澄海中学2021-2022学年度第一学期第一次学段考试高三级数学科试卷本试卷共22小题，满分150分．考试用时120分钟．本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分．考试时间120分钟． 注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、座位号、准考证号用2B 铅笔涂写在答题卡上．2.答选择题时，必须用2B 铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．3.答非选择题时，必须用黑色签字笔或钢笔，将答案写在答题卡上规定的位置上.4.考试结束后，监考人将答题卡收回，试卷考生自己保管．第一部分（选择题，共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合2{|20}=--<A x x x ，集合{|13}B x x =<<，则=A B （ ）A ． {|12}x x <<B ．{|23}x x <<C ．{|13}x x -<<D ．{|11}x x -<<2．设10i3iz =+，则z 的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若抛物线()220y px p =>上的点()3,M y 到焦点的距离是4，则抛物线的方程为（ ）A ．22y x =B ．24y x =C ．28y x =D ．212y x =4．设0.5log 3a =，30.5b =，0.513c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．b a c << D ．b c a <<5．中医是中国传统文化的瑰宝．中医方剂不是药物的任意组合，而是根据中药配伍原则，总结临床经验，用若干药物配制组成的药方，以达到取长补短、辨证论治的目的．中医传统名方“八珍汤”是由补气名方“四君子汤”（由人参、白术、茯苓、炙甘草四味药组成）和补血名方“四物汤”（由熟地黄、白芍、当归、川芎四味药组成）两个方共八味药组合而成的主治气血两虚证方剂．现从“八珍汤”的八味药中任取四味，取到的四味药刚好组成“四君子汤”或“四物汤”的概率是（ ） A ．135 B ．170 C ．1840 D ．116806．已知三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为6，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．36πB ．84πC ．132πD ．180π 7．如图，直线()1=>x m m 依次与曲线log =a y x 、log =b y x 及x 轴相交于点A 、点B 及点C ，若B 是线段AC的中点，则（ ）A ．121b a <≤-B ．21b a >-C ．12b a <≤D ． 2b a >8．已知a 、b 、e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为3π，向量b 满足2430b e b -⋅+=，则a b -的最小值是（ ）A ．31-B ．31+C ．2D ．23-二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E ，F ，G 分别为BC ，1CC ，1BB 的中点．则（ ） A ．直线1D D 与直线AF 垂直 B ．直线1A G 与平面AEF 平行 C ．平面AEF 截正方体所得的截面面积为98D ．点C 与点G 到平面AEF 的距离相等 10．已知函数()()sin 322f x x ππφφ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线4x π=对称，则（ ）A ．4πφ=-B ．若()()122f x f x -=，则12x x -的最小值为3πC ．将()f x 图象向左平移12π个单位得到()5sin 312g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象 D ．若函数()f x 在[]0m ，单调递增，则m 的最大值为4π 11．已知1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x yE a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 作倾斜角为30的直线分别交y 轴与双曲线右支于点,M P ，1PM MF =，下列判断正确的是（ ）A ．21π3PF F ∠= B ．2112MF PF =C ．E 的离心率等于3D ．E 的渐近线方程为2y x =±12．已知a ，b 为正数，2243a b +=，则（ ） A ．ab 的最大值为34B ．2211a b +的最小值为3 C ．21a b +的最大值为74D ．11a b +的最小值为322第二部分（非选择题，共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．求422x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中5x 的系数为_______．14．已知1tan =2α，则cos 2sin 2αα=_______．15．设点P 是曲线2x y e x =+上任一点，则点P 到直线10x y --=的最小距离为__________．16．