勾股定理(2)

勾股定理经典例题含答案(2)(word版可编辑修改)

1 勾股定理经典例题含答案(2)(word版可编辑修改)

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勾股定理经典例题含答案(2)(word版可编辑修改)

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勾股定理经典例题含答案11页

勾股定理是一个基本的初等几何定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a²+b²=c²，若a、b、c都是正整数，（a，b,c)叫做勾股数组。

勾股定理现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一.勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一,用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一,也是数形结合的纽带之一。“勾三，股四，弦五”是勾股定理的一个最著名的例子。

远在公元前约三千年的古巴比伦人就知道和应用勾股定理，还知道许多勾股数组。古埃及人也应用过勾股定理。在中国，西周的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例.在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯，他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。

类型一：勾股定理的直接用法

1、在Rt△ABC中，∠C=90°

（1）已知a=6， c=10，求b， (2)已知a=40，b=9，求c； (3）已知c=25，b=15，求a.

思路点拨： 写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。

苏科版八年级数学教学案

第 1 页 共 2 页 2.1勾股定理（2）--- [ 教案]

班级 姓名 学号

学习目标：

1、通过拼图,用面积的方法说明勾股定理的正确性.

2、通过实例应用勾股定理,培养学生的知识应用技能.

重 难点：1. 用面积的方法说明勾股定理的正确.2. 勾股定理的应用.

学习过程：

一、学前准备：1、阅读课本第46页到第47页，完成下列问题:

(1)我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的称为股，斜边称为弦。图（1）称为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作法时给出的。图（2）是在北京召开的2002年国际数学家大会（TCM－2002）的会标，其图案正是“弦图”，它标志着中国古代的数学成就. 你能用不同方法表示大正方形的面积吗?

2、剪四个完全相同的直角三角形，然后将它们拼成如图所示的图形。大正方形的面积可以表示为_______,又可以表示为____________.对比两种表示方法，看看能不能得到勾股定理的结论。用上面得到的完全相同的四个直角三角形，还可以拼成如下图所示的图形，与上面的方法类似，也能说明勾股定理是正确的方法（请逐一说明）。

归纳其共有的证明思路：利用图形的割补，借助前后的面积相等形成关于三边的数量关系。

二、合作探究：

（一）思索、交流：

拼图填空：剪裁出若干个大小、形状完全相同的直角三角形，三边长分别记为a、b、c，如图①.（1）拼图一：分别用4张直角三角形纸片，拼成如图②③的形状，观察图②③可发现，图②中两个小正方形的面积之和__________ （填“大于”、“小于”或“等于”）图③中小正方形的面积，用关系式表示为________ .（2）拼图二：用4张直角三角形纸片拼成如图④的形状，观察图形可以发现，图中共有__________个正方形，它们的面积之间的关系是________ ，用关系式表示为_____ .（3）拼图三：用8个直角三角形纸片拼成如图⑤的形状，图中3个正方形的面acbccbabababaccba 苏科版八年级数学教学案

17.1 勾股定理

太和县倪邱中学王殿卿

第课时

1.了解勾股定理的文化背景,了解利用拼图验证勾股定理的方法.

2.能说出勾股定理,并能应用其进行简单的计算.

1.在勾股定理的探索过程中,经历观察——猜想——归纳——验证的数学发现过程.

2.发展合情推理的能力,体会数形结合思想、由特殊到一般的数学思想、分类讨论思想.

通过对勾股定理历史的了解和实例应用,体会勾股定理的文化价值;通过获得成功的经验和克服困难的经历,增强学习数学的信心,激发学生的民族自豪感和爱国情怀.

【重点】 探索和验证勾股定理,并能应用其进行简单的计算.

【难点】 用拼图的方法验证勾股定理.

【教师准备】 教学中出示的教学插图和例题.

【学生准备】 三角板、方格纸、三角形模型.

导入一:

国际数学家大会是最高水平的全球性数学学科学术会议,被誉为数学界的“奥运会”.2002年在北京召开了第24届国际数学家大会.此图案就是大会会徽的图案.

大会的会徽图案有什么特殊含义呢?这个图案与数学中的勾股定理有着密切的关系.中国古代人把直角三角形中较短的直角边叫做“勾”,较长的直角边叫做“股”,斜边叫做“弦”.上述图案就揭示了“勾”“股”“弦”之间的特殊关系. 我们学习过等腰三角形,知道等腰三角形是两边相等的特殊的三角形,它有许多特殊的性质.研究特例是数学研究的一个方法,直角三角形是有一个角为直角的特殊三角形,等腰直角三角形又是特殊的直角三角形,直角三角形的三边之间存在怎样的关系呢?我们的探究活动就从等腰直角三角形开始吧.

[设计意图] 勾股定理揭示的是特殊三角形的三边关系,从探索等腰直角三角形三边关系入手,揭示直角三角形的三边关系,体现了由特殊到一般的数学研究方法.

导入二:

请同学们认真观察课本封面和本章章前彩图,说一说封面和章前彩图中的图形表示什么意思?它们之间有联系吗?

封面是我国公元3世纪汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的“弦图”,章前彩图是2002年世界数学家大会的会徽,大会的会徽使用的主体图案就是“赵爽弦图”.

1 17.1 勾股定理

第2课时 勾股定理的应用

课前预习

1.应用勾股定理的前提条件是在 直角 三角形中.如果三角形不是直角三角形，要先 构建直角三角形 ，再利用勾股定理求未知边的长.

2.利用勾股定理可以解决与直角三角形有关的计算和证明，其主要应用如下：

（1）已知直角三角形的任意两边求第三边；

（2）已知直角三角形的任意一边，确定另外两边的关系；

（3）证明包含平方关系的几何问题；

（4）构造方程（或方程组）计算有关线段的长.

3.一般地，在数轴上表示无理数n（n为正整数），通常是利用 勾股定理

作图.

课堂练习

知识点1 勾股定理的实际应用

1.如图，AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE=___2___.

2.【核心素养·数学抽象】如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要___7___米.

3.（教材改编）如图，滑竿在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑竿AB长2.5米，顶点A在AC上滑动，量得滑竿下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，滑竿顶端A下滑___0.5___米.

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【解析】在Rt△ACB中，根据勾股定理，得AC=22ABCB=222.51.5=2.在Rt△ECD中，根据勾股定理，得CE=22EDCD=222.52=1.5.∴AE=AC -

CE=2-1.5=0.5.即滑竿顶端A下滑0.5米.故答案为0.5.

4.如图，小旭放风筝时，风筝线断了， 风筝挂在了树上.他想知道风筝距地面的高度﹒于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出1米，然后把风筝线沿直线向后拉开5米，发现风筝线未端刚好接触地面.请你帮小旭求出风筝距离地面的高度AB.

解：根据题意，得AC=AB+1，BC=5米.

在Rt△ABC中，BC2+AB2=（1+AB）2.