高考数学大一轮复习(夯基保分卷+提能增分卷)基本不等式课时训练 理(含14年最新题及解析)苏教版(1)

课时跟踪检测(四) 函数及其表示第Ⅰ组：全员必做题1．已知集合A ＝[0,8]，集合B ＝[0,4]，则下列对应关系中，不能看作从A 到B 的映射的是________．(填写序号)①f ：x→y＝18x ②f ：x→y＝14x ③f ：x→y＝12x ④f ：x→y＝x2．(2014·南昌模拟测试)函数f(x)＝2x ＋12x2－x －1的定义域是________． 3．(2014·温州高三第一次适应性测试)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ x3，0≤x<5f x －5，x≥5，那么f(2 013)＝________.4．(2014·连云港期末)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2，x ∈[0，1]，x ，x ∉[0，1]，则使f[f(x)]＝2成立的实数x的集合为________．5．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ c x ，x<A ，c A ，x≥A (A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是________．6．设函数f(x)满足f(x)＝1＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12log2x ，则f(2)＝________. 7．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2＋2ax ，x≥2，2x ＋1，x ＜2，若f(f(1))>3a2，则a 的取值范围是________． 8．有以下判断：(1)f(x)＝|x|x 与g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x≥0－1，x<0表示同一个函数．(2)f(x)＝x2－2x ＋1与g(t)＝t2－2t ＋1是同一函数．(3)若f(x)＝|x －1|－|x|，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0. 其中正确判断的序号是________．9．设函数f(x)＝⎩⎨⎧ x ，x≥0，－x ，x<0，若f(a)＋f(－1)＝2，则a ＝________.10．二次函数f(x)满足f(x ＋1)－f(x)＝2x ，且f(0)＝1.则f(x)＝________. 第Ⅱ组：重点选做题1.创新题具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数： ①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，0<x<1，0，x ＝1，－1x ，x>1.其中满足“倒负”变换的函数是________(填序号)．2．若函数f(x)＝x2－1x2＋1，则 (1)f 2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________. (2)f(3)＋f(4)＋…＋f(2 012)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 012＝________. 3．(2013·苏北四市一检)定义在R 上的函数f(x)满足f(m ＋n2)＝f(m)＋2[f(n)]2，m ，n ∈R ，且f(1)≠0，则f(2 014)＝________.4．规定[t]为不超过t 的最大整数，例如[12.6]＝12，[－3.5]＝－4，对任意实数x ，令f1(x)＝[4x]，g(x)＝4x －[4x]，进一步令f2(x)＝f1[g(x)]．(1)若x ＝716，分别求f1(x)和f2(x)； (2)若f1(x)＝1，f2(x)＝3同时满足，求x 的取值范围．答 案第Ⅰ组：全员必做题1．解析：按照对应关系f ：x→y＝x ，对①中某些元素(如x ＝8)，②中不存在元素与之对应． 答案：④2．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋1≥0，2x2－x －1≠0，解得x>－12且x≠1. 答案：{x|x>－12且x≠1} 3．解析：根据题意，当x≥5时，f(x)＝f(x －5)，∴f(2 013)＝f(3)，而当0≤x<5时，f(x)＝x3，∴f(3)＝33＝27.答案：274．解析：当x ∈[0,1]时，f(f(x))＝f(2)＝2成立；当x ∉[0,1]时，f(f(x))＝f(x)＝x ，要使f(f(x))＝2成立，只需x ＝2，综上所述，实数x 的集合为{x|0≤x≤1或x ＝2}． 答案：[0,1]∪{2}5．解析：因为组装第A 件产品用时15分钟， 所以c A ＝15， ① 所以必有4<A ，且c 4＝c 2＝30. ② 联立①②解得c ＝60，A ＝16.答案：60,166．解析：由已知得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·log22，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，则f(x)＝1＋12·log2x，故f(2)＝1＋12·log22＝32. 答案：327．解析：由题知，f(1)＝2＋1＝3，f(f(1))＝f(3)＝32＋6a ，若f(f(1))>3a2，则9＋6a>3a2，即a2－2a －3<0，解得－1<a<3.