若数列{}n a 对任意正整数n ，有+=n m n a a q （其中*∈m N ，q 为常数，01≠≠q q 且），则称数列{}n a 是m 以为周期，以q 为周期公比的“类周期性等比数列”．若“类周期性等比数列”的前4项为1，1，2，3，周期为4，周期公比为3，则数列{}n a 前21项的和为__________．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)在条件①()()()a b a b c b c +-=-，②sin cos 6A A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ③sinsin 2B CA +=中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答． 在∆ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，6b c +=，26a =，________． 求∆ABC 的面积．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）18．(本小题满分12分)设{}n a 是等差数列，且123ln 2,5ln 2a a a =+=． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求12n a a a e e e +++．19．(本小题满分12分)已知四棱锥-P ABCD 中，⊥PA ABCD 平面，且=PA a ，底面ABCD 是边长为b 的菱形，60∠=︒ABC ．（1）求证：⊥PBD PAC 平面平面；（2）设AC 与BD 交于点O ，M 为OC 中点，若二面角--O PM D 的正切值是26，求:a b 的值．20．(本小题满分12分)某种子公司培育了一个豌豆的新品种，新品种豌豆豆荚的长度比原来有所增加，培育人员在一块田地(超过1亩)种植新品种，采摘后去掉残次品，将剩下的豆荚随机按每20个一袋装袋密封．现从中随机抽取5袋，测量豌豆豆荚的长度(单位：dm )，将测量结果按)0.6,0.8⎡⎣，)0.8,1.0⎡⎣，)1.0,1.2⎡⎣，)1.2,1.4⎡⎣，[]1.41.6,分为5组，整理得到如图所示的频率分布直方图．（1）求a 的值并估计这批新品种豌豆豆荚长度的平均数x -(不含残次品，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；（2）假设这批新品种豌豆豆荚的长度X 服从正态分布()2,N μσ，其中μ的近似值为豌豆豆荚长度的平均数x -，0.23σ=，试估计采摘的100袋新品种豌豆豆荚中，长度位于区间()0.88,1.57内的豆荚个数；（3）如果将这批新品种豌豆中豆荚长度超过1.4dm 的豆荚称为特等豆荚，以频率作为概率，随机打开一袋新品种豌豆豆荚，记其中特等豆荚的个数为ξ，求1ξ≤的概率和ξ的数学期望．附：19170.04620⎛⎫≈ ⎪⎝⎭，若随机变量()2,XN μσ，则()0.6827P X μσμσ-<<+=，(22)0.9545P X μσμσ-<<+=．21．(本小题满分12分)已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(0,3)A -，右焦点为F ，且||||OA OF =，其中O 为原点． （1）求椭圆的方程；（2）已知点C 满足3OC OF =，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点，求直线AB 的方程． 22．(本小题满分12分)已知函数2()=+-xf x e ax x ． （1）当1=a 时，讨论)(x f 的单调性； （2）当0≥x 时，121)(3+≥x x f ，求a 的取值范围．澄海中学2021-2022学年度第一学期第一次学段考试高三级数学科试卷参考答案一、单项选择题：1 2 3 4 5 6 7 8 CDBAABBA7．【解析】由条件得log 2log og ==a b bm m l m ，则=b a ，从而2=b a ，又2221(1)0-+=->a a a （1<<a b ）， 故221=>-b a a ，故选B ．8．【解析】设()()(),,1,0,,a x y e b m n ===，则由π,3a e =得22π1cos ,0,3(0)32⋅=⋅=+>∴=±>a e x x y a e y x x ， 由2430b e b -⋅+=得()2222430,21,m n m m n +-+=-+=从而22=()()--+-a b x m y n ，因此，a b -的最小值为圆心()2,0到射线3(0)=±>y x x 的距离23=32减去半径1， 为31-，故选A ． 二、多项选择题：9 10 11 12 BCABDBCDAB11．【解析】1PM MF =，即M 为1PF 中点，O 为12F F 中点，2//OM PF ∴，12OM F F ⊥，212PF F F ∴⊥，212PF F π∴∠=，2112MF PF =，A 错误，B 正确；由212PF F F ⊥知：22b PF a=，又122F F c =，1230PF F ∠=，23tan 3023∴︒==b a c ， 即()222332=-=b c a ac ，23230e e ∴--=，解得3e =，C 正确； 3c e a ==，223c a ∴=，22222b c a a ∴=-=，2ba∴=， E ∴的渐近线方程为2y x =±，D 正确．故选BCD ．12．