全国版2017版高考数学一轮复习第八章平面解析几何8.4直线与圆圆与圆的位置关系课时提升作业理

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第八章 平面解析几何
2．圆 C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0 与圆 C2：x2＋y2－4x－2y ＋1＝0 的公切线有且仅有___2_____条． 解析: ⊙C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4， 圆心 C1(－1，－1)，半径 r1＝2. ⊙C2：(x－2)2＋(y－1)2＝4， 圆心 C2(2，1)，半径 r2＝2. 所以 C1C2＝ 13， 所以|r1－r2|＝0<C1C2<r1＋r2＝4， 所以两圆相交，有两条公切线．
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第八章 平面解析几何
判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的 距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．若两圆相 交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去 x2，y2 项得到.
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第八章 平面解析几何
1.已知圆 C：(x－3)2＋(y－4)2＝4，直线 l1 过定 点 A(1，0)． (1)若 l1 与圆相切，求 l1 的方程； (2)若 l1 与圆相交于 P、Q 两点，线段 PQ 的中点为 M，又 l1 与 l2：x＋2y＋2＝0 的交点为 N，判断 AM·AN 是否为定值？ 若是，则求出定值；若不是，请说明理由．
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第八章 平面解析几何
[解析] (1)两圆的方程相减得 x－2y＋4＝0. (2)两圆圆心距 d＝ 74< 66＋8， 所以两圆相交，故有 2 条切线． (3)⊙O 的圆心为(0，0)，半径为 2，⊙O′的圆心为(4，0)， 半径为 6，设点 P(x，y)，由已知条件和圆切线性质得 x2＋y2－2＝(x－4)2＋y2－6，化简得 x＝32.

解：由题意得圆心 C(1,2)，半径 r＝2. (1)∵( 2＋1－1)2＋(2－ 2－2)2＝4，∴点 P 在圆 C 上． 又 kPC＝2－2＋21－ －21＝－1， ∴切线的斜率 k＝－k1PC＝1. ∴过点 P 的圆 C 的切线方程是 y－(2－ 2)＝x－( 2＋1)， 即 x－y＋1－2 2＝0.
提醒：上述方法中最常用的是几何法． 2．已知直线与圆的位置关系求参数的取值范围时，可根据数形结 合思想利用直线与圆的位置关系的判断条件建立不等式进行解决．
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(1)(2019·湖北七市联考)已知圆 C：(x－1)2＋y2＝r2(r＞0)，设条件 p： 0＜r＜3，条件 q：圆 C 上至多有 2 个点到直线 x－ 3y＋3＝0 的距离为
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又圆 N：(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心 N(1,1)，半径 r2＝1， ∴|MN|＝ 0－12＋2－12＝ 2.
∵r1－r2＝1，r1＋r2＝3,1＜|MN|＜3， ∴两圆相交．
法二：由题知圆 M：x2＋(y－a)2＝a2(a＞0)，圆心(0，a)到直
线
x＋y＝0
的距离
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【条件探究 3】 若将本典例(1)中的条件“外切”变为“相交”， 求公共弦所在的直线方程．
解：由题意把圆 C1，圆 C2 的方程都化为一般方程，得 圆 C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2＝0，① 圆 C2：x2＋y2＋2bx＋4y＋b2＋3＝0，② 由②－①得(2a＋2b)x＋3＋b2－a2＝0， 即(2a＋2b)x＋3＋b2－a2＝0 为所求公共弦所在的直线方程．
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§8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系考试要求 1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．1．直线Ax ＋By ＋C ＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)的位置关系的判断位置关系 相交 相切 相离 公共点个数2个 1个 0个 判定 方法几何法：设圆心到直线的距离d ＝|Aa ＋Bb ＋C|A2＋B2d <rd ＝rd >r代数法：由⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0(x －a )2＋(y －b )2＝r 2消元得到一元二次方程根的判别式ΔΔ>0 Δ＝0 Δ<02．