2017年高考仿真冲刺卷(二)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知R 是实数集，M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2x ＜1，N ＝{y |y ＝x －1}，则N ∩∁R M ＝( ) A ．(1,2) B ．[0,2] C ．∅D ．[1,2]B [∵M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2x＜1＝{x |x ＜0或x ＞2}，N ＝{y |y ＝x －1}＝{y |y ≥0}， 故有N ∩∁R M ＝{y |y ≥0}∩{x |0≤x ≤2}＝[0，＋∞)∩[0,2]＝[0,2]，故选B ．] 2．已知a ＋2ii ＝b －i(a ，b ∈R)，其中i 为虚数单位，则a ＋b ＝( )A ．－1B ．1C ．2D ．3D [因为a ＋2ii ＝2－a i ＝b －i(a ，b ∈R)，所以a ＝1，b ＝2，a ＋b ＝3，故选D.]3．已知a ＞1，f (x )＝ax 2＋2x ，则f (x )＜1成立的一个充分不必要条件是( ) 【导学号：85952094】A ．0＜x ＜1B ．－1＜x ＜0C ．－2＜x ＜0D ．－2＜x ＜1B [f (x )＜1成立的充要条件是ax 2＋2x ＜1. ∵a ＞1，∴x 2＋2x ＜0，∴－2＜x ＜0，∴f (x )＜1成立的一个充分不必要条件是－1＜x ＜0，故选B.]4．O 为平面上的定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三点，若(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 是( )A ．以AB 为底边的等腰三角形 B ．以BC 为底边的等腰三角形 C ．以AB 为斜边的直角三角形D ．以BC 为斜边的直角三角形B [设BC 的中点为D ，∵(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，∴CB →·(2OD →－2OA →)＝0，∴CB →·2AD →＝0，∴CB →⊥AD →，故△ABC 的BC 边上的中线也是高线.故△ABC 是以BC 为底边的等腰三角形，故选 B ．]5．一个四棱锥的三视图如图1所示，其中正视图是腰长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的体积是( )图1A.12 B ．1 C.32D ．2A [由三视图知几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个直角梯形，上底是1，下底是2，梯形的高是1＋1＝2， 四棱锥的高是1×22＝22，所以四棱锥的体积是13×＋22×22＝12，故选A.] 6．已知函数f (x )＝1x －ln x －1，则y ＝f (x )的图象大致为( )A [令g (x )＝x －ln x －1，则g ′(x )＝1－1x ＝x －1x，由g ′(x )＞0，得x ＞1，即函数g (x )在(1，＋∞)上单调递增， 由g ′(x )＜0得0＜x ＜1，即函数g (x )在(0,1)上单调递减， 所以当x ＝1时，函数g (x )有最小值，g (x )min ＝g (1)＝0. 于是对任意的x ∈(0,1)∪(1，＋∞)，有g (x )≥0，故排除B 、D ，因函数g (x )在(0,1)上单调递减，则函数f (x )在(0,1)上递增，故排除C ，故选A.]7．已知函数y ＝3sin ωx (ω＞0)的周期是π，将函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫ωx －π2(ω＞0)的图象沿x 轴向右平移π8个单位，得到函数y ＝f (x )的图象，则函数f (x )＝( )A ．3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π8B ．3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 C ．3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π8 D ．3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 B [∵函数y ＝3sin ωx (ω＞0)的周期是2πω＝π，∴ω＝2.