(完整版)解直角三角形的应用经典题型

解直角三角形应用专题带答案解直角三角形应用专题练1.在数学实践活动课上，老师带领同学们到附近的湿地公园测量园内雕塑的高度。

用测角仪在A处测得雕塑顶端点C的仰角为30°，再往雕塑方向前进4米至B处，测得仰角为45°。

求该雕塑的高度（测角仪高度忽略不计，结果不取近似值）。

2.一艘海轮位于灯塔C的北偏东45方向，距离灯塔100海里的A处。

它沿XXX方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东30°方向上的B处。

求此时船距灯塔的距离（参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732，结果取整数）。

3.2018年4月12日，菏泽国际牡丹花会拉开帷幕，XXX用直升机航拍技术全程直播。

在直升机的镜头下，观测曹州牡丹园A处的俯角为30°，B处的俯角为45°。

如果此时直升机镜头C处的高度CD为200米，点A、B、D在同一条直线上，则A、B两点间的距离为多少米？（结果保留根号）4.XXX在某桥附近试飞无人机。

为了测量无人机飞行的高度AD，XXX通过操控器指令无人机测得桥头B、C的俯角分别为∠EAB=60°，∠EAC=30°，且D、B、C在同一水平线上。

已知桥BC=30米，求无人机飞行的高度AD（精确到0.01米，参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732）。

