2018年江苏省南通市海安高级中学高二上学期数学期中试卷与解析(文科)

2017—2018第二学期学情阶段检测高二数学试卷（文）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1. 已知集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{x|x2－1＞0}，则A∩B＝_____．【答案】{2}【解析】分析：先求出B集合，然后根据交集定义即可得出结论.详解：由题可得：，故A∩B＝{2}所以答案为：{2}点睛：考查交集的定义，属于基础题.2. 已知复数z满足：z(1－i)＝2＋4i，其中i为虚数单位，则复数z的模为_____．【答案】【解析】分析：先求出，在结合模长公式即可.详解：由题得：故答案为：点睛：考查复数的除法运算，复数的模长，属于基础题.3. 某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：9.7，9.9，10.1， 10.2，10.1，则这组数据的方差为_____．【答案】0.032【解析】先求得数据的平均数，根据方差公式可得，组数据的方差，故答案为.4. 从2个红球，2个黄球，1个白球中随机取出两个球，则两球颜色不同的概率是_____．【解析】考虑对立事件，减去颜色相同的即颜色不同的事件的概率，即：，两球颜色不同的概率是.点睛：求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算．二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P()，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”，“至少”型题目，用间接求法就显得较简便．5. 如图，它是一个算法的流程图，最后输出的k值为_____．【答案】5【解析】分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值，当S=21，k=5时，不满足条件S ＜20，退出循环，输出k的值为5详解：模拟执行程序框图，可得k=1，S=0满足条件S＜20，S=21=2，k=2满足条件S＜20，S=21+22=5，k=3满足条件S＜20，S=5+23=13，k=4满足条件S＜20，S=13+24=21，k=5不满足条件S＜20，退出循环，输出k的值为5．故答案为：5．点睛：本题主要考查了循环结构的程序考查，依次写出每次循环得到的S，k的值即可得解，属于基础题．6. 已知α为三角形内角，sinα+cosα=，则cos2α=_____．【解析】分析：已知等式两边平方，利用同角三角函数间基本关系化简，再利用完全平方公式求出sinα-cosα的值，原式利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用平方差公式变形，把各自的值代入计算即可求出值．详解：把sinα+cosα=两边平方，∵α为第二象限角，故答案为点睛：此题考查了二倍角的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．7. 已知双曲线(a＞0，b＞0)的一条渐近线的方程为2x－y＝0，则该双曲线的离心率为_____．【答案】【解析】分析：由题意确定a,b的关系，然后利用离心率的计算公式整理计算即可求得最终结果.详解：由双曲线的渐近线方程结合题意可得：，则双曲线的离心率为：.点睛：本题主要考查双曲线的渐近线方程，双曲线离心率的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8. 对于直线l，m，平面α，且m α，则“l⊥m”是“l⊥α”成立的_____条件．（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选填一个）．【答案】必要不充分【解析】分析：根据线面垂直的性质和定义即可得到结论．点睛：本题主要考查充分条件和必要条件的定义，利用线面垂直的定义是解决本题的关键．9. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2－6x＋5＝0，点A，B在圆C上，且AB＝2，则的最大值是_____．【答案】8【解析】试题分析：将圆的方程化为标准方程：，圆心坐标，半径，易得，如图，，设，又∵即的最大值为.考点：1.平面向量数量积；2.三角恒等变形.10. 若关于x的方程4x +a·2x +a+1=0有实根，则实数a的取值范围是_____．【答案】【解析】分析：先令t=2x，则关于t方程为t2+at+a+1=0 有实根，结合二次方程根的分布即可解出实数a的取值范围．详解：令2x=t＞0，原方程即为t2+at+a+1=0则原方程有实根等价于关于t的方程t2+at+a+1=0有正根．于是有f（0）＜0，即a+1＜0，解得a＜-1，或又当a=-1时，t=1有正根符合题意，故综合得：；所以答案为：点睛：本题主要考查了函数的零点与方程根的关系，以及利用二次方程根的分布求变量范围，属于中档题．11. 已知等比数列{a n}的公比q＞1，其前n项和为S n．若S4＝2S2＋1，则S6的最小值为_____．【答案】2＋3【解析】分析：利用等比数列的前n项和公式可得：a1（1+q）（q2-1）=1，则，再利用基本不等式的性质即可得出．详解：：∵S4=2S2+1，∴S6的最小值为2＋3故答案为：2＋3点睛：本题考查了等比数列的前n项和公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12. 已知△ABC的三边长a，b，c满足b+c≤2a，c+a≤2b，则的取值范围为_____．【答案】【解析】分析：由题设条件，本题要结合三角形的性质两边之和大于第三边及题设中的不等式b+c≤2a，c+a≤2b，利用简单线性规划寻求得到的取值范围．详解：设x＝，y＝，根据三角形的性质两边之和大于第三边及题设中的不等式，得作出平面区域：故答案为点睛：本题考查不等式的综合，熟练掌握不等式的性质，能灵活运用简单线性规划进行求解，求出要求的范围是解答本题的关键，本题中有一个容易漏掉的隐含条件，三角形中两边之和大于第三边，对题设中隐含条件的挖掘对解题的完整性很重要，谨记13. 若，且，则的取值范围是_____．【答案】【解析】分析：不等式化为7sin3θ+sin5θ＞cos5θ+7cos3θ，考察函数f（x）=7x3+x5是R上的单调性即可得出．详解：由题可得：不等式化为7sin3θ+sin5θ＞cos5θ+7cos3θ，考察函数f（x）=7x3+x5是R上的增函数，所以sinθ＞cosθ，．∵θ∈[0，2π），∴θ的取值范围是故答案为：点睛：本题考查了利用函数的单调性解决问题、三角函数的单调性等基础知识，考查了转化法和推理能力，属于难题．14. 在平面直角坐标系xOy中，A，B为x轴正半轴上的两个动点，P（异于原点O）为y轴上的一个定点．若以AB为直径的圆与圆x2＋(y－2)2＝1相外切，且∠APB的大小恒为定值，则线段OP的长为_____．【答案】【解析】分析：设O2（a，0），圆O2的半径为r（变量），OP=t（常数），利用差角的正切公式，结合以AB 为直径的圆与圆x2+（y-2）2=1相外切．