函数项级数的收敛性
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一致收敛函数列与函数项级数的性质
1 n 1
12n
2
(2n 2n2x)dx
而
1
lim
0 n
1
1 0dx
n
fn (x)dx
1 2
0
不相等
(2) 定理的条件是充分的, 但不必要
例3 fn (x) nxenx n 1, 2,... 在区间[0,1]上讨论.
f
(x)
lim
n
fn (x)
lim nxenx
n
0
x [0,1]
但在[0,1]上, fn(x) nxenx n 1, 2,...不一致收敛. 事实上,
{ fn(x)}的每一项在[a,b]上有连续的导数, 且{ fn(x)}在[a,b]上一致收敛,
则
d dx
f
(x)
d (lim dx n
fn (x))
lim n
d dx
fn (x)
3. 可微性
定理13.10 设{ fn (x)}为定义在[a,b]上的函数列, x0 [a,b]为{ fn(x)}的收敛点,
f (x)
f (x0 )
lim lim
xx0 n
fn (x)
f (x0 )
又 lim n
fn (x0 )
f (x0 )
lim
x x0
fn (x)
fn (x0 )
lim lim
n xx0
fn (x)
f (x0 )
所以
lim lim
xx0 n
fn
(x)
lim
n
lim
x x0
fn (x)
★ 在一致收敛条件下, 关于x与n极限可以交换极限顺序
fn (x) nxenx 在[0,1]的最大值为:
函数列及其一致收敛性
函数列 nx(1 x )n }在区间 0,1]非一致收敛. { [
函数列及其一致收敛性
2 sup | f n ( x ) f ( x ) | . 1 n x[0,1]
显然， sup | f n ( x ) f ( x ) |} 0. lim{
n x[0,1]
nx 函 数 列 { }在 区 间0， 一 致 收 敛 [ 1] . 1 n x
2){nx(1 x)n }
1 n0 n0 1 | f n0 ( x0 ) f ( x0 ) | [( ) ] 0 . 3 3 即函数列x n }在区间0,1)非一致收敛 { [ .
1
1
函数列 f n ( x ) 一致收敛于 f ( x ) 的 y
y f ( x)
几何意义：
0, N N , 对于序号大于N
成 立 ， 解 得n
l n l n , 取N [ ] lnx lnx
函数列及其一致收敛性
§9.2 函数项级数
1 , 证 明 其 在0,1)收 敛. ( 例2 设f n ( x ) n x 1 证 ：x (0,1), 有 lim 0, n n x
1 1 1 | f n ( x ) f ( x ) || 0| 0, 要使不等式 n x n x n
即 0, N N , n N , x I , 有 | f n ( x) f ( x) |
sup | f n ( x ) f ( x ) | .
xI
即lim{sup | f n ( x ) f ( x ) |} 0.
n xI
充分性 lim{sup | f n ( x ) f ( x ) |} 0.
无穷级数sinx的敛散性
无穷级数sinx的敛散性
是收敛的。
sinx展开后是函数项级数，准确的说是幂级数，只有常数项级数可以直接谈收敛或者发散。
sinx展开成x的幂级数后它的收敛半径是+∞，所以sinx在整条数轴上都是收敛的。
可以把sinx展开成x的幂级数，这时把x当作常数，发现这是交错级数，用绝对收敛的方法的话得到正项级数，这时用比值审敛法（达朗贝尔法）计算得到比值的极限为0，0<1，所以该级数是收敛的。
定义方式与数列收敛类似。
柯西收敛准则关于函数f(x)在点x0处的收敛定义。
对于任意实数b>0，存在c>0，对任意x1，x2满足0<|x1-x0|<c,0<|x2-x0|<c,有|f(x1)-f(x2)|<b。
收敛的定义方式很好的体现了数学分析的精神实质。
函数列及其一致收敛性
对每一个x I， 0，N N ,n N , 有 | fn ( x) f ( x) | .
例1 设fn ( x) xn , 证明其在(0,1)收敛.