将函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫ωx －π2(ω＞0)的图象沿x 轴向右平移π8个单位， 得到函数y ＝f (x )＝3cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8－π2＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4－π2＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象， 故选B.]8．正项等比数列{a n }中，存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，且a 6＝a 5＋2a 4，则1m ＋4n 的最小值是( )【导学号：85952095】A.32 B ．2 C.73D.256A [在等比数列中，∵a 6＝a 5＋2a 4，∴a 4q 2＝a 4q ＋2a 4， 即q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)． ∵a m a n ＝4a 1，∴a 21·2m ＋n －2＝4a 1，即2m＋n －2＝16＝24，∴m ＋n －2＝4，即m ＋n ＝6，∴m 6＋n6＝1，∴1m ＋4n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋4n ⎝⎛⎭⎫m 6＋n 6＝16＋46＋4m 6n ＋n 6m ≥56＋24m 6n ·n 6m ＝56＋2×26＝96＝32， 当且仅当4m 6n ＝n6m ，即n ＝2m 时取等号，故选A.]9．设x ，y 满足约束条件{ x －2y ≥－2，x －2y ≤3，x ＋y ≥1，若x 2＋4y 2≥m 恒成立，则实数m 的最大值为( )A.12 B ．34C.45D.56C [设a ＝x ，b ＝2y ，则不等式x 2＋4y 2≥m 等价为a 2＋b 2≥m ，则约束条件等价为{ a －b ≥－2，a －b ≤3，a ＋b ≥2.作出不等式组对应的平面区域如图：设z ＝a 2＋b 2，则z 的几何意义是阴影区域内的点到原点的距离， 由图象知，O 到直线2a ＋b ＝2的距离最小， 此时原点到直线的距离d ＝|2|22＋1＝25，则z ＝d 2＝45， 故选C.]10．函数f (x )＝{ 2x－x，f x ＋x ＜，若方程f (x )＝－x ＋a 有且只有两个不等的实数根，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，0)B ．[0,1)C ．(－∞，1)D ．[0，＋∞)C [函数f (x )＝{ 2x－x，f x ＋x ＜的图象如图所示，作出直线l ：y＝a －x ，向左平移直线l 观察可得函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝－x ＋a 的图象有两个交点，即方程f (x )＝－x ＋a 有且只有两个不相等的实数根，即有a ＜1，故选C.]11．已知函数f (x )(x ∈R)是偶函数，且f (2＋x )＝f (2－x )，当x ∈[0,2]时，f (x )＝1－x ，则方程f (x )＝11－|x |在区间[－10,10]上的解的个数是( )【导学号：85952096】A ．8B ．9C ．10D ．11B [函数f (x )是R 上的偶函数，可得f (－x )＝f (x )． 又f (2－x )＝f (2＋x )，可得f (4－x )＝f (x )，故可得f (－x )＝f (4－x )，即f (x )＝f (x ＋4)，即函数的周期是4.又x ∈[0,2]时，f (x )＝1－x ，要研究方程f (x )＝11－|x |在区间[－10,10]上解的个数，可将问题转化为y ＝f (x )与y ＝11－|x |在区间[－10,10]上有几个交点．如图：由图知，有9个交点，故选B.]12．设f (x )的定义域为D ，若f (x )满足下面两个条件，则称f (x )为闭函数．①f (x )在D 内是单调函数；②存在[a ，b ]⊆D ，使f (x )在[a ，b ]上的值域为[a ，b ]．如果f (x )＝2x ＋1＋k 为闭函数，那么k 的取值范围是( )A ．－1＜k ≤－12B ．12≤k ＜1C ．k ＞－1D ．