且∠APB的大小恒为定值，即可求出线段OP的长．详解：设O2（a，0），圆O2的半径为r（变量），OP=t（常数），则∵∠APB的大小恒为定值，∴t＝，∴|OP|=．故答案为点睛：本题考查圆与圆的位置关系，考查差角的正切公式，考查学生的计算能力，属于中档题．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a cos B＝b cos A．（1）求的值；（2）若sin A＝，求sin(C－)的值．【答案】（1）1（2）【解析】分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理得到结果，（2）由（1）可得：C=π-2A，利用sinA=，A为锐角，可得：cosA，sin2A，cos2A的值，利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式即可求值．（1）由a cos B＝b cos A，得sin A cos B＝sin B cos A，即sin(A－B)＝0．因为A，B∈(0，π)，所以A－B∈(－π，π)，所以A－B＝0，所以a＝b，即＝1．（2）因为sin A＝，且A为锐角，所以cos A＝．所以sin C＝sin(π－2A)＝sin2A＝2sin A cos A＝，cos C＝cos(π－2A)＝－cos2A＝－1＋2sin2A＝－．所以sin(C－)＝sin C cos－cos C sin＝．点睛：此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式的应用，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．16. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为侧棱P A的中点．（1）求证：PC // 平面BDE；（2）若PC⊥P A，PD＝AD，求证：平面BDE⊥平面P AB．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）连结,交于,连结，为的中点，利用三角形中位线的性质，可知，利用线面平行的判定定理，即可得出结论；（2）先证明，再证明.，可得平面.，从而可得平面平面．试题解析：证明: （1）连结,交于,连结.因为是平行四边形,所以.因为为侧棱的中点所以∥.因为平面,平面所以∥平面.（2）因为为中点,所以因为,∥所以.因为平面,平面,所以平面.因为平面所以平面平面.17. 给定椭圆C：(a＞b＞0)，称圆C1：x2＋y2＝a2＋b2为椭圆C的“伴随圆”．已知椭圆C的离心率为，且经过点(0，1)．（1）求实数a，b的值；（2）若过点P(0，m) (m＞0)的直线l与椭圆C有且只有一个公共点，且l被椭圆C的伴随圆C1所截得的弦长为2，求实数m的值．【答案】（1）a＝2，b＝1（2）m＝3【解析】试题分析：（1）记椭圆C的半焦距为c．由题意，得，由此能求出a，b；（2）由（1）知，椭圆C的方程为，圆的方程为．设直线l的方程为，由，得，由此利用根的判别式、弦长公式、圆心到直线的距离，结合知识点能求出m 试题解析：（1）记椭圆C的半焦距为c．由题意，得b＝1，，c2＝a2＋b2，解得a＝2，b＝1．（2）由（1）知，椭圆C的方程为＋y2＝1，圆C1的方程为x2＋y2＝5．显然直线l的斜率存在．设直线l的方程为y＝kx＋m，即kx－y＋m＝0．因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，故方程组（*）有且只有一组解．由（*）得（1＋4k2）x2＋8kmx＋4m2－4＝0．从而△＝（8km）2－4（1＋4k2）（4m2－4）＝0．化简，得m2＝1＋4k2．①因为直线l被圆x2＋y2＝5所截得的弦长为2，所以圆心到直线l的距离d＝．即．②由①②，解得k2＝2，m2＝9．因为m＞0，所以m＝3．考点：1．椭圆方程及性质；2．直线与圆锥曲线的综合问题18. 如图，公路AM，AN围成一块顶角为α的角形耕地，其中tanα＝－2，在该块土地中P处有一小型建筑，经测量，它到公路AM，AN的距离分别为3km，km，现要过点P修建一条直线公路BC，将三条公路围成的区域ABC建成一个工业园，为尽量减少耕地占用，问如何确定B点的位置，使得该工业园区的面积最小？并求最小面积．【答案】当AB＝5km时，该工业园区的面积最小，最小面积为15km2．【解析】试题分析：先确定点P的位置，再利用BC的斜率表示工业园区的面积，利用导数求其最值.以A为原点，AB为x轴，建立平面直角坐标系．因为tanα＝－2，故直线AN的方程是y＝－2x．设点P(x0，y0)．因为点P到AM的距离为3，故y0＝3．由P到直线AN的距离为，得，解得x0＝1或x0＝－4(舍去)，所以点P(1，3)．显然直线BC的斜率存在．设直线BC的方程为y－3＝k(x－1)，k∈(－2，0)．令y＝0得x B＝1－．由解得y C＝．设△ABC的面积为S，则S＝x B×y C＝．由S¢＝＝0得k＝－或k＝3．所以当k＝－时，即AB＝5时，S取极小值，也为最小值15．试题解析：解：如图1，以A为原点，AB为x轴，建立平面直角坐标系．因为tanα＝－2，故直线AN的方程是y＝－2x．设点P(x0，y0)．因为点P到AM的距离为3，故y0＝3．由P到直线AN的距离为，得，解得x0＝1或x0＝－4(舍去)，所以点P(1，3)．4分显然直线BC的斜率存在．设直线BC的方程为y－3＝k(x－1)，k∈(－2，0)．令y＝0得x B＝1－．6分由解得y C＝．8分设△ABC的面积为S，则S＝×x B×y C＝10分由S¢＝＝0得k＝－或k＝3．当－2＜k＜－时，S¢＜0，S单调递减；当－＜k＜0时，S¢＞0，S单调递增．13分所以当k＝－时，即AB＝5时，S取极小值，也为最小值15．答：当AB＝5km时，该工业园区的面积最小，最小面积为15km2．16分考点：利用导数求函数最值19. 已知函数f(x)＝e x，g(x)＝x－b，b∈R．（1）若函数f(x)的图象与函数g(x)的图象相切，求b的值；（2）设T(x)＝f(x)＋ag(x)，a∈R，求函数T(x)的单调增区间；（3）设h(x)＝|g(x)|·f(x)，b＜1．若存在x1，x2[0，1]，使|h(x1)－h(x2)|＞1成立，求b的取值范围．【答案】（1）b＝－1（2）见解析（3）(－∞，)【解析】分析：（1）设切点为（t，e t），由导数的几何意义，可得e t=1，且e t=t-b，即可得到b=-1；（2）求出T（x）的导数，讨论当a≥0时，当a＜0时，由导数大于0，可得增区间；（3）求出h（x）的分段函数，讨论x的范围，求得单调区间，对b讨论，求得h（x）的最值，由存在性思想，即可得到b的范围．详解：(1)设切点为(t，e t)，因为函数f(x)的图象与函数g(x)的图象相切，所以e t＝1，且e t＝t－b，解得b＝－1．（2)T(x)＝e x＋a(x－b)，T′(x)＝e x＋a．当a≥0时，T′(x)＞0恒成立．当a＜0时，由T′(x)＞0，得x＞ln(－a)．所以，当a≥0时，函数T(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)；当a＜0时，函数T(x)的单调增区间为(ln(－a)，＋∞)．