答案：(－1,3)8．解析：对于(1)，函数f(x)＝|x|x 的定义域为{x|x ∈R 且x≠0}，而函数g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x≥0，－1x<0的定义域是R ，所以二者不是同一函数；对于(2)，f(x)与g(t)的定义域、值域和对应关系均相同，所以f(x)与g(t)表示同一函数；对于(3)，由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＝0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f(0)＝1. 综上可知，正确的判断是(2)．答案：(2)9．解析：若a≥0，则a ＋1＝2，解得a ＝1；若a<0，则－a ＋1＝2，解得a ＝－1.故a ＝±1.答案：±110．解析：设二次函数f(x)＝ax2＋bx ＋c(a≠0)．∵f(0)＝1，∴c ＝1.把f(x)的表达式代入f(x ＋1)－f(x)＝2x ，有a(x ＋1)2＋b(x ＋1)＋1－(ax2＋bx ＋1)＝2x.∴2ax ＋a ＋b ＝2x.∴a ＝1，b ＝－1.∴f(x)＝x2－x ＋1.答案：x2－x ＋1第Ⅱ组：重点选做题1．解析：对于①，f(x)＝x －1x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x－x ＝－f(x)，满足； 对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x＋x ＝f(x)，不满足； 对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x>1，0，x ＝1，－x ，0<x<1， 故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f(x)，满足． 综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.答案：①③2．解析：(1)∵f(x)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x2－1x2＋1＋1－x21＋x2＝0， ∴f x f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－1(x≠±1)， ∴f 2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－1. (2)又f(3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝0， f(4)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝0，… f(2 012)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 012＝0， ∴f(3)＋f(4)＋…＋f(2 012)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 012＝0. 答案：(1)－1 (2)03．解析：令m ＝n ＝0，得f(0＋02)＝f(0)＋2[f(0)]2，所以f(0)＝0；令m ＝0，n ＝1， 得f(0＋12)＝f(0)＋2[f(1)]2，由于f(1)≠0，所以f(1)＝12；令m ＝x ，n ＝1，得f(x ＋12)＝f(x)＋2[f(1)]2， 所以f(x ＋1)＝f(x)＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122，即f(x ＋1)＝f(x)＋12， 这说明数列{f(x)}(x ∈Z)是首项为12，公差为12的等差数列，所以f(2 014)＝12＋(2 014－1)×12＝1 007. 答案：1 0074．解：(1)∵x ＝716时，4x ＝74， ∴f1(x)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤74＝1. ∵g(x)＝74－⎣⎢⎡⎦⎥⎤74＝34. ∴f2(x)＝f1[g(x)]＝f1⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝[3]＝3. (2)∵f1(x)＝[4x]＝1，g(x)＝4x －1，∴f2(x)＝f1(4x －1)＝[16x －4]＝3.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1≤4x<2，3≤16x－4<4，∴716≤x<12. 故x 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫716，12.。