圆与圆位置关系的判定 (1)几何法若两圆的半径分别为r 1，r 2，两圆的圆心距为d ，则两圆的位置关系的判断方法如下：位置关系 外离外切相交内切内含图示d 与r 1，r 2的关系 d > r 1＋r 2d ＝r 1＋r 2|r 1－r 2|<d < r 1＋r 2d ＝|r 1－r 2|(r 1≠r 2)0≤d <|r 1－r 2| (r 1≠r 2)(2)代数法通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．⎭⎪⎬⎪⎫圆C1方程圆C2方程――→消元一元二次方程⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0⇒相交Δ＝0⇒内切或外切Δ<0⇒内含或外离.微思考1．过一点圆的切线有几条？提示 应首先判断这点与圆的位置关系，若点在圆上则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线应有两条；若点在圆内，切线为零条．2．用两圆的方程组成的方程组有一解或无解时能否准确判定两圆的位置关系？提示 不能，当两圆方程组成的方程组有一解时，两圆有外切和内切两种可能情况，当方程组无解时，两圆有外离和内含两种可能情况．3．当两圆相交时，怎样求两圆公共弦所在直线的方程？提示 两圆方程相减得到的直线方程即为两圆公共弦所在的直线的方程．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号内打“√”或“×”) (1)若直线平分圆的周长，则直线一定过圆心．( √ ) (2)若两圆相切，则有且只有一条公切线．( × )(3)若直线的方程与圆的方程组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．( √ ) (4)过圆O ：x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.( √ ) 题组二 教材改编2．直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＝1的位置关系为( ) A ．相切 B ．相交但直线不过圆心 C ．直线过圆心 D ．相离答案 B3．直线l ：3x －y －6＝0与圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0相交于A ，B 两点，则|AB |＝________. 答案104．两圆x 2＋y 2－2y ＝0与x 2＋y 2－4＝0的位置关系是________． 答案 内切 题组三 易错自纠5．(多选)直线x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －1＝0有两个不同交点的一个充分不必要条件是( ) A ．0<m <1 B ．－1<m <0 C ．m <1 D ．－3<m <1答案 AB解析 联立直线与圆的方程得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋m ＝0，x2＋y2－2x －1＝0，消去y ，得2x 2＋(2m －2)x ＋m 2－1＝0，根据题意得Δ＝(2m －2)2－8(m 2－1)＝－4(m ＋1)2＋16>0，得－3<m <1.∵{m |0<m <1}{m |－3<m <1}，{m |－1<m <0}{m |－3<m <1}， ∴0<m <1和－1<m <0都是直线与圆相交的充分不必要条件．6．过点A (3,5)作圆O ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0的切线，则切线的方程为_______________． 答案 5x －12y ＋45＝0或x －3＝0解析 化圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0为标准方程得(x －1)2＋(y －2)2＝4，其圆心为(1,2)，半径为2， ∵|OA |＝(3－1)2＋(5－2)2＝13>2，∴点A (3,5)在圆外．显然，当切线斜率不存在时，直线与圆相切，即切线方程为x －3＝0，当切线斜率存在时，可设所求切线方程为y －5＝k (x －3)，即kx －y ＋5－3k ＝0.又圆心为(1,2)，半径r ＝2，而圆心到切线的距离d ＝|3－2k|k2＋1＝2，即|3－2k |＝2k2＋1，∴k ＝512，故所求切线方程为5x －12y ＋45＝0或x －3＝0.题型一 直线与圆的位置关系例1 (1)(多选)已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0.则以下几个命题正确的有( ) A ．直线l 恒过定点(3,1) B ．直线l 与圆C 相切 C ．直线l 与圆C 恒相交 D ．直线l 与圆C 相离答案 AC解析 将直线l 的方程整理为x ＋y －4＋m (2x ＋y －7)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4＝0，2x ＋y －7＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1.则无论m 为何值，直线l 过定点(3,1)，故直线l 与圆C 恒相交，故AC 正确．(2)若圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)上恒有4个点到直线l ：x －y －2＝0的距离为1，则实数r 的取值范围是( )A ．(2＋1，＋∞)B ．(2－1，2＋1)C ．(0，2－1)D ．(0，2＋1)答案 A解析 计算得圆心到直线l 的距离为22＝2>1，如图．直线l ：x －y －2＝0与圆相交，l 1，l 2与l 平行，且与直线l 的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l 2的距离2＋1.