（3)h(x)＝|g(x)|·f(x)＝当x>b时，h′(x)＝(x－b＋1)e x＞0，所以h(x)在(b，＋∞)上为增函数；当x<b时，h′(x)＝－(x－b＋1)e x，因为b－1＜x＜b时，h′(x)＝－(x－b＋1)e x＜0，所以h(x)在(b－1，b)上是减函数；因为x＜b－1时， h′(x)＝－(x－b＋1)e x＞0，所以h(x)在(－∞，b－1)上是增函数．当b≤0时，h(x)在(0，1)上为增函数．所以h(x)max＝h(1)＝(1－b)e，h(x)min＝h(0)＝－b．由h(x)max－h(x)min＞1，得b＜1，所以b≤0．②当0＜b＜时，因为b＜x＜1时， h′(x)＝(x－b＋1)e x＞0，所以h(x)在(b，1)上是增函数，因为0＜x＜b时， h′(x)＝－(x－b＋1)e x＜0，所以h(x)在(0，b)上是减函数．所以h(x)max＝h(1)＝(1－b)e，h(x)min＝h(b)＝0．由h(x) max－h(x) min＞1，得b＜．因为0＜b＜，所以0＜b＜．③当≤b＜1时，同理可得，h(x)在(0，b)上是减函数，在(b，1)上是增函数．所以h(x)max＝h(0)＝b，h(x)min＝h(b)＝0．因为b＜1，所以h(x)max－h(x)min＞1不成立．综上，b的取值范围为(－∞，)．点睛：本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查分类讨论的思想方法，以及化简整理的运算能力，属于中档题．20. 已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且2a5－a3＝13，S4＝16．（1）求数列{a n}的前n项和S n；（2）设T n＝(－1)i a i，若对一切正整数n，不等式λT n＜[a n＋1＋(－1)n＋1a n]·2n－1恒成立，求实数λ的取值范围；（3）是否存在正整数m，n(n＞m＞2)，使得S2，S m－S2，S n－S m成等比数列？若存在，求出所有的m，n；若不存在，说明理由．【答案】（1）a n＝2n－1，S n ＝n2（2）－4＜λ＜2（3）不存在【解析】分析：（1）根据等差通项列式先求出首先和公差即可；（2）因为有(－1)n＋1a n，所以要分奇偶：①当n 为偶数时，设n＝2k，k∈N*，则T2k＝(a2－a1)＋(a4－a3)＋…＋(a2k－a2k－1)＝2k．代入不等式λT n＜[a n＋1＋(－1)n＋1a n]·2n－1，得λ·2k＜4k，从而λ＜．分析其最小值即可；②当n为奇数时，设n＝2k－1，k∈N*，则T2k－1＝T2k－(－1)2k a2k＝2k－(4k－1)＝1－2k．详解：(1)设数列{a n}的公差为d．因为2a5－a3＝13，S4＝16，所以解得a1＝1，d＝2，所以a n＝2n－1，S n ＝n2．(2)①当n为偶数时，设n＝2k，k∈N*，则T2k＝(a2－a1)＋(a4－a3)＋…＋(a2k－a2k－1)＝2k．代入不等式λT n＜[a n＋1＋(－1)n＋1a n]·2n－1，得λ·2k＜4k，从而λ＜．设f(k)＝，则f(k＋1)－f(k)＝－＝．因为k∈N*，所以f(k＋1)－f(k)＞0，所以f(k)是递增的，所以f(k)min＝2，所以λ＜2．②当n为奇数时，设n＝2k－1，k∈N*，则T2k－1＝T2k－(－1)2k a2k＝2k－(4k－1)＝1－2k．代入不等式λT n＜[a n＋1＋(－1)n＋1a n]·2n－1，得λ·(1－2k)＜(2k－1)4k，从而λ＞－4k．因为k∈N*，所以－4k的最大值为－4，所以λ＞－4．综上，λ的取值范围为－4＜λ＜2．(3)假设存在正整数m，n(n＞m＞2)，使得S2，S m－S2，S n－S m成等比数列，则(S m－S2)2＝S2·(S n－S m)，即(m2－4)2＝4(n2－m2)，所以4n2＝(m2－2)2＋12，即4n2－(m2－2)2＝12，即(2n－m2＋2)(2n＋m2－2)＝12．因为n＞m＞2，所以n≥4，m≥3，所以2n＋m2－2≥15．因为2n－m2＋2是整数，所以等式(2n－m2＋2)(2n＋m2－2)＝12不成立，故不存在正整数m，n(n＞m＞2)，使得S2，S m－S2，S n－S m成等比数列．点睛：考查等差数列的通项和基本性质，尤其将数列和函数的分析思维进行结合是本题的亮点，值得好好分析，而对于函数的最值的基本分析是基本要求，能分离参数求最值即为本题关键，对于第三问则通常采用反证法找矛盾即可，属于中档题.。

2017—2018第二学期学情阶段检测高二数学试卷（文）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1. 已知集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{x|x2－1＞0}，则A∩B＝_____．【答案】{2}【解析】分析：先求出B集合，然后根据交集定义即可得出结论.详解：由题可得：，故A∩B＝{2}所以答案为：{2}点睛：考查交集的定义，属于基础题.2. 已知复数z满足：z(1－i)＝2＋4i，其中i为虚数单位，则复数z的模为_____．【答案】【解析】分析：先求出，在结合模长公式即可.详解：由题得：故答案为：点睛：考查复数的除法运算，复数的模长，属于基础题.3. 某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：9.7，9.9，10.1， 10.2，10.1，则这组数据的方差为_____．【答案】0.032【解析】先求得数据的平均数，根据方差公式可得，组数据的方差，故答案为.4. 从2个红球，2个黄球，1个白球中随机取出两个球，则两球颜色不同的概率是_____．【解析】考虑对立事件，减去颜色相同的即颜色不同的事件的概率，即：，两球颜色不同的概率是.点睛：求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算．二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P()，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”，“至少”型题目，用间接求法就显得较简便．5. 如图，它是一个算法的流程图，最后输出的k值为_____．【答案】5【解析】分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值，当S=21，k=5时，不满足条件S ＜20，退出循环，输出k的值为5详解：模拟执行程序框图，可得k=1，S=0满足条件S＜20，S=21=2，k=2满足条件S＜20，S=21+22=5，k=3满足条件S＜20，S=5+23=13，k=4满足条件S＜20，S=13+24=21，k=5不满足条件S＜20，退出循环，输出k的值为5．故答案为：5．点睛：本题主要考查了循环结构的程序考查，依次写出每次循环得到的S，k的值即可得解，属于基础题．6. 已知α为三角形内角，sinα+cosα=，则cos2α=_____．