B最优工作安排问题
摘要：
最优工作安排在当今这个劳动力不再廉价的社会至关重要。本文主要研究最优工作安排问题，可视为运筹学中的指派问题。对于指派问题，分别通过建立0-1整体线性规划模型，多目标线性规划模型以及二次0-1整数线性规划模型加以解决。考虑到一个人可在不同的时间做不同的工作，因此我们引入“0-1变量”
x表示是
ij
否指派第i个人去完成第j项工作。对于多目标问题，为解决不同目标之间产生的矛盾，将多目标问题转化为单目标问题，例如：在第三问中，采用极大极小法。通过翻译题目要求来建立目标函数和约束条件，并利用Lingo软件编写程序，对问题求解。最后对所得到的最优解进行检验，以提高答案的科学性与可靠性。
关键字：0-1模型最优解多目标线性规划 Lingo
一、背景分析
1.1 问题重述
现有五件工作甲、乙、丙、丁、戊要交给A、B、C、D、E、F和G七个人来完成。完成这个工作所需要花费的时间如表1所示，且这七个人均表示可参加该项目。【注意：为了工作的连贯性，不允许两人或两人以上做同一种工作。一个人在同一时间只能做一种工作。】
表1. 七人五件工作用时表（单位：天）
甲乙丙丁戊
A 2 15 13 1 8
B 10 4 14 15 7
C 9 14 16 13 8
D 7 8 11 9 4
E 8 4 15 8 6
F 12 4 6 8 13
G 5 16 8 5 10
试通过建立数学模型（而非枚举法）回答下述问题。
问题1. 应该如何进行工人的安排使得这五件工作能尽早完成？
问题2. 在问题1中若规定每人最多承担一种工作，试求相应的最优人力安排方案。
问题 3. 接上级通知，为了保证工作的质量，需要对完成工作之后进行检查且规定同一个人不能即做这件工作又检查这件工作。显然，在这种新的要求下，这五件工作完成当且仅当所有的工作检查完。已知这七人均表示可以参加检查工作，他们检查这五种工作的用时如表2所示。【注意：对于每个工作，只有当该工作完全完成之后才能进行检查工作。为了检查的连贯性，不允许两人或两人以上检查同一种工作。一个人在同一时间只能检查一种工作。】问：应该如何进行人力的安排使得该五项工作尽早完成？
表2. 七人五件工作检查用时表（单位：天）
甲乙丙丁戊
A 1 13 10 1 8
B 10 4 8 10 5
C 8 6 10 9 6
D 6 7 11 8 4
E 6 3 15 8 5
F 11 4 6 7 10
G 4 12 6 3 2
问题4. 在问题3中若规定每人最多完成一种工作和另外一件工作的检查任务，试求相应的最优人力安排方案。
1.2 问题分析
整个问题均可视为运筹学中的指派问题。 对于问题一，为了使得这五项工作能尽早完成，可引入“0-1变量”，定义ij x 表示是否指派第i 个人去完成第j 项工作，从而使时间量化。由于问题一中数据较少且每个人的效率差别明显，因此要使得这五项工作能尽早完成，可转化为选出在所有的指派方案中所用总时间最少的方案，因此我们以运筹学中的指派问题为基础建立模型，并根据题目要求建立目标函数和约束条件。
对于问题二，最优人力安排方案可理解为考虑时间、成本等因素下的效率最大化，即做完这五件事所用的总时间最小。又由于题目要求每人最多承担一种工作，即在第一问的基础上，增加约束条件：5
11,1,2,,7ij j x i =≤=∑ 。
对于问题三，由于存在两个目标，因此可将该小题视为多目标规划问题，尽早完成工作即为保证做完某工作及检查完毕的时间和向量中的最大值最小化。由于在多目标规划问题中，不同目标之间往往会发生矛盾。为解决该矛盾，将多目标问题转化为单目标问题，即采用极大极小法。
对于问题四，题目要求求解每人最多完成一种工作和另外一件工作的检查任务的最优人力安排方案。与第二问类似，即效率最大化的总时间最小原则。因此在第二问模型的基础上再次使用“0-1”模型，称为二次0-1整数线性规划模型。
二、符号定义
符号
含义
ij x
为0时表示不指派第i 个人去完成第j 项工作； 为1时表示指派第i 个人去完成第j 项工作。
ij c 第i 个人完成第j 项工作所需时间
1Z 表示完成工作所需总时间
ij y
为0时表示不指派第i 个人去检查第j 项工作；
为1时表示指派第i 个人去检查第j 项工作。
ij a
表示第i 个人检查第j 项工作所需时间 2Z
表示完成工作所需时间与检查工作所需时间总和
三、模型假设
1、假设题目中所给数据可靠无误；
2、假设问题中的任何人对于参与各项工作都没有限制；
3、假设每个人完成工作的质量相同；
4、假设每个人做每项工作的其他因素（成本、资源等）相同。
5、对于问题一与问题三，一个人在完成一件事情之后可继续做另一件事；
6、对于问题一、问题二以及问题四，认为五个工作完成时间之和最小时的方案即最优人力安排方案；
7、各个工作之间没有相互联系。即这五个工作中，某一个工作的完成与否，不受另一个工作的制约。
四、0-1整体线性规划模型设立
3.1 问题一 3.1.1 模型建立
为了将工作时间定量，首先将第i 个人做或者不做第j 项工作定量化，再以五件工作完成总时间作为目标函数，最后对目标函数求最优解得出最终结果。
设：
0,1,27,151,ij i j x i j i j ?===?? 不指派第个人做第项工作指派第个人做第项工作
将原题中的A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 人员对应x 的下标i ：{}1,2,3,4,5,6,7i ∈； 将原题中的甲，乙，丙，丁，戊工作对应x 的下标j ：{}1,2,3,4,5j ∈。
则，目标函数为：
57
11
min ij ij j i Z c x ===∑∑
其中：
Z 表示完成工作所需总时间；
ij c 表示第i 个人完成第j 项工作所需时间。
由于为了工作的连贯性，不允许两人或两人以上做同一种工作，即一项工作只能有一人完成。因此，约束条件为：
7
1
1,1,,5ij
i x
j ===∑
3.1.2 模型求解
根据目标函数及其约束条件可知，该模型为0-1整体线性规划模型。因此，利用Lingo 软件编写程序对此问题求解。（程序见附录一）
可解得：
表3.1.2.1 问题一解 Variable Value VOLUME( X1, W1) 1.000000 VOLUME( X1, W4) 1.000000 VOLUME( X4, W5) 1.000000 VOLUME( X5, W2) 1.000000 VOLUME( X6, W3) 1.000000
由表3.1.2.1可得到表3.1.2.2：
表3.1.2.2 工作安排
工作 工人 时间（天） 甲 A 2 乙 E 4 丙 F 6 丁 A 1 戊 D 4
综合以上所述：应该安排工人A 做甲和丁两件事，共需3天；安排工人D 做戊，需4天；安排E 做乙，需4天；安排F 做丙，需6天；即总耗时6天。
3.1.3 模型检验
由于丙工作所需最少时间为6天，且每件工作只由一位工人完成，可知上述答案满足题目要求，具有合理性。
3.2 问题二 3.2.1 模型建立
问题二中规定每人最多承担一种工作，则五个工作完成时间之和最小时的方案即最优人力安排方案。在问题一的基础上，可得到，目标函数为:
57
111
min ij ij j i Z c x ===∑∑
其中：
Z 表示完成工作所需总时间；
ij c 表示第i 个人完成第j 项工作所需时间。
由于为了工作的连贯性，不允许两人或两人以上做同一种工作，即一项工作只
能有一人完成。因此，约束条件①为：
7
1
1,1,,5 ij
i
x j =
==
∑
由于每人最多承担一种工作，因此，约束条件②为：
5
1
1,1,2,,7 ij
j
x i =
≤=
∑
3.2.2 模型求解
根据目标函数及其约束条件可知，该模型为0-1整体线性规划模型。因此，利用Lingo软件编写程序对此问题求解。（程序见附录二）
可解得：
表3.2.2.1 问题二解
Variable Value
VOLUME( X1, W4) 1.000000
VOLUME( X4, W5) 1.000000
VOLUME( X5, W2) 1.000000
VOLUME( X6, W3) 1.000000
VOLUME( X7, W1) 1.000000
由表3.2.2.1可得到表3.2.2.2：