5.我市304国道通辽至霍林郭勒段在修建过程中经过一座山峰。

其中山脚A、C两地海拔高度约为1000米，山顶B处的海拔高度约为1400米。

由B处望山脚A处的俯角为30°，由B处望山脚C处的俯角为45°。

若在A、C两地间打通一隧道，求隧道最短为多少米（结果取整数，参考数据√3≈1.732）。

6.随着航母编队的成立，我国海军日益强大。

2018年4月12日，XXX在南海海域隆重举行海上阅兵。

在阅兵之前我军加强了海上巡逻。

巡逻舰在某海域航行到A处时，该舰在观测点P的南偏东45°的方向上，且与观测点P的距离XXX为400海里。

初中解直角三角形经典题型
初中解直角三角形是一种重要的数学题型，以下是一些经典题型:
1. 已知直角三角形中一个角和一条边，解直角三角形。

这种题型比较容易，先利用一个角，求出另一个角，然后再观察已知的边是哪一条，需要求的边与已知的边是什么关系，选择合适的三角函数解题。

2. 已知直角三角形中两条边，解直角三角形。

已知两条边，解直角三角形。

按照难易程度，先用勾股定理求第三边。

我们可以任意地用两条去比，求出比值，然后与三角函数值表对照，就能得出角度。

需要注意，不能用斜边比直角边，一定是用直角边比斜边。

3. 已知直角三角形中一个角和直角边，解直角三角形。

这种题型比较特殊，需要特别注意。

先利用一个角，求出另一个角，然后根据三角函数计算出需要求的边的长度，再根据边角关系求解。

4. 已知直角三角形中两条直角边，解直角三角形。

这种题型也比较简单，根据边角关系，直接计算出需要求的边的长度，再根据三角函数求解。

5. 利用仰俯角解直角三角形。

这种题型考的是考生的综合分析能力。

根据仰俯角的基本原理，利用仰角和俯角之间的关系，求解直角三角形。

以上是初中解直角三角形的一些经典题型，考生需要熟练掌握，并能灵活运用到各种实际问题中。

2024年新课标中考数学二轮必考抢分专练解直角三角形及其应用1如图，小兵同学从A处出发向正东方向走x米到达B处，再向正北方向走到C处，已知∠BAC=α，则A，C两处相距()A.xsinα米 B.xcosα米 C.x⋅sinα米 D.x⋅cosα米【答案】B【解析】根据锐角三角函数中余弦值的定义即可求出答案.小兵同学从A处出发向正东方向走x米到达B处，再向正北方向走到C处，∴∠ABC=90°，AB=x米.∴cosα=ABAC，∴AC=ABcosα=xcosα米.故选：B .【点睛】本题考查了锐角三角函数中的余弦值，解题的关键在于熟练掌握余弦值的定义.余弦值就是在直角三角形中，锐角的邻边与斜边之比.2日照灯塔是日照海滨港口城市的标志性建筑之一，主要为日照近海及进出日照港的船舶提供导航服务．数学小组的同学要测量灯塔的高度，如图所示，在点B处测得灯塔最高点A的仰角∠ABD=45°，再沿BD方向前进至C处测得最高点A的仰角∠ACD=60°，BC=15.3m，则灯塔的高度AD大约是() (结果精确到1m，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)A.31mB.36mC.42mD.53m【答案】B【解析】在Rt△ADB中，得出AD=BD，设AD=x，则BD=x，CD=x-15.3，在Rt△ADC中，根据正切得出tan∠ACD=ADCD=xx-15.3=3，求解即可得出答案．【详解】在Rt△ADB中，∠ABD=45°，∴AD=BD，设AD=x，则BD=x，CD=x-15.3，在Rt△ADC中，∠ACD=60°，∴tan∠ACD=ADCD =xx-15.3=3，∴x≈36，∴灯塔的高度AD大约是36m．故选：B．【点睛】本题考查了解直角三角形中的仰俯角问题，解题的关键是弄清有关的直角三角形中的有关角的度数．3如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为28°，高为7米．用计算器求AB的长，下列按键顺序正确的是()A. B.C. D.【答案】B【解析】根据正弦的定义得出AB=7÷sin28°，进而可得答案．由题意得sin28°=7 AB，∴AB=7÷sin28°，∴按键顺序为7 ÷ sin2 8 = ，故选：B．【点睛】本题考查了正弦的定义，计算器的使用，正确理解三角函数的定义是解题的关键．4一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向，渔船向正东方向航行12海里到达点B处，测得灯塔C在它的北偏东45°方向，若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔C的最短距离是海里．【答案】63+6##6+63【解析】过点C作CD⊥AB交于点D，利用特殊角的三角函数值，列方程即可解答．如图，过点C 作CD ⊥AB 交于点D ，由题意可知tan ∠CAD =tan30°=33,tan ∠CBD =tan45°=1，设CD 为x ，∴BD =CD ÷tan45°=x ，AD =CD ÷tan30°=3x ，根据AB =AD -BD ，可得方程3x -x =12，解得x =63+6，∴渔船与灯塔C 的最短距离是63+6 海里，故答案为：63+6．【点睛】考查了解解直角三角形-方位角问题，熟知特殊角度的三角函数值是解题的关键．5如图，焊接一个钢架，包括底角为37°的等腰三角形外框和3m 高的支柱，则共需钢材约m (结果取整数)．(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)【答案】21【解析】根据解直角三角形及等腰三角形的性质可进行求解．∵△ABC 是等腰三角形，且CD ⊥AB ，∴AD =BD ，∵CD =3m ，∴AC =BC =CD sin37°=5m ,AD =BD =CD tan37°=4m ，∴共需钢材约为2AC +2AD +CD =21m ；故答案为21．【点睛】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键．6如图，将45°的∠AOB 按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O 与尺下沿的端点重合，OA 与尺下沿重合，OB 与尺上沿的交点B 在尺上的读数恰为2cm ，若按相同的方式将22.5°的∠AOC 放置在该刻度尺上，则OC 与尺上沿的交点C 在尺上的读数为cm ．【答案】22+2【解析】根据平行线的性质得到∠DBO=∠AOB=45°，解直角三角形求出OB=22cm，再推出∠BOC=∠BCO，进而得到BC=BO=22cm，再求出CD的长即可得到答案．