解直角三角形应用题

解直角三角形的应用测试题之迟辟智美创作一、选择题（本年夜题共10小题，共30.0分）1.小明利用测角仪和旗杆的拉绳丈量学校旗杆的高度如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等小明将PB 拉到的位置，测得为水平线，测角仪的高度为1米，则旗杆PA的高度为A. B. C. D.2.如图，长4m的楼梯AB的倾斜角为，为了改善楼梯的平安性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角为，则调整后的楼梯AC的长为A. B. C. D.2 3 43.楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为现要在楼梯上铺一条地毯，已知米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要A. 米B. 米C. 米D. 米4.上午9时，一条船从A处动身，以每小时40海里的速度向正西方向航行，9时30分达到B处如图从A、B 两处罚别测得小岛M在北偏东和北偏西方向，那么在B处船与小岛M的距离为 A. 20海里B. 海里C. 海里D. 海里5.如图，某游乐场一山顶滑梯的高为h，滑梯的坡角为a，那么滑梯长m为A. B. C. D.6.如图所示，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为，再向电视塔方向前进120米达到F处，又测得电视塔顶端A的仰角为，则这个电视塔的高度单元：米为A. B. 61C. D. 1216 7 87.某校八年级生物兴趣小组租两艘快艇去微山湖生物考察，他们从同一码头动身，第一艘快艇沿北偏西方向航行50千米，第二艘快艇沿南偏西方向航行50千米，如果此时第一艘快艇不动，第二艘快艇向第一艘快艇靠拢，那么第二艘快艇航行的方向和距离分别是A. 南偏东，千米B. 北偏西，千米C. 南偏东，100千米D. 北偏西，100千米8.如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏西方向，距离灯塔60nmile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，达到位于灯塔P的北偏西方向上的B处，这时，B处与灯塔P的距离为 A. nmileB. nmileC.nmileD. nmile9.如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的坡度：，则坝底AD 的长度为A. 26米B. 28米C. 30米D. 46米9 101110.如图是某水库年夜坝的横截面示意图，已知，且AD、BC之间的距离为15米，背水坡CD的坡度：，为提高年夜坝的防洪能力，需对年夜坝进行加固，加固后年夜坝顶端AE比原来的顶端AD加宽了2米，背水坡EF的坡度：4，则年夜坝底端增加的长度CF 是米．A. 7B. 11C. 13D. 20二、填空题（本年夜题共10小题，共30.0分）11.为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固，如图，加固前拦水坝的横断面是梯形已知迎水坡面米，背水坡面米，，加固后拦水坝的横断面为梯形ABED，，则CE的长为______ 米12.如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为，测得底部C的俯角为，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC约为______ 米精确到1米，参考数据：12 14 1513.小明沿着坡度i为1：的直路向上走了50m，则小明沿垂直方向升高了______14.如图，长4m的楼梯AB的倾斜角为，为了改善楼梯的平安性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角为，则调整后楼梯AC长为______ 米15.如图，一名滑雪运带动沿着倾斜角为的斜坡，从A滑行至B，已知米，则这名滑雪运带动的高度下降了______米参考数据：，，16.如图，为丈量某栋楼房AB的高度，在C点测得A点的仰角为，朝楼房AB方向前进10米达到点D，再次测得A点的仰角为，则此楼房的高度为______ 米结果保管根号．16 171817.如图，从热气球C处测得空中A、B两点的俯角分别为、，如果此时热气球C处的高度为200米，点A、B、C在同一直线上，则AB两点间的距离是______米结果保管根号．18.如图，水库堤坝的横断面是梯形，测得BC长为30m，CD长为，斜坡AB的坡比为1：3，斜坡CD的坡比为1：2，则坝底的宽AD为______19.如图，某堤坝的斜坡AB的斜角是，坡度是，则______．20.某兴趣小组借助无人飞机航拍，如图，无人飞机从A处飞行至B处需12秒，在空中C处同一方向上分别测得A处的仰角为，B处的仰角为已知无人飞机的飞行速度为3米秒，则这架无人飞机的飞行高度为结果保管根号______ 米三、计算题（本年夜题共4小题，共24.0分）21.如图，某数学兴趣小组要丈量一栋五层居民楼CD的高度该楼底层为车库，高米；上面五层居住，每层高度相等测角仪支架离地米，在A处测得五楼顶部点D的仰角为，在B处测得四楼顶部点E的仰角为，米求居民楼的高度精确到米，参考数据：22.