【解析】分析：已知等式两边平方，利用同角三角函数间基本关系化简，再利用完全平方公式求出sinα-cosα的值，原式利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用平方差公式变形，把各自的值代入计算即可求出值．详解：把sinα+cosα=两边平方，∵α为第二象限角，故答案为点睛：此题考查了二倍角的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．7. 已知双曲线(a＞0，b＞0)的一条渐近线的方程为2x－y＝0，则该双曲线的离心率为_____．【答案】【解析】分析：由题意确定a,b的关系，然后利用离心率的计算公式整理计算即可求得最终结果.详解：由双曲线的渐近线方程结合题意可得：，则双曲线的离心率为：.点睛：本题主要考查双曲线的渐近线方程，双曲线离心率的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8. 对于直线l，m，平面α，且m α，则“l⊥m”是“l⊥α”成立的_____条件．（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选填一个）．【答案】必要不充分【解析】分析：根据线面垂直的性质和定义即可得到结论．点睛：本题主要考查充分条件和必要条件的定义，利用线面垂直的定义是解决本题的关键．9. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2－6x＋5＝0，点A，B在圆C上，且AB＝2，则的最大值是_____．【答案】8【解析】试题分析：将圆的方程化为标准方程：，圆心坐标，半径，易得，如图，，设，又∵，当且仅当时，等号成立，即的最大值为.考点：1.平面向量数量积；2.三角恒等变形.10. 若关于x的方程4x +a·2x +a+1=0有实根，则实数a的取值范围是_____．【答案】【解析】分析：先令t=2x，则关于t方程为t2+at+a+1=0 有实根，结合二次方程根的分布即可解出实数a的取值范围．详解：令2x=t＞0，原方程即为t2+at+a+1=0则原方程有实根等价于关于t的方程t2+at+a+1=0有正根．于是有f（0）＜0，即a+1＜0，解得a＜-1，或又当a=-1时，t=1有正根符合题意，故综合得：；所以答案为：点睛：本题主要考查了函数的零点与方程根的关系，以及利用二次方程根的分布求变量范围，属于中档题．11. 已知等比数列{a n}的公比q＞1，其前n项和为S n．若S4＝2S2＋1，则S6的最小值为_____．【答案】2＋3【解析】分析：利用等比数列的前n项和公式可得：a1（1+q）（q2-1）=1，则，再利用基本不等式的性质即可得出．详解：：∵S4=2S2+1，∴S6的最小值为2＋3故答案为：2＋3点睛：本题考查了等比数列的前n项和公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12. 已知△ABC的三边长a，b，c满足b+c≤2a，c+a≤2b，则的取值范围为_____．【答案】【解析】分析：由题设条件，本题要结合三角形的性质两边之和大于第三边及题设中的不等式b+c≤2a，c+a≤2b，利用简单线性规划寻求得到的取值范围．详解：设x＝，y＝，根据三角形的性质两边之和大于第三边及题设中的不等式，得作出平面区域：故答案为点睛：本题考查不等式的综合，熟练掌握不等式的性质，能灵活运用简单线性规划进行求解，求出要求的范围是解答本题的关键，本题中有一个容易漏掉的隐含条件，三角形中两边之和大于第三边，对题设中隐含条件的挖掘对解题的完整性很重要，谨记13. 若，且，则的取值范围是_____．【答案】【解析】分析：不等式化为7sin3θ+sin5θ＞cos5θ+7cos3θ，考察函数f（x）=7x3+x5是R上的单调性即可得出．详解：由题可得：不等式化为7sin3θ+sin5θ＞cos5θ+7cos3θ，考察函数f（x）=7x3+x5是R上的增函数，所以sinθ＞cosθ，．∵θ∈[0，2π），∴θ的取值范围是故答案为：点睛：本题考查了利用函数的单调性解决问题、三角函数的单调性等基础知识，考查了转化法和推理能力，属于难题．14. 在平面直角坐标系xOy中，A，B为x轴正半轴上的两个动点，P（异于原点O）为y轴上的一个定点．若以AB为直径的圆与圆x2＋(y－2)2＝1相外切，且∠APB的大小恒为定值，则线段OP的长为_____．【答案】【解析】分析：设O2（a，0），圆O2的半径为r（变量），OP=t（常数），利用差角的正切公式，结合以AB 为直径的圆与圆x2+（y-2）2=1相外切．且∠APB的大小恒为定值，即可求出线段OP的长．详解：设O2（a，0），圆O2的半径为r（变量），OP=t（常数），则∵∠APB的大小恒为定值，∴t＝，∴|OP|=．故答案为点睛：本题考查圆与圆的位置关系，考查差角的正切公式，考查学生的计算能力，属于中档题．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a cos B＝b cos A．（1）求的值；（2）若sin A＝，求sin(C－)的值．【答案】（1）1（2）【解析】分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理得到结果，（2）由（1）可得：C=π-2A，利用sinA=，A为锐角，可得：cosA，sin2A，cos2A的值，利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式即可求值．（1）由a cos B＝b cos A，得sin A cos B＝sin B cos A，即sin(A－B)＝0．因为A，B∈(0，π)，所以A－B∈(－π，π)，所以A－B＝0，所以a＝b，即＝1．（2）因为sin A＝，且A为锐角，所以cos A＝．所以sin C＝sin(π－2A)＝sin2A＝2sin A cos A＝，cos C＝cos(π－2A)＝－cos2A＝－1＋2sin2A＝－．所以sin(C－)＝sin C cos－cos C sin＝．点睛：此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式的应用，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．16. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为侧棱P A的中点．（1）求证：PC // 平面BDE；（2）若PC⊥P A，PD＝AD，求证：平面BDE⊥平面P AB．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）连结,交于,连结，为的中点，利用三角形中位线的性质，可知，利用线面平行的判定定理，即可得出结论；（2）先证明，再证明.，可得平面.，从而可得平面平面．试题解析：证明: （1）连结,交于,连结.因为是平行四边形,所以.因为为侧棱的中点所以∥.因为平面,平面所以∥平面.（2）因为为中点,所以因为,∥所以.因为平面,平面,所以平面.因为平面所以平面平面.17. 给定椭圆C：(a＞b＞0)，称圆C1：x2＋y2＝a2＋b2为椭圆C的“伴随圆”．已知椭圆C的离心率为，且经过点(0，1)．