由题意得，BC∥OA，∠BDO=90°，OB=2cm，∴∠DBO=∠AOB=45°，∴OB=BD=22cmcos∠DBO∵∠AOC=22.5°，∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=22.5°，∠BCO=∠AOC=22.5°，∴∠BOC=∠BCO，∴BC=BO=22cm，∴CD=BD+BC=22+2cm，∴OC与尺上沿的交点C在尺上的读数为22+2cm，故答案为：22+2．【点睛】本题主要考查了解直角三角形，平行线的性质，等腰三角形的判定，正确求出BC的长是解题的关键．7如图，O,R是同一水平线上的两点，无人机从O点竖直上升到A点时，测得A到R点的距离为40m,R点的俯角为24.2°，无人机继续竖直上升到B点，测得R点的俯角为36.9°．求无人机从A点到B点的上升高度AB(精确到0.1m)．参考数据：sin24.2°≈0.41,cos24.2°≈0.91,tan24.2°≈0.45，sin36.9°≈0.60,cos36.9°≈0.80,tan36.9°≈0.75．【答案】无人机从A点到B点的上升高度AB约为10.9米【解析】解Rt△AOR，求得AO，OR，在Rt△BOR中，求得BO，根据AB=BO-AO，即可求解．依题意，∠ARO=24.2°，∠BRO=36.9°，AR=40，在Rt△AOR中，∠ARO=24.2°，∴AO=AR×sin∠ARO=40×sin24.2°，RO=AR×cos∠ARO=40×cos24.2°，在Rt△BOR中，OB=OR×tan∠BRO=40×cos24.2°×tan36.9°，∴AB=BO-AO=40×cos24.2°×tan36.9°-40×sin24.2°≈40×0.91×0.75-40×0.41≈10.9(米)答：无人机从A点到B点的上升高度AB约为10.9米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．8某风景区观景缆车路线如图所示，缆车从点A出发，途经点B后到达山顶P，其中AB=400米，BP=200米，且AB段的运行路线与水平方向的夹角为15°，BP段的运行路线与水平方向的夹角为30°，求垂直高度PC．(结果精确到1米，参考数据：sin15°≈0.259，cos15°≈0.966，tan15°≈0.268)【答案】垂直高度PC约为204米【解析】【分析】过点B作BD⊥PC于D，作BE⊥AC于E，则四边形DCEB为矩形，在Rt△ABE中利用正弦函数求出DC长度，在Rt△PBD中，∠PBD=30°，可以求出PD长度，即可求出PC．【详解】过点B作BD⊥PC于D，作BE⊥AC于E，则四边形DCEB为矩形，∴DC=BE，在Rt△ABE中，∠A=15°，sin A=BE AB，则BE=AB⋅sin A≈400×0.259=103.6(米)，∴DC=BE=103.6米，在Rt△PBD中，∠PBD=30°，BP=200米，则PD=12BP=100米，∴PC=PD+DC=100+103.6≈204米．答：垂直高度PC约为204米．9钓鱼岛及其附属岛屿是中国的固有领土，神圣不可侵犯！自2021年2月1日起，旨在维护国家主权、更好履行海警机构职责的《中华人民共和国海警法》正式实施．中国海警在钓鱼岛海域开展巡航执法活动，是中方依法维护主权的正当举措．如图是钓鱼岛其中一个岛礁，若某测量船在海面上的点D处测得与斜坡AC坡脚点C的距离为140米，测得岛礁顶端A的仰角为30.96°，以及该斜坡AC的坡度i=5 6，求该岛礁的高(即点A到海平面的铅垂高度)．(结果保留整数)(参考数据：sin30.96°≈0.51，cos30.96°≈0.85，tan30.96°≈0.60)【答案】该岛礁的高AB 为300米．【解析】根据斜坡AC 的坡度i =56，可设AB =5x 米，BC =6x 米，继而表示出BD 的长度，再由tan30.96°≈0.60，可得关于x 的方程，解出即可得出答案．【详解】∵斜坡AC 的坡度i =56，∴AB ：BC =5：6，故可设AB =5x 米，BC =6x 米，在Rt △ADB 中，∠D =30.96°，BD =(140+6x )米，∴tan30.96°=5x 140+6x=0.60，解得：x =60(米)，经检验，x =60是方程的解，∴5x =300(米)，答：该岛礁的高AB 为300米．【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，构建直角三角形是解题的关键．102023年5月30日9点31分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面O 处发射，当飞船到达A 点时，从位于地面C 处的雷达站测得AC 的距离是8km ，仰角为30°；10s 后飞船到达B 处，此时测得仰角为45°．(1)求点A 离地面的高度AO ；(2)求飞船从A 处到B 处的平均速度．(结果精确到0.1km/s ，参考数据：3≈1.73)【答案】(1)4km(2)飞船从A 处到B 处的平均速度约为0.3km/s【解析】【分析】(1)根据含30度角的直角三角形的性质即可得到结论；(2)在Rt △AOC 中，根据直角三角形的性质得到OC =32AC =43km ，在Rt △BOC 中，根据等腰直角三角形的性质得到OB =OC =43km ，于是得到结论．【小问1详解】解：在Rt △AOC 中，∵∠AOC =90°，∠ACO =30°，AC =8km ，∴AO =12AC =12×8=4km ，【小问2详解】在Rt △AOC 中，∵∠AOC =90°，∠ACO =30°，AC =8km ，∴OC =32AC =43km ，在Rt △BOC 中，∵∠BOC =90°，∠BCO =45°，∴∠BCO =∠OBC =45°，∴OB =OC =43km ，∴AB =OB -OA =(43-4)km ，∴飞船从A 处到B 处的平均速度=43-410≈0.3km/s ．【点睛】考查了解直角三角形-俯角仰角问题，准确识图，熟练运用相关知识是解题的关键．11如图，堤坝AB 长为10m ，坡度i 为1:0.75，底端A 在地面上，堤坝与对面的山之间有一深沟，山顶D 处立有高20m 的铁塔CD ．小明欲测量山高DE ，他在A 处看到铁塔顶端C 刚好在视线AB 上，又在坝顶B 处测得塔底D 的仰角α为26°35 ．求堤坝高及山高DE ．(sin26°35 ≈0.45，cos26°35 ≈0.89，tan26°35 ≈0.50，小明身高忽略不计，结果精确到1m )【答案】堤坝高为8米，山高DE 为20米．【解析】过B 作BH ⊥AE 于H ，设BH =4x ，AH =3x ，根据勾股定理得到AB =AH 2+BH 2=5x =10，求得AH =6，BH =8，过B 作BF ⊥CE 于F ，则EF =BH =8，BF =EH ，设DF =a ，解直角三角形即可得到结论．