某兴趣小组借助无人飞机航拍校园如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒，在空中C处同一方向上分别测得A处的仰角为，B处的仰角为已知无人飞机的飞行速度为4米秒，求这架无人飞机的飞行高度结果保管根号23.如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学楼顶部D的仰角为，教学楼底部B的俯角为，量得实验楼与教学楼之间的距离．求的度数．求教学楼的高结果精确到，参考数据：，24.如图，在年夜楼AB的正前方有一斜坡CD，米，坡角，小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为，其中点A、C、E在同一直线上．求斜坡CD的高度DE；求年夜楼AB的高度结果保管根号四、解答题（本年夜题共2小题，共16.0分）25.如图，年夜楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C 的俯角为，测得年夜楼顶端A的仰角为点B，C，E在同一水平直线上，已知，，求障碍物B，C两点间的距离结果精确到参考数据：，26.如图，某湖中有一孤立的小岛，湖边有一条笔直的观光小道AB，现决定从小岛架一座与观光小道垂直的小桥PQ通往小岛，某同学在观光道AB上测得如下数据：米，，请求出小桥PQ的长，结果精确到米谜底和解析【谜底】1. A2. B3. D4. B5. A6. C7. B8. B9. D10. C11. 812. 20813. 2514.15. 28016.17.18. 13019.20.21. 解：设每层楼高为x米，由题意得：米，，，在中，，，在中，，，，，解得：，则居民楼高为米．22. 解：如图，作，水平线，由题意得：，，，，，，，，，则．23. 解：过点C作，则有，，；由题意得：，在中，，在中，，教学楼的高，则教学楼的高约为．24. 解：在中，米，，，米；过D作，交AB于点F，，，，即为等腰直角三角形，设米，四边形DEAF为矩形，米，即米，在中，，米，米，米，，，，在中，根据勾股定理得：，解得：，则米．25. 解：如图，过点D作于点F，过点C作于点H．则，在直角中，，，．在直角中，，，，．答：障碍物B，C 两点间的距离约为．26. 解：设米，在直角中，，，在直角中，，，米，，解得：米．答：小桥PQ的长度约是米．【解析】1. 解：设，在中，，，，，．故选：A．设，在中，根据，列出方程即可解决问题．本题考查解直角三角形、三角函数等知识，解题的关键是设未知数列方程，属于中考常考题型．2. 解：在中，，，在中，，．故选B．先在中利用正弦的界说计算出AD，然后在中利用正弦的界说计算AC即可．本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角：坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的峻峭水平，一般用i暗示，常写成：m的形式把坡面与水平面的夹角叫做坡角，坡度i与坡角之间的关系为：．3. 解：在中，米，米，地毯的面积至少需要米；故选：D．由三角函数暗示出BC，得出的长度，由矩形的面积即可得出结果．本题考查了解直角三角形的应用、矩形面积的计算；由三角函数暗示出BC是解决问题的关键．4. 解：如图，过点B作于点N．由题意得，海里，．作于点N．在直角三角形ABN中，．在直角中，，则，所以海里．故选B．过点B作于点根据三角函数求BN的长，从而求BM的长．解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．5. 解：，．故选A．根据三角函数的界说即可求解．本题考查了三角函数的界说，理解界说是关键．6. 【分析】根据题意求出CE的长，根据三角形的外角的性质和等腰三角形的性质求出AE的长，根据正弦的界说计算即可．本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，理解仰角的概念、熟记锐角三角函数的界说是解题的关键．【解答】解：由题意得，，，，，，．故选：C．7. 解：第一艘快艇沿北偏西方向，第二艘快艇沿南偏西方向，，，，，第二艘快艇沿南偏西方向，，，第二艘快艇航行的方向和距离分别是：北偏西，千米．故选：B．根据题意得出以及，进而得出第二艘快艇航行的方向和距离．此题主要考查了方向角以及勾股定理，正确掌控方向角的界说是解题关键．8. 解：如图作于E．在中，，，，在中，，，故选：B．如图作于在中，求出PE，在中，根据即可解决问题．本题考查方向角、直角三角形、锐角三角函数的有关知识解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．9. 解：坝高12米，斜坡AB的坡度：，米，米，米，故选：D．先根据坡比求得AE的长，已知，即可求得AD．此题考查了解直角三角形的应用中的坡度坡角的问题及等腰梯形的性质的掌握情况，将相关的知识点相结合更利于解题．10. 解：过D作于G，于H，，，背水坡CD的坡度：，背水坡EF的坡度：4，，，米，故选C．过D作于G，于H，解直角三角形即可获得结论．本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是理解坡度、坡比的含义，构造直角三角形，利用三角函数暗示相关线段的长度，难度一般．11. 解：分别过A、D作，，垂点分别为F、G，如图所示．在中，米，，，，．在中，，米，．在中，，，，．即CE的长为8米．故谜底为8．分别过A、D作下底的垂线，设垂足为F、在中，已知坡面长和坡角的度数，可求得铅直高度AF的值，也就获得了DG的长；在中，由勾股定理求CG的长，在中，根据正切函数界说获得GE的长；根据即可求解．