课时跟踪检测(三十) 等差数列及其前n 项和(分Ⅰ、Ⅱ卷，共2页) 第Ⅰ卷：夯基保分卷1．(2014·泰州模拟)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 9＋a 27＝12，则a 13＝________. 2．已知等差数列{a n }满足a 2＝3，S n －S n －3＝51(n >3)，S n ＝100，则n 的值为________． 3．(2014·镇江月考)已知等差数列{a n }中，a 4＋a 6＝10，前5项和S 5＝5，则其公差为________．4．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 10>0并且S 11＝0，若S n ≤S k 对n ∈N *恒成立，则正整数k 构成的集合为________．5．(2013·南通二模)设等差数列{a n }的公差为正数，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13＝________.6．(2013·常州质检)设s ，t 为正整数，两条直线l 1：t 2s x ＋y －t ＝0与l 2：t2s x －y ＝0的交点是(x 1，y 1)，对于正整数n (n ≥2)，过点(0，t )和(x n －1,0)的直线与直线l 2的交点记为(x n ，y n )，则x n －y n ＝________(用s ，t ，n 表示)．7．(2013·南京二模)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 7＝13，则S 6S 7＝________.8．(2013·无锡期末)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－7n ，且满足16<a k ＋a k ＋1<22，则正整数k ＝________.9．(2013·苏锡常镇、连云港、徐州六市调研(二))已知等差数列{a n }的公差d 不为0，且a 3＝a 27，a 2＝a 4＋a 6.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，求满足S n －2a n －20>0的所有正整数n 的集合．10．(2014·南京学情调研)已知数列{a n }的首项a 1＝a ，S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足S 2n ＝3n 2a n ＋S 2n －1，a n ≠0，n ≥2，n ∈N *.(1)若数列{a n }是等差数列，求a 的值；(2)确定a 的取值集合M ，使a ∈M 时，数列{a n }是递增数列．第Ⅱ卷：提能增分卷1．(2013·苏锡常镇、连云港、徐州六市调研(二))设S n ，T n 分别是等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，已知S n T n ＝2n ＋14n －2，n ∈N *，则a 10b 3＋b 18＋a 11b 6＋b 15＝________.2．(2014·盐城二模)在等差数列{a n }中，a 2＝5，a 6＝21，记数列{1a n}的前n 项和为S n ，若S 2n ＋1－S n ≤m15对n ∈N *恒成立，则正整数m 的最小值为________．3．(2014·南通一模)已知数列{a n }中，a 2＝1，前n 项和为S n ，且S n ＝n a n －a 12.(1)求a 1；(2)求证：数列{a n }为等差数列，并写出其通项公式； (3)设lg b n ＝a n ＋13n，试问是否存在正整数p ，q (其中1<p <q )，使b 1，b p ，b q 成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(p ，q )；若不存在，请说明理由．4．(2013·南京、淮安二模)已知数列{a n }的各项都为正数，且对任意n ∈N *，a 2n ＋1＝a n a n＋2＋k (k 为常数)．(1)若k ＝(a 2－a 1)2，求证：a 1，a 2，a 3成等差数列； (2)若k ＝0，且a 2，a 4，a 5成等差数列，求a 2a 1的值；(3)已知a 1＝a ，a 2＝b (a ，b 为常数)，是否存在常数λ，使得a n ＋a n ＋2＝λa n ＋1对任意n∈N *都成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．答 案第Ⅰ卷：夯基保分卷1．解析：等差数列{a n }中，由a 3＋a 9＋a 27＝12得3a 13＝12，所以a 13＝4. 答案：42．解析：由S n －S n －3＝51得，a n －2＋a n －1＋a n ＝51，所以a n －1＝17， 又a 2＝3，S n ＝n a 2＋a n －12＝100，解得n ＝10. 答案：103．解析：由a 4＋a 6＝10，得2a 5＝10， 所以a 5＝5.由S 5＝5a 3＝5，得a 3＝1， 所以d ＝a 5－a 32＝5－12＝2.答案：24．解析：在等差数列{a n }中， 由S 10>0，S 11＝0得，S 10＝a 1＋a 102>0⇒a 1＋a 10>0⇒a 5＋a 6>0， S 11＝a 1＋a 112＝0⇒a 1＋a 11＝2a 6＝0，故可知等差数列{a n }是递减数列且a 6＝0， 所以S 5＝S 6≥S n ，其中n ∈N *， 所以k ＝5或6. 答案：{5,6}5．解析：由条件可知，a 2＝5，从而a 1＋a 3＝10，a 1a 3＝16，得a 1＝2，a 3＝8，公差为3，所以a 11＋a 12＋a 13＝2×3＋(10＋11＋12)×3＝105.答案：1056．解析：法一：点(x n ，y n )满足⎩⎪⎨⎪⎧tx ＋x n －1y ＝tx n －1，t2sx －y ＝0，得到x n ＝2sx n －12s ＋x n －1，y n ＝tx n －12s ＋x n －1，所以x n －y n ＝s －t x n －12s ＋x n －1.