表3.2.2.2 工作安排
工作工人时间（天）
甲G 5
乙 E 4
丙 F 6
丁 A 1
戊 D 4
综合以上所述：应该安排工人A做丁，共需1天；安排工人D做戊，需4天；安排E做乙，需4天；安排F做丙，需6天；安排工人G做甲，需5天；即总耗时6天。
3.2.3 模型检验
由于丙工作所需最少时间为6天，且每个人只做一件工作，每件工作只由一位工人完成，可知上述答案满足题目要求，具有合理性。
五、多目标线性规划模型（问题三）
5.1 模型建立
线性规划只研究在满足一定条件下，单一目标函数取得最优解。而在问题三中要求五项工作尽早完成，即保证做完某工作及检查完毕的时间和向量中的最大值最小化，即可将问题三转化为多目标线性规划问题。在多目标规划问题中，不同目标之间往往会发生矛盾。未解决该矛盾，将多目标问题转化为单目标问题，即采用极大极小法。
设：
0,1,27,151,ij i j x i j i j ?===?? 不指派第个人做第项工作指派第个人做第项工作
0,1,27,151,ij i j y i j i j ?===?? 不指派第个人检查第项工作指派第个人检查第项工作
将原题中的A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 人员对应x 的下标i ：{}1,2,3,4,5,6,7i ∈； 将原题中的甲，乙，丙，丁，戊工作对应x 的下标j ：{}1,2,3,4,5j ∈。
则，目标函数为：
77
15
1
1
min max{}ij ij ij ij j i i c x a y ≤≤==+∑∑
其中：
ij a 表示第i 个人检查第j 项工作所需时间；
由于为了工作的连贯性，不允许两人或两人以上检查同一种工作，即一项工作只能由一人检查。因此，约束条件①为：
7
1
1,1,,5ij
i y
j ===∑
又由于为了工作的连贯性，不允许两人或两人以上做同一种工作，即一项工作只能有一人完成。因此，约束条件②为：
7
1
1,1,,5ij
i x
j ===∑
由于同一个人不能既做这件工作又检查这件工作，因此，约束条件⑤为：
1ij ij x y +≤
5.2 模型求解
根据目标函数及其约束条件可知，该模型为多目标线性规划模型。因此，可以在第一小题成立的前提下（即11x ，14x ，45x ，52x ，63x 都为0），利用Lingo 软件编写程序对此问题求解。（程序见附录三）
可解得：
表5.2.1 问题三解 Variable Value Variable Value
X11 1.000000 Y71 1.000000 X14 1.000000 Y32 1.000000 X45 1.000000 Y73 1.000000 X52 1.000000 Y74 1.000000 X63
1.000000 Y75
1.000000
由表5.2.1可得到表5.2.2：
表5.2.2 工作安排
工作 工人 时间（天） 检查工作 工人 时间（天） 甲 A 2 甲 G 4 乙 E 4 乙 C 4 丙 F 6 丙 G 6 丁 A 1 丁 G 3 戊 D 4 戊 G 2
综合以上所述：应该安排工人A 做甲，共需2天；安排工人E 做乙，需4天；安排F 做戊，需6天；安排A 做丙，需1天；安排工人D 做丁，需4天；安排G 检查丁，需4天；安排C 检查丙，需4天；安排G 检查甲，需6天；安排G 检查乙，需3天；安排G 检查戊，需2天；总耗时16天。
六、二次0-1整数线性规划模型（问题四）
6.1 模型建立
问题四规定每人最多完成一种工作和另外一件工作的检查任务，那么该问题可回归到第二问，即效率最大化，而总时间最小原则，因此在运筹学的指派问题模型基础上改进模型，建立二次0-1整数线性规划模型，并针对完成工作和检查工作设立约束条件，建立最终优化模型。
设：
0,1,27,151,ij i j x i j i j ?===??
不指派第个人做第项工作指派第个人做第项工作
0,1,27,151,ij i j y i j i j ?===?? 不指派第个人检查第项工作指派第个人检查第项工作
将原题中的A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 人员对应x 的下标i ：{}1,2,3,4,5,6,7i ∈； 将原题中的甲，乙，丙，丁，戊工作对应x 的下标j ：{}1,2,3,4,5j ∈。
则，目标函数为：
57
211
min ij ij ij ij j i Z c x a y ===+∑∑
其中：2Z 表示完成工作所需时间与检查工作所需时间总和； ij a 表示第i 个人检查第j 项工作所需时间；
由于为了工作的连贯性，不允许两人或两人以上检查同一种工作，即一项工作只能由一人检查。因此，约束条件①为：
7
1
1,1,,5ij
i y
j ===∑
又由于为了工作的连贯性，不允许两人或两人以上做同一种工作，即一项工作只能有一人完成。因此，约束条件②为：
7
1
1,1,,5ij
i x
j ===∑
由于每人最多完成一种工作和另外一件工作的检查任务，因此，约束条件③为：
5
1
1,1,2,,7ij
j x
i =≤=∑ ；约束条件④为：5
1
1,1,2,,7ij j y i =≤=∑ 。
由于同一个人不能既做这件工作又检查这件工作，因此，约束条件⑤为：
1ij ij x y +≤
6.2 模型求解
根据目标函数及其约束条件可知，该模型为二次0-1整数线性规划模型。因此，利用Lingo 软件编写程序对此问题求解。（程序见附录四）
可解得：
表6.2.1 问题四解
Variable Value Variable Value X11 1.000000 Y14 1.000000 X22 1.000000 Y23 1.000000 X45 1.000000 Y41 1.000000 X63 1.000000 Y52 1.000000 X74 1.000000 Y75 1.000000
由表6.2.1可得到表6.2.2：
表6.2.2 工作安排
工作工人时间（天）检查工作工人时间（天）
甲 A 2 甲 D 6
乙 B 4 乙 E 3
丙 F 6 丙 B 8
丁G 5 丁 A 1
戊 D 4 戊G 2
综合以上所述：应该安排工人A做甲，共需2天；安排工人B做乙，需4天；安排D做戊，需4天；安排F做丙，需6天；安排工人G做丁，需5天；安排A检查丁，需1天；安排B检查丙，需8天；安排D检查甲，需6天；安排E检查乙，需3天；安排G检查戊，需2天；完成工作以及检查工作总共需41小时。
七模型评价与改进
7.1 模型评价
在模型的建立过程中，认真审读题目要求，将题目要求转化为线性规划中的目标函数以及约束条件。根据已有知识，并且参考大量文献，可知该问题为指派问题。利用Lingo软件编写程序对该问题进行求解，求得最优方案后并进行验证，从而提高最终方案的准确性以及可靠性。
1）在模型一，二中，首先将最少时间即人力资源成本利用0-1变量将其量化，进行定量分析，其次根据已有文献，准确将其定位为运筹学中的指派问题，依据题中所给条件确定约束条件，建立“0-1”整数规划模型，并成功利用Lingo软件求解，体现科学、最优、准确的原则。
2）在模型三中，将尽早完成工作即为保证做完某工作及检查完毕的时间和向量中的最大值最小化。由于存在两个目标，二不同目标之间往往会发生矛盾。为解决该矛盾，将多目标问题转化为单目标问题，采用了极大极小法，使得结果更为科学，可靠。
3）在模型四中，由于存在多个目标，因此我们利用总时间最小的效率最大化原则，在模型二的基础上建立二次“0-1”整数规划模型，巧妙的将多目标的问题转化为单目标问题，整体操作简单、易懂，方法合理科学有效。
4）本模型的实用性和适用性都非常广泛，且模型结果具有一定的说服力和可靠性。尤其是在单一工作及简单考虑情况下，该模型具有较大的生存空间，具有较大的借鉴意义。除此之外，对于类似的问题，也可以采用利用excel使用匈牙利解法极其方便地获得相应的方案，使得模型具有很强的应用价值。
5）模型可以运用Lingo等相对比较简单和基础的软件进行求解，使得模型的应用性较强。如果采纳此模型，各项操作也就得以简化。
7.2 模型缺点
1) 模型的众多假设带来了不可避免的不同程度上的误差。