（1）求实数a，b的值；（2）若过点P(0，m) (m＞0)的直线l与椭圆C有且只有一个公共点，且l被椭圆C的伴随圆C1所截得的弦长为2，求实数m的值．【答案】（1）a＝2，b＝1（2）m＝3【解析】试题分析：（1）记椭圆C的半焦距为c．由题意，得，由此能求出a，b；（2）由（1）知，椭圆C的方程为，圆的方程为．设直线l的方程为，由，得，由此利用根的判别式、弦长公式、圆心到直线的距离，结合知识点能求出m 试题解析：（1）记椭圆C的半焦距为c．由题意，得b＝1，，c2＝a2＋b2，解得a＝2，b＝1．（2）由（1）知，椭圆C的方程为＋y2＝1，圆C1的方程为x2＋y2＝5．显然直线l的斜率存在．设直线l的方程为y＝kx＋m，即kx－y＋m＝0．因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，故方程组（*）有且只有一组解．由（*）得（1＋4k2）x2＋8kmx＋4m2－4＝0．从而△＝（8km）2－4（1＋4k2）（4m2－4）＝0．化简，得m2＝1＋4k2．①因为直线l被圆x2＋y2＝5所截得的弦长为2，所以圆心到直线l的距离d＝．即．②由①②，解得k2＝2，m2＝9．因为m＞0，所以m＝3．考点：1．椭圆方程及性质；2．直线与圆锥曲线的综合问题18. 如图，公路AM，AN围成一块顶角为α的角形耕地，其中tanα＝－2，在该块土地中P处有一小型建筑，经测量，它到公路AM，AN的距离分别为3km，km，现要过点P修建一条直线公路BC，将三条公路围成的区域ABC建成一个工业园，为尽量减少耕地占用，问如何确定B点的位置，使得该工业园区的面积最小？并求最小面积．【答案】当AB＝5km时，该工业园区的面积最小，最小面积为15km2．【解析】试题分析：先确定点P的位置，再利用BC的斜率表示工业园区的面积，利用导数求其最值.以A 为原点，AB为x轴，建立平面直角坐标系．因为tanα＝－2，故直线AN的方程是y＝－2x．设点P(x0，y0)．因为点P到AM的距离为3，故y0＝3．由P到直线AN的距离为，得，解得x0＝1或x0＝－4(舍去)，所以点P(1，3)．显然直线BC的斜率存在．设直线BC的方程为y－3＝k(x－1)，k∈(－2，0)．令y＝0得x B＝1－．由解得y C＝．设△ABC的面积为S，则S＝x B×y C＝．由S¢＝＝0得k＝－或k＝3．所以当k＝－时，即AB＝5时，S取极小值，也为最小值15．试题解析：解：如图1，以A为原点，AB为x轴，建立平面直角坐标系．因为tanα＝－2，故直线AN的方程是y＝－2x．设点P(x0，y0)．因为点P到AM的距离为3，故y0＝3．由P到直线AN的距离为，得，解得x0＝1或x0＝－4(舍去)，所以点P(1，3)．4分显然直线BC的斜率存在．设直线BC的方程为y－3＝k(x－1)，k∈(－2，0)．令y＝0得x B＝1－．6分由解得y C＝．8分设△ABC的面积为S，则S＝×x B×y C＝10分由S¢＝＝0得k＝－或k＝3．当－2＜k＜－时，S¢＜0，S单调递减；当－＜k＜0时，S¢＞0，S单调递增．13分所以当k＝－时，即AB＝5时，S取极小值，也为最小值15．答：当AB＝5km时，该工业园区的面积最小，最小面积为15km2．16分考点：利用导数求函数最值19. 已知函数f(x)＝e x，g(x)＝x－b，b∈R．（1）若函数f(x)的图象与函数g(x)的图象相切，求b的值；（2）设T(x)＝f(x)＋ag(x)，a∈R，求函数T(x)的单调增区间；（3）设h(x)＝|g(x)|·f(x)，b＜1．若存在x1，x2[0，1]，使|h(x1)－h(x2)|＞1成立，求b的取值范围．【答案】（1）b＝－1（2）见解析（3）(－∞，)【解析】分析：（1）设切点为（t，e t），由导数的几何意义，可得e t=1，且e t=t-b，即可得到b=-1；（2）求出T（x）的导数，讨论当a≥0时，当a＜0时，由导数大于0，可得增区间；（3）求出h（x）的分段函数，讨论x的范围，求得单调区间，对b讨论，求得h（x）的最值，由存在性思想，即可得到b的范围．详解：(1)设切点为(t，e t)，因为函数f(x)的图象与函数g(x)的图象相切，所以e t＝1，且e t＝t－b，解得b＝－1．（2)T(x)＝e x＋a(x－b)，T′(x)＝e x＋a．当a≥0时，T′(x)＞0恒成立．当a＜0时，由T′(x)＞0，得x＞ln(－a)．所以，当a≥0时，函数T(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)；当a＜0时，函数T(x)的单调增区间为(ln(－a)，＋∞)．（3)h(x)＝|g(x)|·f(x)＝当x>b时，h′(x)＝(x－b＋1)e x＞0，所以h(x)在(b，＋∞)上为增函数；当x<b时，h′(x)＝－(x－b＋1)e x，因为b－1＜x＜b时，h′(x)＝－(x－b＋1)e x＜0，所以h(x)在(b－1，b)上是减函数；因为x＜b－1时， h′(x)＝－(x－b＋1)e x＞0，所以h(x)在(－∞，b－1)上是增函数．当b≤0时，h(x)在(0，1)上为增函数．所以h(x)max＝h(1)＝(1－b)e，h(x)min＝h(0)＝－b．由h(x)max－h(x)min＞1，得b＜1，所以b≤0．②当0＜b＜时，因为b＜x＜1时， h′(x)＝(x－b＋1)e x＞0，所以h(x)在(b，1)上是增函数，因为0＜x＜b时， h′(x)＝－(x－b＋1)e x＜0，所以h(x)在(0，b)上是减函数．所以h(x)max＝h(1)＝(1－b)e，h(x)min＝h(b)＝0．由h(x) max－h(x) min＞1，得b＜．因为0＜b＜，所以0＜b＜．③当≤b＜1时，同理可得，h(x)在(0，b)上是减函数，在(b，1)上是增函数．所以h(x)max＝h(0)＝b，h(x)min＝h(b)＝0．因为b＜1，所以h(x)max－h(x)min＞1不成立．综上，b的取值范围为(－∞，)．点睛：本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查分类讨论的思想方法，以及化简整理的运算能力，属于中档题．20. 已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且2a5－a3＝13，S4＝16．（1）求数列{a n}的前n项和S n；（2）设T n＝(－1)i a i，若对一切正整数n，不等式λT n＜[a n＋1＋(－1)n＋1a n]·2n－1恒成立，求实数λ的取值范围；（3）是否存在正整数m，n(n＞m＞2)，使得S2，S m－S2，S n－S m成等比数列？若存在，求出所有的m，n；若不存在，说明理由．【答案】（1）a n＝2n－1，S n ＝n2（2）－4＜λ＜2（3）不存在【解析】分析：（1）根据等差通项列式先求出首先和公差即可；（2）因为有(－1)n＋1a n，所以要分奇偶：①当n为偶数时，设n＝2k，k∈N*，则T2k＝(a2－a1)＋(a4－a3)＋…＋(a2k－a2k－1)＝2k．代入不等式λT n＜[a n＋1＋(－1)n＋1a n]·2n－1，得λ·2k＜4k，从而λ＜．分析其最小值即可；②当n为奇数时，设n＝2k－1，k∈N*，则T2k－1＝T2k－(－1)2k a2k＝2k－(4k－1)＝1－2k．