突破点11 直线与圆[核心知识提炼]提炼1 圆的方程(1)圆的标准方程当圆心为(a ，b )，半径为r 时，其标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，特别地，当圆心在原点时，方程为x 2＋y 2＝r 2. (2)圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其中D 2＋E 2－4F ＞0，表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2为圆心，D 2＋E 2－4F 2为半径的圆.提炼2 求解直线与圆相关问题的两个关键点(1)三个定理：切线的性质定理，切线长定理，垂径定理．(2)两个公式：点到直线的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2，弦长公式|AB |＝2r 2－d 2(弦心距d ).提炼3 求距离最值问题的本质(1)圆外一点P 到圆C 上的点距离的最大值为|PC |＋r ，最小值为|PC |－r ，其中r 为圆的半径．(2)圆上的点到直线的最大距离是d ＋r ，最小距离是d －r ，其中d 为圆心到直线的距离，r 为圆的半径．(3)过圆内一点，直径是最长的弦，与此直径垂直的弦是最短的弦．[高考真题回访]回访1 圆的方程1．(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( )A.63B ．33C.23D.13A [由题意知以A 1A 2为直径的圆的圆心坐标为(0,0)，半径为a . 又直线bx －ay ＋2ab ＝0与圆相切， ∴圆心到直线的距离d ＝2aba 2＋b 2＝a ，解得a ＝3b ，∴b a ＝13，∴e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1－⎝⎛⎭⎪⎫132＝63. 故选A.]2．(2015·全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254 [由题意知a ＝4，b ＝2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4,0)．由圆心在x 轴的正半轴上知圆过点(0,2)，(0，－2)，(4,0)三点．设圆的标准方程为(x －m )2＋y 2＝r 2(0<m <4，r >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋4＝r 2，－m 2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝32，r 2＝254.所以圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254.]回访2 直线与圆的相关问题3．(2016·全国卷Ⅱ)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )A ．－43B ．－34C. 3D ．2A [由圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0，得圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离d ＝|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43.]4．(2016·全国卷Ⅰ)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________．4π [圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0化为标准方程是C ：x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，所以圆心C (0，a )，半径r ＝a 2＋2，|AB |＝23，点C 到直线y ＝x ＋2a 即x －y ＋2a ＝0的距离d ＝|0－a ＋2a |2，由勾股定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|0－a ＋2a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2， 所以r ＝2，所以圆C 的面积为π×22＝4π.]热点题型1 圆的方程题型分析：求圆的方程是高考考查的重点内容，常用的方法是待定系数法或几何法． 【例1】(1)(2017·厦门质检)圆C 与x 轴相切于T (1,0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B ，且|AB |＝2，则圆C 的标准方程为( ) A ．(x －1)2＋(y －2)2＝2 B ．(x －1)2＋(y －2)2＝2 C ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝4 D ．(x －1)2＋(y －2)2＝4(2)(2016·黄山一模)已知圆C 关于y 轴对称，经过点A (1,0)，且被x 轴分成的两段弧长之比为1∶2，则圆C 的方程为________. 【导学号：04024101】(1)A (2)x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ±332＝43[(1)由题意得，圆C 的半径为1＋1＝2，圆心坐标为(1，2)，∴圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2，故选A. (2)因为圆C 关于y 轴对称，所以圆C 的圆心C 在y 轴上，可设C (0，b )， 设圆C 的半径为r ，则圆C 的方程为x 2＋(y －b )2＝r 2.依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧12＋－b 2＝r 2，|b |＝12r ，解得⎩⎪⎨⎪⎧r 2＝43，b ＝±33.所以圆C 的方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ±332＝43.] [方法指津]求圆的方程的两种方法1．几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．2．代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．[变式训练1] (1)已知圆M 的圆心在x 轴上，且圆心在直线l 1：x ＝－2的右侧，若圆M 截直线l 1所得的弦长为23，且与直线l 2：2x －5y －4＝0相切，则圆M 的方程为( ) A ．(x －1)2＋y 2＝4 B ．(x ＋1)2＋y 2＝4 C ．x 2＋(y －1)2＝4D ．x 2＋(y ＋1)2＝4(2)(2016·长春一模)抛物线y 2＝4x 与过其焦点且垂直于x 轴的直线相交于A ，B 两点，其准线与x 轴的交点为M ，则过M ，A ，B 三点的圆的标准方程为________． (1)B (2)(x －1)2＋y 2＝4 [(1)由已知，可设圆M 的圆心坐标为(a,0)，a ＞－2，半径为r ，得 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＋32＝r 2，|2a －4|4＋5＝r ，解得满足条件的一组解为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，r ＝2，所以圆M 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝4. 