2) 在模型一中，在对工作能够尽早完成这一目标进行定量转化时，只简单考虑了总时间最小原则，而忽略其运行成本问题，使模型具有一定的局限性。
3) 在问题三与问题四的求解中，考虑的方面较为简单，没有考虑到甲、乙、丙、丁、戊这五件工作以及检查工作之间的关联情况。尤其在在模型三中，使用极大极小化模型，却间接忽略了一个人在同一时间只能做一件事这一条件，因此得到的模型不是最优解，可靠性不高。
八参考文献
[1] 韩伯棠管理运筹学（第三版）北京高等教育出版社 2004.9
[2] 汪晓银周保平数学建模与数学实验（第二版）北京科学出版社 2012.8
[3] https://www.doczj.com/doc/b15205606.html,/p-676730124.html《最优人力资源安排问题》
[4] https://www.doczj.com/doc/b15205606.html,/p-248372112.html?qq-pf-to=pcqq.c2c工作人员的最优时间分配问题的研究
[5] 吴有平刘杰何杰，多目标规划的LINGO求解法，《湖南工业大学学报》，第26卷第3期，2012.5
九附录附录一：
问题一Lingo运行程序，如下：
model:
!7个人5份工作的分配问题;
sets:
warehouses/x1..x7/:a;
vendors/w1..w5/:b;
links(warehouses,vendors):cost,volume; endsets
!目标函数;
min=@sum(links:cost*volume);
!需求约束;
@for(vendors(J):
@sum(warehouses(I):volume(I,J))=b(J));
!数据;
data:
a=1 1 1 1 1 1 1;
b=1 1 1 1 1;
cost=2 15 13 1 8
10 4 14 15 7
9 14 16 13 8
7 8 11 9 4
8 4 15 8 6
12 4 6 8 13
5 1
6 8 5 10;
enddata
end
附录二：
问题二Lingo运行程序，如下：
model:
!7个人5份工作的分配问题;
sets:
warehouses/x1..x7/:a;
vendors/w1..w5/:b;
links(warehouses,vendors):cost,volume; endsets
!目标函数;
min=@sum(links:cost*volume);
!需求约束;
@for(vendors(J):
@sum(warehouses(I):volume(I,J))=b(J)); !产量约束;
@for(warehouses(I):
@sum(vendors(J):volume(I,J)) !数据; data: a=1 1 1 1 1 1 1; b=1 1 1 1 1; cost=2 15 13 1 8 10 4 14 15 7 9 14 16 13 8 7 8 11 9 4 8 4 15 8 6 12 4 6 8 13 5 1 6 8 5 10; enddata end 问题三Lingo运行程序，如下： model: sets: si/1..7/; sj/1..5/; sij(si,sj):c,x; endsets data: c=1 13 10 1 8 10 4 8 10 5 8 6 10 9 6 6 7 11 8 4 6 3 15 8 5 11 4 6 7 10 4 12 6 3 2; enddata min = @sum(sij:c*x); @for(sij:@bin(x)); @for(sj(j):@sum(si(i):x(i,j))=1); x(1,1)=0; x(1,4)=0; x(4,5)=0; x(5,2)=0; x(6,3)=0; 问题四Lingo运行程序，如下： model: min=2*x11+15*x12+13*x13+1*x14+8*x15+10*x21+4*x22+14*x23+15*x24+7*x25+9*x 31+14*x32+16*x33+13*x34+8*x35+7*x41+8*x42+11*x43+9*x44+4*x45+8*x51+4*x52 +15*x53+8*x54+6*x55+12*x61+4*x62+6*x63+8*x64+13*x65+5*x71+16*x72+8*x73+5 *x74+10*x75+1*y11+13*y12+10*y13+1*y14+8*y15+10*y21+4*y22+8*y23+10*y24+5* y25+8*y31+6*y32+10*y33+9*y34+6*y35+6*y41+7*y42+11*y43+8*y44+4*y45+6*y51+ 3*y52+15*y53+8*y54+5*y55+11*y61+4*y62+6*y63+7*y64+10*y65+4*y71+12*y72+6* y73+3*y74+2*y75; x11+x21+x31+x41+x51+x61+x71=1; x12+x22+x32+x42+x52+x62+x72=1; x13+x23+x33+x43+x53+x63+x73=1; x14+x24+x34+x44+x54+x64+x74=1; x15+x25+x35+x45+x55+x65+x75=1; x11+x12+x13+x14+x15<1; x21+x22+x23+x24+x25<1; x31+x32+x33+x34+x35<1; x41+x42+x43+x44+x45<1; x51+x52+x53+x54+x55<1; x61+x62+x63+x64+x65<1; x71+x72+x73+x74+x75<1; y11+y21+y31+y41+y51+y61+y71=1; y12+y22+y32+y42+y52+y62+y72=1; y13+y23+y33+y43+y53+y63+y73=1; y14+y24+y34+y44+y54+y64+y74=1; y15+y25+y35+y45+y55+y65+y75=1; y11+y12+y13+y14+y15<1; y21+y22+y23+y24+y25<1; y31+y32+y33+y34+y35<1; y41+y42+y43+y44+y45<1; y51+y52+y53+y54+y55<1; y61+y62+y63+y64+y65<1; y71+y72+y73+y74+y75<1; x11+y11<1; x12+y12<1; x13+y13<1; x14+y14<1; x15+y15<1; x21+y21<1; x23+y23<1; x24+y24<1; x25+y25<1; x31+y31<1; x32+y32<1; x33+y33<1; x34+y34<1; x35+y35<1; x41+y41<1; x42+y42<1; x43+y43<1; x44+y44<1; x45+y45<1; x51+y51<1; x52+y52<1; x53+y53<1; x54+y54<1; x55+y55<1; x61+y61<1; x62+y62<1; x63+y63<1; x64+y64<1; x65+y65<1; x71+y71<1; x72+y72<1; x73+y73<1; x74+y74<1; x75+y75<1; end 野兔生长问题 摘要 根据题目，野兔生长属自然范畴，若在生存条件良好，且无外力干扰的情况下，其种群数量是呈对数型增长的，从著名的斐波纳契数列解决兔子生长问题也可以看出，兔子的生长，呈递增的状态。可由题目条件可知，野兔生长并不是处于理想的情况下的，中间有递减的情况，考虑到自然的各种原因，诸如，天敌的捕杀，自然灾害，疾病，生存地的减少等。 对于这种种群生态学问题，我们可以用Logistic（逻辑斯蒂方程）模型拟和多项式拟合来模。Logistic模型是种群生态学的核心理论之一。它可以用来描述种群生长规律，利用它可以表征种群的数量动态。用多项式拟合可以大致模拟预测未来的兔子数量。 之所以选择该模型来研究野兔生长问题，是因为，该模型考虑并概括了，种群发展所遇到的各种外界条件，也就是说，它模拟了真实情况。通过建立Logistic模型，我们小组得出T=10时，野兔数量为9.84194（十万）只。该结果比较符合客观规律。 