k ＜1A [法一：∵f (x )＝2x ＋1＋k 为⎣⎡⎭⎫－12，＋∞上的增函数，又f (x )在[a ，b ]上的值域为[a ，b ]，∴{ f a ＝a ，f b ＝b ，即f (x )＝x 在⎣⎡⎭⎫－12，＋∞上有两个不等实根，即2x ＋1＝x －k 在⎣⎡⎭⎫－12，＋∞上有两个不等实根． ∴问题可化为y ＝2x ＋1和y ＝x －k 在⎣⎡⎭⎫－12，＋∞上有两个不同交点． 对于临界直线m ，应有－k ≥12，即k ≤－12.对于临界直线n ，y ′＝(2x ＋1)′＝12x ＋1. 令12x ＋1＝1，得切点P 的横坐标为0， ∴P (0，－k )．∴n ：y ＝x ＋1，令x ＝0，得y ＝1，∴－k ＜1，即k ＞－1. 综上，－1＜k ≤－12.法二：∵f (x )＝2x ＋1＋k 为⎣⎡⎭⎫－12，＋∞上的增函数，又f (x )在[a ，b ]上的值域为[a ，b ]， ∴{ f a ＝a ，f b ＝b ，即f (x )＝x 在⎣⎡⎭⎫－12，＋∞上有两个不等实根，即2x ＋1＝x －k 在⎣⎡⎭⎫－12，＋∞上有两个不等实根． 化简方程2x ＋1＝x －k ，得x 2－(2k ＋2)x ＋k 2－1＝0.令g (x )＝x 2－(2k ＋2)x ＋k 2－1，则由根的分布可得⎩⎨⎧g ⎝⎛⎭⎫－12≥0，k ＋1＞－12，Δ＞0，即⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫k ＋122≥0，k ＞－32，k ＞－1，解得k ＞－1.又2x ＋1＝x －k ，∴x ≥k ， ∴k ≤－12.综上，－1＜k ≤－12，故选A.]第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．若数列x ，a 1，a 2，y 成等差数列，x ，b 1，b 2，y 成等比数列，则a 1＋a 22b 1b 2的取值范围是________．[4，＋∞)∪(－∞，0] [在等差数列中，a 1＋a 2＝x ＋y .在等比数列中，xy ＝b 1b 2. ∴a 1＋a 22b 1b 2＝x ＋y 2xy＝x 2＋2xy ＋y 2xy ＝x y ＋y x＋2.当xy ＞0时，x y ＋yx ≥2，故a 1＋a 22b 1b 2≥4；当xy ＜0时，x y ＋yx ≤－2，故a 1＋a 22b 1b 2≤0.]14．观察下列等式：23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19,53＝21＋23＋25＋27＋29，…，若类似上面各式方法将m 3分拆得到的等式右边最后一个数是109，则正整数m 等于________．10 [由题意可得第n 行的左边是m 3，右边是m 个连续奇数的和． 设第n 行的最后一个数为a n ，则有a 2－a 1＝11－5＝6＝2×(1＋2)＝1×2＋4， a 3－a 2＝19－11＝8＝2×(2＋2)＝2×2＋4， a 4－a 3＝29－19＝10＝2×(3＋2)＝3×2＋4， …a n －a n －1＝2(n －1＋2)＝(n －1)×2＋4，以上(n －1)个式子相加可得a n －a 1＝n 2＋3n －4， 故a n ＝n 2＋3n ＋1， 即n 2＋3n ＋1＝109， 解得n ＝9.∴m ＝n ＋1＝9＋1＝10.]15．已知两条直线l 1：y ＝m 和l 2：y ＝82m ＋1(m ＞0)，直线l 1与函数y ＝|log 2x |的图象从左至右相交于点A ，B ，直线l 2与函数y ＝|log 2x |的图象从左至右相交于C ，D .记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为a 和b .当m 变化时，ba的最小值为________．【导学号：85952097】82 [设A ，B ，C ，D 各点的横坐标分别为x A ，x B ，x C ，x D ， 则－log 2x A ＝m ，log 2x B ＝m ，－log 2x C ＝82m ＋1，log 2x D ＝82m ＋1，∴x A ＝2－m ，x B ＝2m ，x C ＝2－82m ＋1，x D ＝282m ＋1， ∴a ＝|x A －x C |，b ＝|x B －x D |，∴b a ＝2m －282m ＋12－m －2－82m ＋1＝2m ·282m ＋1＝2m ＋82m ＋1. 又m ＞0，∴m ＋82m ＋1＝12(2m ＋1)＋82m ＋1－12≥212×8－12＝72， 当且仅当12(2m ＋1)＝82m ＋1，即m ＝32时取“＝”号，∴b a ≥272＝8 2.]16．