ④ )
① ∑∞
=13s i n n n
π
② ∑∞
=1
3
2sin n n n
③ ∑∞
=1
2
1a r c t a n
n n ④ () +++-+--+n
n n 13423111
4. 0lim =∞→u n n ,则级数∑∞
=1
n n u ( ③ ) ① 一定收敛 ② 一定发散 ③ 可能收敛,可能发散 ④ 一定条件收敛
5.在下列级数中,发散的是( ③ ) ① ∑
∞
=13
1
n n
② ++++16
1
814121
③ +++3001.0001.0001.0 ④
-+-+-535353535
4
3
2
53 6.下列级数中收敛的是( ④ )
① ∑
∞
=+1
1
21
n n ②
∑∞
=+1
13n n n
③ ∑
∞
=1
100
n q
④ ∑∞=-1
`
13
2n n n
7. 下列级数中,收敛的是(① )
① ∑∞
=-1521n n
② ∑∞=11
s i n n n ③ ∑∞=11s i n n n ④ ∑⎪⎭
⎫ ⎝⎛∞
=1
35n n
8. 下列级数中,发散的级数的是( ① ) ①
∑∞
=1
2sin n n π
② ()
n
n n 1
1
1
1∑-∞=- ③ ∑⎪⎭⎫ ⎝⎛∞
=1
43n n ④ ∑⎪⎭
⎫ ⎝⎛∞
=1
3
1n n 9.级数∑
∞
=+1
1
1
n p n
发散,则有( ① )
① p ≤0 ②
p ＞0 ③p ≤1 ④ p ＜1
10. 级数∑∞
=1
n n u 收敛(u n ＞0)则下列级数中收敛的是( ③ )
①)1001
(∑∞=+n n u ② )1001
(∑∞=-n n u ③∑∞
=1
100n n u ④∑
∞
=++11100
n n
n u u
11.在下列级数中,条件收敛的是( ② ) ①()
∑-∞=+1
1
1n n
n n ② ()
n
n n
11
1∑-∞= ③ ()
n
n n
2
1
1
1∑-∞= ④()
()
11
1
1+∑-∞=n n n n
12. 在下列级数中,绝对收敛的是( ③ ) ①∑
∞
=+11
21
n n ② ()⎪⎭
⎫ ⎝⎛∑-∞
=2311n
n n
③ ()n
n n 3
1
1
1
1∑-∞
=- ④()n
n n n
`11
1-∑-∞
=
13. 级数x n n n
n ∑∞
=+12
2的收敛半径R 是( ③ )
① 1 ② 2 ③
2
1 ④ ∞
14. 级数x n n n
n ∑∞
=+13
3的收敛半径R 是( ③ )
① 1 ② 3 ③ 3
1 ④
∞
15.幂级数x n n n
11
1+∞
=∑的收敛区间是(③ )
① ()1,1- ② []1,1- ③ [)1,1- ④ (]1,1- 二．解答题
1．用比值法判断级数∑∞
15
!n n 的敛散性。
解：由()5
5
1
!
!1,!
+++=
=
n n n n n n u u 得到，()+∞=+=+=∞
→∞
→+∞
→5
1
!
!
1lim
5
5
lim
lim
1n n n n n n
n n u
u
根据比值判别法可知，级数∑∞
1
5
!n n 的发散。
2．用根值法判断级数∑⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞1
12n n n
的敛散性。 解：2
1
12112lim lim 12lim =+=+=∞→∞
→∞
→⎪⎭
⎫ ⎝⎛+n
n n n n n
n
n n n ＜1 ∴ ∑⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞1
12n n n
收敛 3．求幂级数()∑∞
--1
2212x n n 的和函数。
解：设()()() +-++++=-=-∞
-∑x x x x n n n n x s 22421
221253112
()()()∑∑⎰⎰∑⎰
∞
--∞
∞
-=-=-=1
1
22
21
1
2
20
1212x
x
x n n x
x n x
dx n dx n dx x S
=x
x x x x 2
531-=
+++