【详解】过B 作BH ⊥AE 于H ，∵坡度i 为1:0.75，∴设BH =4x ，AH =3x ，∴AB =AH 2+BH 2=5x =10，∴x =2，∴AH =6，BH =8，过B 作BF ⊥CE 于F ，则EF =BH =8，BF =EH ，设DF =a ，∵α=26°35 ．∴BF =DF tan26°35=a 0.5=2a ，∴AE =6+2a ，∵坡度i 为1:0.75，∴CE ：AE =20+a +8 ：6+2a =1：0．75，∴a =12，∴DF =12(米)，∴DE =DF +EF =12+8=20(米)，答：堤坝高为8米，山高DE 为20米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-俯角仰角，解直角三角形的应用-坡角坡度，正确地作出辅助线是解题的关键．12如图1是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成加如图2所示的示意图，已知点B ，A ，D ，E 均在同一直线上，AB =AC =AD ，测得∠B =55°，BC =1.8m ，DE =2m ．(结果保小数点后一位)(1)连接CD ，求证：DC ⊥BC ；(2)求雕塑的高(即点E 到直线BC 的距离)．(参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43)【答案】(1)见解析(2)雕塑的高约为4.2米【解析】【分析】(1)根据等边对等角得出∠B =∠ACB ,∠ACD =∠ADC ，根据三角形内角和定理得出2∠B +∠ADC =180°，进而得出∠BCD =90°，即可得证；(2)过点E 作EF ⊥BC ，交BC 的延长线于点F ，在Rt △BDC 中，得出AD =BC cos B = 1.8cos55°，则BE =AD +DE =2+1.8cos55°，在Rt △EBF 中，根据EF =BE ⋅sin B ，即可求解．【小问1详解】解：∵AB =AC =AD ，∴∠B =∠ACB ,∠ACD =∠ADC∵∠B +∠ADC +∠BCD =180°即2∠B +∠ADC =180°∴∠B +∠ADC =90°即∠BCD =90°∴DC ⊥BC ；【小问2详解】如图所示，过点E 作EF ⊥BC ，交BC 的延长线于点F ，在Rt △BDC 中，∠B =55°，BC =1.8m ，DE =2m∴cos B =BC AD ，∴AD =BC cos B = 1.8cos55°∴BE =AD +DE =2+ 1.8cos55°在Rt △EBF 中，sin B =EF BE，∴EF =BE ⋅sin B×sin55°=2+ 1.8cos55°×0.82≈2+ 1.80.57≈4.2(米)．答：雕塑的高约为4.2米．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．13如图1，是某校教学楼正厅一角处摆放的“教学楼平面示意图”展板，数学学习小组想要测量此展板的最高点到地面的高度．他们绘制了图2所示的展板侧面的截面图，并测得AB=120cm，BD=80cm，∠ABD=105°，∠BDQ=60°，底座四边形EFPQ为矩形，EF=5cm．请帮助该数学学习小组求出展板最高点A到地面PF的距离．(结果精确到1cm．参考数据：2≈1.41，3≈1.73)【答案】159cm【解析】【分析】过点A作AG⊥PF于点G，与直线QE交于点H，过点B作BM⊥AG于点M，过点D作DN⊥BM于点N，分别解作出的直角三角形即可解答．【详解】解：如图，过点A作AG⊥PF于点G，与直线QE交于点H，过点B作BM⊥AG于点M，过点D 作DN⊥BM于点N，∴四边形DHMN，四边形EFGH均为矩形，∴MH=ND，EF=HG=5，BM∥DH，∴∠NBD=∠BDQ=60°，∴∠ABM=∠ABD-∠NBD=105°-60°=45°，在Rt△ABM中，∠AMB=90°，∵sin∠ABM=sin45°=AMAB，=602，∴AM=AB⋅sin45°=120×22在Rt△BDN中，∠BND=90°，∵sin∠NBD=sin60°=NDBD，∴ND=BD⋅sin60°=80×3=403，2∴MH=ND=403，∴AG=AM+MH+GH=602+403+5≈60×1.41+40×1.73+5≈159cm，答：展板最高点A到地面PF的距离为159cm．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造出直角三角形，熟练通过解直角三角形求相应未知量是解题的关键．14如图，l是南北方向的海岸线，码头A与灯塔B相距24千米，海岛C位于码头A北偏东60°方向．一艘勘测船从海岛C沿北偏西30°方向往灯塔B行驶，沿线勘测石油资源，勘测发现位于码头A北偏东15°方向的D处石油资源丰富．若规划修建从D处到海岸线的输油管道，则输油管道的最短长度是多少千米？(结果保留根号)【答案】63-6千米【解析】【分析】过点D作DM⊥AB于点M，由垂线段最短可得DM的长即为所求，先求出∠ACB=90°，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得AC=CD，然后在Rt△ABC中，解直角三角形可得AC,BC的长，从而可得BD的长，最后利用含30度角的直角三角形的性质求解即可得．【详解】解：如图，过点D作DM⊥AB于点M，由垂线段最短可知，DM的长即为所求，由题意得：∠BAC=60°,∠BAD=15°,∠BCE=30°,AB∥EF，AB=24千米，∴∠CAD=45°，∠ACF=∠BAC=60°，∠ABC=∠BCE=30°，∴∠ACB=180°-∠ACF-∠BCE=90°，∴Rt△ACD是等腰直角三角形，∴AC =CD ，在Rt △ABC 中，AC =12AB =12千米，BC =AB ⋅cos30°=123千米，∴BD =BC -CD =BC -AC =123-12 千米，在Rt △BDM 中，DM =12BD =63-6 千米，答：输油管道的最短长度是63-6 千米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、垂线段最短、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．15如图，某育苗基地为了能够最大限度地遮挡夏季炎热的阳光和充分利用冬天的光照，计划在苗圃正上方搭建一个平行于地面的遮阳蓬．已知苗圃的(南北)宽AB =6.5米，该地区一年中正午时刻太阳光与地平面的最大夹角是∠DAE =76.5°，最小夹角是∠DBE =29.5°．求遮阳蓬的宽CD 和到地面的距离CB ．参考数据：sin29.5°≈49100，cos29.5°≈87100，tan29.5°≈1425，sin76.5°≈97100，cos76.5°≈23100，tan76.5°≈215．【答案】CD =7.5米，BC =4.2米．