无约束优化的超记忆梯度算法

第四章
第四章
无约束优化问题标准形式：
无约束优化问题标准形式：
§
§
§
§
§
§
图最速下降法的收敛过程
αα
2
2
例4－1 求目标函数
取初始点
[2,2]
=
x
例4－2 求目标函数解取初始点[2,2]
=x
算出一维搜索最佳步长
§
例4－3 用梯度法求下面无约束优化问题：
例4－3 用梯度法求下面无约束优化问题：
例4－3 用梯度法求下面无约束优化问题：
例4－3 用梯度法求下面无约束优化问题：
例4－3 用梯度法求下面无约束优化问题：
梯度法的特点
x
给定0,ε
一般迭代式：
§4.3
§4.3
§4.3
§4.3
α0
d 0
x
x 1
x*
1
α1d 1
1()
f −∇x d 1
4-4 共轭方向法
假设目标函数f (x ) 在极值点附近的二次近似函数为
沿某个下降方向
如果能够选定这样的搜索方向，那么对于二
α
0d0
x0x1x*
1
α
1
d1
1
()
f
−∇x d
1。

梯度法求解无约束优化问题梯度法是一种常用的无约束优化算法，用于求解目标函数的最小值。

该方法基于目标函数在当前点的梯度方向进行迭代，直到达到最小值或满足停止条件。

下面将从算法原理、步骤、优缺点等方面介绍梯度法求解无约束优化问题。

一、算法原理梯度法是一种基于一阶导数信息的优化算法，其基本思想是在当前点沿着目标函数的梯度方向进行迭代，以期望能够找到函数的最小值。

在梯度法中，每次迭代的步长和方向都是由目标函数在当前点的梯度方向决定的。

二、步骤1. 初始化：选择一个初始点$x_0$，设置迭代次数$k=0$。

2. 计算梯度：计算目标函数在当前点$x_k$的梯度$\nabla f(x_k)$。

3. 更新变量：根据梯度方向和步长更新变量$x_{k+1}=x_k-\alpha_k\nabla f(x_k)$，其中$\alpha_k$是步长，可以通过线性搜索或其他方法确定。

4. 判断停止条件：如果满足停止条件，算法结束；否则，令$k=k+1$，返回步骤2。

三、优缺点1. 优点：梯度法是一种简单、易于实现的优化算法，适用于大部分的连续可导函数。

2. 缺点：梯度法存在局部最优解的问题，容易陷入局部最优解而无法找到全局最优解。

此外，如果步长选择不当，可能会导致算法收敛速度慢或不收敛。

四、应用梯度法广泛应用于机器学习、深度学习、信号处理、图像处理等领域。

例如，在机器学习中，梯度法常用于求解线性回归、逻辑回归、神经网络等模型的参数。

总之，梯度法是一种常用的无约束优化算法，其基本思想是在当前点沿着目标函数的梯度方向进行迭代，以期望能够找到函数的最小值。

该算法简单易用，但存在局部最优解和步长选择不当等问题，需要根据具体问题进行调整和优化。

《最优化方法》课程设计题目：BFGS算法分析与实现院系：数学与计算科学学院专业：统计学姓名学号：左想 **********指导教师：***日期： 2014 年 01 月 22 日摘要在求解无约束最优化问题的众多算法中,拟牛顿法是颇受欢迎的一类算法。

尤其是用于求解中小规模问题时该类算法具有较好的数值效果。

BFGS 算法被认为是数值效果最好的拟牛顿法，其收敛理论的研究也取得了很好的成果. 在一定的条件下，BFGS 算法具有全局收敛性和超线性收敛速度。

然而，对于大规模最优化问题来求解，包括 BFGS 算法在内拟牛顿法具有明显的缺陷。

有许多的例子表明，一旦处理问题很大时，一些对小规模问题非常成功的算法变得毫无吸引力。

究其原因，主要是由于在中小型问题一些不太重要的因素在求解大规模问题时，变得代价很高。

随着速度更快及更复杂的计算机的出现，增强了我们的计算处理能力。

同时也为我们设计算法带来了新的课题。

并行计算机的发展为求解大规模最优化问题提供了一条新途径。

关键词：BFGS 拟牛顿法；无约束最优化问题；大规模问题AbstractQuasi-Newton methods are welcome numerical methods for solving optimization problems. They are particularly effective when applied to solve small or middle size problems. BFGS method is regarded as the most effective quasi-Newton method due toits good numerical perfor mance. It also possesses very good global and superlinear con vergen ceproperties. On the other hand, however, when applied to solve larg escaleproblems, quasi-Newton methods including BFGS method don ot perform well. Themajor drawback for a quasi-Newton method, when used to solve large scaleoptimization problem, is that the matrix gener ated by the method does not retain thesparsity of the Hessian matrix of the objective function. There are examples showing that many success methods for solving small-sized optimization become unattractive once the problem to be tackled is large. An important reason for thisfeature is that some process that is important for small problems may become veryexpensive for large scale problems.The fast development of computer has enhanced our ability to solve large scaleproblems. In particular, the parallel computer provides us a new way to solve largescale problems efficiently. In recent years, there has been growing interest in the studyin parallel methods. It has been found that many good methods that are efficient forsolving small and middle size problems can be parallized.Key Words: BFGS quasi-Newton method; unconstrained optimization problem, large scale problem目录1、引言 ........................................................................................ 错误!未定义书签。