赏 析 数 学 美
大庆石油高级中学 陆桂菊（163453）
众所周知，数学在我们的基础教育中占有很大的份量，是我们的文化中极为重要的组成部分。她不但有智育的功能，也有其美育的功能。数学美深深地感染着人们的心灵，激起人们对她的欣赏。下面从几个方面来欣赏数学美。 一、简洁美 爱因期坦说过：“美，本质上终究是简单性。”他还认为，只有借助数学，才能达到简单性的美学准则。物理学家爱因期坦的这种
美学理论，在数学界，也被多数人所认同。朴素，简单，是其外在形式。只有既朴实清秀，又底蕴深厚，才称得上至美。 欧拉给出的公式：V －Ｅ＋Ｆ＝２，堪称“简单美”的典范。世间的多面体有多少？没有人能说清楚。但它们的顶点数Ｖ、棱数Ｅ、面数Ｆ，都必须服从欧拉给出的公式，一个如此简单的公式，概括了无数种多面体的共同特性，能不令人惊叹不已？由她还可派生出许多同样美妙的东西。如：平面图的
点数Ｖ、边数Ｅ、区域数Ｆ满足V －Ｅ＋Ｆ＝２，这个公式成了近代数学两个重要分支——拓扑学与图论的基本公式。由这个公式可以得到许多深刻的结论，对拓扑学与图论的发展起了很大的作用。 在数学中，像欧拉公式这样形式简洁、内容深刻、作用很大的定理还有许多。比如： 圆的周长公式：C=2πR 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边平方。 平均不等式：对任何正数n n
n n x x x x x x x x x 212121,
,,, 正弦定理：ΔＡＢＣ的外接圆半径Ｒ，则
R C c B b A a 2sin sin sin 数学的这种简洁美，用几个定理是不足以说清的，数学历史中每一次进步都使已有的定理更简洁。正如伟大的希而伯特曾说过：“数学中每一步真正的进展都与更有力的工具和更简单的方法的发现密切联系着”。 二、和谐美 数论大师赛尔伯格曾经说，他喜欢数学
的一个动机是以下的公式： 51
3114 ，这个公式实在美极了，奇数1、3、5、…这样的组合可以给出 ，对于一个数学家来说，此公式正如一幅美丽图画或风景。
欧拉公式：1
i e ，曾获得“最美的
数学定理”称号。欧拉建立了在他那个时代，数学中最重要的几个常数之间的绝妙的有趣的联系，包容得如此协调、有序。与欧拉公式有关的棣美弗－欧拉公式是 i e i sin cos ――（１）。这个公式把
人们以为没有什么共同性的两大类函数――三角函数与指数函数紧密地结合起来了。对他们的结合，人们始则惊诧，继而赞叹――确是“天作之合”，因为，由他们的结合能派
生出许多美的，有用的结论来。 比如，由公式（１）得
2sin , 2cos
i e i e i e i e
。由这两个公式，可把三角函数的定义域扩展到复数域上去，即考虑“弧度”为复数的“角”。
新定义的余弦函数与我们早已熟悉的通常的余弦函数和谐一致。
和谐的美，在数学中多得不可胜数。如
著名的黄金分割比2
1
5 ，即
０.61803398…。
在正五边形中，边长与对角线长的比是黄金分割比。
数学中有一个很著名的菲波那契数列｛a n ｝，定义如下：
a 1=1，a 2=1，
当n ≥３时，a n ＝a n －１＋a n －2
可以证明，当ｎ趋向∞时，1
n n a a
极限是
2
1
5
。 维纳斯的美被所有人所公认，她的身材
比也恰恰是黄金分割比。
黄金分割比在许多艺术作品中、在建筑设计中都有广泛的应用。达·芬奇称黄金分割比2
1
5
为“神圣比例”．他认为“美感完全建立在各部分之间神圣的比例关系
上”。
与2
1
5
有关的问题还有许多， “黄金分割”、“神圣比例”的美称，她受之
无愧。
三、奇异、突变美
全世界有很大影响的两份杂志曾联合邀请全世界的数学家们评选“近50年的最佳数学问题”，其中有一道相当简单的问题：有哪些分数
bc
ab ，不合理地把b 约去得到c a
，
结果却是对的？
经过一种简单计算，可以找到四个分数：
98
49
,
9519,6526,6416。这个问题涉及到“运算谬误，结果正确”的歪打正着，在给人惊喜之余，不也展现一种奇异美吗。
还有一些“歪打正着等式”，比如
311129
3192113125
2531255225922952
人造卫星、行星、彗星等由于运动的速度的不同，它们的轨道可能是椭圆、双曲线
或抛物线，这几种曲线的定义如下：
到定点距离与它到定直线的距离之比是常数ｅ的点的轨迹，
当ｅ＜１时，形成的是椭圆． 当ｅ＞１时，形成的是双曲线． 当ｅ＝１时，形成的是抛物线．
常数ｅ由0.999变为1、变为0.001，相差很小，形成的却是形状、性质完全不同的曲线。而这几种曲线又完全可看作不同的平面截圆锥面所得到的截线。
椭圆与正弦曲线会有什么联系吗？做一个实验，把厚纸卷几次，做成一个圆筒。斜割这一圆筒成两部分。如果不拆开圆筒，那么截面将是椭圆，如果拆开圆筒，切口形成的即是正弦曲线。这其中的玄妙是不是很奇异、很美。
无序的混沌状态，通常以为不可用数学来研究。可从确定的现象（一个二次函数λx(1-x)）通过迭代居然能产生出随机现象，也就是说无序的混沌状态，竟然可以从一个二次方程的迭代产生出来。这就把两种完全不同类型的数学问题沟通起来了。这深刻的发现，使人不禁感叹大自然规律的神奇。还有，菲根鲍姆对许多迭代函数进行了大量的计算，都得到了常数4.669202029…，这决非巧合，尽管目前还不清楚这个数的本质。就是数学的这种奇异美使神秘、严肃、程式化的数学世界充满了勃勃生机。 四、对称美
在古代“对称”一词的含义是“和谐”、“美观”。事实上，译自希腊语的这个词，原义是“在一些物品的布置时出现的般配与和谐”。毕达哥拉斯学派认为，一切空间图形中，最美的是球形；一切平面图形中，最美的是圆形。圆是中心对称圆形――圆心是它的对称中心，圆也是轴对称图形――任何一条直径都是它的对称轴。
梯形的面积公式：Ｓ＝
2
)(h
b a ， 等差数列的前ｎ项和公式：