【解析】【分析】过点D 作DF ⊥EB 于F ，解Rt △ADF ，得DF ≈215AF ，解Rt △BDF ，得DF ≈1425AF +6.5 ，所以215AF =1425AF +6.5 ，解得AF =1米，从而得DF =4.2米，再由矩形的性质求解即可．【详解】解：如图，过点D 作DF ⊥EB 于F ，在Rt △ADF 中，∠AFD =90°，∴DF =AF ⋅tan ∠FAD =AF ⋅tan76.5°≈215AF ，在Rt △BDF 中，∠BFD =90°，∴DF =BF ⋅tan ∠FBD =AF +AB ⋅tan29.5°≈1425AF +6.5 ，∴215AF =1425AF +6.5 ，解得：AF =1(米)，∴DF=215×1=4.2(米)，∴BF=AB+AF=6.5+1=7.5(米)，∵∠AFD=ABC=∠C=90°∴矩形BCDF，∴CD=BF=7.5米，BC=DF=4.2米．答：遮阳蓬的宽CD为7.5米，到地面的距离CB为4.2米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键．162023年3月，水利部印发《母亲河复苏行动河湖名单(2022-2025年)》，我省境内有汾河、桑干河、洋河、清漳河、浊漳河、沁河六条河流入选．在推进实施母亲河复苏行动中，需要砌筑洛种驳岸(也叫护坡)．某校“综合与实践”小组的同学把“母亲河驳岸的调研与计算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告．请根据活动报告计算BC和AB的长度(结果精确到0.1m．参考数据：3≈1.73，2≈1.41)．课题母亲河驳岸的调研与计算调查方式资料查阅、水利部门走访、实地查看了解功能驳岸是用来保护河岸，阻止河岸崩塌或冲刷的构筑物驳岸剖面图相关数据及说明，图中，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，AE与CD均与地面平行，岸墙AB⊥AE于点A，∠BCD=135°，∠EDC= 60°，ED=6m，AE=1.5m，CD=3.5m计算结果交流展示【答案】BC的长约为1.4m,AB的长约为4.2m．【解析】【分析】过点E作EF⊥CD于点F，延长AB,DC交于点H，首先根据∠EDF的三角函数值求出EF =ED⋅sin∠EDF=33，FD=ED⋅cos∠EDF=3，然后得到四边形AEFH是矩形，进而得到CH=HF-CF=1.5-0.5=1，然后在Rt△BCH中利用∠BCH的三角函数值求出BC=CHcos∠BCH =2≈1.4m，进而求解即可．【详解】解：过点E作EF⊥CD于点F，延长AB,DC交于点H，∴∠EFD=90°．由题意得，在Rt△EFD中，∠EDF=60°,ED=6,sin∠EDF=EFED,cos∠EDF=FDED．∴EF=ED⋅sin∠EDF=6×sin60°=6×32=33．∴FD=ED⋅cos∠EDF=6×cos60°=6×12=3．由题意得，∠H=90°，四边形AEFH是矩形．∴AH=EF=33,HF=AE=1.5．∵CF=CD-FD=3.5-3=0.5，∴CH=HF-CF=1.5-0.5=1．∴在Rt△BCH中，∠H=90°,∠BCH=180°-∠BCD=180°-135°=45°．∵cos∠BCH=CHBC ,tan∠BCH=BHCH．∴BC=CHcos∠BCH =1cos45°=122=2≈1.4m．∴BH=CH⋅tan∠BCH=1×tan45°=1，∴AB=AH-BH=33-1≈3×1.73-1≈4.2m．答：BC的长约为1.4m,AB的长约为4.2m．【点睛】本题是解直角三角形的应用，考查了矩形的判定与性质，解直角三角形，关键是理解坡度的含义，构造适当的辅助线便于在直角三角形中求得相关线段．17一天晚上，小明和爸爸带着测角仪和皮尺去公园测量一景观灯(灯杆底部不可到达)的高AB．如图所示，当小明爸爸站在点D处时，他在该景观灯照射下的影子长为DF，测得DF=2.4m；当小明站在爸爸影子的顶端F处时，测得点A的仰角α为26.6°．已知爸爸的身高CD=1.8m，小明眼睛到地面的距离EF=1.6m，点F、D、B在同一条直线上，EF⊥FB，CD⊥FB，AB⊥FB．求该景观灯的高AB．(参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50)【答案】4.8m【解析】【分析】过点E作EH⊥AB，垂足为H，根据题意可得：EH=FB，EF=BH=1.6m，然后设EH= FB=xm，在Rt△AEH中，利用锐角三角函数的定义求出AH的长，从而求出AB的长，再根据垂直定义可得∠CDF=∠ABF=90°，从而证明A字模型相似三角形△CDF∽△ABF，最后利用相似三角形的性质可得AB=34x，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．【详解】过点E作EH⊥AB，垂足为H，由题意得：EH=FB，EF=BH=1.6m，设EH=FB=xm，在Rt△AEH中，∠AEH=26.6°，∴AH=EH⋅tan26.6°≈0.5x(m)，∴AB=AH+BH=(0.5x+1.6)m，∵CD⊥FB，AB⊥FB，∴∠CDF=∠ABF=90°，∵∠CFD=∠AFB，∴△CDF∽△ABF，∴CD AB =DF BF，∴1.8 AB =2.4x，∴AB=34x，∴34x=0.5x+1.6，解得：x=6.4，∴AB=34x=4.8(m)，∴该景观灯高AB约为4.8m．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，相似三角形的应用，中心投影，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．18渝昆高速铁路的建成，将会显著提升宜宾的交通地位．渝昆高速铁路宜宾临港长江公铁两用大桥(如图1)，桥面采用国内首创的公铁平层设计．为测量左桥墩底到桥面的距离CD，如图2．在桥面上点A处，测得A到左桥墩D的距离AD=200米，左桥墩所在塔顶B的仰角∠BAD=45°，左桥墩底C的俯角∠CAD=15°，求CD的长度．(结果精确到1米．参考数据：2≈1.41，3≈1.73)【答案】CD的长度54米【解析】【分析】AD上截取AE，使得AE=EC，设CD=x，在Rt△ECD中，ED=3x，EC=2x，则AD= AE+ED=3+2x，进而即可求解．【详解】解：如图所示，AD上截取AE，使得AE=EC，∴∠EAC=∠ECA，∵∠CAD=15°∴∠CED=2∠EAC=30°，设CD=x，在Rt△ECD中，ED=3x，EC=2x∴AD=AE+ED=3+2x又AD=200∴200=3+2x∴x=2003+2=2002-3≈200×2-1.73=54即CD=54米【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．。