点(x 1，y 1)满足⎩⎪⎨⎪⎧t 2s x ＋y －t ＝0，t2s x －y ＝0，解得x 1＝s ，y 1＝t 2，所以x 2＝23s ，y 2＝t 3；x 3＝12s ，y 3＝14t ；x 4＝25s ，y 4＝15t ，…猜想：x n ＝2s n ＋1，y n ＝t n ＋1. 所以x n －y n ＝2s n ＋1－t n ＋1＝2s －tn ＋1. 法二：由法一知x 1＝s ，y 1＝t2，x n ＝2sx n －12s ＋x n －1，y n ＝tx n －12s ＋x n －1由2sx n ＋x n x n －1＝2sx n －1可化为 2sx n－2sx n －1＝1，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫2s x n 是以2sx 1＝2为首项，1为公差的等差数列．所以2s x n ＝2＋(n －1)，得x n ＝2s n ＋1，将其代入y n 得y n ＝t n ＋1，故x n －y n ＝2s －t n ＋1.答案：2s －t n ＋17．解析：由S 3＝3a 2，S 7＝7a 4，S 3S 7＝13得9a 2＝7a 4＝7(a 2＋2d )，即a 2＝7d ，所以a 3＝8d ，a 4＝9d ，从而S 6＝3(a 3＋a 4)＝51d ，S 7＝7a 4＝63d ，故结果为1721.答案：17218．解析：由a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1S n －S n －1，n ≥2，可得a n ＝2n －8,16<a k ＋a k ＋1<22，即16<(2k －8)＋(2k －6)<22，所以7.5<k <9，又k ∈N *，所以k ＝8.答案：89．解：(1)由a 3＝a 27 得a 1＋2d ＝(a 1＋6d )2.① 由a 2＝a 4＋a 6得a 1＋d ＝2a 1＋8d ， 即a 1＝－7d .② 将②代入①得－5d ＝d 2.所以d ＝－5或d ＝0(不符合题意．舍去)． 则a 1＝35.所以a n ＝35＋(n －1)(－5)＝－5n ＋40.(2)S n ＝－5n ＋n 2＝n－5n2. 不等式S n －2a n －20>0， 即n－5n2－2(－5n ＋40)－20>0， 整理得n 2－19n ＋40<0. 所以19－2012<n <19＋2012.因为n ∈N *，则19－142≤n ≤19＋142，即52≤n ≤332. 所以所求n 的集合为{3,4，…，16}．10．解：(1)在S 2n ＝3n 2a n ＋S 2n －1中分别令n ＝2，n ＝3及a 1＝a 得(a ＋a 2)2＝12a 2＋a 2，(a ＋a 2＋a 3)2＝27a 3＋(a ＋a 2)2.因为a n ≠0，所以a 2＝12－2a ，a 3＝3＋2a . 因为数列{a n }是等差数列， 所以a 1＋a 3＝2a 2，即2(12－2a )＝a ＋3＋2a ，解得a ＝3. 经检验a ＝3时，a n ＝3n ，S n ＝3n n ＋2，S n －1＝3nn －2满足S 2n ＝3n 2a n ＋S 2n －1.所以a ＝3.(2)由S 2n ＝3n 2a n ＋S 2n －1 得S 2n －S 2n －1＝3n 2a n ，即(S n ＋S n －1)(S n －S n －1)＝3n 2a n ， 故(S n ＋S n －1)a n ＝3n 2a n . 因为a n ≠0，所以S n ＋S n －1＝3n 2(n ≥2)， ① 所以S n ＋1＋S n ＝3(n ＋1)2.② ②－①得a n ＋1＋a n ＝6n ＋3(n ≥2)． ③ 所以a n ＋2＋a n ＋1＝6n ＋9.④④－③得a n ＋2－a n ＝6(n ≥2)，即数列a 2，a 4，a 6，…及数列a 3，a 5，a 7，…都是公差为6的等差数列． 因为a 2＝12－2a ，a 3＝3＋2a ，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ， n ＝13n ＋2a －6，n 为奇数且n ≥3，3n －2a ＋6，n 为偶数，要使数列{a n }是递增数列，须有a 1<a 2，且当n 为大于或等于3的奇数时，a n <a n ＋1，且当n 为偶数时，a n <a n ＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧a <12－2a ，3n ＋2a －n ＋－2a ＋6n 为大于或等于3的奇数，3n －2a ＋n ＋＋2a －6n 为偶数，解得94<a <154.所以集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |94<a <154，当a ∈M 时，数列{a n }是递增数列．第Ⅱ卷：提能增分卷1．解析：因为{a n }，{b n }是等差数列，故b 3＋b 18＝b 6＋b 15，所以a 10b 3＋b 18＋a 11b 6＋b 15＝a 10＋a 11b 3＋b 18＝a 1＋a 20b 1＋b 20＝S 20T 20＝2×20＋14×20－2＝4178. 答案：41782．解析：由条件得公差d ＝21－54＝4，从而a 1＝1，所以a n ＝4n －3，数列{1a n}的前n 项和为S n ＝1＋15＋…＋14n －3.原不等式可化为14n ＋1＋14n ＋5＋…＋18n ＋1≤m15，记f (n )＝14n ＋1＋14n ＋5＋…＋18n ＋1.因为f (n ＋1)－f (n )＝18n ＋9－14n ＋1<0，故f (n )为单调递减数列，从而f (n )max ＝f (1)＝15＋19＝1445.由条件得m 15≥1445，解得m ≥143，故正整数m 的最小值为5.