本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，锐角三角函数的界说，勾股定理作辅助线构造直角三角形是解答此类题的一般思路．12. 解：由题意可得：，解得：，，解得：，故该建筑物的高度为：，故谜底为：208．分别利用锐角三角函数关系得出BD，DC的长，进而求出该建筑物的高度．此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．13. 解：如图，过点B作于点E，坡度：：，：，，，．他升高了25m．故谜底为：25．首先根据题意画出图形，由坡度为1：，可求得坡角，又由小明沿着坡度为1：的山坡向上走了50m，根据直角三角形中，所对的直角边是斜边的一半，即可求得谜底．此题考查了坡度坡角问题此题比力简单，注意能构造直角三角形并用解直角三角形的知识求解是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．14. 解：在中，，，在中，，．故谜底是：．先在中利用正弦的界说计算出AD，然后在中利用正弦的界说计算AC即可．本题考查了解直角三角形的实际应用中的坡度坡角问题，难度不年夜，注意细心运算即可．15. 解：如图在中，，这名滑雪运带动的高度下降了280m．故谜底为280如图在中，，可知这名滑雪运带动的高度下降了280m．本题考查解直角三角形、坡度坡角问题、锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的界说，属于中考常考题型．16. 解：在直角三角形ADB中，，，，在直角三角形ABC中，，，，，解得：．故谜底为：．首先根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形，应利用其公共边AB及构造方程关系式，进而可解，即可求出谜底．本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．17. 解：从热气球C处测得空中A、B两点的俯角分别为、，，，，，是等腰直角三角形，，在中，，，，．故谜底为：．先根据从热气球C处测得空中A、B两点的俯角分别为、可求出与的度数，再由直角三角形的性质求出AD与BD的长，根据即可得出结论．本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟知锐角三角函数的界说是解答此题的关键．18. 解：作于E，于F，斜坡CD的坡比为1：2，即，，又，，，由题意得，四边形BEFC是矩形，，，斜坡AB 的坡比为1：3，，即，，故谜底为：130m．作于E，于F，根据坡度的概念分别求出AE、DF，结合图形计算即可．本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键，掌握矩形的判定和性质的应用．19. 解：：，则．故谜底是：．根据坡度就是坡角的正切值即可求解．本题主要考查了坡度的界说，理解坡度和坡角的关系是解题的关键．20. 解：如图，作，水平线，由题意得：，，，，，，，，，．故谜底为：．作，水平线，根据题意确定出与的度数，利用锐角三角函数界说求出AD与BD的长，由求出BC的长，即可求出BH的长．此题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数界说是解本题的关键．21. 设每层楼高为x米，由求出的长，进而暗示出与的长，在直角三角形中，利用锐角三角函数界说暗示出，同理暗示出，由求出AB的长即可．此题属于解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数界说是解本题的关键．22. 如图，作，水平线，根据题意确定出与的度数，利用锐角三角函数界说求出AD与BD的长，由求出BC的长，即可求出BH的长．此题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数界说是解本题的关键．23. 过点C作CE与BD垂直，根据题意确定出所求角度数即可；在直角三角形CBE中，利用锐角三角函数界说求出BE的长，在直角三角形CDE中，利用锐角三角函数界说求出DE的长，由求出BD的长，即为教学楼的高．此题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数界说是解本题的关键．24. 在直角三角形DCE中，利用锐角三角函数界说求出DE的长即可；过D作DF垂直于AB，交AB于点F，可得出三角形BDF为等腰直角三角形，设，暗示出BC，BD，DC，由题意获得三角形BCD为直角三角形，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解获得x的值，即可确定出AB的长．此题考查了解直角三角形仰角俯角问题，坡度坡角问题，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．25. 如图，过点D作于点F，过点C作于点通过解直角获得DF的长度；通过解直角获得CE 的长度，则．本题考查了解直角三角形仰角俯角问题要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．26. 设米，在直角和直角中分别利用x暗示出AQ和BQ的长，根据，即可列方程求得x的值．本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数暗示出相关线段的长度，难度一般．。