证：x (0,1),有 lim xn 0, n 0,要使不等式
| fn ( x) f ( x) || xn 0 | xn
成立， 解得n ln , 取N [ ln ]
lim{sup |
n xI
fn(x)
f
( x) |} 0.
函数列及其一致收敛性
§9.2 函数项级数
证：必要性 函数列{ fn ( x)}在区间I一致收敛于极限函数f ( x)
即 0, N N ,n N ,x I , 有 | fn ( x) f ( x) |
sup | fn( x) f ( x) | .
的所有曲线 y fn( x) (n N ),
都落在曲线 y f ( x) 与
y f (x) 所夹的带状区域内. O
y f (x) y f (x)
a
y f (x) y fn(x)
bx
函数列及其一致收敛性
§9.2 函数项级数
定理1 (函数列的柯西一致收敛准则) 函数列{ fn( x)}
2) 0
1 3
0, N
N , n0
N , x0
(
1
)
1 n0
3
[0,1), 有
|
fn0 ( x0 )
f
(
x0
)
|
[(
1 3
)
1 n0
]n0
1 3
0.
即函数列{ xn }在区间[0,1)非一致收敛.
函数列 fn( x) 一致收敛于 f ( x) 的 y
函数的连续性和函数级数的收敛性(1)
函数2010级数学与应用数学四班 徐邦摘 要 ：函数的连续性和函数级数的收敛性是数学分析中一块重要的内容。
因此，理解连续性和收敛性之间的关系至关重要，包括连续与一致连续，收敛与一致收敛，绝对收敛与一致收敛，收敛与绝对收敛等等之间的关系。
本文针对它们的关系，给出了相应的证明和反例来理清他们之间的必然与非必然的联系。
最后还给出猜想，给出一定的条件，并利用常微分学中的知识，给出了相应的证明，证明猜想是成立并存在的。
关键字：连续 一致连续 收敛 一致收敛 绝对收敛 条件收敛引言：函数的连续性和函数级数的一致收敛性在数学学习中起着重要的作用。
本文较详细地介绍了他们之间所有的关系，并给出相应的证明和反例，使读者在巩固这类知识点中，达到事半功倍的效果。
一 连续与一致连续首先给出函数()f x 在点 0x 处连续的定义[1]：对任给的ε>0, ,0>∃∂,当∂<-||o x x 时，有|)()(|0x f x f -<ε函数f(x)在区间I 上一致连续的定义[1]：任给ε>0, 0∃∂>,对,,,x x ∀，当∣,,,x x -∣<∂时，有 |)()(|0x f x f -<ε可看出函数f(x)的连续性和一致连续性最根本的区别是在于连续是针对某个点而研究的，而一致连续是定义在区间上的。
1） 若()f x 在区间I 上一致连续，则对任意0x ∈I ，f （x ）在点0x 处连续。
证明：对任给的ε>0, 0∃∂>,对∀x ’,x ”，当∣,,,x x -∣<∂时，有<-|)"(x f |'x f ）（ε 取x ’=x,x ” =0x 则对上述的ε>0 当∣,,,x x -∣<∂时，有|)()(|0x f x f -<ε.即f(x)在点0x 连续。
2） 但f （x ）在任给x ∈ I 上连续，f(x)不一定在I 上一致连续。
10.1 函数项级数