答案：53．解：(1)令n ＝1，则a 1＝S 1＝a 1－a 12＝0.(2)证明：由S n ＝n a n －a 12，即S n ＝na n2， ①得S n ＋1＝n ＋a n ＋12.② ②－①得(n －1)a n ＋1＝na n ，③于是na n ＋2＝(n ＋1)a n ＋1. ④④－③得na n ＋2＋na n ＝2na n ＋1， 即a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1，又a 1＝0，a 2＝1，a 2－a 1＝1，所以数列{a n }是以0为首项，1为公差的等差数列． 所以a n ＝n －1.(3)假设存在正整数数组(p ，q )使b 1，b p ，b q 成等比数列，则lg b 1，lg b p ，lg b q 成等差数列，于是2p 3p ＝13＋q 3q .所以q ＝3q (2p 3p －13)．(*) 易知(p ，q )＝(2,3)为方程(*)的一组解． 当p ≥3，且p ∈N *时，p ＋3p ＋1－2p 3p ＝2－4p3p ＋1<0，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2p 3p (p ≥3)为递减数列， 于是2p 3p －13≤2×333－13<0，所以此时方程(*)无正整数解．综上，存在唯一正整数数组(p ，q )＝(2,3)，使b 1，b p ，b q 成等比数列． 4．解：(1)证明：当k ＝(a 2－a 1)2时，在a 2n ＋1＝a n a n ＋2＋k 中， 令n ＝1，得a 22＝a 1a 3＋(a 2－a 1)2， 即a 1a 3－2a 1a 2＋a 21＝0.因为a 1>0，所以a 3－2a 2＋a 1＝0， 即a 2－a 1＝a 3－a 2. 故a 1，a 2，a 3成等差数列． (2)当k ＝0时，a 2n ＋1＝a n a n ＋2，n ∈N *. 因为数列{a n }的各项都为正数， 所以数列{a n }是等比数列． 设公比为q (q >0)．因为a 2，a 4，a 5成等差数列，所以a 2＋a 5＝2a 4， 即a 1q ＋a 1q 4＝2a 1q 3.因为a 1>0，q >0，所以q 3－2q 2＋1＝0. 解得q ＝1或q ＝1＋52(负根舍去)．所以a 2a 1＝q ＝1或a 2a 1＝q ＝1＋52.(3)存在常数λ＝a 2＋b 2－kab，使a n ＋a n ＋2＝λa n ＋1. 证明如下：因为a 2n ＋1＝a n a n ＋2＋k ，所以a 2n ＝a n －1a n ＋1＋k ，n ≥2，n ∈N *. 所以a 2n ＋1－a 2n ＝a n a n ＋2－a n －1a n ＋1， 即a n a n ＋2＋a 2n ＝a 2n ＋1＋a n －1a n ＋1.(*) 由于a n >0，(*)式两边同除以a n a n ＋1 得a n ＋a n ＋2a n ＋1＝a n －1＋a n ＋1a n. 所以a n ＋a n ＋2a n ＋1＝a n －1＋a n ＋1a n ＝…＝a 1＋a 3a 2， 即当n ∈N *，都有a n ＋a n ＋2＝a 1＋a 3a 2a n ＋1. 因为a 1＝a ，a 2＝b ，a 2n ＋1＝a n a n ＋2＋k ，所以a 3＝b 2－ka.所以a 1＋a 3a 2＝a ＋b 2－k a b ＝a 2＋b 2－kab.所以对任意n ∈N *，都有a n ＋a n ＋2＝λa n ＋1，此时λ＝a 2＋b 2－k ab.。

课时跟踪检测(二十八) 数系的扩充与复数的引入第Ⅰ组：全员必做题1．(2010·江苏高考)设复数z 满足z (2－3i)＝6＋4i(i 为虚数单位)，则z 的模为________．2．(2014·盐城摸底)若复数z ＝(m 2－1)＋(m ＋1)i(i 为虚数单位)是纯虚数，则实数m 的值为________．3．(2013·苏北三市调研)已知i 是虚数单位，实数a ，b 满足(3＋4i)(a ＋b i)＝10i ，则3a －4b ＝________.4．若实数a 满足2＋a i1－i＝2i ，其中i 是虚数单位，则a ＝________.5．(2013·南京、淮安二模)若复数z ＝1－m i2＋i (i 是虚数单位)是纯虚数，则实数m 的值是________．6．(2014·常州质检)已知复数z ＝－1＋i(i 为虚数单位)，则z ·zz －z＝________.7．若3＋b i 1－i＝a ＋b i(a ，b 为实数，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝________.8．已知复数z ＝1－i ，则z 2－2zz －1＝________.9．(2013·南通二模)已知复数z 1＝m ＋2i ，z 2＝3－4i ，若z 1z 2为实数，则实数m 的值为________．10．已知复数z 的实部为－1，虚部为2，则2－iz(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在的象限为第________象限．11．(2013·湖北黄冈中学)已知i 是虚数单位，若z 1＝a ＋i ，z 2＝a －i ，z 1z 2为纯虚数，则实数a ＝________.12．已知z 是复数，z ＋2i ，z2－i 均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．第Ⅱ组：重点选做题1．定义：若z 2＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则称复数z 是复数a ＋b i 的平方根．