思维升华 判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用d 与r 的关系． (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．跟踪训练1 (1)已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( ) A ．相切 B ．相交 C ．相离 D ．不确定答案 B解析 因为M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，所以a 2＋b 2>1，而圆心O 到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝|a ·0＋b ·0－1|a2＋b2＝1a2＋b2<1.所以直线与圆相交．(2)(2020·安徽江淮十校联考)已知直线l ：x cos α＋y sin α＝1(α∈R )与圆C ：x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交，则r 的取值范围是 ( )A ．0<r ≤1B ．0<r <1C ．r ≥1D ．r >1 答案 D解析 圆心到直线的距离d ＝1cos2α＋sin2α＝1，故r >1.题型二 圆的切线、弦长问题命题点1 切线问题例2 (1)(2021·银川模拟)与3x ＋4y ＝0垂直，且与圆(x －1)2＋y 2＝4相切的一条直线是( ) A ．4x －3y ＝6B ．4x －3y ＝－6C．4x＋3y＝6 D．4x＋3y＝－6答案 B解析设与直线3x＋4y＝0垂直的直线方程为l：4x－3y＋m＝0，＝2，直线l与圆(x－1)2＋y2＝4相切，则圆心(1,0)到直线l的距离为半径2，即|4＋m|5所以m＝6或m＝－14，所以4x－3y＋6＝0，或4x－3y－14＝0，结合选项可知B正确．(2)(2019·浙江)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________.答案－25解析方法一设过点A(－2，－1)且与直线2x－y＋3＝0垂直的直线方程为l：x＋2y＋t＝0，所以－2－2＋t＝0，所以t＝4，所以l：x＋2y＋4＝0，令x＝0，得m＝－2，则r＝(－2－0)2＋(－1＋2)2＝5.方法二因为直线2x－y＋3＝0与以点(0，m)为圆心的圆相切，且切点为A(－2，－1)，所以m＋1×2＝－1，所以m＝－2，r＝(－2－0)2＋(－1＋2)2＝5.0－(－2)命题点2弦长问题例3 (1)(多选)已知圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，则下列说法中正确的是()A．圆M的圆心为(4，－3)B．圆M被x轴截得的弦长为8C．过原点的最短弦长为8D．圆M被y轴截得的弦长为6答案ABD解析圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，则(x－4)2＋(y＋3)2＝25.圆的圆心坐标为(4，－3)，半径为5.过原点的最短弦长为6，选项C不正确．ABD均正确．(2)过点P(0,2)引一条直线l交圆(x－1)2＋y2＝4于A，B两点，若|AB|＝23，则直线l的方程为________．答案x＝0或3x＋4y－8＝0解析当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝0，可求出它与圆(x－1)2＋y2＝4的两交点坐标分别为(0，3)，(0，－3)，所以弦长|AB|＝23，满足题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋2，即kx－y＋2＝0.如图，设圆心为C，点D是弦AB的中点，连接CD，AC，则CD⊥AB.在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，|AC|＝r＝2，|AD|＝12|AB|＝3，故|CD|＝|AC|2－|AD|2＝4－3＝1，即|k＋2|1＋k2＝1，解得k＝－34，这时直线l的方程为3x＋4y－8＝0.故所求直线方程为x＝0或3x＋4y－8＝0.思维升华 (1)判断直线与圆的位置关系常用几何法．(2)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．(3)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．跟踪训练2 (1)已知过原点的直线l与圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B，且线段AB 的中点坐标为D(2，2)，则弦长为()A．2 B．3 C．4 D．5答案 A解析将圆C：x2＋y2－6x＋5＝0整理，得其标准方程为(x－3)2＋y2＝4，所以圆C的圆心坐标为(3,0)，半径为2.因为线段AB的中点坐标为D(2，2)，所以|CD|＝1＋2＝3，所以|AB|＝24－3＝2.(2)过直线y＝2x＋3上的点作圆C：x2＋y2－4x＋6y＋12＝0的切线，则切线长的最小值为()A.19 B．25 C.21 D.55 5答案 A解析圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝1，要使切线长最小，只需直线y＝2x＋3上的点和圆心之间的距离最短，此最小值即为圆心(2，－3)到直线y＝2x＋3的距离d，d＝|2×2＋3＋3|5＝25，故切线长的最小值为d2－r2＝19.(3)过点(2,0)引直线l 与圆x 2＋y 2＝2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 面积取最大值时，直线l 的斜率为________． 