【解析】对于A 选项，2211(2)3=22224+⋅⋅≤⋅=a b ab a b ，当且仅当=2=2a b 时取等号，故A 正确；对于B选项，(222222222211111141=(4)=55=3333⎛⎫⎛⎫+++++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭b a a b a b ab a b ，当且仅当1==a 时取等号，故B 正确；对于C选项，22114472224++≤⋅=a b ，当且仅当22=44+a b ，即28=1-b 时取等号，显然等号不成立，故C 错误；对于D 选项，22211112817333⎛⎫+++>+= ⎪⎝⎭a b ab a b =(因等号不同时成立)，1132∴+>>a b，故D 错误． 故选AB ．三、填空题： 13．8-； 14.34； 15； 16．1090． 15．【解析】由题意，过点P 作曲线2x y e x =+的切线,则2xy e x '=+,设点()00,P x y ,则002xk e x =+,当切线与直线10x y --=平行时点P 到该直线距离最小,则0021xe x +=,即00x =,所以点P 为()0,1,则点P 到直线10x y --==,．16．【解析】法一：由题意可知=4m ，3=q ，且43+=n n a a ，故2115913172126101418()()=++++++++++S a a a a a a a a a a a 3711151948121620()()++++++++++a a a a a a a a a a 65551(13)1(13)2(13)3(13)=13131313⋅-⋅-⋅-⋅-+++---- =364121242363+++ =1090．法二：484128161223151951397,337,337,337,==========⨯==⨯==⨯∑∑∑∑∑∑∑ii i i i i i i i i i i i i aa a a a a a201642521171311713337,333243====⨯=====∑∑ii i i aa a a a a ，故521234211137(13333)2437243=109013=-==+++++=⨯+-∑i i S a ．四、解答题：17．解：若选①：()()()a b a b c b c +-=-，即222=a b c bc --，从而222b c a bc +-=， ……………………………………………………………………2分2221cos 222b c a bc A bc bc +-∴===，又(0,)A π∈，3A π∴=. …………………………………………………………………5分 又2222()3a b c bc b c bc =+-=+-，且a =6b c +=，4bc ∴=， ……………………………………………………8分11sin 4sin 223ABCSbc A π∴==⨯⨯= ……………………………………………10分若选②：sin cos 6A A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，化简得1sin sin 2A A A =-， …………………2分即tan A =，又(0,)A π∈，6A π∴=． ………………………………………………………………5分又22222cos()(26a b c bc b c bc π=+-=+-+，且a =6b c +=，4bc ∴=，2222()6(26)12232323b c a bc +--∴===+++24123=-， …………………………8分(111sin 246222ABC S bc A ∴==⨯-⨯=-△．………………………………10分若选③：sin sin 2B CA +=，BC A π+=-，sin =sin 2AA π-∴， ………………………………………………2分 cos 2sin cos 222A A A ∴=，(0,)A π∈，(0,)22A π∴∈，cos 02A∴≠，1sin 22A ∴=，26A π∴=，3A π∴=． ……………………………………………………5分又2222()3a b c bc b c bc =+-=+-，且a =6b c +=，4bc ∴=， ……………………………………………………8分11sin 4sin 223ABCSbc A π∴==⨯⨯= ……………………………………………10分18．解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ， ………………………………………………1分 ∵235ln2a a +=，∴1235ln2a d +=， …………………………………………………3分 又1ln2a =，∴ln2d =. …………………………………………………………………4分 ∴()11ln2n a a n d n =+-=． ……………………………………………………………6分 （2）由（1）知ln2n a n =，∵2ln2=2nn a nln n e e e ==， …………………………………………………………………8分 ∴{}na e是以2为首项，2为公比的等比数列． …………………………………………9分∴212ln2ln2ln2nna a a e e e eee+++=+++2=222n+++2(12)=12n -- …………11分 1=22n +-，∴12n a a a e e e +++1=22n +-． ………………………………………………………12分19．法一： （1）证明：PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，PA BD ∴⊥． ……………1分因为ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，……………2分 又因为ACPA A =，所以BD ⊥平面PAC ，………3分因为BD ⊂平面PBD ，∴平面PBD ⊥平面PAC ．