如图2放置的边长为1的正方形P ABC 沿x 轴滚动，点B 恰好经过原点．设顶点P (x ，y )的轨迹方程是y ＝f (x )，则对函数y ＝f (x )有下列判断：①函数y ＝f (x )是偶函数；②对任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (x －2)； ③函数y ＝f (x )在区间[2,3]上单调递减； ④ ⎠⎛02f(x)d x ＝π＋12.其中判断正确的序号是________. (填序号)图2①②④ [当－2≤x ≤－1，P 的轨迹是以A 为圆心，半径为1的14圆，当－1≤x ≤1时，P 的轨迹是以B 为圆心，半径为2的14圆，当1≤x ≤2时，P 的轨迹是以C 为圆心，半径为1的14圆，当3≤x ≤4时，P 的轨迹是以A 为圆心，半径为1的14圆，∴函数的周期是4. 因此最终构成图象如下：①根据图象的对称性可知函数y ＝f (x )是偶函数，∴①正确． ②由图象分析可知函数的周期是4，∴②正确． ③函数y ＝f (x )在区间[2,3]上单调递增，∴③错误．④根据积分的几何意义可知⎠⎛02f(x)d x ＝18×π×(2)2＋12×1×1＋14π×12＝π2＋12，∴④正确．]三、解答题(共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)如图3，△ABC 中，已知点D 在BC 边上，满足AD →·AC →＝0.sin ∠BAC ＝223，AB ＝32，BD ＝ 3.(1)求AD 的长； (2)求cos C.图3[解] (1)∵AD →·AC →＝0，∴AD ⊥AC ， ∴sin ∠BAC ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋∠BAD ＝cos ∠BAD.2分 ∵sin ∠BAC ＝223，∴cos ∠BAD ＝223.在△ABD 中，由余弦定理可知BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB·AD cos ∠BAD ，4分 即AD 2－8AD ＋15＝0， 解得AD ＝5或AD ＝3 .6分 由于AB ＞AD ，∴AD ＝3.(2)在△ABD 中，由正弦定理可知BD sin ∠BAD ＝ABsin ∠ADB .又由cos ∠BAD ＝223，可知sin ∠BAD ＝13，8分∴sin ∠ADB ＝AB sin ∠BAD BD ＝63.10分∵∠ADB ＝∠DAC ＋∠C ，∠DAC ＝π2，∴cos C ＝63.12分 18．(本小题满分12分)为丰富中学生的课余生活，增进中学生之间的交往与学习，某市甲乙两所中学举办一次中学生围棋擂台赛．比赛规则如下，双方各出3名队员并预先排定好出场顺序，双方的第一号选手首先对垒，双方的胜者留下进行下一局比赛，负者被淘汰出局，由第二号选手挑战上一局获胜的选手，依此类推，直到一方的队员全部被淘汰，另一方算获胜．假若双方队员的实力旗鼓相当(即取胜对手的概率彼此相等)．(1)在已知乙队先胜一局的情况下，求甲队获胜的概率；(2)记双方结束比赛的局数为ξ，求ξ的分布列并求其数学期望E(ξ)．[解] (1)在已知乙队先胜一局的情况下，相当于乙校还有3名选手，而甲校还剩2名选手，甲校要想取胜，需要连胜3场，或者比赛4场要胜3场，且最后一场获胜，所以甲校获胜的概率是⎝⎛⎭⎫123＋C 23⎝⎛⎭⎫124＝516.4分(2)记双方结束比赛的局数为ξ，则ξ＝3,4,5. P(ξ＝3)＝C 12⎝⎛⎭⎫123＝14， P(ξ＝4)＝C 12C 23⎝⎛⎭⎫124＝38， P(ξ＝5)＝C 12C 24⎝⎛⎭⎫125＝38.8分 所以ξ的分布列为10分数学期望E(ξ)＝3×14＋4×38＋5×38＝338.12分图419．(本小题满分12分)如图4，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，B 1B ＝B 1A ＝AB ＝BC ，∠B 1BC ＝90°，D 为AC 的中点，AB ⊥B 1D.(1)求证：平面ABB 1A 1⊥平面ABC ；(2)求直线B 1D 与平面ACC 1A 1所成角的正弦值； (3)求二面角B-B 1D-C 的余弦值.【导学号：85952098】[解] (1)证明：取AB 中点为O ，连接OD ，OB 1. 因为B 1B ＝B 1A ，所以OB 1⊥AB. 