解直角三角形应用专题带答案解直角三角形应用专题练1.在数学实践活动课上，老师带领同学们到附近的湿地公园测量园内雕塑的高度。

用测角仪在A处测得雕塑顶端点C的仰角为30°，再往雕塑方向前进4米至B处，测得仰角为45°。

求该雕塑的高度（测角仪高度忽略不计，结果不取近似值）。

2.一艘海轮位于灯塔C的北偏东45方向，距离灯塔100海里的A处。

它沿XXX方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东30°方向上的B处。

求此时船距灯塔的距离（参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732，结果取整数）。

3.2018年4月12日，菏泽国际牡丹花会拉开帷幕，XXX用直升机航拍技术全程直播。

在直升机的镜头下，观测曹州牡丹园A处的俯角为30°，B处的俯角为45°。

如果此时直升机镜头C处的高度CD为200米，点A、B、D在同一条直线上，则A、B两点间的距离为多少米？（结果保留根号）4.XXX在某桥附近试飞无人机。

为了测量无人机飞行的高度AD，XXX通过操控器指令无人机测得桥头B、C的俯角分别为∠EAB=60°，∠EAC=30°，且D、B、C在同一水平线上。

已知桥BC=30米，求无人机飞行的高度AD（精确到0.01米，参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732）。