……4分 （2）解：过O 作OT PM ⊥交PM 于T ，连接DT ，…5分OD ⊥平面PAC ，OD PM ∴⊥，OD PM ∴⊥，PM ODT ∴⊥平面，DT PM ∴⊥，所以OTD ∠是O PM D --的平面角． …………………………………………………7分 又33,,244b b OD b OM AM ===，且OT AP OM PM=， 从而222249169+16a b abOT a ba b =⋅=+， …………………………………………9分 223169tan 262OD a b OTD b OT ab+∠==⋅=，………………………………………11分3:4ab∴=．…………………………………………………………………………………12分 T法二：（1）证明：过O 作OQ PA ∥，PA ⊥平面ABCD ，OQ ∴⊥平面ABCD因为ABCD 为菱形，所以OC OD ⊥， 以,,OQ OC OD 为轴建立空间直角坐标系，,0,0,,0,0,0,,,22b b A C B D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ,0,2b P a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,0,04b M ⎛⎫⎪⎝⎭………………………………………………………………3分 （2）解：设平面PBD 的法向量为(),,m x y z =，()3,,,0,3,022b b PB a BD b ⎛⎫=--=⎪ ⎪⎝⎭，且,m PB m BD ⊥⊥， 20,0220x b x y az y b z a ⎧⎪=⎧--=⎪⎪∴=⎨⎨⎪=⎪=⎩取，2,0,b m a ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭． ………………………………5分 设平面PAC 的法向量为(),,n x y z =，因为平面PAC 即为xOz 平面，()0,1,0n ∴=． …………………………………………6分0m n ∴⋅=，∴平面PBD ⊥平面PAC ． …………………………………………………7分（2）平面OPM 的一个法向量为()0,1,0n =，设平面PMD的法向量为()000,,p x y z =，3,,,,,02242b b b PD a MD ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 00000000022,1042b x x y az y b x y za ⎧⎧⎪=+-=⎪⎪⎪⎪∴=⎨⎨⎪⎪-+=⎪⎪=⎩⎪⎩取，23,1,p ⎛∴= ⎝⎭． ……………9分 设二面角O PMD --的平面角为θ，则tan θ=1cos 5θ=，1cos cos ,5n p θ∴===，…………………………………………10分222222792513,164b a a a b ∴=+=即，3:4ab∴=． ………………………………………12分y20．解：（1）由频率分布直方图可得(0.5122)0.21a +++⨯=，解得0.75a =．……1分 估计新品种豌豆豆荚长度的平均数(0.70.50.91 1.12 1.30.75 1.50.75)0.2 1.11x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=． ……………3分 （2）由（1）知新品种豌豆豆荚长度的平均数约为1.11，则 1.11μ=，又0.23σ=，所以0.88μσ-=，2 1.57μσ+=．………………………………………4分 所以()()0.88 1.572P X P X μσμσ<<=-<<+()()220.81862P X P X μσμσμσμσ-<<++-<<+== …………………6分所以100袋豌豆豆荚中，长度位于区间()0.88,1.57内的豆荚个数为100200.81861637.21637⨯⨯=≈(个) ． ………………………………………………7分 （3）在新品种豌豆豆荚中随机抽取一个，豆长度超过1.4dm 的频率为30750201520⨯==．．．，所以随机打开一袋新品种豌豆豆荚，再从中随机抽取一个豆荚，这个豆荚为特等豆荚的概率为320P =． …………………………………………………8分 依题意，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，…，20，且320,20B ξ⎛⎫~ ⎪⎝⎭． ……………9分所以()()()200191012020173173101C C 20202020P P P ξξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+==⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭197717770.0460.1771202020⎛⎫=⨯≈⨯= ⎪⎝⎭； ……………………………………………11分 ξ的数学期望3()20320E ξ=⨯=． ………………………………………………………12分21．