详解：(1)设数列{a n}的公差为d．因为2a5－a3＝13，S4＝16，所以解得a1＝1，d＝2，所以a n＝2n－1，S n ＝n2．(2)①当n为偶数时，设n＝2k，k∈N*，则T2k＝(a2－a1)＋(a4－a3)＋…＋(a2k－a2k－1)＝2k．代入不等式λT n＜[a n＋1＋(－1)n＋1a n]·2n－1，得λ·2k＜4k，从而λ＜．设f(k)＝，则f(k＋1)－f(k)＝－＝．因为k∈N*，所以f(k＋1)－f(k)＞0，所以f(k)是递增的，所以f(k)min＝2，所以λ＜2．②当n为奇数时，设n＝2k－1，k∈N*，则T2k－1＝T2k－(－1)2k a2k＝2k－(4k－1)＝1－2k．代入不等式λT n＜[a n＋1＋(－1)n＋1a n]·2n－1，得λ·(1－2k)＜(2k－1)4k，从而λ＞－4k．因为k∈N*，所以－4k的最大值为－4，所以λ＞－4．综上，λ的取值范围为－4＜λ＜2．(3)假设存在正整数m，n(n＞m＞2)，使得S2，S m－S2，S n－S m成等比数列，则(S m－S2)2＝S2·(S n－S m)，即(m2－4)2＝4(n2－m2)，所以4n2＝(m2－2)2＋12，即4n2－(m2－2)2＝12，即(2n－m2＋2)(2n＋m2－2)＝12．因为n＞m＞2，所以n≥4，m≥3，所以2n＋m2－2≥15．因为2n－m2＋2是整数，所以等式(2n－m2＋2)(2n＋m2－2)＝12不成立，故不存在正整数m，n(n＞m＞2)，使得S2，S m－S2，S n－S m成等比数列．点睛：考查等差数列的通项和基本性质，尤其将数列和函数的分析思维进行结合是本题的亮点，值得好好分析，而对于函数的最值的基本分析是基本要求，能分离参数求最值即为本题关键，对于第三问则通常采用反证法找矛盾即可，属于中档题.。

2017-2018学年江苏省南通市高二（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）命题p“∀x∈R，sinx≤1”的否定是．2．（5分）在等差数列{a n}中，a1=﹣1，a4=8，则公差d=．3．（5分）抛物线x2=2y的准线方程是．4．（5分）命题“若实数a满足a≤2，则a2≤4”的否命题是命题．（选填“真”或“假”之一）5．（5分）已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且PF1=4，则PF2的长为．6．（5分）已知等差数列{a n}的公差为2，且a2是a1和a5的等比中项，则a3的值为．7．（5分）设{a n}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q＜0”是“对任意的正+a2n＜0”的条件．（填“充要条件、充分不必要条件、必要不整数n，a2n﹣1充分条件、即不充分也不必要条件”）8．（5分）设F1，F2是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，M为AF2的中点，若MF1⊥AF2，则该椭圆的离心率为．9．（5分）设等比数列{a n}的前n项和为S n，若=2，S4=4，则S8的值为．10．（5分）已知F是抛物线C：y2=12x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若M是FN的中点，则FN的长度为．11．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF的边长为6的等边三角形（O为坐标原点），则该双曲线的方程为．12．（5分）已知数列{a n}中，a1=1，a2=4，a3=10，若{a n+1﹣a n}是等比数列，则=．i13．（5分）已知P为椭圆+=1上的动点，M，N为圆（x﹣2）2+y2=1上两点，且MN=，则|+|的取值范围是．14．（5分）设数列{a n}共有4项，满足a1＞a2＞a3＞a4≥0，若对任意的i，j（1≤i≤j≤4，且i，j∈N*），a i﹣a j仍是数列{a n}中的某一项．现有下列命题：①数列{a n}一定是等差数列；②存在1≤i＜j≤4，使得ia i=ja j；③数列{a n}中一定存在一项为0．其中，真命题的序号有．（请将你认为正确命题的序号都写上）二、解答题（本大题共6小题，共90分）15．（14分）命题p：方程+=1表示双曲线；命题q：∃x∈R，使得x2+mx+m+3＜0成立．若“p且￢q”为真命题，求实数m的取值范围．16．（14分）设等差数列{a n}的前n项和为S，a2+a6=20，S5=40．（1）求{a n}的通项公式；（2）设等比数列{b n}满足b2=a3，b3=a2．若b6=a k，求k的值．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）与双曲线﹣y2=1有相同的焦点F1，F2，抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，且与椭圆在第一象限的交点为M，若MF1+MF2=2．（1）求椭圆的方程；（2）若MF=，求抛物线的方程．18．（16分）已知数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=2﹣a n（n∈N*）．数列{b n}满足（2n﹣1）b n﹣（2n+1）b n=0（n∈N*），且b1=1．+1（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和为T n．19．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，AB为椭圆的一条弦（不经过原点），直线y=kx（k＞0）经过弦AB 的中点，与椭圆C交于P，Q两点，设直线AB的斜率为k1．（1）若点Q的坐标为（1，），求椭圆C的方程；（2）求证：k1k为定值；（3）过P点作x轴的垂线，垂足为R，若直线AB和直线QR倾斜角互补．若△PQR的面积为2，求椭圆C的方程．20．（16分）已知数列{a n}的首项a1=a（a＞0），其前n项和为S n，设b n=a n+a n+1（n∈N*）．（1）若a2=a+1，a3=2a2，且数列{b n}是公差为3的等差数列，求S2n；（2）设数列{b n}的前n项和为T n，满足T n=n2．①求数列{a n}的通项公式；②若对∀n∈N*，且n≥2，不等式（a n﹣1）（a n1）≥2（1﹣n）恒成立，求a+1的取值范围．2017-2018学年江苏省南通市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）命题p“∀x∈R，sinx≤1”的否定是∃x∈R，sinx＞1．【解答】解：根据题意我们直接对语句进行否定命题p“∀x∈R，sinx≤1”的否定是：∃x∈R，sinx＞1．故答案为：∃x∈R，sinx＞1．2．（5分）在等差数列{a n}中，a1=﹣1，a4=8，则公差d=3．【解答】解：a4=8=﹣1+3d，解得d=3．故答案为：3．3．（5分）抛物线x2=2y的准线方程是．【解答】解：因为抛物线的标准方程为：x2=2y，焦点在y轴上；所以：2p=2，即p=1，所以：=，所以准线方程y=﹣．