利用Logistic模型可以表征种群的数量动态；如鱼类种群的增长，收获与时间关系的确定。描述某一研究对象的增长过程如生态旅游区环境容量的确定，森林资源的管理以及耐用消费品社会拥有量的预测、国民生产总值的预测等；也可作为其它复杂模型的理论基础如Lotka-Volterra两种群竞争模型；以上的大多数的工作都是拿逻辑斯蒂模型来用，但也由此可看出逻辑斯蒂方程不管在自然科学领域还是在社会科学中都具有非常广泛的用途。 关键字：Logistic模型生态学 MATLAB程序 问题重述 野兔生长问题。首先，野兔是生长在自然环境中的。自然很复杂，存在着许多影响种群发展的因素。我们知道，假如给野兔一个理想的环境，野兔数量是呈J型增长的。现实情况中，种群一般是呈S型增长的，从题中表格看出，野兔的数量并不是单一地增长，T=3，6.90568；T=4，6.00512；T=5，5.56495；T=6，5.32807。第四年到第七年，这三年野兔的数量不增反降，说明其间有影响野兔生长的因素存在。我们探讨了其中的因素： （1），兔子内部因素，竞争，雄雌比利失去平衡，老化严重等。 （1），自然灾害，比如说草原火灾，使野兔生长环境遭到破坏；再如气候反常，使野兔的产卵，交配受影响。 （2），天敌的捕食，狼，狐狸等天敌大量地捕食使野兔生存受到威胁。 （3），疾病的侵扰，野兔种群中，蔓延并流行疾病，必然使野兔存活率下降。。（4），人类的影响，城市扩建，使其栖息地面积减少；捕杀。 数学建模竞赛简介 数学建模就是建立、求解数学模型的过程和方法，首先要通过分析主要矛盾，对各种实际问题进行抽象简化，并按照有关规律建立起变量，参数间的明确关系，即明确的数学模型，然后求出该数学问题的解，并通过一定的手段来验证解的正确性。 数学建模竞赛于1985年起源于美国，起初竞赛题目通常由工业部门、军事部门提出，然后由数学工作者简化或修正。1989年我国大学生开始参加美国大学生数学建模竞赛，1990年我国开始创办我国自己的大学生数学建模竞赛。1993年国家教委（现教育部）高教司正式发文，要求在全国普通高等学校中开展数学建模竞赛。从1994年开始，大学生数学建模竞赛成为教育部高教司和中国工业的应用数学学会共同主办，每年一届的，面向全国高等院校全体大学生的一项课外科技竞赛活动。2010年全国共有30省(市、自治区)九百多所院校一万多个队三万多名大学生参赛，成为目前全国高等学校中规模最大的课外科技活动。数学建模竞赛是教育主管部门主办的大学生三大竞赛之一。 现在的竞赛题目来源于更广泛的领域，都是各行各业的实际问题经过适当简化，提炼出来的极富挑战性的问题，每次两道题，学生任选一题，可以使用计算机、软件包，可以参阅任何资料(含上网参阅任何资料)。竞赛以三人组成的队为单位，三人之间通力合作，在三天三夜内完成一篇论文。不给论文评分，而是按论文的水平为四档：全国一等奖、全国二等奖、赛区一等奖，赛区二等奖，成功参赛奖。我校于2001年开始参加这项竞赛活动。多次获全国一等奖、二等奖、湖北赛区一等奖、二等奖。 数学建模竞赛活动培养了学生的创造力、应变能力、团队精神和拼搏精神，适应了21世纪经济发展和人才培养的挑战。不少参加过全国大学生数学建模竞赛的同学都深有感触，他们说：“参加这次活动是我们大学四年中最值得庆幸的一件事，我们真正体会这几年内学到了什么，自己能干什么。”“那不寻常的三天在我们记忆中留下了永恒的一瞬，真是一次参赛，终身受益。”团队精神贯穿在数学建模竞赛的全过程，它往往是成败的关键。有些参赛队员说：“竞赛使我们三个人认识到协作的重要性，也学会了如何协作，在建模的三天中，我们真正做到了心往一处想，劲往一处使，每个人心中想的就是如何充分发挥自己的才华，在短暂的时间内做出一份尽量完善的答卷。三天中计算机没停过，我们轮流睡觉、轮流工作、轮流吃饭，可以说是抓住了每一滴可以抓住的时间。”“在这不眠的三天中，我们真正明白了团结就是力量这个人生真谛，而这些收获，将会伴随我们一生，对我们今后的学习，工作产生巨大的影响。” 承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B中选择一项填写）： B 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）：成都纺织高等专科学校 参赛队员(打印并签名) ：1. XXX（机电XXX） 2. XXX国贸XXX） 3. XXX（电商XXX） 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)： 日期： 2014 年 06 月 06 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： 目录 一、问题的重述 (1) 1.1 背景资料与条件 (1) 1.2 需要解决的问题 (1) 二、问题的分析 (2) 2.1 问题的重要性分析 (2) 2.2问题的思路分析 (3) 三、模型的假设 (4) 四、符号及变量说明 (4) 五、模型的建立与求解 (4) 5.1建立层次结构模型 (4) 5.2构造成对比较矩阵 (5) 5.3成对比较矩阵的最大特征根和特征向量的实用算法 (6) 5.4一致性检验 (7) 5.5层次分析模型的求解与分析 (8) 5.5.1 构造成对比较矩阵 (8) 5.5.2计算25优秀大学生的综合得 (9) 六、模型的应用与推广 (11) 七、模型的评价与改进 (12) 7.1模型的优点分析 (12) 7.2模型的缺点分析 (12) 7.3模型的进一步改进 (12) 八、参考文献 (13) 附件一 (14) 附件二 (16) 项目投资的最优问题 摘要 本文主要讨论项目投资的最优化问题。首先对该问题进行分析，建立相应的数学模型，以使得投资获得的总利润达到最大值。这是一个典型的线性规划问题，我们首先建立单目标的优化模型，以资金总额加上各种投资项目的限制为约束条件。再用lingo软件对问题进行求解，得到比较理想的结果。在本文最后我们对项目投资最优的建模方法做了评价，对其算法进行综合考虑并做了简要分析 关键字：线性规划；LINGO软件；优化模型； 0-1规划 一、问题的重述与分析 随着市场经济的快速发展，投资各个项目进行盈利已成为许多公司取得利润的主要途径，但盈利的多少与项目的选择息息相关，所以有时需要对项目进行选择性投资。本题就是针对这样一个问题建立数学优化模型，用数学的眼光看待及解决这个问题。项目j 所需投资额和预期收益分别为：aj 、cj(j=1,2,...,n) （1）若选择项目1，就必须选择项目2，反之不一定；（2）项目3和4中至少选择一个；（3）项目5、6、7中恰好选择两个。 问题：在各项目只可进行单次投资（模型一）和可重复投资（模型二）两种情况下分别建立一个数学优化模型，如何选择投资项目使投资收益最大化。 二、模型假设 1.无交易费和投资费用等的费用开支； 2.投资期间市场发展基本稳定； 3.投资期间社会政策无较大变化； 4.公司的经济发展对投资无较大影响； 三、符号说明 j a :项目j 所需投资金额； c j :项目j 的预期收益金额； x j :投资项目的决策变量（x j =0,1）； z:投资的最大收益 ij a ：项目j 投资i 次所需投资金额； ij c ：项目j 投资i 次的预期收益金额； 四、模型建立 （1）模型一： 各项目只可进行单次投资,通过问题分析，运用线性规划的方法建立模型一。 目标函数为： ).....4,3,2,1(max 1n j c x z n j j j ==∑= ----------------------------精品word 文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- 试 题 说 明 1.本次数学建模周共有如下十五道题。每支队伍（2-3人/队）必须从以下题中任意选取一题，并完成一篇论文，具体要求参阅《论文格式规范》。 2.指导老师会根据题目的难度对论文最后的评分进行调整。 3.题目标注为“A ”的为有一定难度的题目，选择此题你们将更有可能得到高分。 （一）乒乓球赛问题 (A) A 、 B 两乒乓球队进行一场五局三胜制的乒乓球赛，两队各派3名选手上场，并各有3种选手的出场顺序（分别记为123,,ααα 和123,,βββ）。