(2)有限个可导函数的和仍是可导函数，
且和函数的导数等于导函数的和; (3)有限个可积函数的和仍是可积函数， 且和函数的积分等于积分函数的和;
问题
无限个函数的和（函数项级数）是否具有这些性 质呢？
再考察例1：
研究级数 u n ( x ) x ( x 2 x ) ( x 3 x 2 ) ( x n x n 1 )
x a
S ( t )dt
x a
x un t dt un ( t )dt a n 1 n 1
定理5(和函数的可导性)
设un C 1 ( I )( n N ), 若级数 un 在I上处处
n 1
收敛于函数S : I R , u 在I上一致收敛于 n
当 z 1 时, 加绝对值后的级数收敛 原级数收敛 当 z 1 时, 加绝对值后的级数发散
用的比值法
原级数发散
1 当 z 1 时, 取 模 后 的 级 数 2 收 敛 原 级 数 收 敛 n n 1
收敛域为z 1
1 ( 2) (cos x ) n n 1 3 4 n
函数项级数
一、函数项级数基本概念
定义1 设un ( z )是定义在区域 上的复变函数列, D
称表达式 : u1 u2 un 或
u
n 1
n
为区域D上的复函数项级数 简称 , 函数项级数，un ( z )称为它的通项. 前 n 项之和S n ( z ) uk ( z )
设un C ( I )( n N ), 若函数项级数 un 在
n 1
I上一致收敛于 : I R , 则和函数S C ( I ). S
关于函数项级数的一致收敛性
教 改 教 法
关于函数项 级数 的一致收敛性
刘江蓉
（ 武 汉轻 工大 学数 学与计 算机 学院 湖 北 ・ 武汉
中图分类号 ： Ｏ１ 文献标识码 ： Ａ
４ ３ ０ ０ ２ ３ ）
文章编号 ： １ ６ ７ ２ — ７ ８ ９ ４ （ ２ ０ １ ３） １ ８ － ０ ０ ５ ２ — ０ ２
一
ｉ ｓ ｔ ｈ ｅ ｓ ｎ ｍ ｏ ｆ ｓ ｅ ｒ ｉ ｅ ｓ（ ｏ ｒ ｓ ｕ ｍｍ ａ ｂ ｌ ｅ ｆ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ） ， ｎ ａ ｍｅ ｌ ｙ ， ｃ ｏ ｎ ｖ ｅ ｒ ｇ ｅ ｎ ｃ ｅ
ｉ ｓ ｓ ｕ ｅ ｓ ， ｉ ｎ ｃ ｌ ｕ ｄ ｉ ｎ ｇ ｃ ｏ ｎ ｖ ｅ ｒ ｇ ｅ ｎ ｃ ｅ ａ ｎ ｄ ｃ ｏ ｎ ｖ ｅ ｒ ｇ ｅ ｎ ｃ ｅ ｗｉ ｔ ｈ ｕ ｎ ａ ｎ ｉ ｍｏ ｕ ｓ －
Ｖｅ ＞ ０ ， Ｎ（ ￡ ， 。 ） ＞ ０当 ｎ ＞ Ｎ时 ， 有Ｉ ｓ （ Ｘ Ｏ ） 一 ｓ （ ‰） Ｉ ＜ ８ 。 则 称 函
摘 要 级 数 是 表 示初 等 函数 的 一种 工 具 ，其 核 心 问题 是 级 数 的和 （ 或和 函数 ） ， 即 收敛 问题 ， 包括 收敛和 一致收敛 ， 主要讨论 了函数项级数一致收敛 中的优级 数判别法 ，给 出 了几 种 寻 找优 级 数 的 方 法 。 关键词 函数项级数 的一致收敛性 优级 数 正项级数