5.我市304国道通辽至霍林郭勒段在修建过程中经过一座山峰。

其中山脚A、C两地海拔高度约为1000米，山顶B处的海拔高度约为1400米。

由B处望山脚A处的俯角为30°，由B处望山脚C处的俯角为45°。

若在A、C两地间打通一隧道，求隧道最短为多少米（结果取整数，参考数据√3≈1.732）。

6.随着航母编队的成立，我国海军日益强大。

2018年4月12日，XXX在南海海域隆重举行海上阅兵。

在阅兵之前我军加强了海上巡逻。

巡逻舰在某海域航行到A处时，该舰在观测点P的南偏东45°的方向上，且与观测点P的距离XXX为400海里。

数学练习解直角三角形的应用问题直角三角形是数学中重要的基础概念，它在实际生活和各个学科中具有广泛的应用。

本文将通过一些数学练习题目，来解析直角三角形在实际问题中的应用。

一、测量问题1. 一个测量员发现，他站在一个直角三角形的顶点A，距离直角的一个顶点B的水平距离为6米，而直角边AB的长度为8米。

他想知道他到直角的另一个顶点C的垂直距离是多少？解析：根据直角三角形的性质，可以利用勾股定理来解决这个问题。

勾股定理表达式为a² + b² = c²，其中c为斜边（即直角三角形的斜边AC），a和b为直角边（即直角三角形的直角边AB和BC）。

根据题意，a = 8，c为待求值，b为6。

代入勾股定理的公式，可以得到：8² + 6² = c²64 + 36 = c²100 = c²c = √100c = 10所以，他到直角的另一个顶点C的垂直距离为10米。

二、航海问题2. 一艘船从港口A出发，沿着方位角60°航行了5公里，然后转向方位角120°航行7公里。

求船的总位移和最终位置。

解析：根据给定的方位角和航行距离，可以利用正弦定理和余弦定理解决这个问题。

首先，计算船在第一段航行中的位移。

根据正弦定理，可以得到：sin(60°) / 5 = sin(α) / dd = 5 * (sin(α) / sin(60°))其中，α为船的偏离角度，d为船在这段航行中的位移。

代入α = 180° - 60° = 120°，得到：d = 5 * (sin(120°) / sin(60°))d = 5 * (√3 / 2)接下来，计算船在第二段航行中的位移。

根据余弦定理，可以得到：d = √[(7² + 5²) - 2 * 7 * 5 * cos(120°)]d = √[(49 + 25) - 70 * (-0.5)]d = √(74 + 35)d = √109所以，船的总位移为5 * (√3 / 2) + √109，最终位置为港口A到船的位移的向量和。

解直角三角形是数学中的一个重要概念，它涉及到利用三角函数来求解三角形的未知元素。

在解直角三角形的问题中，我们通常知道三角形的一个锐角及其对应的两边（直角边和斜边），或者知道两个锐角和一边。

通过使用正弦、余弦和正切等三角函数，我们可以找到三角形的其他元素。

下面解直角三角形的题目示例：1、【题目】在直角三角形ABC中，∠C = 90°，AB = 5cm，BC = 4cm。

求AC 的长度。

【解析】利用勾股定理求解。

在直角三角形中，AC2= AB2–BC2。

代入已知数值，AC2 = 52– 42 = 9，所以AC = 3cm。

2、【题目】在直角三角形中，∠A = 30°，∠C = 90°，BC = 3cm。

求AB 的长度。

【解析】利用正弦函数求解。

sin A = BC/AB，所以AB = BC/sin A = 3/sin 30° = 6cm。

3、【题目】在直角三角形中，∠B = 45°，∠C = 90°，AC = 2cm。

求AB 的长度。

【解析】利用正切函数求解。

tan B = AC/BC，所以BC = AC/tan B = 2/tan 45° = 2cm。

因为∠B = 45°，所以AB = sqrt(2) * BC = 2sqrt(2)cm。

4、【题目】在直角三角形中，∠A = 60°，∠C = 90°，AB = 4cm。

求BC 和AC的长度。

【解析】利用余弦函数和勾股定理求解。

cos A = AC/AB，所以AC = AB * cos A = 4 * cos 60° = 2cm。

然后利用勾股定理，BC2 = AB2– AC2 = 16 - 4 = 12，所以BC = 2sqrt(3)cm。

5、【题目】一艘船以15节（海里/小时）的速度向正北方向航行。

同时，一股水流以5节的速度从东向西流过。

求船的实际航向和速度。