又AB ⊥B 1D ，OB 1∩B 1D ＝B 1， 所以AB ⊥平面B 1OD ，因为OD ⊂平面B 1OD ，所以AB ⊥OD. 由已知，BC ⊥BB 1，又OD ∥BC ， 所以OD ⊥BB 1，因为A B∩BB 1＝B ， 所以OD ⊥平面ABB 1A 1.又OD ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面ABB 1A 1. 4分(2)由(1)知，OB ，OD ，OB 1两两垂直．以O 为坐标原点，OB →的方向为x 轴的方向，|OB →|为单位长度1，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.由题设知B 1(0,0，3)，D(0,1,0)，A(－1,0,0)，C(1,2,0)，C 1(0,2，3).6分 则B 1D →＝(0,1，－3)，AC →＝(2,2,0)，CC 1→＝(－1,0，3)． 设平面ACC 1A 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则 n ·AC →＝0，n ·CC 1→＝0，即x ＋y ＝0，－x ＋3z ＝0， 可取n ＝(3，－3，1)，设直线B 1D 与平面ACC 1A 1所成角为θ， 故sin θ＝217.8分 (3)由题设知B (1,0,0)，可取平面BB 1D 的法向量n 1＝(3，3，1)， 平面B 1DC 的法向量n 2＝(－3，3，1)，10分 故cos 〈n 1，n 2〉＝17，所以二面角B -B 1D -C 的余弦值为17.12分20.(本小题满分12分)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为A ，过A 与AF 2垂直的直线交x 轴负半轴于Q 点，且2F 1F 2→＋F 2Q →＝0.(1)求椭圆C 的离心率；(2)若过A ，Q ，F 2三点的圆恰好与直线x －3y －3＝0相切，求椭圆C 的方程； (3)在(2)的条件下，过右焦点F 2的直线交椭圆于M ，N 两点，点P (4,0)，求△PMN 面积的最大值．[解] (1)设Q (x 0,0)．∵F 2(c,0)，A (0，b )，∴F 2A →＝(－c ，b )，AQ →＝(x 0，－b )． ∵F 2A →⊥AQ →，∴－cx 0－b 2＝0，故x 0＝－b 2c.2分又∵2F 1F 2→＋F 2Q →＝0，∴F 1为F 2Q 的中点，故－2c ＝－b 2c ＋c ，即b 2＝3c 2＝a 2－c 2，∴e＝c a ＝12.4分 (2)∵e ＝c a ＝12，∴a ＝2c ，b ＝3c ，则F 2(c,0)，Q (－3c,0)，A (0, 3c )，∴△AQF 2的外接圆圆心(－c,0)，半径r ＝12|F 2Q |＝a ＝2c ，6分∴|－c －3|2＝2c ，解得c ＝1，∴a ＝2，b ＝3，椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.8分(3)设直线MN ：x ＝my ＋1，代入x 24＋y 23＝1，得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，∴y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4，|y 1－y 2|＝y 1＋y 22－4y 1y 2＝433m 2＋33m 2＋4，∴S △PMN ＝12|PF 2|·|y 1－y 2|＝633m 2＋33m 2＋4，10分令3m 2＋3＝λ≥3，∴S △PMN ＝63λλ2＋1＝63λ＋1λ ≤633＋13＝92， ∴△PMN 面积的最大值为92，此时m ＝0.12分21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax ＋a －1x －2a ＋1(a ＞0)．(1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )≥ln x 在[1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围； (3)证明：∑nk ＝2ln k －1k ＋1＞2－n －n 22n n ＋.