答案 ±33解析 由题意可得，直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x －2)，即kx －y －2k ＝0，当△AOB 面积取最大值时，OA ⊥OB ，此时圆心O 到直线的距离为d ＝1，由点到直线的距离公式得d ＝|－2k|1＋k2＝1⇒k ＝±33.题型三 圆与圆的位置关系例4 已知两圆x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0.求： (1)m 取何值时两圆外切？(2)求m ＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长． 解 两圆的标准方程分别为(x －1)2＋(y －3)2＝11，(x －5)2＋(y －6)2＝61－m ， 圆心分别为M (1,3)，N (5,6)， 半径分别为11和61－m . (1)当两圆外切时，(5－1)2＋(6－3)2＝11＋61－m . 解得m ＝25＋1011.(2)两圆的公共弦所在直线的方程为(x 2＋y 2－2x －6y －1)－(x 2＋y 2－10x －12y ＋45)＝0，即4x ＋3y －23＝0. 由圆的半径、弦长、弦心距间的关系，不难求得公共弦的长为2×(11)2－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|4＋3×3－23|42＋322＝27.思维升华 (1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x 2，y 2项得到．跟踪训练3 (1)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( ) A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离答案 B解析 由题意得圆M 的标准方程为x 2＋(y －a )2＝a 2，圆心(0，a )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a 2，所以2a2－a22＝22，解得a ＝2，圆M ，圆N 的圆心距|MN |＝2小于两圆半径之和1＋2，大于两圆半径之差1，故两圆相交．(2)若圆x 2＋y 2＝a 2与圆x 2＋y 2＋ay －6＝0的公共弦长为23，则a ＝________. 答案 ±2解析 两圆方程作差得公共弦所在直线方程为a 2＋ay －6＝0.原点到a 2＋ay －6＝0的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6a －a . ∵公共弦长为23，∴a 2＝(3)2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪6a －a 2，∴a 2＝4，a ＝±2.公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius)在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆．如图，点A ，B 为两定点，动点P 满足|PA |＝λ|PB |.则λ＝1时，动点P 的轨迹为直线；当λ>0且λ≠1时，动点P 的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆．证明：设|AB |＝2m (m >0)，|PA |＝λ|PB |，以AB 的中点为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系， 则A (－m ,0)，B (m ,0)．又设P (x ，y )，则由|PA |＝λ|PB |得(x ＋m )2＋y 2＝λ(x －m )2＋y 2，两边平方并化简整理得(λ2－1)x 2－2m (λ2＋1)x ＋(λ2－1)y 2＝m 2(1－λ2)． 当λ＝1时，x ＝0，轨迹为线段AB 的垂直平分线；当λ>0且λ≠1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －λ2＋1λ2－1m 2＋y 2＝4λ2m2(λ2－1)2，轨迹为以点⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2＋1λ2－1m ，0为圆心，⎪⎪⎪⎪⎪⎪2λm λ2－1为半径的圆．上述课本习题的一般化情形就是阿波罗尼斯定理．例 1 在平面直角坐标系xOy 中，设点A (1,0)，B (3,0)，C (0，a )，D (0，a ＋2)，若存在点P ，使得|PA |＝2|PB |，|PC |＝|PD |，则实数a 的取值范围是________． 答案 [－22－1,22－1] 解析 设P (x ，y )，则(x －1)2＋y 2＝2·(x －3)2＋y 2，整理得(x －5)2＋y 2＝8，即动点P 在以(5,0)为圆心，22为半径的圆上运动．另一方面，由|PC |＝|PD |知动点P 在线段CD 的垂直平分线y ＝a ＋1上运动，因而问题就转化为直线y ＝a ＋1与圆(x －5)2＋y 2＝8有交点．所以|a ＋1|≤22.故实数a 的取值范围是[－22－1,22－1]．例2 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在l 上．(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2)若圆C 上存在点M ，使|MA |＝2|MO |，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．