根据定义，则复数－3＋4i 的平方根是________．2．已知复数z ＝x ＋y i ，且|z －2|＝3，则yx的最大值为________．3．(2014·陕西师大附中模拟)已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，z ＝x ＋y i(i为虚数单位)，则|z －1＋2i|的最小值是________．4．已知复数(x －2)＋y i(x ，y ∈R )的模为3，则yx的最大值是________． 答 案第Ⅰ组：全员必做题1．解析：法一：由z (2－3i)＝6＋4i 得z ＝6＋4i 2－3i ＝6＋4i2＋3i 2－3i 2＋3i ＝26i13＝2i ，所以|z |＝2.法二：由z (2－3i)＝6＋4i 得 |z ||2－3i|＝|6＋4i|，所以|z |·13＝52，所以|z |＝2. 答案：22．解析：由z 为纯虚数知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－1＝0，m ＋1≠0，所以m ＝1. 答案：13．解析：由(3＋4i)(a ＋b i)＝10i 得3a －4b ＋(4a ＋3b )i ＝10i ，所以3a －4b ＝0. 答案：04．解析：因为2＋a i1－i ＝2i ，所以2＋a i ＝(1－i)·2i＝2＋2i ， 故a ＝2. 答案：25．解析：z ＝1－m i2＋i＝1－m i 2－i 2＋i2－i ＝2－m －1＋2m i 5＝2－m 5－1＋2m5i.又z 是纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－m ＝0，1＋2m ≠0，即m ＝2. 答案：26．解析：因为z ·z ＝(－1＋i)(－1－i)＝2，z －z ＝－1＋i －(－1－i)＝2i ，所以z ·zz －z＝22i ＝1i＝－i. 答案－i7．解析：由3＋b i1－i＝3＋b i 1＋i 1－i1＋i ＝3－b ＋3＋b i2＝a ＋b i ，得a ＝3－b 2，b ＝3＋b2，解得b ＝3，a ＝0，所以a ＋b ＝3. 答案：38．解析：z 2－2z z －1＝z －12－1z －1＝z －1－1z －1＝(－i)－1－i ＝－i －i－i·i＝－2i.答案：－2i9．解析：因为z 1z 2为实数，所以z 1z 2为实数，即(m ＋2i)(3＋4i)＝(3m －8)＋(4m ＋6)i 为实数，从而由4m ＋6＝0得m ＝－32.答案：－3210．解析：依题意得2－i z ＝2－i －1＋2i ＝2－i－1－2i －1＋2i－1－2i ＝－4－3i5，因此该复数在复平面内对应的点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，－35，位于第三象限．答案：三11．解析：z 1z 2＝a 2－1＋2a i a 2＋1为纯虚数，则a ≠0，a 2－1＝0，a ＝±1. 答案：±112．解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )， 则z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ， 由题意得y ＝－2.∵z2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i. 由题意得x ＝4， ∴z ＝4－2i.∴(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i. 由于(z ＋a i)2在复平面上对应的点在第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0，8a －2>0，解得2<a <6.∴实数a 的取值范围是(2,6)． 第Ⅱ组：重点选做题1．解析：设(x ＋y i)2＝－3＋4i ，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝－3，xy ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2.答案：1＋2i 或－1－2i 2．解析：∵|z －2|＝x －22＋y 2＝3，∴(x －2)2＋y 2＝3. 由图可知⎝ ⎛⎭⎪⎫y x max ＝31＝ 3. 答案： 33．解析：∵|z －1＋2i|＝x －12＋y ＋22，所以|z －1＋2i|的最小值即点(1，－2)到不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3所表示的平面区域的距离的最小值，即为(1，－2)到x＋y ＝0的距离，易得最小值为22. 答案：224．解析：由题意知x －22＋y 2＝3，即(x －2)2＋y 2＝3，所以对应的圆心为(2,0)，半径为r ＝ 3.设k ＝yx，则y ＝kx .当直线与圆相切时，圆心到直线y ＝kx 的距离为|2k |1＋k2＝3，解得k ＝±3，可知y x的最大值是 3. 答案： 3。