专题7.2 解直角三角形及其应用【九大题型】【苏科版】【题型1 网格中解直角三角形】 (1)【题型2 坐标系中解直角三角形】 (2)【题型3 直接解直角三角形】 (4)【题型4 化斜为直解非直角三角形】 (5)【题型5 在四边形中解直角三角形】 (6)【题型6 解直角三角形的应用（坡度坡比问题）】 (7)【题型7 解直角三角形的应用（俯角仰角问题）】 (9)【题型8 解直角三角形的应用（方向角问题）】 (11)【题型9 解直角三角形的应用（实物建模问题）】 (13)【例1】（江苏省江阴市澄江片2022-2023学年九年级下学期期中考试数学试题）如图是由6个形状、大小完全相同的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角（∠O）为120°，A、B、C都在格点上，则tan∠ABC的值是________________．【变式1-1】（2022年四川省广元市万达实验学校中考模拟数学试题）如图，A，B，C，D均为网格图中的格点，线段AB与CD相交于点P，则∠APD的正切值为_______．【变式1-2】（2022年福建省中考数学模拟试卷（六））如图，△ABC的三个顶点在边长为1的正方形网格的格点上，则sin∠BAC=____．【变式1-3】（2022年中考数学一轮复习讲练测（北京））如图所示的正方形网格中，A，B，C是网格线交点，∠CAB的度数为__．【题型2 坐标系中解直角三角形】x+3交x轴于A点，将一块等腰直角三角形纸板的直【例2】（2022·江苏·九年级专题练习）如图，直线y=34x+3上，若N点在第二象限内，则tan∠AON的值为角顶点置于原点O，另两个顶点M、N恰落在直线y=34（ ）A ．17B ．16C ．15D ．18【变式2-1】（2022年黑龙江省佳木斯市前进区九年级中考三模数学试题）如图，在平面直角坐标系中，点A 1的坐标是(0,−1)，点A 1，A 2，A 3，A 4，A 5…所在直线与x 轴交于点B 0(−2,0)，点B 1，B 2，B 3，B 4…都在x 轴上，△A 1B 1B 2，△A 2B 2B 3，△A 3B 3B 4，…都是等腰直角三角形，则等腰直角三角形A 2022B 2022B 2023的腰长A 2022B 2022为_______________．【变式2-2】（2022·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的顶点B 的坐标为(10，4)，四边形ABEF 是菱形，且tan ∠ABE =43．若直线l 把矩形OABC 和菱形ABEF 组成的图形的面积分成相等的两部分，则直线l 的解析式为（ ）A ．y =3xB ．y =−34x +152C ．y =−2x +11D ．y =−2x +12【变式2-3】（2022·河南·模拟预测）在平面直角坐标系中，点A ，B 分别在y 轴和x 轴上，∠ABO =60°,CD为△AOB的中位线，过点D向x轴作垂线段，垂足为E，可得矩形CDEO．将矩形CDEO沿着x轴向右平移，设斜边AB所在直线与矩形所围直角三角形的面积为S．已知点B的坐标为(6,0)，当S=CDEO 顶点D的坐标为__________．【题型3 直接解直角三角形】【例3】（2022年广东省深圳市宝安区中考数学备考冲刺题--模拟卷（四））如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，∠BAC的角平分线EA与∠BCA的角平分线CD相交于点O，已知BD=4，OC则OE=_________．【变式3-1】（2022-2023中考1年模拟数学分项汇编）如图，在Rt△ABC中，AB=BC=4，以AB为边作等边三角形ABD，使点D与点C在AB同侧，连接CD，则CD=______．【变式3-2】（安徽省亳州市2022-2023学年九年级上学期教学质量调研三数学试题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB ＝90°，CE 是斜边AB 上的中线，过点E 作EF ⊥AB 交AC 于点F ．若BC ＝4，tan ∠CEF =34，则AC 的长为__________．【变式3-3】（2022·湖北武汉·一模）在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，点D 为AB 上一点．（1）如图1，若CD ⊥AB ，求证：AC 2=AD ·AB ；（2）如图2，若AC =BC ，EF ⊥CD 交CD 于H ，交AC 于F ，且FH HE =49，求AD BD 的值；（3）如图3，若AC =BC ，点H 在CD 上，∠AHD =45°，CH =3DH ，则tan ∠ACH 的值为________．【题型4 化斜为直解非直角三角形】【例4】（福建省泉州市第一中学2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试题）如图，在等腰△ABC 中，AB =AC ，AD 平分∠BAC ，点E 在BA 的延长线上，∠AEC =90°，ED =EC ，DE 交AC 于点K ，若EC =10，tan ∠AED =12，则AK =_______．【变式4-1】（2022·湖北武汉·中考真题）如图．在△ABC 中，∠ACB=60°，AC=1，D 是边AB 的中点，E 是边BC 上一点．若DE 平分△ABC 的周长，则DE 的长是_____．【变式4-2】（2022·江苏省洪泽县黄集中学一模））如图，在△ABC中，∠C=150°，AC=4，tanB=18．（1）求BC的长；（2）利用此图形求tan15°的值.【变式4-3】（2022·四川广元·模拟预测）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出的一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形有两角对应相等，我们把这条线段叫做这个三角形的“优美分割线”．（1）如图，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC的“优美分割线”．（2）在△ABC中，∠A＝46°，CD为△ABC的“优美分割线”且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数．