解 (1)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y ＝2x －4，得圆心为C (3,2)．切线的斜率存在，设切线方程为y ＝kx ＋3. 圆心C 到切线的距离d ＝|3k ＋3－2|1＋k2＝r ＝1，得k ＝0或k ＝－34.故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0. (2)设点M (x ，y )，由|MA |＝2|MO |， 知x2＋(y －3)2＝2x2＋y2，化简得x 2＋(y ＋1)2＝4.即点M 的轨迹为以(0，－1)为圆心，2为半径的圆， 可记为圆D .又因为点M 也在圆C 上，故圆C 与圆D 的关系为相交或相切． 故1≤|CD |≤3， 其中|CD |＝a2＋(2a －3)2.解得0≤a ≤125.即圆心C 的横坐标a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125.课时精练1．直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定答案 A解析 方法一 由题意知，圆心(0,1)到直线l 的距离d ＝|m|m2＋1<1<5，故直线l 与圆相交．方法二 直线l ：mx －y ＋1－m ＝0过定点(1,1)， 因为点(1,1)在圆x 2＋(y －1)2＝5的内部，所以直线l 与圆相交．2．圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系是( ) A ．相离 B ．相交 C ．外切 D ．内切 答案 B解析 圆O 1的圆心坐标为(1,0)，半径长r 1＝1，圆O 2的圆心坐标为(0,2)，半径长r 2＝2，所以两圆的圆心距d ＝5，而r 2－r 1＝1，r 1＋r 2＝3，则有r 2－r 1<d <r 1＋r 2，所以两圆相交．3．已知圆x 2＋y 2－2x ＋2y ＋a ＝0截直线x ＋y －4＝0所得弦的长度小于6，则实数a 的取值范围为( )A.()2－17，2＋17B.()2－17，2C.()－15，＋∞ D ．(－15,2)答案 D解析 圆心(1，－1)，半径r ＝2－a ，2－a >0，∴a <2， 圆心到直线x ＋y －4＝0的距离d ＝|1－1－4|2＝22.则弦长为2(2－a )2－(22)2＝2－a －6<6.解得a >－15，故－15<a <2.4．已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为( )A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝3B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2答案 B解析 方法一 设圆心坐标为(a ，－a )，由圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切可得|2a|2＝|2a －4|2，解得a ＝1，所以半径r ＝2，故该圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2. 方法二 圆心在x ＋y ＝0上，可排除选项C ，D ，再结合图象，或者验证选项A ，B 中圆心到两直线的距离等于半径2，可知B 正确．5．(多选)若直线x －y ＝2被圆(x －a )2＋y 2＝4所截得的弦长为22，则实数a 的值为( ) A ．0 B ．4 C ．－2 D ．6 答案 AB解析 由圆的方程，可知圆心坐标为(a ,0)，半径r ＝2.又直线被圆截得的弦长为22，所以圆心到直线的距离d ＝22－⎝⎛⎭⎪⎫2222＝2.又d ＝|a －2|2，所以|a －2|＝2，解得a ＝4或a ＝0. 6．(多选)已知圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝12上恰有三个点到直线l ：kx ＋y ＝0的距离等于3，则直线l 的斜率为( ) A ．2＋6 B ．－2＋6 C ．－6＋2 D ．－6－2答案 AC解析 由题意，圆心到直线l 的距离等于半径的一半，所以|2k －1|k2＋1＝3，解得k ＝2±6.7．与直线y ＝x ＋3平行且与圆(x －2)2＋(y －3)2＝8相切的直线的方程为____________． 答案 x －y ＋5＝0或x －y －3＝0解析 设直线的方程为y ＝x ＋m ，即x －y ＋m ＝0.圆(x －2)2＋(y －3)2＝8的圆心坐标为(2,3)，半径为22，由|2－3＋m|2＝22，解得m ＝5或m ＝－3.故所求直线方程为y ＝x ＋5或y ＝x －3，即x －y＋5＝0或x －y －3＝0.8．过点(3,1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________． 答案 22解析 设P (3,1)，圆心C (2,2)，则|PC |＝2，半径r ＝2.由题意知最短的弦过P (3,1)且与PC 垂直，所以最短弦长为222－(2)2＝22.9．若A 为圆C 1：x 2＋y 2＝1上的动点，B 为圆C 2：(x －3)2＋(y ＋4)2＝4上的动点，则线段AB 长度的最大值是______． 答案 8解析 圆C 1：x 2＋y 2＝1的圆心为C 1(0,0)，半径r 1＝1， 圆C 2：(x －3)2＋(y ＋4)2＝4的圆心为C 2(3，－4)，半径r 2＝2， ∴|C 1C 2|＝5.又A 为圆C 1上的动点，B 为圆C 2上的动点， ∴线段AB 长度的最大值是|C 1C 2|＋r 1＋r 2＝5＋1＋2＝8.10．