ｌ ｙ ． Ｗｅ ａ ｎａ ｌ ｙ ｚ ｅ ｄ Ｕ ｓ ｅ ｉｅ ｒ ｓ ｃ ｏ ｎ ｖ ｅ ｒ ｇ ｅ ｎ ｃ ｅ ｏ ｎ ｃ ｏ ｎｖ ｅ ｒ ｇ ｅ ｎｃ ｅ ｗｉ ｔ ｈ ｕ ｎａ ｎ ｉ ｍｏ ｕ ｓ ｌ ｙ ｏ ｆ ｆ ｕ ｎｃ ｔ ｉ ｏ ｎａ ｌ ｓ ｅ ｉｅ ｒ ｓ ， ａ ｎ ｄ ｇ ａ ｖ ｅ ｓ ｅ ｖ ｅ ｒ ａ ｌ ｗａ ｙ ｓ ｔ ｏ ｉｎ ｆ ｄ ｔ ｈｅ
关于函数项 级数 的一致收敛性
刘江蓉
（ 武 汉轻 工大 学数 学与计 算机 学院 湖 北 ・ 武汉
中图分类号 ： Ｏ１ 文献标识码 ： Ａ
４ ３ ０ ０ ２ ３ ）
文章编号 ： １ ６ ７ ２ — ７ ８ ９ ４ （ ２ ０ １ ３） １ ８ － ０ ０ ５ ２ — ０ ２
一
ｉ ｓ ｔ ｈ ｅ ｓ ｎ ｍ ｏ ｆ ｓ ｅ ｒ ｉ ｅ ｓ（ ｏ ｒ ｓ ｕ ｍｍ ａ ｂ ｌ ｅ ｆ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ） ， ｎ ａ ｍｅ ｌ ｙ ， ｃ ｏ ｎ ｖ ｅ ｒ ｇ ｅ ｎ ｃ ｅ
ｉ ｓ ｓ ｕ ｅ ｓ ， ｉ ｎ ｃ ｌ ｕ ｄ ｉ ｎ ｇ ｃ ｏ ｎ ｖ ｅ ｒ ｇ ｅ ｎ ｃ ｅ ａ ｎ ｄ ｃ ｏ ｎ ｖ ｅ ｒ ｇ ｅ ｎ ｃ ｅ ｗｉ ｔ ｈ ｕ ｎ ａ ｎ ｉ ｍｏ ｕ ｓ －
Ｖｅ ＞ ０ ， Ｎ（ ￡ ， 。 ） ＞ ０当 ｎ ＞ Ｎ时 ， 有Ｉ ｓ （ Ｘ Ｏ ） 一 ｓ （ ‰） Ｉ ＜ ８ 。 则 称 函
摘 要 级 数 是 表 示初 等 函数 的 一种 工 具 ，其 核 心 问题 是 级 数 的和 （ 或和 函数 ） ， 即 收敛 问题 ， 包括 收敛和 一致收敛 ， 主要讨论 了函数项级数一致收敛 中的优级 数判别法 ，给 出 了几 种 寻 找优 级 数 的 方 法 。 关键词 函数项级数 的一致收敛性 优级 数 正项级数
ｌ ｙ ． Ｗｅ ａ ｎａ ｌ ｙ ｚ ｅ ｄ Ｕ ｓ ｅ ｉｅ ｒ ｓ ｃ ｏ ｎ ｖ ｅ ｒ ｇ ｅ ｎ ｃ ｅ ｏ ｎ ｃ ｏ ｎｖ ｅ ｒ ｇ ｅ ｎｃ ｅ ｗｉ ｔ ｈ ｕ ｎａ ｎ ｉ ｍｏ ｕ ｓ ｌ ｙ ｏ ｆ ｆ ｕ ｎｃ ｔ ｉ ｏ ｎａ ｌ ｓ ｅ ｉｅ ｒ ｓ ， ａ ｎ ｄ ｇ ａ ｖ ｅ ｓ ｅ ｖ ｅ ｒ ａ ｌ ｗａ ｙ ｓ ｔ ｏ ｉｎ ｆ ｄ ｔ ｈｅ
数学函数级数收敛与发散判断方法
数学函数级数收敛与发散判断方法在数学中，函数级数是由无穷多个函数项的和所组成的。
判断一个函数级数是收敛还是发散，是数学中的一个重要问题。
本文将介绍几种常见的判断函数级数收敛与发散的方法。
一、极限判别法极限判别法是判断函数级数收敛与发散的基本方法之一。
它利用函数项的极限来判断级数的性质。
1. 首先，考察函数项的极限是否存在。
计算函数项的极限值，如果存在有限的值，则可以说级数可能是收敛的。
2. 其次，如果函数项的极限不存在或为无穷大，则级数可能是发散的。
3. 在一些特殊情况下，函数项的极限为0，并不能确定级数是收敛还是发散，此时需要进一步应用其他的方法进行判断。
二、比较判别法比较判别法是另一种常见的判断函数级数收敛与发散的方法。
它将待判定的级数与已知性质的级数进行比较。
1. 比较判别法的基本思想是，如果待判定的级数的每一项都小于或等于一个已知收敛级数的对应项，那么待判定的级数也是收敛的。