根据过去的比赛记录，可以预测出如果A 队以i α次 序出场而B 队以 j β次序出场，则打满5局A 队可胜ij a 局。由此得矩阵 () ij R a =如下： （1） 根据矩阵R 能看出哪一队的实力较强吗？ （2） 如果两队都采取稳妥的方案，比赛会出现什么结果？ （3） 如果你是A 队的教练，你会采取何种出场顺序？ （4） 比赛为五战三胜制，但矩阵R 中的元素却是在打满五局的情况下得到的，这样的数据处理和预测方式 有何优缺点？ （二）野兔生长问题 时野兔的数量。 （三）停车场的设计问题 在New England 的一个镇上，有一位于街角处面积100?200平方英尺的停车场，场主请你代为设计停车车位的安排方式，即设计在场地上划线的方案。 容易理解，如果将汽车按照与停车线构成直角的方向，一辆紧挨一辆地排列成行，则可以在停车场内塞进最大数量的汽车，但是对于那些缺乏经验的司机来说，按照这种方式停靠车辆是有困难的，它可能造成昂贵的保险费用支出。为了减少因停车造成意外损失的可能性，场主可能不得不雇佣一些技术熟练的司机专门停车；另一方面，如果从通道进入停车位有一个足够大的转弯半径，那么，看来大多数的司机都可以毫无困难地一次停车到位。当然通道越宽，场内所容纳的车辆数目也越少，这将使得场主减少收入。 （四）奖学金的评定 (A) 背景 A Better Class (ABC)学院的一些院级管理人员被学生成绩的评定问题所困扰。平均来说，ABC 的教员们一向打分较松（现在所给的平均分是A —）,这使得无法对好的和中等的学生加以区分.然而,某项十分丰厚的奖学金仅限于资助占总数10%的最优秀学生,因此,需要对学生排定名次. 教务长的想法是在每一课程中将每个学生与其他学生加以比较,运用由此得到的信息构造一个排名顺序.例如,某个学生在一门课程中成绩为A,而在同一课程中所有学生都得A,那么就此课而言这个学生仅仅属于“中等”。反之，如果一个学生得到了课程中唯一的A ，那么，他显然处在“中等至上”水平。综合从几门不同课程所得到的信息，使得可以把所有学院的学生按照以10%划分等级顺序（最优秀的10%，其次的10%，等等）排序。 问题 （1）假设学生成绩是按照（A+，A, A —, B+ ,…）这样的方式给出的,教务长的想法能否实现? 全国大学生数学建模竞赛的准备方法 全国大学生数学建模竞赛于每年9月上旬（今年是9月7日）举行。但是在此之前，需要做好哪些准备，让各个参赛队员在竞赛中做到有备无患呢？在总结过去多年培训指导各种数学建模竞赛的基础上，仅就个人观点，介绍一些关于如何准备数学建模竞赛的经验和体会，仅供参考。在这里主要向大家介绍竞赛的基本情况，包括如何组队、如何选题以及在竞赛中如何合理分配时间。通过本次学习，希望大家能够了解数学建模竞赛的基本情况，为全国大学生数学建模竞赛以及其他各类数学建模竞赛做好准备。 一、如何组建优秀数学建模队伍 进入大学阶段参加各种科技竞赛，可以体会到一种和中学竞赛不同的感受，这种感受来自团队合作。以前的各项赛事都是以个人为单位参加竞赛，它们都是考查个人的能力。但是在大学中，由于难度和任务量的加重以及对团队合作精神的关注，因此大部分的赛事都是以团队为单位参加的。竞赛在考查个人能力的同时，还考查团队成员的合作精神。在数学建模竞赛中，团队合作精神是能否取得好成绩的最重要的因素，一队三个人要分工合作、相互支持、相互鼓励。从历年的统计数据可以看出，竞赛成绩优秀的队员往往并不是每个人在各个方面都特别擅长的队伍，而是团队相处得最融洽的队伍。从这一点也可以看出团队合作的重要性。 在竞赛的过程中，切勿自己只管自己的那一部分，一定要记住这是一个集体的竞赛。很多时候，往往一个人的思考是不全面的，只有大家一起讨论才有可能把问题搞清楚。因此无论做任何事情，三个人一定要齐心才行，只靠一个人 的力量，要在3天之内写出一篇高水平的论文几乎是不可能的。让三人一组参赛一方面是为了培养合作精神，其实更为重要的原因是这项工作确实需要多人合作，因为一个人的能力是有限的，知识掌握也往往是不全面的。一个人做题，经常会走向极端，得不到正确的解决方案。而三个人相互讨论、取长补短，可以弥补一个人所带来的不足。 在队伍组建的时候，需要强调“队长”这个名词概念。虽然在全国大学生数学建模竞赛中并没有设立队长，作为队长在获得的证书上也没有特别标注。但是在队内设立“队长”是非常有必要的。因为在比赛中可能会碰到各种突发状况，队长是很重要的，他的作用就相当于计算机中的CPU，是全队的核心。如果一个队的队长不得力，往往影响一个队的正常发挥。竞赛是非常残酷的，在3天3夜（72h）的比赛中，大家睡眠时间都得不到保障，怎样合理安排团队时间就是队长需要做的事情。在比赛过程中，由于睡眠不足，大家脾气都会很急躁。在这种情况，往往会为了一些小事而发生争吵，如果没有适当的处理，有些队伍将会放弃比赛，而队长就应该在这个时候担起责任。 在明确“队长”这个概念后，接下去谈谈怎样科学选择队友。在数学建模竞赛中，题目要求完成的工作量是很大的，因此这项任务是必须分工完成的，各有侧重、相互帮助，这样才能获得好成绩。而科学地选择队友则显得非常重要，也是走向成功的第一步。一般情况下选择队友可以从以下几个方面考虑着手： 1. 在组队的时候需要考虑队伍成员的多元化，尽量和不同专业、不同特长的同学组队。因为同系同专业甚至同班的话大家的专业知识一样，如果碰上专业知识以外的背景那会比较麻烦的。所以如果是不同专业组队则有利的多。因为数学建模题有可能出现在各个领域，这也是数学建模适合各个专业学生参加的原因所在，也是数学建模竞赛赛事的魅力所在。 课程设计报告 课程设计题目：拍卖土地方案 姓名1：孙宏山学号：1020420201 姓名2：钟丽学号：1020420216 姓名3：朱诗悦学号：1020420210 专业通信工程 班级通信2班（10204202） 指导教师樊继秋 2011年10月20日 摘要 “拍卖土地问题”主要是探讨如何能够在满足投标人的购买兴趣的前提下获取最大福利。由题目我们知道拍卖的土地有五块，投标人有三个，经初步分析，本次问题有排列组合和最大值问题两部分。我们就是要分析，在哪种组合的情况下，政府能够获得最大的利益。因此我们就常常会需要用到数学当中数学建模来解决这个实际中的问题了，利用数学中的方法来找到一个最佳最优最完好拍卖方案。选择最优化来实现总福利最多是拍卖方案中最常见的问题，也是最有实际意义的问题。我们所要解决的就是在多种方案中，计算出最佳拍卖方案。 所以在解决此类经济学问题的时候，我们需要应用数学知识，借助数学模型来得到具体的组合方案并结合经济学的观点进行综合性的分析。在解决最优问题时，我们也会需要应用线性规划法来确定最优组合方案的决策。在具体计算中，我们也常常借助于lingo软件来计算，希望能够得到比较精确的数据，进行更有实际意义的经济揣摩，从而指导实际当中的工作。 通过精确计算所得到的数据，便于我们结合经济知识去分析和找出多种商品组合中的最优组合方案，并分析其最优方案时所需的成本。在实际经济应用中，能做到有效的节约成本，对我们是具有指导性意义的. 关键词：土地拍卖投标人出售土地最大化社会福利 一、问题重述与分析 问题：假设某国政府准备将5块土地A,B,C,D,E对外拍卖，采用在规定日期前 投标人提交投标书的方式进行，最后收到了3个投标人的投标书。每个投标人对 其中的若干块土地有购买兴趣，分别以两个组合包的形式投标，但每个投标人最 多只能购买其中1个组合包，投标价格如下表所示。如果政府希望最大化社会福利，这5块土地应该如何售出？ 投标组合包投标人1 投标人1 投标人2 投标人2 投标人3 投标人3 包含的土地ABD CDE BE AD BDE CE 投标价格95 80 60 82 90 71 分析：通过对题目的分析，我们可以清晰看到，这样类型的题目是一个优化求 极值的问题，而且是代有线性约束优化条件的极大值问题.首先，我们要考虑土 地实际价值与投标者的投标价格之间的区别，政府希望最大化社会福利，也就是 希望5块土地以某种方案售出时投标价格总和最大（不一定每块土地的投标价格 都比真实价值高，只考虑总和最大化）。 当然，方案的制定是有条件约束的：注意到第一个限制， 5块土地都必须 以组合包的形式拍卖，而不能单独售出，投标者也想同时购得组合包中的几块土地，土地的多种组合方式造成拍卖方案的多样化；在第二个限制中，虽然每个投 标者给出两种选择方式，但最多只能购买一个组合包，这样有些组合方式也就不 能实现，问题得到简化。 