故答案为：y=﹣．4．（5分）命题“若实数a满足a≤2，则a2≤4”的否命题是真命题．（选填“真”或“假”之一）【解答】解：命题的否命题为：“若实数a满足a＞2，则a2＞4”∵a＞2∴a2＞4∴否命题为真命题故答案为：真5．（5分）已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且PF1=4，则PF2的长为10．【解答】解：根据题意，双曲线的标准方程为﹣=1，其中a==3，点P在双曲线上，则有||PF 1|﹣|PF2||=2a=6，又由|PF1|=4，解可得|PF2|=10或﹣2（舍），则|PF2|=10；故答案为：10．6．（5分）已知等差数列{a n}的公差为2，且a2是a1和a5的等比中项，则a3的值为5．【解答】解：∵等差数列{a n}的公差为2，且a2是a1和a5的等比中项，∴，∴（a1+2）2=a1（a1+8），解得a1=1，∴a3=1+2×2=5．故答案为：5．7．（5分）设{a n}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q＜0”是“对任意的正+a2n＜0”的必要不充分条件．（填“充要条件、充分不必要条件、整数n，a2n﹣1必要不充分条件、即不充分也不必要条件”）【解答】解：∵{a n}是首项为正数的等比数列，公比为q，∴当a1=1，q=﹣时，满足q＜0，但此时a1+a2=1﹣=＞0，则a2n﹣1+a2n＜0不成立，即充分性不成立，+a2n＜0，则a1q2n﹣2+a1q2n﹣1＜0反之若a2n﹣1∵a1＞0，∴q2n﹣2（1+q）＜0，即1+q＜0，则q＜﹣1，即q＜0成立，即必要性成立，则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n+a2n＜0”的必要不充分条件，﹣1故答案为：必要不充分8．（5分）设F1，F2是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，M为AF2的中点，若MF1⊥AF2，则该椭圆的离心率为．【解答】解：∵F1，F2是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，若M为AF2的中点，且MF1⊥AF2，则△F1F2A是等腰三角形，F1F2=F1A，即2c=a，故该椭圆的离心率e==，故答案为：．9．（5分）设等比数列{a n}的前n项和为S n，若=2，S4=4，则S8的值为12．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，=2，S4=4，∴，解得q4=2，a1=﹣4（1﹣q），∴S8===12．故答案为：12．10．（5分）已知F是抛物线C：y2=12x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若M是FN的中点，则FN的长度为9．【解答】解：抛物线C：y2=8x的焦点F（2，0），M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，可知M的横坐标为：1.5，则FN|=1.5+3=4.5，|FN|=2|FM|=2×4.5=9．故答案为：9．11．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF的边长为6的等边三角形（O为坐标原点），则该双曲线的方程为﹣=1．【解答】解：由题意可知，解得a=3，b=3，∴双曲线方程为=1．故答案为：=1．12．（5分）已知数列{a n}中，a1=1，a2=4，a3=10，若{a n+1﹣a n}是等比数列，则i=3049．【解答】解：∵数列{a n}中，a1=1，a2=4，a3=10，{a n+1﹣a n}是等比数列，∴a2﹣a1=3，a3﹣a2=6，﹣a n}是首项为3，公比为2的等比数列，∴{a n+1∴a4﹣a3=12，a4=12+10=22，a5﹣a4=24，a5=24+22=46，a6﹣a5=48，a6=48+46=94，a7﹣a6=96，a7=96+94=190，a8﹣a7=192，a8=192+190=382，a9﹣a8=384，a9=384+382=766，a10﹣a9=768，a10=768+766=1534，∴i=1+4+10+22+46+94+190+382+766+1534=3049．故答案为：3049．13．（5分）已知P为椭圆+=1上的动点，M，N为圆（x﹣2）2+y2=1上两点，且MN=，则|+|的取值范围是[3，13] ．【解答】解：令Q为MN中的中点，则圆（x﹣2）2+y2=1的圆心C到MN的距离CQ==，又由C为椭圆+=1的焦点，故|PC|∈[2，6]，则PQ|∈[2﹣，6+]=[，]，|+|=|2|∈[3，13]，故答案为：[3，13]．14．（5分）设数列{a n}共有4项，满足a1＞a2＞a3＞a4≥0，若对任意的i，j（1≤i≤j≤4，且i，j∈N*），a i﹣a j仍是数列{a n}中的某一项．现有下列命题：①数列{a n}一定是等差数列；②存在1≤i＜j≤4，使得ia i=ja j；③数列{a n}中一定存在一项为0．其中，真命题的序号有①②③．（请将你认为正确命题的序号都写上）【解答】解：根据题意：对任意i，j（1≤i≤j≤4），有a i﹣a j仍是该数列的某一项，令i=j，则0为数列的某一项，即a4=0，则a3﹣a4=a3∈{a n}，（a3＞0）．必有a2﹣a3=a3，即a2=2a3，而a1﹣a2=a2或a3，若a1﹣a2=a2，则a1﹣a3=3a3，而3a3≠a2，a3，a4，舍去；若a1﹣a2=a3∈{a n}，此时a1=3a3，可得数列{a n}为：3a3，2a3，a3，0（a4＞0）；据此分析选项：易得①②③正确；故答案为：①②③二、解答题（本大题共6小题，共90分）15．（14分）命题p：方程+=1表示双曲线；命题q：∃x∈R，使得x2+mx+m+3＜0成立．若“p且￢q”为真命题，求实数m的取值范围．【解答】解：若p为真命题，则（m+3）（m﹣4）＜0，解得：﹣3＜m＜4，￢q：∀x∈R，使得x2+mx+m+3≥0，若￢q是真命题，则m2﹣4（m+3）≤0，解得：﹣2≤m≤6，若“p且￢q”为真命题，则p是真命题且￢q也是真命题，故﹣2≤m＜4．16．（14分）设等差数列{a n}的前n项和为S，a2+a6=20，S5=40．（1）求{a n}的通项公式；（2）设等比数列{b n}满足b2=a3，b3=a2．若b6=a k，求k的值．【解答】解：（1）∵等差数列{a n}的前n项和为S，a2+a6=20，S5=40．∴a2+a6=2a4=20，解得a4=10，S5=5a3=40，解得a3=8．∴d=a4﹣a3=10﹣8=2，a1=a3﹣2d=8﹣4=4，∴a n=a1+（n﹣1）d=4+（n﹣1）×2=2n+2．（2）∵等比数列{b n}满足b2=a3，b3=a2．∴b2=8，b3=16，∴q=，∴b6=a k=2k+2=8×24=128，解得k=63．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）与双曲线﹣y2=1有相同的焦点F1，F2，抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，且与椭圆在第一象限的交点为M，若MF1+MF2=2．