[实验十一] 傅立叶光学系统（演示型实验）
一、实验目的
1.了解傅立叶变换理论；
2.掌握联合变换相关器的使用方法
二、实验内容
掌握仪器的开关顺序，观测通过装置所产生的实验结果。
三、实验装置
光电混合联合变换相关器、电脑控制系统
四、实验原理
1.傅里叶变换
傅立叶变换形式如下：
⎰∞∞--=
dx e x g f G fx j π2)()( （1）
⎰∞
∞-=df e f G x g fx j π2)()( （2）
这两个积分即傅立叶积分。
)(f G 称为)(x g 的傅立叶变换或频谱。
若)(x g 表示某空间域的物理量，)(f G 则是该物理量在频率域的表示形式，)(x g 和)(f G 构成傅立叶变换对。
二维傅立叶变换是一维傅立叶变换的推广：
dxdy y f x f j y x g f f G y x y x )(2exp[),(),(+-=∞
∞
-⎰⎰π （3）
y x y x y x df df y f x f j f f G y x g )](2exp[),(),(+=∞
∞-⎰⎰π （4）
2.联合变换相关器原理
联合变换相关的主要特征是参考图像与目标图像同时输入光学运算系统，在第一个傅立叶变换平面上记录联合变换功率谱，联合变换功率谱经过第二次傅立叶变换后，获得一对相关输出。
将准直的相干单位振幅光入射到物体),(y x w 上，物体被写入光空间调制器，设输入图像为：
),(),(),(y x h y x t y x w += （5）
（),(),(y x h y x t ≠）
其中),(y x t 是目标图像，),(y x h 是复杂背景图像，另设参考模板为),(y x r ，这样，通过目标),(y x t 与参考模板),(y x r 的光学相关得到的相关峰函数t r ⊗或者r t ⊗，
可以确定目标),(y x t 在输入图像),(y x w 中的确切位置。
图1 联合变换功率谱的记录 对目标与参考模板的联合图像进行傅里叶变换。
如图1所示，图中的L 为傅里叶变换透镜，待识别图像（已经二值化）()y x t ,置于输入平面的一侧，其中心位置()0,a ，参考图像()y x r ,（二值化的）置于输入平面的另一侧，中心位于()0,b 。
用准直的激光光束照明，并通过透镜进行傅里叶变换。
在透镜的后焦面上的振幅分布为：
()()()[]()dxdy yv xu f i y b x r y a x t v u F ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+--+-=
⎰⎰+∞∞-+∞
∞-λπ2exp ,,, （6） 式中λ是照明激光的波长，f 是变换透镜的焦距。
若将一个平方律探测器CCD 放在傅立叶变换透镜(FTL)的后焦平面上，则其记录的联合变换功率谱（JTPS ）为：
22),()2exp(),()2exp(),(),(v u R ub i v u T ua i v u F v u I ππ-+-==
),(),())(2ex p(),(),(**v u R v u T b a u i v u T v u T --+=π
),(),(),(),()](2ex p[(**v u R v u R v u R v u T b a u i ++--+π （7）
对联合变换功率谱（JTPS ）进行逆傅里叶变换。
如图2所示，在透镜L 的前焦面上放置联合变换功率谱，然后用准直的激光光束照明，这样就在透镜的后焦面上就可以得到两个图像的零级自相关和一级互相关峰。
()
2,v u F ()ζξ,O 图2 联合功率谱的傅里叶变换
对联合变换功率谱进行逆傅里叶变换后得到如下的结果：
()()dudv v u f i v u I O ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰+∞∞-+∞
∞-ζξλπζξ2exp ),(, （8） 将式（7）代入式（8）得到：
()()()()()ζξζξζξζξζξ,,,,,r r t t O ⊗+⊗=
()()()a b r t +-*⊗+ξδζξζξ,,
()()()b a r t +-*⊗+ξδζξζξ,, （9） 式中:⊗表示相关运算，*表示卷积。
此时，JTPS 又变换回到物空间，实现了相关探测。
式（9）中第一项和第二项是自相关，两输出信号重叠在输出平面中心附近，可称之为零级项，它们不是所需要探测的信号。
第三、第四项是互相关，它们的中心分别位于输出平面的)0,(b a -和)0,(b a +-处，因而与零级分离，为一级衍射项，正是我们要寻求的相关输出信号。
当),(y x t 与),(y x r 相同时，两互相关获得最大的相关峰，其联合变换功率谱可以写作：
)]2cos(1[),(2),(2f
b a u v u F v u I λπ++⨯= （10） 这样当目标与模板相同时，联合变换功率谱可以认为是两函数上对应的无数点对
形成的杨氏条纹的相干叠加。
因子：)]2cos(1[f
b a u λπ++，即是理想的杨氏条纹， 2
),(2v u F 则是杨氏条纹的包络。
杨氏条纹比包络更重要,即使包络有变化,仍能观察到相关峰。
因此,关键的是探测所产生的杨氏条纹。
杨氏条纹经过傅立叶变换后的衍射图包含0级（直流）衍射光斑和两个+1级和-1级衍射亮斑。
这两个对称分布的亮斑即是相关峰。
五、实验步骤
1.接通主电源；
2.打开电脑主机，然后依次打开激光器、CCD 相机以及电寻址液晶（注：一定最后打开电寻址液晶）；
3.首先在其中一台电脑上显示原始图片，通过数据线将图片传送到一个电寻址液晶上，通过平行光照明，经过一次傅立叶变换得到功率谱，由CCD 接收显示在第二台电脑上；然后通过数据线把功率谱图片传送到另一个电寻址液晶上，用平行光照明，再次经过傅立叶变换得到相关点图片，由CCD 接收显示在第三台电脑上，观测最后的实验现象（可对多种背景形式的图片进行实验，并观测结果）；
4.实验结束后，按照先关闭液晶，再关闭CCD 及激光器的顺序关闭系统，最后断掉总电源。
六、实验结果展示
光电混合实时联合变换相关器
光电混合联合变换相关器控制系统
（a）（b）（c）
输入图像、功率谱和相关峰图像
（a ） （b ） （c ）
输入图像、功率谱和相关峰图像。