这样我们就能通过一系列假设来建立如下的数学模型。 二、模型假设与符号说明 根据上述分析，我们作如下假设： 1．假设每个投标人确实是对自己的投标组中土地都有购买兴趣 2．假设每个投标人对各自提交的投标组都很感兴趣 3．假设所有投标者给出的投标价格是经过慎重考虑的，并且在提交投标书后 不再变更 4．假设投标是在公平公正的原则下进行的 第１题企业评价 选定20个评价者对某一企业的市场营销效果进行评价，将评价等级分为五等，如表一所示，评价等级的数字表示人数，如“资产负债率”一栏表示有6个人认为很好，9个人认为较好等等，采用适当的方法对该企业属于哪一等级作出评价。 表一企业市场营销效果评价情况 第2题强烈的碰撞 美国国家航空和航天局（NASA）从过去某个时间以来一直在考虑一颗大的小行星撞击地球会产生的后果。 作为这种努力的组成部分，要求你们队来考虑这种撞击的后果，加入小行星撞击到了南极洲的话。人们关心的是撞到南极洲比撞到地球的其它地方可能会有很不同的后果。 假设小行星的直径大约为1000米，还假设它正好在南极与南极洲大陆相撞。 要求你们对这样一颗小行星的撞击提供评估。特别是，NASA希望有一个关于这种撞击下可能的人类人员伤亡的数量和所在地区的估计，对南半球海洋的食物生产的破坏的估计，以及由于南极洲极地冰岩的大量融化造成的可能的沿海岸地区的洪水的估计。 第3题灌溉问题 下图是一个农田图，边表示田埂，周围是灌溉渠，问至少要挖开多少个田埂才能使每一块地都能灌上水？给出挖开田埂的一个方案。 第４题路线设计 现在有8个城市，已知两个城市之间的路费如下表，现在有一个人从A城市出发旅行，应该选择怎样的路线才能刚好每个城市都到达一次又回到A城市，其总路费最少？ A B C D E F G H A B C D E F G 56 35 21 51 60 43 39 21 57 78 70 64 49 36 68 --- 70 60 51 61 65 26 13 45 62 53 26 50 第5题水质评价 按照《中华人民共和国地下水质量标准》，地下水水质共分六个等级（如表一）。现经过抽样得到三个地区的水质状况（如表二），对照标准，试评价他们各属哪一级。 Ⅰ类Ⅱ类Ⅲ类Ⅳ类Ⅴ类 常见评价模型简介 评价类数学模型是全国数学建模竞赛中经常出现的一类模型，如2005年全国赛A题长江水质的评价问题，2008年B题高校学费标准评价体系问题等。主要介绍三种比较常用的评价模型：层次分析模型，模糊综合评价模型，灰色关联分析模型，以期帮助大家了解不同背景下不同评价方法的应用。 层次分析模型 层次分析法(AHP)是根据问题的性质和要求，将所包含的因素进行分类，一般按目标层、准则层和子准则层排列，构成一个层次结构，对同层次内诸因素采用两两比较的方法确定出相对于上一层目标的权重，这样层层分析下去，直到最后一层，给出所有因素相对于总目标而言，按重要性程度的一个排序。其主要特征是，它合理地将定性与定量决策结合起来，按照思维、心理的规律把决策过程层次化、数量化。 运用层次分析法进行决策，可以分为以下四个步骤： 步骤1 建立层次分析结构模型 深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层(目标—准则或指标—方案或对象)，上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立。 步骤2构造成对比较阵 对于同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较，借助1~9尺度，构造比较矩阵； 步骤3计算权向量并作一致性检验 由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重，并进行一致性检验，若通过，则最大特征根对应的特征向量做为权向量。 步骤4计算组合权向量(作组合一致性检验) 组合权向量可作为决策的定量依据 通过一个具体的例子介绍层次分析模型的应用。 例(选择旅游地决策问题)如何在桂林、黄山、北戴河3个目的地中按照景色、费用、居住条件、饮食、旅途条件等因素进行选择。 步骤1 建立系统的递阶层次结构 将决策问题分为3个层次：目标层O，准则层C，方案层P；每层有若干元素，各层元素间的关系用相连的直线表示。 数学建模个人经验谈——组队与分工 数学建模竞赛就是三个人得活动，参加竞赛首要就是要组队，而怎么样组队就是有讲究得。此外还需要分工等等，一般得组队情况就是与同学组队，很多情况就是三个人都就是同一系，同一专业以及一个班得，这样得组队就是不合理得。让三人一组参赛一就是为了培养合作精神，其实更为重要得原因就是这项工作需要多人合作，因为人不就是万能得，掌握知识不就是全面得，当然不排除有这样得牛人存在，事实上也就是存在得，什么都会，竞赛可以一个人独立搞定。但既然允许三个人组队，有人帮忙总就是好得，至少不会太累。而三个人同系同专业甚至同班得话大家得专业知识一样，如果碰上专业知识以外得背景那会比较麻烦得。所以如果就是不同专业组队则有利得多。 众所周知，数学建模特别需要数学与计算机得能力，所以在组队得时候需要优先考虑队中有这方面才能得人，根据现在得大学专业培养信息与计算科学，应用数学专业得较为有利，尤其就是信息与计算科学可以说就是数学与计算机专业得结合，两方面都有兼顾，虽然说这个专业得出路不就是很好，数学与计算机都涉及点但就是都没有真正得学通这两门专业得，但对于弄数学建模来说就是再合适不过了。应用数学则偏重于数学，但就是一般来讲玩计算机得时间不会太少，尤其就是在科学计算与程序设计都会设计到比较多，又有深厚得数学功底，也就是很不错得选择。 有不少得人会认为第一人选就是数学方面得那第二人选就应该 考虑计算机了，因为学计算机得会程序，其实这个概念可以说就是对也可以说就是不对得。之所以需要计算机方面得人就是为了弥补数学方面得人在算法实践方面得不足，但就是不就是所有得计算机方面专业人都擅长算法实践得，如果要选得话就选擅长算法分析实践得，因为学计算机得不一定会程序，并且会程序得不一定会算法。拿出一个算法，让学计算机得编写程序实践不一定能行，不就是小瞧计算机得，但就是这种情况还就是比较多得，不然可以瞧到参加ACM得数学系得居多，比学计算机得搞得好。因此一定要弄清这个概念，不就是计算机得就适合得。所以在组队中有两种人就是必需得，一个就是对建模很熟悉得，对各类算法理论熟悉，在了解背景后对此背景下得各类问题能建立模型，设计求解算法。一个就是能将算法编制程序予以实现，求得解。当然有可能就是一个人就将这两种都具备了，这样得话再找个任意具备上述两种能力得人就可以了，以减轻工作量，不然非累死不可。第三个就就是专门需要写作得啦，从专业角度瞧就是需要别得专业，比较适合得有生物、土木、机电、电信或机械等专业。在数学建模中各种背景得问题都会出现，所以有其她专业同学得话可以弥补专业知识方面得不足。 综上所述，组队要根据分工而来得，三个人要具备一个数学功底深厚，理论扎实，一个擅长算法实践，另一个就是写作（弥补专业知识不足），如果一个组能有这样得人员配置就是比较合理得。但就是往往事事不能如意，所以不能满足这种人员配置得时候就尽量往这样人员配置靠。 会。 承诺书 我们仔细阅读了数学建模联赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为： 参赛队员(打印并签名) ：1. 2. 3. 日期：年月日 评阅记录 题目：最佳捕鱼方案 摘要 在充分理解题意的基础上，我们提出了合理的假设。通过对问题的深入分析和对草鱼损失率的不同理解，我们建立了三个模型。 模型一中，损失率是基于水库草鱼的总量，草鱼的损失是一些定值的累加。在这种情况下，我们进行了粗略的估算，在日供应量方面，我们让每日草鱼的供应量达到售价方面的临界值。提出了四个可行的方案。通过比较认为方案四·能使总利润达到最大值404636元，共损失草鱼量为2625kg,当且仅当第1天至第15天，日供应量为1000kg,单价为25元，第16天至19天，日供应量为1500kg，单价为20元。第20天售出1375kg，单价为20元。 在模型二、三中，为了更接近现实生活中的情况及人们的认知观，我们对第n天草鱼的损失率的理解是基于第n-1天剩下的草鱼而言。