八年级全等三角形 知识点归纳及典型习题

三角形综合讲义

全等综合

随堂练习

1.1如图，将两个全等的直角三角形ABD、ACE拼在一起（图1），ABD不动，

（1）若将ACE绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图2），证明：

MB=MC．（2）若将图1的CE向上平移，CAE不变，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图3），判

断并直接写出MB、MC的数量关系．（3）在（2）中，若CAE的大小改变（图4），其他条件不变，则（2）中的MB、MC的数量关系还成立吗？说明理由．【答案】见解析．

【解析】证明：（1）如图2，连接AM，由已知得ABDACE≌，ADAE，ABAC，

BADCAEMDME，MADMAEMADBADMAECAE

即BAMCAM，在ABM和ACM中，ABACBAMCAM

AMAMABMACMSAS≌

MBMC．

（2）MB=MC．理由如下：如图3，延长DB、AE相交于E，延长EC交AD于F，BDBE，

CECFM是ED的中点，B是DE的中点，//MBAEMBCCAE，同理//MCAD，BCMBADBADCAEMBCBCMMBMC．

（3）MB=MC还成立．如图4，延长BM交CE于F，//CEBD，

MDBMEF，MBDMFEM是ED的中点MDME

在MDB和MEF中，MDBMEF

MBDMFE

MDMEMDBMEFAAS≌MBMF

90ACE90BCFMBMC．

1.2如图，在ABC中，90ACB，ACBC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且ACFCBE，CG平分ACB交BD于点G，（1）求证：CF=BG；

（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作//CPAG交BE的延长线于点P，求证：PBCPCF；

（3）在（2）问的条件下，当2GACFCH时，若33AEGS，BG=6，求AC的长．

【答案】见解析；

【解析】解：（1）如图1，90ACB，ACBC45ACG平分ACB

45ACGBCG，ABCG在BCG和CAF中，ABCG

一、选择题

1．如图，在ABC中，8ABAC厘米，6BC厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上，由C点向A点运动，为了使BPDCPQ△≌△，点Q的运动速度应为（ ）

A．1厘米/秒 B．2厘米/秒 C．3厘米/秒 D．4厘米/秒D

解析：D

【分析】

根据三角形全等的性质与路程、速度、时间的关系式求解．

【详解】

解：设△BPD≌△CPQ 时运动时间为t，点Q的运动速度为v，则由题意得：

BPCPBDCQ，

即3634ttvt，

解之得：14tv，

∴点Q的运动速度为4厘米/秒，

故选D ．

【点睛】

本题考查三角形全等的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定与性质、路程、速度、时间的关系式及方程的思想方法是解题关键．

2．如图，在ABC中，ABAC，点D，E在BC上，连接AD，AE，若只添加一个条件使DABEAC，则添加的条件不能为（ ）

A．BDCE B．ADAE C．BECD D．DADED

解析：D 【分析】

根据全等三角形的判定与性质，等边对等角的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．

【详解】

解：A、添加BD＝CE，可以利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等，再根据全等三角形对应角相等得到∠DAB＝∠EAC，故本选项不符合题意；

B、添加AD＝AE，根据等边对等角可得∠ADE＝∠AED，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠DAB＝∠EAC，故本选项不符合题意；

C、添加BE＝CD可以利用“边角边”证明△ABE和△ACD全等，再根据全等三角形对应角相等得到∠BAE=∠CAD，可得∠DAB＝∠EAC，故本选项不符合题意；

D、添加DA＝DE无法求出∠DAB＝∠EAC，故本选项符合题意．

故选：D．

【点睛】

本题考查了等腰三角形等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．

初二数学第十一章全等三角形综合复习

牢记：“有三个角对应相等”和“有两边及此中一边的对角对应相等”的两个三角形不必定全等。 例 1. 如图，

A, F , E, B 四点共线，

AC

CE ， BD

DF

， AE

BF ，

AC

BD 。求证：

ACF BDE 。

例 2. 如图，在 ABC 中， BE 是∠ ABC 的均分线， AD BE ，垂足为 D 。求证：

2 1 C 。

例

3.

如图，在

ABC 中， AB

BC ，

ABC

90o 。F

为 AB 延伸线上一点， 点

E 在 BC 上， BE BF

，连结 AE, EF 和 CF 。求证： AE CF

。

例 4. 如图， AB // CD ， AD // BC ，求证： AB CD 。

例 5. 如图， AP, CP 分别是 ABC 外角 MAC 和 NCA 的均分线，它们交于点 P 。求证：

BP 为 MBN 的均分线。

例 6. 如图， D 是 ABC 的边 BC 上的点，且 CD AB ， ADB BAD ， AE 是 ABD 的

中线。求证： AC 2AE 。

例 7. 如 图 ， 在 ABC 中 ， AB AC ， 1 2 ， P 为 AD 上 任 意 一 点 。 求 证 ：

AB AC PB PC 。

同步练习

一、选择题：

1. 能使两个直角三角形全等的条件是 ()

A. 两直角边对应相等 B. 一锐角对应相等

C. 两锐角对应相等 D. 斜边相等

数学全全等三角形截长补短知识点-+典型题含答案

一、全等三角形截长补短

1．数学课上，小白遇到这样一个问题：

如图1，在等腰RtABC中，90BAC，ABAC，ADAE，求证ABEACD；

在此问题的基础上，老师补充：

过点A作AFBE⊥于点G交BC于点F，过F作FPCD交BE于点P，交CD于点H，试探究线段BP，FP，AF之间的数量关系，并说明理由．

小白通过研究发现，AFB与HFC有某种数量关系；

小明通过研究发现，将三条线段中的两条放到同一条直线上，即“截长补短”，再通过进一步推理，可以得出结论．

阅读上面材料，请回答下面问题：

（1）求证ABEACD；

（2）猜想AFB与HFC的数量关系，并证明；

（3）探究线段BP，FP，AF之间的数量关系，并证明．

2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，点D是△ABC内一点，DB＝DC，∠DCB＝30°，点E是BD延长线上一点，AE＝AB．

（1）求∠ADB的度数；

（2）线段DE，AD，DC之间有什么数量关系？请说明理由．

3．已知在四边形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，∠BAD＋∠BCD＝180°，AB＝BC

（1）如图1，连接BD，若∠BAD＝90°，AD＝7，求DC的长度．

（2）如图2，点P、Q分别在线段AD、DC上，满足PQ＝AP＋CQ，求证：∠PBQ＝∠ABP＋∠QBC

（3）若点Q在DC的延长线上，点P在DA的延长线上，如图3所示，仍然满足PQ＝AP＋CQ，请写出∠PBQ与∠ADC的数量关系，并给出证明过程．

4．（1）问题背景：如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC，CD上的点且∠EAF＝60°，探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．

小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，先证明