解：（1）椭圆()222210x y a b a b+=>>的一个顶点为()0,3A -，∴3b =，由OA OF =，得3c b ==，又由222a b c =+，得2228313a =+=，所以椭圆的方程为221189x y +=； …………………………………………………………3分（2）直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以CP AB ⊥， 根据题意可知，直线AB 和直线CP 斜率均存在，设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为3y kx ，即3y kx =-， ……………4分由2231189y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，可得()2221120k x kx +-=，解得0x =或21221kx k =+． …………………………………………………………………6分 将21221k x k =+代入3y kx =-，得222126321213k y k k k k =⋅--=++，所以，点B 的坐标为2221263,2121k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， ………………………………………………7分 因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为()0,3-，所以点P 的坐标为2263,2121k k k -⎛⎫⎪++⎝⎭， …………………………………………………8分 由3OC OF =，得点C 的坐标为()1,0，所以，直线CP 的斜率为222303216261121CP k k k k k k --+=-+-+=， …………………………9分 又因为CP AB ⊥，所以231261k k k ⋅=--+， ………………………………………10分 整理得22310k k -+=，解得12k =或1k =． ………………………………………11分 所以，直线AB 的方程为132y x =-或3y x =-． ……………………………………12分 22．解：（1）当1=a 时，x x e x f x -+=2)(，12)(-+='x e x f x ． …………………1分故当)0,(-∞∈x )时，0)(<'x f ；当),0(+∞∈x 时，0)(>'x f ． ……………………2分 所以)(x f 在)0,(-∞单调递减，在),0(+∞单调递增． ……………………………………3分（2）121)(3+≥x x f 等价于1)121(23≤++--x e x ax x ． 设函数)0()121()(23≥++-=-x e x ax x x g x ， ……………………………………………4分 则x e a x a x x x g -+++--=']24)32([21)(2 x e x a x x -----=)2)(12(21． ……………………………………………………6分 ①若012≤+a ，即21-≤a ，则当)2,0(∈x 时，0)(>'x g ． 所以)(x g 在(0，2)单调递增，而1)0(=g ， 故当)2,0(∈x )时，1)(>x g ，不符合题意． ……………………………………………7分②若2120<+<a ，即2121<<-a ， 则当(0,21)x a ∈+时，0)(<'x g ；当)2,12(+∈a x 时，0)(>'x g ；当(2,)x ∈+∞时，0)(<'x g ．所以)(x g 在),2(),12,0(+∞+a 单调递减，在)2,12(+a 单调递增． 由于1)0(=g ，所以1)(≤x g 当且仅当1)47()2(2≤-=-e a g ，即472e a -≥． 所以当21472<≤-a e 时，1)(≤x g ． ……………………………………………………9分③若212≥+a ，即21≥a ，则x e x x x g -++≤)121()(3． 由于)21,47[02e -∈，故由②可得1)121(3≤++-x e x x ． 故当21≥a 时，1)(≤x g ． ………………………………………………………………11分 综上，a 的取值范围是),47[2+∞-e ． …………………………………………………12分 （2）法二：由121)(3+≥x x f ，得23112x ax x x e ≥++-． 当0x =时，得00≥，显然成立． ………………………………………………………4分当0x >时，等价于332211122222xx x x e x x e a x x++-++-≥=⋅， 令32222()(0)xx x e g x x x ++-=>，……………………………………………………5分 则223343(32)(222)2242(2)()x x xx x e x x x e x x x x e g x x x+--++-⋅----'== 2233(2)(22)2(2)(2)(222)x x x x x x e x x x e x x-++---++-== …………7分 令2()222(0)xh x x x e x =++->，则()2222(1)x x h x x e x e '=+-=+-， ………………………………………………8分令()1(0)x p x x e x =+->，则()10x p x e '=-<， 从而()h x '在(0,)+∞上单调递减，故()(0)0h x h ''<=，从而()h x 在(0,)+∞上单调递减，故()(0)0h x h <=，即当0x >时，有22220xx x e ++-<恒成立， ………………………………………10分 故()g x 在(0,2)上单调递增，在(2,)+∞上单调递减． 2max 7()(2)2e g x g -∴==，故2max 17()24e a g x -≥⋅=， 综上，a 的取值范围是),47[2+∞-e ． …………………………………………………12分。