2. 如果待判定的级数的每一项都大于或等于一个已知发散级数的对应项，那么待判定的级数也是发散的。
3. 比较判别法中常用的比较级数有调和级数、几何级数和正项级数等。
三、积分判别法积分判别法是判断正项级数收敛与发散的一种重要方法。
它利用函数的积分值来确定级数的性质。
1. 如果正项级数的每一项都比一个连续函数在某一区间上的积分都要小，那么该级数是收敛的。
2. 如果正项级数的每一项都比一个连续函数在某一区间上的积分都要大，那么该级数是发散的。
3. 积分判别法需要熟练运用积分计算，因此在应用时需要注意对函数的积分运算。
四、根值判别法根值判别法也是判断正项级数收敛与发散的一种常用方法。
它通过取函数项的n次方根来判断级数的性质。
1. 如果正项级数的每一项的n次方根趋于0，则级数是收敛的。
2. 如果正项级数的每一项的n次方根趋于无穷大，则级数是发散的。
3. 根值判别法中的n通常取为2或者3，具体取决于待判定级数的形式。
综上所述，极限判别法、比较判别法、积分判别法和根值判别法是常见的判断函数级数收敛与发散的方法。
高等数学 第八章 数列与无穷级数 8-4幂级数
n 0
n 0
an 1 x n 1 an 1 lim x 1)若0 ρ , lim n n an x n an
当ρ x 1, 即 x 当ρ x 1, 即 x
1 ρ 1 ρ
时, 原级数收敛; 故收敛半径 1 R . 时, 原级数发散. ρ
n
2 6
, n 为奇数 , n 为偶数
不能
lim
n
un ( x ) lim
n
n
2 ( 1)
x 2
备用题
x2 x3 xn 例2-1 x ( 1) n1 2 3 n 求收敛半径及收敛域.
解
1 an n lim R lim 1 n n a n 1 n1
( 该幂级数的收敛域： 1, 1).
设S ( x )
n 1
( 1)n1 n( n 1) x n ( 1)n1 nx n1
0
x
S ( x )dx
n 1
x 2 ( 1)n1 nx n1 令F ( x )
n 1
n 1
( 1)n1 nx n1
余项：
例1 (1) 和函数
1 ( x 1) 2
发散域： ( , 0 ]
等比级数 1 公比: x
2
收敛域：
(2)
级数发散 ;
故级数的收敛域: 收敛域一般不一定为区间
二、幂级数及其收敛性
1. 定义
1 ( x 1), 例如, 等比级数 为幂级数 x 1 x n 0
n
问题
一般幂级数的收敛域是否为区间？
n0
其和函数.具体步骤如下：
n 0
an 1 x n 1 an 1 lim x 1)若0 ρ , lim n n an x n an
当ρ x 1, 即 x 当ρ x 1, 即 x
1 ρ 1 ρ
时, 原级数收敛; 故收敛半径 1 R . 时, 原级数发散. ρ
n
2 6
, n 为奇数 , n 为偶数
不能
lim
n
un ( x ) lim
n
n
2 ( 1)
x 2
备用题
x2 x3 xn 例2-1 x ( 1) n1 2 3 n 求收敛半径及收敛域.
解
1 an n lim R lim 1 n n a n 1 n1
( 该幂级数的收敛域： 1, 1).