课时跟踪检测(二十六) 平面向量的基本定理及坐标表示 第Ⅰ组：全员必做题1．(2013·辽宁高考改编)已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB ―→同方向的单位向量为________．2．已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD u u u r ＝2DB u u u r ，CD u u u r ＝r AB u u u r ＋s AC u u u r ，则r ＋s 的值是________．3．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8，12x ，b ＝(x,1)，其中x >0，若(a －2b )∥(2a ＋b )，则x 的值为________．4.创新题若α，β是一组基底，向量γ＝x α＋y β(x ，y ∈R )，则称(x ，y )为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a 在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a 在另一组基底m ＝(－1,1)，n ＝(1,2)下的坐标为________．5．如图，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC ，BD 的交点，N 是线段OD 的中点，AN 的延长线与CD 交于点E ，则下列说法错误的是________．(填写序号)①AC u u u r ＝AB u u u r ＋AD u u u r②BD u u u r ＝AD u u u r －AB u u u r③AO u u u r ＝12AB u u u r ＋12AD u u u r ④AE u u u r ＝53AB u u u r ＋AD u u u r 6．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP u u u r ＝2PC u u u r ，点Q 是AC 的中点，若PA u u u r ＝(4,3)，PQu u u r ＝(1,5)，则BC u u u r ＝________.7．P ＝{a |a ＝(－1,1)＋m (1,2)，m ∈R }，Q ＝{b |b ＝(1，－2)＋n (2,3)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q 等于________．8．已知向量OA u u u r ＝(1，－3)，OB u u u r ＝(2，－1)，OC u u u r ＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________．9．已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．求：(1)|a ＋3b |；(2)当k 为何实数时，k a －b 与a ＋3b 平行，平行时它们是同向还是反向？10．已知点O 为坐标原点，A (0,2)，B (4,6)，OM u u u u r ＝t 1OA u u u r ＋t 2AB u u u r .(1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点都共线．第Ⅱ组：重点选做题1.(2013·南通二模)如图，正六边形ABCDEF 中，P 是△CDE 内(包括边界)的动点．设AP u u u r ＝αAB u u u r ＋βAF u u u r (α，β∈R )，则α＋β的取值范围是________．2．(2014·苏锡常镇一模)如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为以A 为圆心、AB 为半径的圆弧上的任意一点，设向量AC u u u r ＝λDE u u u r ＋μAP u u u r ，则λ＋μ的最小值为________．答 案第Ⅰ组：全员必做题1．解析：AB u u u r ＝(3，－4)，则与其同方向的单位向量e ＝AB uu u r|AB u u u r |＝15(3，－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－452．解析：∵CD u u u r ＝2DB u u u r ，∴CD u u u r ＝23CB u u u r ＝23(AB u u u r －AC u u u r)，∴CD u u u r ＝23AB uu u r －23AC ，又CD u u u r ＝r AB u u u r ＋s AC u u u r ，∴r ＝23，s ＝－23，∴r ＋s ＝0.答案：03．解析：a －2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8－2x ，12x －2，2a ＋b ＝(16＋x ，x ＋1)，由已知(a －2b )∥(2a ＋b )，显然2a ＋b ≠0，故有⎝ ⎛⎭⎪⎫8－2x ，12x －2＝λ(16＋x ，x ＋1)，λ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 8－2x ＝λ16＋x ，12x －2＝λx ＋1⇒x ＝4(x >0)．答案：4 4．解析：∵a 在基底p ，q 下的坐标为(－2,2)，即a ＝－2p ＋2q ＝(2,4)，令a ＝x m ＋y n ＝(－x ＋y ，x ＋2y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋y ＝2，x ＋2y ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝2.∴a 在基底m ，n 下的坐标为(0,2)．答案：(0,2)5．