[解] (1)f (x )的定义域为{x |x ≠0}，f ′(x )＝a －a －1x 2＝ax 2＋1－ax 2(a ＞0)，当0＜a ≤1时，f ′(x )＞0恒成立，此时f (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函数； 当a ≥1时，令f ′(x )＝0，得x 1＝－a －1a，x 2＝a －1a，2分 列表如下：间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －1a ，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －1a .4分 (2)g (x )＝ax ＋a －1x －2a ＋1－ln x ，x ∈[1，＋∞)，则g (1)＝0，g ′(x )＝a －a －1x 2－1x ＝ax 2－x －a －x 2＝a x －⎝⎛⎭⎫x －1－a a x 2，6分(i)当0＜a ＜12时，1－a a＞1，若1＜x ＜1－aa ，则g ′(x )＜0，g (x )是减函数，∴g (x )＜g (1)＝0，即f (x )＞ln x . 故f (x )≥ln x 在[1，＋∞)上不恒成立； (ii)当a ≥12时，1－a a≤1，若x ＞1，则g ′(x )＞0，g (x )是增函数， ∴g (x )＞g (1)＝0，即f (x )＞ln x . 故当x ≥1时，f (x )≥ln x .综上所述，所求a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，＋∞.8分 (3)证明：在(2)中，令a ＝12，可得不等式：ln x ≤12⎝⎛⎭⎫x －1x (x ≥1)(当且仅当x ＝1时等号成立)，进而可得当ln x 2＜x －1x(x ＞1)(*)，∑nk ＝2 ln k －1k ＋1＞2－n －n 22n n ＋⇔ln 2n n ＋＞2－n －n 22n n ＋，10分 令x ＝n n ＋2＞1(n ＞2)，代入不等式(*)得：ln n n ＋2＜n n ＋2－2nn ＋＝nn ＋2nn ＋－22n n ＋＝n 2＋n －22nn ＋，则所证不等式成立. 12分请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，M 是C 1上的动点，P 点满足OP →＝2OM →，P 点的轨迹为曲线C 2.(1)求C 2的参数方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |.【导学号：85952099】[解] (1)设P (x ，y )，则由条件知M ⎝⎛⎭⎫x 2，y 2.由于M 点在C 1上，所以⎩⎨⎧x2＝2cos α，y2＝2＋2sin α，3分即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.4分 从而C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α(α为参数).5分 (2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ.7分 射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3，射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3.8分所以|AB |＝|ρ2－ρ1|＝2 3.10分23．(本小题满分10分)(2016·贵阳高三联考)已知a ，b ，c ∈R ，且a 2＋b 2＋c 2＝1. (1)求证：|a ＋b ＋c |≤3；(2)若不等式|x －1|＋|x ＋1|≥(a ＋b ＋c )2对一切实数a ，b ，c 恒成立，求x 的取值范围．[解] (1)证明：因为a ，b ，c ∈R. 且a 2＋b 2＋c 2＝1. 所以(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≤a 2＋b 2＋c 2＋2⎝⎛⎭⎫a 2＋b 22＋b 2＋c 22＋c 2＋a 22＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a 2＋b 2＋c 2)＝3.3分所以(a ＋b ＋c )2≤3，即|a ＋b ＋c |≤3，当且仅当a ＝b ＝c ＝33时取等号.5分 (2)由(1)可知(a ＋b ＋c )2≤3，所以不等式对一切实数a ，b ，c 恒成立，等价于不等式 |x －1|＋|x ＋1|≥3，从而解得x ≥32或x ≤－32.9分所以x 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞.10分。