(2021·石家庄质检)已知直线x －2y ＋a ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝2相交于A ，B 两点(O 为坐标原点)，且△AOB 为等腰直角三角形，则实数a 的值为________．答案 5或－5解析 因为直线x －2y ＋a ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝2相交于A ，B 两点(O 为坐标原点)，且△AOB 为等腰直角三角形，所以O 到直线AB 的距离为1，由点到直线的距离公式可得|a|12＋(－2)2＝1，所以a ＝±5.11．已知圆C ：(x －1)2＋(y ＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程． (1)与直线l 1：x ＋y －4＝0平行； (2)与直线l 2：x －2y ＋4＝0垂直； (3)过切点A (4，－1)．解 (1)设切线方程为x ＋y ＋b ＝0(b ≠－4)， 则|1－2＋b|2＝10，∴b ＝1±25， ∴切线方程为x ＋y ＋1±25＝0. (2)设切线方程为2x ＋y ＋m ＝0， 则|2－2＋m|5＝10，∴m ＝±52， ∴切线方程为2x ＋y ±52＝0.(3)∵k AC ＝－2＋11－4＝13，∴过切点A (4，－1)的切线斜率为－3，∴过切点A (4，－1)的切线方程为y＋1＝－3(x －4)，即3x ＋y －11＝0.12．已知一个圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且被直线y ＝x 所截得的弦长为27，求该圆的方程．解 方法一 ∵所求圆的圆心在直线x －3y ＝0上， ∴设所求圆的圆心为(3a ，a )， 又所求圆与y 轴相切，∴半径r ＝3|a |， 又所求圆在直线y ＝x 上截得的弦长为27， 圆心(3a ，a )到直线y ＝x 的距离d ＝|2a|2，∴d 2＋(7)2＝r 2，即2a 2＋7＝9a 2，∴a ＝±1.故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9，即x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0.方法二 设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 则圆心(a ，b )到直线y ＝x 的距离为|a －b|2，∴r 2＝(a －b )22＋7，即2r 2＝(a －b )2＋14.①由于所求圆与y 轴相切，∴r 2＝a 2，②又∵所求圆的圆心在直线x －3y ＝0上，∴a －3b ＝0，③ 联立①②③，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1，r2＝9或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－1，r2＝9.故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9，即x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0.方法三 设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 则圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2，半径r ＝12D2＋E2－4F .在圆的方程中，令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0. 由于所求圆与y 轴相切，∴Δ＝0，则E 2＝4F .①圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2到直线y ＝x 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－D 2＋E 22，由已知得d 2＋(7)2＝r 2，即(D －E )2＋56＝2(D 2＋E 2－4F )．② 又圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2在直线x －3y ＝0上，∴D －3E ＝0.③联立①②③，解得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－6，E ＝－2，F ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝6，E ＝2，F ＝1.故所求圆的方程为x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0.13．直线x －3y ＝0截圆(x －2)2＋y 2＝4所得劣弧所对的圆心角是( ) A.π6 B.π3 C.π2 D.2π3 答案 D解析 画出图形，如图，圆心(2,0)到直线的距离为d ＝|2|12＋(－3)2＝1，∴sin ∠AOC ＝d |OC|＝12， ∴∠AOC ＝π6，∴∠CAO ＝π6，∴∠ACO ＝π－π6－π6＝2π3.14．(2020·长沙调研)在平面直角坐标系xOy 中，若圆C 1：x 2＋(y －1)2＝r 2(r >0)上存在点P ，且点P 关于直线x －y ＝0的对称点Q 在圆C 2：(x －2)2＋(y －1)2＝1上，则r 的取值范围是________． 答案 [2－1，2＋1]解析 圆C 1关于直线x －y ＝0对称的圆C 3的方程为(x －1)2＋y 2＝r 2(r >0)，则圆C 3与圆C 2存在公共点，所以|r －1|≤2≤r ＋1，所以r ∈[2－1，2＋1]．15．