解析：由向量减法的三角形法则知，DB u u u r ＝AD u u u r －AB u u u r ，排除②；由向量加法的平行四边形法则知，AC u u u r ＝AB u u u r ＋AD u u u r ，AO u u u r ＝12AC u u u r ＝12AB u u u r ＋12AD u u u r ，排除①、③. 答案：④6．解析：AQ u u u r ＝PQ u u u r －PA u u u r ＝(－3,2)，∴AC u u u r ＝2AQ u u u r ＝(－6,4)．PC u u u r ＝PA u u u r ＋AC u u u r ＝(－2,7)，∴BC u u u r ＝3PC u u u r ＝(－6,21)．答案：(－6,21)7．解析：P 中，a ＝(－1＋m,1＋2m )，Q 中，b ＝(1＋2n ，－2＋3n )．则⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋m ＝1＋2n ，1＋2m ＝－2＋3n .得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－12，n ＝－7.此时a ＝b ＝(－13，－23)．答案：{}－13，－238．解析：若点A ，B ，C 能构成三角形，则向量AB u u u r ，AC u u u r 不共线．∵AB u u u r ＝OB u u u r －OA u u u r ＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，AC u u u r ＝OC u u u r －OA u u u r ＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)，∴1×(k ＋1)－2k ≠0，解得k ≠1.答案：k ≠19．解：(1)因为a ＝(1,0)，b ＝(2,1)，所以a ＋3b ＝(7,3)，故|a ＋3b |＝72＋32＝58. (2)k a －b ＝(k －2，－1)，a ＋3b ＝(7,3)，因为k a －b 与a ＋3b 平行，所以3(k －2)＋7＝0，即k ＝－13. 此时k a －b ＝(k －2，－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－1， a ＋3b ＝(7,3)，则a ＋3b ＝－3(k a －b )，即此时向量a ＋3b 与k a －b 方向相反．10．解：(1) OM u u u u r ＝t 1OA u u u r ＋t 2AB u u u r ＝t 1(0,2)＋t 2(4,4)＝(4t 2,2t 1＋4t 2)．当点M 在第二或第三象限时，有⎩⎪⎨⎪⎧ 4t 2<0，2t 1＋4t 2≠0，故所求的充要条件为t 2<0且t 1＋2t 2≠0.(2)证明：当t 1＝1时，由(1)知OM u u u u r ＝(4t 2,4t 2＋2)．∵AB u u u r ＝OB u u u r －OA u u u r ＝(4,4)，AM u u u u r ＝OM u u u u r －OA u u u r ＝(4t 2,4t 2)＝t 2(4,4)＝t 2AB u u u r ，∴A ，B ，M 三点共线．第Ⅱ组：重点选做题1．解析：法一：分别延长DC ，AB 交于点G ，则 CG ∥AF ，且CG ＝AF ，从而AC u u u r ＝AG u u u r ＋GC u u u r ＝2AB u u u r ＋AF u u u r ，同理可得AE u u u r ＝AB u u u r ＋2AF u u u r ，AD u u u r ＝2AB u u u r ＋2AF u u u r ，因为点P 在△CDE 内部(包括边界)，所以α＋β∈[3,4]．法二：建立如图所示的直角坐标系，不妨设正六边形ABCDEF 的边长为2，则点A (0,0)，B (2,0)，C (3，3)，D (2,23)，E (0,23)，F (－1，3)，从而点P 位于区域⎩⎨⎧ x ＋3y ≥6，3x ＋y ≤43，y ≤23，中．又AP u u u r ＝αAB u u u r ＋βAF u u u r ＝(2α－β，3β)，代入可行域得⎩⎪⎨⎪⎧ α＋β≥3，α≤2，β≤2，于是α＋β∈[3,4]．答案：[3,4] 2.解析：以A 为原点，如图建立直角坐标系，不妨设正方形ABCD 的边长为1，则AC u u u r ＝(1,1)，DE u u u r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1.设AP u u u r ＝(cos α， sin α)，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.由AC u u u r ＝λDE u u u r ＋μAP u u u r 得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝λ2＋μcos α，1＝－λ＋μsin α，所以 μ＝32cos α＋sin α，故λ＋μ＝μsin α－1＋μ＝3·1＋sin α2cos α＋sin α－1. 设f (α)＝1＋sin α2cos α＋sin α，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2， 则f ′(α)＝2＋2sin α－cos α2cos α＋sin α2. 因为f ′(α)＞0恒成立，故f (α)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调增． 所以当α＝0时，f (α)min ＝f (0)＝12， 所以(λ＋μ)min ＝12. 答案：12。