设S ( x )
n 1
( 1)n1 n( n 1) x n ( 1)n1 nx n1
0
x
S ( x )dx
n 1
x 2 ( 1)n1 nx n1 令F ( x )
n 1
n 1
( 1)n1 nx n1
余项：
例1 (1) 和函数
1 ( x 1) 2
发散域： ( , 0 ]
等比级数 1 公比: x
2
收敛域：
(2)
级数发散 ;
故级数的收敛域: 收敛域一般不一定为区间
二、幂级数及其收敛性
1. 定义
1 ( x 1), 例如, 等比级数 为幂级数 x 1 x n 0
n
问题
一般幂级数的收敛域是否为区间？
n0
其和函数.具体步骤如下：
数项级数和函数项级数及其收敛性的判定
学号数项级数和函数项级数及其收敛性的判定学院名称：数学与信息科学学院专业名称：数学与应用数学年级班别：姓名：指导教师：2012年5月数项级数和函数项级数及其收敛性的判定摘要 本文主要对数项级数中的正项级数与函数项级数收敛性判定进行研究，总结了正项级数和函数项级数一致收敛的部分判别法，并且介绍两种特别判别法：导数判别法和对数判别法。
关键词：数项级数；正项级数；函数项级数；一致收敛性；导数判别法；对数判别法.Several series and Function of series and the judgment of theirconvergenceAbstract In this paper, the author mainly discusses two series: Several series of positive series and Function of series. Summarizing the positive series and function of the part of the uniform convergence series discriminant method .And it presents two special discriminant method: derivative discriminant method and logarithmic discriminant method.Keywords Several series; Positive series; Function of series; uniform convergence; derivative discriminant method; logarithmic discriminant method前 言在数学分析中,数项级数和函数级数是全部级数理论的基础,而且数项级数中的正项级数和函数级数是基本的,同时也是十分重要的两类级数。
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函数项级数的收敛性
函数项级数是数学中的一个重要概念，它由一系列函数项相加而成。
在研究函数项级数的性质时，我们经常关注其是否收敛。
本文将探讨
函数项级数的收敛性，并给出相应的定义和判定条件。
一、函数项级数的定义
函数项级数可以表示为：
\[ \sum_{n=1}^{\infty} f_n(x) \]
其中，$f_n(x)$是定义在某个集合上的函数序列，$x$是集合中的一
个元素。
函数项级数的求和是对函数序列$f_n(x)$进行加法运算，得到
一个新的函数。
二、函数项级数的部分和
函数项级数的部分和表示为：
\[ S_n(x)=\sum_{k=1}^{n} f_k(x) \]
三、函数项级数的收敛性判定
函数项级数的收敛性判定是判断函数项级数的部分和序列
$S_n(x)$是否收敛。
常见的收敛性判定方法有以下几种：
1. Cauchy收敛准则
对于任意给定的正数$\epsilon$，存在正整数N，使得对于任意的$m > n > N$和任意的$x$，都有：
\[ |S_m(x)-S_n(x)|< \epsilon \]
当满足上述条件时，函数项级数在集合中的每一个元素$x$处一致收敛。
2. Weierstrass判别法
如果存在正数列$b_n$，使得对于任意的$n$和$x$，都有：
\[ |f_n(x)|\leq b_n \]
并且级数$\sum b_n$收敛，则函数项级数在集合中的每一个元素$x$处一致收敛。
3. Abel判别法
若存在正数$M$，使得对于任意的$n$和$x$，都有：
\[ |S_n(x)|\leq M \]
且函数序列$f_n(x)$单调，即对于任意的$x$，都存在$n_0$，当$n\geq n_0$时，有：
\[ |f_n(x)|\geq |f_{n+1}(x)| \]
则函数项级数在集合中的每一个元素$x$处一致收敛。
四、函数项级数的应用
函数项级数在数学和物理等领域有广泛的应用。
例如，在数学分析中，利用函数项级数的收敛性，可以证明一些重要的数学定理，如傅
里叶级数的收敛性定理。
在物理学中，函数项级数可以用来描述波动现象、电路的交流电信号等。
总结：
函数项级数是由一系列函数项相加而成的级数。
判断函数项级数的收敛性需要应用Cauchy收敛准则、Weierstrass判别法、Abel判别法等方法。
函数项级数的收敛性判定对于数学分析和物理学等领域具有重要意义。
函数项级数的收敛性分析不仅可以深化对级数理论的理解，还有助于解决实际问题。