（1）求椭圆的方程；（2）若MF=，求抛物线的方程．【解答】解：（1）由条件得，解得a=，b=，∴椭圆方程为=1．（2）设M（x0，y0），则MF=y0+=，即p=﹣2y0，又M在椭圆上，∴x02+3y02=6，且x02=2py0，∴（7﹣4y0）y0+3y02=6，解得y0=1或y0=6（舍），∴p=，∴抛物线方程为x2=3y．18．（16分）已知数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=2﹣a n（n∈N*）．数列{b n}﹣（2n+1）b n=0（n∈N*），且b1=1．满足（2n﹣1）b n+1（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和为T n．【解答】解：（1）数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=2﹣a n（n∈N*）．=2﹣a n+1，得到：S n+1则：a n=a n﹣a n+1，+1整理得：所以：数列{a n}是以1为首项，为公比的等比数列．则：．﹣（2n+1）b n=0（n∈N*），数列{b n}满足（2n﹣1）b n+1则：，所以：数列{}是常数列．则：{b n}的通项公式为：b n=2n﹣1．（2）由（1）得：c n=a n•b n=，则：+…+①所以：+…+②则：①﹣②得：）﹣，整理得：T n=．19．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，AB为椭圆的一条弦（不经过原点），直线y=kx（k＞0）经过弦AB 的中点，与椭圆C交于P，Q两点，设直线AB的斜率为k1．（1）若点Q的坐标为（1，），求椭圆C的方程；（2）求证：k1k为定值；（3）过P点作x轴的垂线，垂足为R，若直线AB和直线QR倾斜角互补．若△PQR的面积为2，求椭圆C的方程．【解答】解：（1）由条件得：，解得a=2，b=，∴椭圆方程为=1．（2）证明：设AB的中点为（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），由于A，B为椭圆上的点，∴，，两式相减得：+=0，即=﹣•=﹣•，∵k1=，k=，∴k1=﹣，即k1k=﹣．∵e==，∴==，∴k1k=﹣．（3）设Q（s，t）（s＞0，t＞0），则P（﹣s，﹣t），R（﹣s，0），∴k QR==，∵直线AB和直线QR倾斜角互补，∴=﹣k1，又k1k=﹣，且k＞0，∴k=，又S=st=2，=k=，△PQR∴s=2，t=，即Q（2，），∴=1，又，∴a=2，b=3，∴椭圆方程为．20．（16分）已知数列{a n}的首项a1=a（a＞0），其前n项和为S n，设b n=a n+a n+1（n∈N*）．（1）若a2=a+1，a3=2a2，且数列{b n}是公差为3的等差数列，求S2n；（2）设数列{b n}的前n项和为T n，满足T n=n2．①求数列{a n}的通项公式；1）≥2（1﹣n）恒成立，求a ②若对∀n∈N*，且n≥2，不等式（a n﹣1）（a n+1的取值范围．﹣b n=a n+2﹣a n=3，【解答】解：（1）由已知可得：b n+1∴数列{a n}的奇数项与偶数项分别成等差数列，且公差为3．∴a3﹣a1=2a2﹣a=2（a+1）﹣a=a+2=3，解得a=1．∴a1=1，a2=2．∴S2n=+=3n2．（2）①由T n=n2，n≥2时，b n=T n﹣T n﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1．n=1时，b1=T1=1．∴b n=a n+a n+1=2n﹣1．﹣n=﹣[a n﹣（n﹣1）]，化为：a n+1∴数列{a n﹣（n﹣1）}为等比数列，公比为﹣1．首项为a．∴a n﹣（n﹣1）=a×（﹣1）n﹣1，即a n=n﹣1+a×（﹣1）n﹣1，②不等式（a n ﹣1）（a n +11）≥2（1﹣n ）化为：a n a n +1﹣（a n +a n +1）+1≥2（1﹣n ），由a n +a n +1=2n ﹣1．∴不等式化为：a n a n +1≥0．当n 为奇数时，a n =a +（n ﹣1），a n +1=﹣a +n ，∴a n a n +1=[a +（n ﹣1）]（﹣a +n ）=﹣a 2+a +n （n ﹣1）≥0，即﹣a 2+a ≥﹣n （n ﹣1）对∀n ∈N *，且n ≥2恒成立． ∴﹣a 2+a ≥﹣6，解得﹣2≤a ≤3．当n 为偶数时，a n =﹣a +（n ﹣1），a n +1=a +n ，∴a n a n +1≥0，即﹣a 2+a ≥﹣n （n ﹣1）对∀n ∈N *，且n ≥2恒成立． ∴﹣a 2+a ≥﹣2，解得﹣2≤a ≤1．又a ＞0，可得a 的取值范围为：0＜a ≤1．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型： 图形特征：60°60°60°45°45°45°运用举例：1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；xyB CAO2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．EB4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。

（1）如果 O 和 A 相距 6 海里，求可疑船被截获处的点 P 的轨迹； （2）若要确保在领海内捕获可疑船（即 P 不能在公海上）．则������、������之间的最大距离是多少海 里？
������2 ������2
2
19．在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：������2 + ������2 = 1(������ > ������ > 0)的离心率为 2 ，且过点
( ) 3 4
（1）若������点坐标为 5，5 ，求cos∠������������������的值；
( )2������
（2）若∠������������������ = ������ 0 < ������ < 3 ，四边形 CABD 的周长为 y，试将 y 表示成 x 的函数，并求出 y 的
【点睛】
本题考查了交集的元素个数问题，通过判断直线与圆的位置关系即可,是基础题.
2．-4
【解析】
【分析】
根据等差数列的前 n 项和的公式及通项性质得出������3，又由������9 = 20可得出公差 d，借助于������3和 d
即可得出������1的值.
【详解】
因为{������������}是等差数列，所以������5
的有向距离之和为 0，则直线 m 斜率的取值范围是__________.
二、解答题 15．如图，在四棱锥������ ― ������������������������中，底面������������������������是正方形， ������������ ⊥ 平面������������������������，且������������ = ������������，点������为 线段������������的中点.