（3）在△ABC中，∠A＝30°，AC＝6，CD为△ABC的“优美分割线”，且△ACD是等腰三角形，求线段BD 的长．【题型5 在四边形中解直角三角形】【例5】（2022年广东省深圳市南山区南山外国语学校中考二模质量检测数学试题（5月））如图，在菱形ABCD中，AB＝30，∠BCD=120°，点E在CD上，且DE＝10，BE交AC于点F，连接DF．现给出以下结论：①△ABF≌△ADF；②AF:CF=3:2；③S△DEF ④sin∠AFD=19正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④【变式5-1】（2022·广东·深圳市海滨中学模拟预测）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，CE⊥AB，且AE=BE，连接DE，若AB=CD=CE=2，则tan∠DEC=_____．【变式5-2】（2022·上海市静安区教育学院附属学校九年级期中）如图，在菱形纸片ABCD中，AB=2，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使得点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F．G分别在边AB．AD上，则sin∠EFG=__________ ．【变式5-3】（河南省郑州市中原区中原区第一中学2022-2023学年九年级上学期第一次月考数学试题）如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=8，点E是线段AD上的一个动点，把△BAE沿BE折叠，点A落在A′处(A′在矩形内部)，如果A′恰在矩形的某条对称轴上，则AE的长为__________．【题型6 解直角三角形的应用（坡度坡比问题）】【例6】（2022·重庆八中九年级期末）为了消防安全，学校在校园广场步行梯（折线ABCD）处新建了学生宿舍安全通道（折线AEF），其剖面示意图如图所示，广场步行梯AB，CD的坡角都是32°，且AB=6米，CD=4米，水平部分BC=2.4米；新建安全通道中水平部分AE=3.9米，步梯EF的坡度i≈0.62（即坡角的正切值）．新建安全通道顶端点F到广场步行梯底部所在水平面DG的距离DF的长约为（）（结果精确到0.1米，参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.63）A．8.8米B．9.0米C．9.4米D．9.6米【变式6-1】（2022·四川资阳·九年级期末）如图，在操场上的A处，测得旗杆顶端N点的仰角是30°，前进20米后到达旗台的底端B处，测得旗杆顶端N点的仰角是45°，继续沿着坡比为BC上升到C处，此时又测得旗杆顶端N点的仰角是60°，旗杆MN垂直于水平线AD，点A、B、D在同一直线上，CM//AD，求旗杆MN的高度．【变式6-2】（2022·浙江嘉兴·九年级专题练习）为了监控危险路段的车辆行驶情况，通常会设置电子眼进行区间测速．如图电子眼位于点P处，离地面的铅垂高度PQ为11米；离坡AB的最短距离是11.2米，坡AB的坡比为3：4；电子眼照射在A处时，电子眼的俯角为30°，电子眼照射在坡角点B处时，电子眼的俯角为70°．（A、B、P、Q在同一平面内）(1)求路段BQ的长；（sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75），结果保留整数）(2)求路段AB(3)如图的这辆车看成矩形KLNM，车高2米，当PA过M点时开始测速，PB过M点时结束测速，若在这个测速路段车辆所用的时间是1.5秒．该路段限速5米/秒，计算说明该车是否超速？【变式6-3】（2022·上海市罗山中学九年级期中）图1是某区规划建设的过街天桥的侧面示意图，等腰梯形ABCD的上底BC表示主跨桥，两腰AB，CD表示桥两侧的斜梯，A，D两点在地面上，已知AD＝40m，设计桥高为4m，设计斜梯的坡度为1：2.4．点A左侧25m点P处有一棵古树，有关部门划定了以P为圆心，半径为3m的圆形保护区．(1)求主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和；(2)为了保证桥下大货车的安全通行，桥高要增加到5m，同时为了方便自行车及电动车上桥，新斜梯的坡度要减小到1：4，新方案主跨桥的水平位置和长度保持不变．另外，新方案要修建一个缓坡MN作为轮椅坡道，坡道终点N在左侧的新斜梯上，并在点N处安装无障碍电梯，坡道起点M在AP上，且不能影响到古树的圆形保护区．已知点N距离地面的高度为0.9m，请利用表中的数据，通过计算判断轮椅坡道的设计是否可行．表：轮椅坡道的最大高度和水平长度坡度1：201：161：121：101：8最大高度（m） 1.200.900.750.600.30水平长度（m）24.0014.409.00 6.00 2.40【题型7 解直角三角形的应用（俯角仰角问题）】【例7】（2022·重庆巴蜀中学九年级）如图，巴蜀中学旁边高36米的高楼AB正对着斜坡CD，点E在斜坡处．已知斜坡的坡角∠DCG为30°，AB⊥BC，若点A、B、C、D、E在同一平面内，从点E处测得楼顶A 的仰角α为37°，楼底B的俯角β为24°，现计划在斜坡中点E处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线BC的平台EF和一条新的斜坡DF，使新斜坡DF1．某施工队承接这项任务，为尽快完成任务，增加了人手，实际工作效率提高到原计划的1.5倍，结果比原计划提前2天完成任务，施工队原计划平均每天修建_________米？（结果保留1位小数）（参考数据：cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，tan24°≈0.45，cos24°≈0.91）【变式7-1】（2022·四川广元·中考真题）如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度D点处时，无人机测得操控者A的俯角为75°，测得小区楼房BC顶端点C处的俯角为45°．已知操控者A和小区楼房BC之间的距离为45米，小区楼房BC的高度为（1）求此时无人机的高度；（2）在（1）条件下，若无人机保持现有高度沿平行于AB的方向，并以5米/秒的速度继续向前匀速飞行．