已知直线l ：x ＋y －1＝0截圆Ω：x 2＋y 2＝r 2(r >0)所得的弦长为14，点M ，N 在圆Ω上，且直线l ′：(1＋2m )x ＋(m －1)y －3m ＝0过定点P ，若PM ⊥PN ，则|MN |的取值范围为( ) A ．[2－2，2＋3] B ．[2－2，2＋2] C ．[6－2，6＋3] D ．[6－2，6＋2]答案 D解析 由题意得，2r2－12＝14，解得r ＝2，因为直线l ′：(1＋2m )x ＋(m －1)y －3m ＝0过定点P ，故P (1,1)；设MN 的中点为Q (x ，y )，则|OM |2＝|OQ |2＋|MQ |2＝|OQ |2＋|PQ |2，即4＝x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2，化简可得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝32，所以点Q 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12为圆心，62为半径的圆，P 到圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12的距离为22，所以|PQ |的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤6－22，6＋22，|MN |的取值范围为[6－2，6＋2]．16．已知圆C 经过(2,4)，(1,3)两点，圆心C 在直线x －y ＋1＝0上，过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点． (1)求圆C 的方程；(2)①请问AM →·AN →是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由； ②若OM →·ON →＝12(O 为坐标原点)，求直线l 的方程． 解 (1)设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )2＋(4－b )2＝r 2，(1－a )2＋(3－b )2＝r 2，a －b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，r ＝1，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －3)2＝1. (2)①AM →·AN →为定值．过点A (0,1)作直线AT 与圆C 相切，切点为T ， 易得|AT |2＝7，∴AM →·AN →＝|AM →|·|AN →|cos 0°＝|AT |2＝7， ∴AM →·AN →为定值，且定值为7.②依题意可知，直线l 的方程为y ＝kx ＋1，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋1代入(x －2)2＋(y －3)2＝1，并整理，得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0，∴x 1＋x 2＝4(1＋k )1＋k 2，x 1x 2＝71＋k2， ∴OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k (1＋k )1＋k 2＋8＝12，即4k (1＋k )1＋k 2＝4，解得k ＝1，又当k ＝1时，Δ>0，∴k ＝1， ∴直线l 的方程为y ＝x ＋1.。

第八章
立体几何(lìtǐjǐhé)
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第一页，共四十一页。
第四节
直线(zhíxiàn)与圆、圆与圆的位置关系
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第二页，共四十一页。
课标要求
考情分析
1.能根据给定直线、圆的方程 1.本节是高考中的重点考查内容，主要 判断直线与圆的位置关系；能
涉及直线与圆的位置关系、弦长问题、 根据给定两个圆的方程判断
命题方向 3
切线问题
【例 3】 已知点 P( 2＋1,2－ 2)，点 M(3,1)，圆 C：(x－ 1)2＋(y－2)2＝4.
(1)求过点 P 的圆 C 的切线方程；
(2)求过点 M 的圆 C 的切线方程，并求出切线长．
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【解】 由题意得圆心 C(1,2)，半径 r＝2. (1)∵( 2＋1－1)2＋(2－2 2－2)2＝4， ∴点 P 在圆 C 上． 又 kPC＝2－2＋21－ －21＝－1，∴切线的斜率 k＝－k1PC＝1. ∴过点 P 的圆 C 的切线方程是 y－(2－ 2)＝x－( 2＋1)， 即 x－y＋1－2 2＝0.
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1．思考辨析 判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1) 如果 两个 圆 的方 程 组成 的方 程 组只 有一 组 实数 解 ，则 两 圆 外
切．( × ) (2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．( × )
(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公
若|AB|＝2 3，则圆 C 的面积为( A )
A．4π
B．2π
C．9π
D．22π
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