模型二，不考虑日供应量在1500kg以上的情况，运用LINGO解出的结果为总利润的最大值为373260.0元，草鱼的损失为7113.960kg。第1天到第14天及第16天，每天售出草鱼1000kg,第19天售出886.04kg，其余每天售出500kg。 模型三在模型二的基础上做了一些改进(如考虑日供应量在1500kg以上的情况)，建立了多目标的规划模型，求得总利润的最大值为332875元，草鱼的总死亡量为8828.493kg。第2天到第5天及第11天到16天，每天售出1000kg,其余每天售出500kg。 关键词： 0-1变量规划问题多目标 LINGO 摘要： 在我国的内蒙古大草原，由于各种人为因素对自然生态系统的破坏(如过度放牧、大量消灭草原上的狼群等)，造成草原鼠患问题严重，并由此引发了严重的生态问题。由生物知识知道，鼠患的主要原因是由于人为对自然环境的损坏使得生态失去了平衡，至使老鼠的视线得到了很好的扩充，在加上天敌数量的减少，使得老鼠数目得不到有效控制。为了更好的对其进行有效、合理的控制，并对其各种方案进行有效性分析，本文主要通过对老鼠和天敌数目之间的关系利用微分等数学方法对模型进行了建立，并在最后给出了自己的最好的方案，但本文存在一定的缺点，对数据的要求较高，需要对大量数据进行统计，使得模型过于复杂。 关键字：微分方程、几何型曲线、生态平衡、鼠患 一、问题重述 在我国的内蒙古大草原，由于各种人为因素对自然生态系统的破坏(如过度放牧、大量消灭草原上的狼群等)，造成草原鼠患问题严重，并由此引发了严重的生态问题。 老鼠在草原上是家族式掘洞群居。它们食量巨大，繁殖力强。由于挖掘造成的环境损失远远大于单纯的食草所造成的危害。所有鼠害发生的地方水土流失严重。有的甚至形成了大面积寸草不生的“鼠荒地”。 更糟糕的是至今我们尚未找到能有效控制进而消灭草原老鼠的办法。也就是说，至少以目前的技术力量，我们还不能用人工种草的办法永久地恢复自然植被。因为不当的灭治方法，鼠害日益泛滥，而且越灭越多，因而也就不得不继续灭下去了。但是，能否最终将老鼠赶出草原，目前尚难以作出定论。 控制草原鼠患，现在人们通常采用的有下面几种方法: (1) 灭鼠药现在所用的灭鼠药在杀死老鼠的同时，也杀死了老鼠的天敌。因此，实际的情况是，撒灭鼠药后老鼠的数量反而以几何级数增长。改进的方法是，可以研制无公害的灭鼠药，但这需要一定的时间和大量资金的投入。 (2) 引入老鼠的天敌通过人工喂养和驯化老鼠的天敌，如鹰、狐狸、狼等，将一定数量的老鼠的天敌引入鼠患严重的草原，利用它们控制老鼠的数量。这种方法在短期内有效，但也有一定的问题：一是费用比较高，例如，喂养和驯化一只银狐的费用要上千元；二是引入的数量难以确定，数量太小，难以控制鼠患，数量太多就会引起新的生态问题。 (3) 人工种植牧草鼠类是一种需要开阔视野的生物种，只要有茂密的牧草生长，它们就无法生存。它们的视线之内如果毫无遮拦，便会肆意横行。在草场植被密集的地方，老鼠并不容易打洞，而且在这样的环境中，老鼠遇到天敌追捕时也难以及时躲避，所以数量不会激增。但是，据有关资料显示，青藏高原上几乎所有的人工种草都会在一定时间内自行退化。 问题1、建立恰当数学模型，对上述灭鼠方法的效果进行评估分析，要考虑到短期和长期的效果以及资金投入的问题； 数学建模简介 当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言作表述，也就是建立数学模型，然后用通过计算得到的结果来解释实际问题，并接受实际的检验。这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。 数学建模的广泛应用 数学建模的应用逐渐变的广泛，数学建模大量用于一般工程技术领域，用于代替传统工程设计中的现场实验、物理模拟等手段；在高新科技领域，成为必不可少的工具，无论是在通信、航天、微电子、自动化都是创新工艺、开发新 产品的必要手段；在新的科研领域在用数学方法研究 其中的定量关系时，数学建模就成为首要的、关键的 步骤和这些学科发展和应用的基础。 将计算机技术和数学建模进行紧密结合，使得原 本抽象的数学模型生动具体的呈现在研究者面前，使 得问题得到更好的解决。 数学建模的分支——数据挖掘 数据挖掘（Data Mining，DM）是目前人工智能和数 据库领域研究的热点问题，所谓数据挖掘是指从数据库 的大量数据中揭示出隐含的、先前未知的并有潜在价值 的信息的非平凡过程。数据挖掘是一种决策支持过程， 它主要基于人工智能、机器学习、模式识别、统计学、 数据库、可视化技术等，高度自动化地分析企业的数据， 做出归纳性的推理，从中挖掘出潜在的模式，帮助决策 者调整市场策略，减少风险，做出正确的决策。 数据挖掘是通过分析每个数据，从大量数据中寻找其规律的技术，主要有数据准备、规律寻找和规律表示3个步骤。数据准备是从相关的数据源中选取所需的数据并整合成用于数据挖掘的数据集；规律寻找是用某种方法将数据集所含的规律找出来；规律表示是尽可能以用户可理解的方式（如可视化）将找出的规律表示出来。 数据挖掘的任务有关联分析、聚类分析、分类分析、异常分析、特异群组分析和演变分析，等等。 数学建模比赛的选拔问题 卢艳阳 王伟 朱亮亮 （黄河科技学院通信系，） 摘要 本文是关于全国大学生数学建模竞赛选拔的问题，依据数学建模组队的要求，每队应具备较好的数学基础和必要的数学建模知识、良好的编程能力和熟练使用数学软件等的综合实力，在此前提下合理的分配队员，利用层次分析法，建立合理分配队员的数学模型，利用MATLAB ，LONGO 工具求出最优解。、 问题一：依据建模组队的要求，合理分配每个队员是关键，主要由团队精神、建模能力、编程能力、论文写作能力、思维敏捷以及数学知识等等，经过讨论分析，确定良好的数学基础、建模能力，编程能力为主要参考因素。 问题二：根据表中所给15人的可参考信息，我们对每个队员的每一项素质进行加权，利用层次分析法选出综合素质好的前9名同学，然后利用0-1规划的相关知识对这9人进行合理分组，利用MATLAB 、LINGO 得到其中一个如下的分 组：'1s 、10s 、4s ；2s 、11s 、14s ；6s 、13s 、8s 问题三：我们将所选出的这9名同学和这个计算机编程高手的素质进行量化加权，然后根据层次分析法，利用MATLAB 工具进行求解，得出了最佳解。由于我们选取队员参考的是这个人的综合素质，而不是这个人的某项素质，并由解出的数据可以看出这个计算机编程高手不能被直接录用。所以说只考虑某项素质，而不考虑其他的素质的同学是不能被直接录用的。 问题四：根据前面三问中的分组的思路，我们通过层次分析法先从所有人中依据一种量化标准选出符合要求的高质量的同学，然后利用0-1变量进行规划，在根据实际问题的约束，对问题进行分析，然后可以得出高效率的分组。 黄金周旅游方案设计 摘要 本文主要解决的是去安徽旅游的最佳旅游路线的设计问题。花最少的钱游览尽可能满意度高的景点是我们追求的目标。基于对此的研究，我们建立了三个模型。 针对方案一：建立了单目标最优化模型。选定10个游览景点，在约束条件下，建立0-1规划模型，以总费用最小为目标函数。使用lingo 编程，最后求得的最小费用是：755元。具体方案为：11→7→4→6→3→2→1→10→11针对方案二：建立了单目标最优化模型。巧妙地将该问题化为TSP，以满意度为目标函数，在时间的约束条件下，运用lingo 编程，最后求得满意度是：0.86。旅游路线为：11→2→4→7→9→10→11 针对方案三：建立了多目标最优化模型。基于方案一与二，以最小费用和最大满意度为目标函数，在约束条件下，采用分层求解法，运用lingo 编程，最后得出满意度是：0.83，费用为782元。推荐路线：11→2→7→6→3→10→9→11 、 关键词：多目标最优化模型 0-1规划模型 TSP lingo求解% ! 一、问题重述 1.1问题背景 安徽是全国旅游大省，每年接纳游客上千万人次。现假设黄金周期间，你在外地读书的老同学、好朋友前来看望你，并要在安徽游玩几天，请查阅相关资料，从车费，餐饮，门票，景点满意度等多方面综合考虑，建立相关数学模型，列出一个四天三夜的游玩计划。 