问：经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线？（假定点A，B，C，D都在同一平面内．参考数据：tan75°=2+tan15°=【变式7-2】（2022·山东聊城·中考真题）我市某辖区内的兴国寺有一座宋代仿木楼阁式空心砖塔，塔旁有一棵唐代古槐，称为“宋塔唐槐”（如图①）．数学兴趣小组利用无人机测量古槐的高度，如图②所示，当无人机从位于塔基B点与古槐底D点之间的地面H点，竖直起飞到正上方45米E点处时，测得塔AB的顶端A和古槐CD的顶端C的俯角分别为26.6°和76°（点B，H，D三点在同一直线上）．已知塔高为39米，塔基B与树底D的水平距离为20米，求古槐的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）【变式7-3】（2022·四川自贡·九年级专题练习）某水库大坝的横截面是如图所示的四边形ABCD，其中AB∥CD，大坝顶上有一瞭望台PC，PC正前方有两艘渔船M，N．观察员在瞭望台顶端P处观测到渔船M的俯角α为31°，渔船N的俯角β为45°．已知MN所在直线与PC所在直线垂直，垂足为E，且PE长为30米．(1)求两渔船M，N之间的距离（结果精确到1米）；(2)已知坝高24米，坝长100米，背水坡AD的坡度i=1:0.25，为提高大坝防洪能力，请施工队将大坝的背水坡通过填筑土石方进行加固，坝底BA加宽后变为BH，加固后背水坡DH的坡度i=1:1.75，完成这项工程需填筑土石方多少立方米？（参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52）【题型8 解直角三角形的应用（方向角问题）】【例8】（2022·河南·漯河市郾城区第二初级实验中学一模）在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到来自故障船C的求救信号，已知A、B相距100+1)海里，C在A的北偏东60°方向上，C在B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得C正好在观测点D的南偏东75°方向上．(1)求AC和AD（运算结果若有根号，保留根号）；(2)已知距观测点D处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触1.41≈1.73）【变式8-1】（2022·黑龙江·大庆市庆新中学九年级阶段练习）如图，一艘军舰在A处测得小岛P位于南偏东60°方向，向正东航行40海里后到达B处，此时测得小岛P位于南偏西75°方向，求小岛P离观测点B 的距离．【变式8-2】（2022·内蒙古·乌海市第二中学九年级期末）如图，线段EF与MN表示某一段河的两岸，EF 平行MN．综合实践课上，同学们需要在河岸MN上测量这段河的宽度（EF与MN之间的距离），已知河对岸EF上有建筑物C、D，且CD＝30米，同学们首先在河岸MN上选取点A处，用测角仪测得C建筑物位于A北偏东45°方向，再沿河岸走10米到达B处，测得D建筑物位于B北偏东55°方向，请你根据所测数据求出该段河的宽度，（用非特殊角的三角函数或根式表示即可）【变式8-3】（2022·山东泰安·模拟预测）因东坡文化远近闻名的遗爱湖公园，“国庆黄金周”期间，游人络绎不绝，现有一艘游船载着游客在遗爱湖中游览，当船在A处时，船上游客发现岸上P1处的临皋亭和P2处的遗爱亭都在东北方向；当游船向正东方向行驶600m到达B处时，游客发现遗爱亭在北偏西15°方向；当游船继续向正东方向行驶400m 到达C 处时，游客发现临皋亭在北偏西60°方向．则临皋亭P 1处与遗爱亭P 2处之间的距离为 _____．（计算结果保留根号）【题型9 解直角三角形的应用（实物建模问题）】【例9】（2022·浙江温州·八年级期中）图1是一张可调节靠椅，调节示意图如图2，已知两支脚AB ＝AC ＝10分米，BC ＝12分米，O 为AC 上固定连接点，靠背OD ＝10分米．档位为Ⅰ档时，OD ∥AB ．档位为Ⅱ档时，OD ⊥AC ．当靠椅由Ⅰ档调节为Ⅱ档时，EF ＝________分米．【变式9-1】（2022·浙江·金华市南苑中学九年级期中）图1是一种儿童可折叠滑板车，该滑板车完全展开后示意图如图2所示，由车架AB−CE−EF 和两个大小相同的车轮组成，已知CD =25cm ，DE =17cm ，cos ∠ACD =45，当A ，E ，F 在同一水平高度上时，∠CEF =135°，则AC =______cm ；为方便存放，将车架前部分绕着点D 旋转至AB //EF ，如图3所示，则d 1−d 2为______cm ．【变式9-2】（2022·江西景德镇·九年级期中）如图1是一个水龙头的示意图，类似于字母“F ”的形状，将其抽象成如图2所示的截面图形，线段BE 是一根固定的轴，线段AB ，CD 均垂直于线段BE ，出水口在点D 处，AB 为自来水开关，AB ⊥BC 即为无水状态，将AB 绕点B 逆时针向上转动即是开水．若已知BC =10cm ，AB =20cm ，CD =30cm ．（参考数据，精确到0．1，sin34°=0.56，cos34°=0.83≈1.414=1.732，25.0792=629）(1)求出水龙头不开时，点A与出水口的距离；(2)当BA向上旋转34°时，即是最大出水量，求出最大出水量时，点A与出水口的距离．【变式9-3】（2022·江苏宿迁·一模）如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，如图2是其侧面结构示意图．量得托板长AB=120mm，支撑板长CD=80mm，底座长DE=90mm．托板AB固定在支撑板顶端点C处，且CB=40mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．(1)若∠DCB=80°，∠CDE=60°，求点A到直线DE的距离；(2)为了观看舒适，在（1）的条件下，把AB绕点C逆时针旋转10°后，再将CD绕点D顺时针旋转，使点B 落在直线DE上．画出图形，并求CD旋转的角度；（参考数据：sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839，sin26.6°≈0.448，cos26.6°≈0.894，tan26.6°≈0.500，．计算结果均精确到0.1）。