故选B.(2)由题意知，A (1,2)，B (1，－2)，M (－1,0)，△AMB 是以点M 为直角顶点的直角三角形，则线段AB 是所求圆的直径，故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝4.]热点题型2 直线与圆、圆与圆的位置关系题型分析：直线与圆、圆与圆的位置关系是高考考查的热点内容，解决的方法主要有几何法和代数法．【例2】(1)(2017·合肥一模)设圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的圆心为C ，直线l 过(0,3)与圆C 交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则直线l 的方程为( )A ．3x ＋4y －12＝0或4x －3y ＋9＝0B ．3x ＋4y －12＝0或x ＝0C ．4x －3y ＋9＝0或x ＝0D ．3x －4y ＋12＝0或4x ＋3y ＋9＝0(1)B [圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4，设圆心到直线l 的距离为d ，则|AB |＝2r 2－d 2＝24－d 2＝23，得d ＝1，则直线l 的斜率不存在时，即x ＝0适合题意；若直线l 的斜率存在，设为k ，则l ：y ＝kx ＋3，|k ＋2|k 2＋1＝1，解得k ＝－34，此时l ：y ＝－34x ＋3，即3x ＋4y －12＝0，故选B.](2)(2016·开封一模)如图111，已知圆G ：(x －2)2＋y 2＝r 2是椭圆x 216＋y 2＝1的内接△ABC 的内切圆，其中A 为椭圆的左顶点．①求圆G 的半径r ；②过点M (0,1)作圆G 的两条切线交椭圆于E ，F 两点，证明：直线EF 与圆G 相切.【导学号：04024102】图111[解] ①设B (2＋r ，y 0)，过圆心G 作GD ⊥AB 于D ，BC 交长轴于H . 由GD AD ＝HB AH得r36－r2＝y 06＋r， 即y 0＝r 6＋r6－r， (Ⅰ)2分而B (2＋r ，y 0)在椭圆上，y 20＝1－＋r 216＝12－4r －r 216＝－r －r ＋16， (Ⅱ) 3分由(Ⅰ)(Ⅱ)式得15r 2＋8r －12＝0， 解得r ＝23或r ＝－65(舍去).5分②证明：设过点M (0,1)与圆(x －2)2＋y 2＝49相切的直线方程为y ＝kx ＋1，(Ⅲ)则23＝|2k ＋1|1＋k2， 即32k 2＋36k ＋5＝0，(Ⅳ)解得k 1＝－9＋4116，k 2＝－9－4116.将(Ⅲ)代入x 216＋y 2＝1得(16k 2＋1)x 2＋32kx ＝0，则异于零的解为x ＝－32k 16k 2＋1．8分设F (x 1，k 1x 1＋1)，E (x 2，k 2x 2＋1)，则x 1＝－32k 116k 21＋1，x 2＝－32k 216k 22＋1， 9分则直线FE 的斜率为k EF ＝k 2x 2－k 1x 1x 2－x 1＝k 1＋k 21－16k 1k 2＝34，于是直线FE 的方程为y ＋32k 2116k 21＋1－1＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32k 116k 21＋1.即y ＝34x －73，则圆心(2,0)到直线FE 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪32－731＋916＝23，故结论成立． 12分 [方法指津]1．直线(圆)与圆的位置关系的解题思路(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半径的比较实现，两个圆的位置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差与和的比较．(2)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式，过圆外一点求解切线段长可转化为圆心到圆外点的距离，利用勾股定理计算． 2．弦长的求解方法(1)根据平面几何知识构建直角三角形，把弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表示，l ＝2r 2－d 2(其中l 为弦长，r 为圆的半径，d 为圆心到直线的距离)．(2)根据公式：l ＝1＋k 2|x 1－x 2|求解(其中l 为弦长，x 1，x 2为直线与圆相交所得交点的横坐标，k 为直线的斜率)．(3)求出交点坐标，用两点间距离公式求解．[变式训练2] (1)(2016·哈尔滨一模)设直线l ：y ＝kx ＋1被圆C ：x 2＋y 2－2x －3＝0截得的弦最短，则直线l 的方程为________．y ＝x ＋1 [直线l 恒过定点M (0,1)，圆C 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝4，易知点M (0,1)在圆C 的内部，依题意当l ⊥CM 时直线l 被圆C 截得的弦最短，于是k ·1－00－1＝－1，解得k ＝1，所以直线l 的方程为y ＝x ＋1.](2)已知点M (－1,0)，N (1,0)，曲线E 上任意一点到点M 的距离均是到点N 的距离的3倍．①求曲线E 的方程；②已知m ≠0，设直线l 1：x －my －1＝0交曲线E 于A ，C 两点，直线l 2：mx ＋y －m ＝0交曲线E 于B ，D 两点．当CD 的斜率为－1时，求直线CD 的方程． [解] ①设曲线E 上任意一点坐标为(x ，y )， 由题意，x ＋2＋y 2＝3x －2＋y 2，2分整理得x 2＋y 2－4x ＋1＝0， 即(x －2)2＋y 2＝3为所求．4分②由题知l 1⊥l 2，且两条直线均恒过点N (1,0)，设曲线E 的圆心为E ，则E (2,0)，线段CD 的中点为P ，则直线EP ：y ＝x －2，设直线CD ：y ＝－x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －2，y ＝－x ＋t ，解得点P ⎝⎛⎭⎪⎫t ＋22，t －22.7分由圆的几何性质，|NP |＝12|CD |＝|ED |2－|EP |2，而|NP |2＝⎝⎛⎭⎪⎫t ＋22－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t －222，|ED |2＝3，|EP |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|2－t |22，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋22－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t －222＝3－⎝ ⎛⎭⎪⎫|2－t |22，解得t ＝0，或t ＝3，11分所以直线CD 的方程为y ＝－x 或y ＝－x ＋3．12分。