1.2需要解决的问题 根据对题目的理解我们可以知道，需要解决的问题是在安徽游玩四天三夜，并且综合考虑车费，餐饮，门票，景点满意度等多方面因素。所以我们的目标就是在满足所有约束条件的情况下，求出最少费用。 ： 二、模型假设 假设1：旅行路线的总路程不包括在某一城市中观光旅游的路程； 假设2：旅行者在某一城市的旅游结束前往下一个目的地时，所乘坐的交通工具都是非常顺利的，不会出现被滞留等意外情况； 假设3：在乘坐交通工具的途中，不考虑除交通费用之外的其它任何费用； 假设4：任意两点之间来回路程相等； 假设5：每个景点游玩时间与满意度成正比，比例常数为k； 假设6：定义满意度为该景点客流量占总客流量的比例； 假设7：每天固定餐饮等消费为100元/天； ） 假设8：每天游玩10个小时； 狐狸野兔问题 摘要：封闭自然环境中的狐狸和野兔存在捕食与被捕食关系，本题旨在通过对自然状态下 两物种数量变化规律的分析，推测加入人类活动（即人工捕获）时两物种数量的变化，进而得出人类活动对自然物种的影响，为人类活动提供参考，使其在自然允许的范围内，促进人与自然和谐相处。 对于问题一，首先建立微分方程，描述两物种数量随时间变化的Volterra 模型 ()0,0,0,021212211>>>>?????? ?+-=-=r r k k xy r y k dt dy xy r x k dt dx 并用解析法求得狐狸与野兔数量的关系 ()()2211k r x k r y x e y e c --= 为直观反映两物种数量随时间的变化规律，选取三组有代表性的初值，利用Matlab 软件绘图。在狐狸和野兔随时间的变化图像中，大致得出其数量呈周期变化，为进一步检验周期性，再用Matlab 绘图做出狐狸与野兔数量的关系图，得到封闭曲线，因此分析结果为：狐狸和野兔的数量都呈现周期性的变化，但不在同一时刻达到峰值。 对于问题二，利用数值解法，令模型中两式皆为0，即求得狐狸和野兔数量的平衡状态。且由问题一中狐狸与野兔数量的关系图知野兔和狐狸的平衡量恰为他们在一个周期内的平均值。 对于问题三，在Volterra 模型基础上引入人工捕获系数。 只捕获野兔时，野兔的自然增长率降低，狐狸自然死亡率增加，改进后模型同问题二处理方式一样，求得平衡状态，得出结论：捕获野兔时，狐狸数量减少，野兔数量反而增加，即Volterra 原理：为了减少强者，只需捕获弱者。 只捕获狐狸时，分析方法与只捕获野兔时相同，并得出野兔狐狸数量皆增加的结论。 问题三为自然界人类捕获生物提供了新的思路，即可以在正常允许范围内，为了达到减少某一种群数量的目的，相应的捕获其食饵，或适度地捕获捕食者使捕食者与被捕食者的数量都有所增加。 关键词：Volterra 模型Matlab 软件解析法周期性 数学建模个人经验谈——组队和分工(转发) 舵手发表于2007-5-18 21:52:00 数学建模竞赛是三个人的活动，参加竞赛首要是要组队，而怎么样组队是有讲究的。此外还需要分工等等一般的组队情况是和同学组队，很多情况是三个人都是同一系，同一专业以及一个班的，这样的组队是不合理的。让三人一组参赛一是为了培养合作精神，其实更为重要的原因是这项工作需要多人合作，因为人不是万能的，掌握知识不是全面的，当然不排除有这样的牛人存在，事实上也是存在的，什么都会，竞赛可以一个人独立搞定。但既然允许三个人组队，有人帮忙总是好的，至少不会太累。而三个人同系同专业甚至同班的话大家的专业知识一样，如果碰上专业知识以外的背景那会比较麻烦的。所以如果是不同专业组队则有利的多。 众所周知，数学建模特别需要数学和计算机的能力，所以在组队的时候需要优先考虑队中有这方面才能的人，根据现在的大学专业培养信息与计算科学，应用数学专业的较为有利，尤其是信息与计算科学可以说是数学和计算机专业的结合，两方面都有兼顾，虽然说这个专业的出路不是很好，数学和计算机都涉及点但是都没有真正的学通这两门专业的，但对于弄数学建模来说是再合适不过了。应用数学则偏重于数，但是一般来讲玩计算机的时间不会太少，尤其是在科学计算和程序设计都会设计到比较多，又有深厚的数学功底，也是很不错的选择。 有不少的人会认为第一人选是数学方面的那第二人选就应该考虑计算机了，因为学计算机的会程序，其实这个概念可以说是对也可以说是不对的。之所以需要计算机方面的人是为了弥补数学方面的人在算法实践方面的不足，但是不是所有的计算机方面专业人都擅长算法实践的，如果要选的话就选擅长算法分析实践的，因为学计算机的不一定会程序，并且会程序的不一定会算法。拿出一个算法，让学计算机的编写程序实践不一定能行，不是小看计算机的，但是这种情况还是比较多的，不然可以看到参加ACM的数学系的居多，比学计算机的搞的好。因此一定要弄清这个概念，不是计算机的就适合的。所以在组队中有两种人是必需的，一个是对建模很熟悉的，对各类算法理论熟悉，在了解背景后对此背景下的各类问题能建立模型，设计求解算法。一个是能将算法编制程序予以实现，求得解。当然有可能是一个人就将这两种都具备了，这样的话再找个任意具备上述两种能力的人就可以了，以减轻工作量，不然非累死不可。第三个就是专门需要写作的拉，从专业角度看是需要别的专业，比较适合的有生物、土木、机电、电信或机械等专业。在数学建模中各种背景的问题都会出现，所以有其他专业同学的话可以弥补专业知识方面的不足。 综上所述，组队要根据分工而来的，三个人要具备一个数学功底深厚，理论扎实，一个擅长算法实践，另一个是写作（弥补专业知识不足），如果一个组能有这样的人员配置是比较合理的。但是 公司人力资源配置方案的最优设计 摘要 人力资源管理是一个公司进行人力资源分配的重要工作，合理地安排人力资源，能够为企业带来最大的经济效益。公司不只要对现有的人员进行任务分配，还要使公司的人力资源结构保持一个科学的比例。本模型旨在为A建筑公司提供一个良好的人员分配方案，达到公司获利最大的目的，以及怎样在以后的人员招聘中使人力资源结构保持一个良好的比例。在公司现有的情况下，通过分析各种影响因素，排除掉一些不必要的干扰因素，运用整数线性规划和分支定界法的知识建立数学模型，并使用LINGO软件进行编程求解，得出公司人员分配的最佳方案。在对本模型优缺点评价之后，根据公司可能会采取临时招聘技术人员的情况，对模型进行了改进，通过模型计算，为公司提供了一个合理的人员招聘方案。 关键字：线性规划，人员分配，最大收益，LINGO软件 目录 一、问题重述 (1) 二、问题分析 (1) 三、问题假设 (2) 四、模型建立 (2) 五、模型求解 (4) 六、结果分析 (5) 七、模型评价 (6) 八、模型改进 (6) 九、附录 (8) 参考文献： (11) 一、问题重述 企业的人力资源管理是一门科学，而人力资源管理最主要的任务是如何把企业现有的人力资源安排到合适的工作岗位，以使企业能够获得更高的经济效益。尤其是在人力资源稀缺的情况下，合理的安排各人员的任务更是显得至关重要。接下来我们将要解决的就是一个企业人员分配的问题。在这个问题中，A建筑工程公司有高级工程师、工程师、助理工程师、技术员等四种不同级别的工作人员，并且公司同时承接了A、B、C、D四个不同的工程项目。公司不同级别的技术人员的工资是固定不变的，各级别技术人员的数量也是一定的，为了保证工程质量，各项目中必须保证专业人员结构符合客户的要求，在各项目的收费标准也是一定的情况下，合理的安排现有的技术人员的任务，将使公司获得一个最大的利润。那么，为了获得最大收益，A公司到底应该如何把这四种不同级别的技术人员安排到四个不同的项目中去呢？本文中，我们将重点对该问题进行分析。 二、问题分析 该问题的任务是，通过合理分配人员，使公司每天的直接收益最大。公司的主要收入来源是对各项目所收取的费用，支出主要有两项：四种不同级别的技术人员的工资和项目期间的办公费用。公司的直接收益是总收入减去总支出。A公司对各个项目的不同技术人员的收费标准都高于对应技术人员的总支出费用。我们可以得出不同项目对应不同级别技术人员的利润表如下： 注：该表中的利润值是已经减去办公费用的值 同时，技术人员的分配受到不同项目对技术人员结构要求的约束，由于公司人员有限，各项目的技术人员安排不可能同时达到所需的最大数量，我们要将现有的41名技术人员对最大55个可用岗位进行安排。数学建模野兔生长问题
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