矩形、菱形、正方形

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九年级教学教案（人教版）

矩形、菱形、正方形

♦课前热身

1. 如图，将矩形 ABCD& BE折叠，若/ CBA

=30°则/ BEA =

3

菱形 ABCD勺边长为10cm, DEI AB, sinA = —，则这个菱形的面积

5

基本图案

5•如图，四边形 ABC［是平行四边形,

使它为矩形的条件可以是 C

3 .如图 1, 由“基本图案”正方形 ABCO绕0点顺时针旋转90°后的图形是（） 2.如图, 2 cm

4.顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点, 所得图形一定是

A矩形 B.直角梯形 C.菱形 D.正方形

6. 的平行四边形是是菱形（只填一个条件）

【参考答案】

1.60 ° 2.60 3.A 4. A

5.答案不唯一，如 AOBD / BA&9O0,等 -2 -

最恰当的方法，使解题思路简捷.

2 .在解答时，要根据特殊平行四边形的一些特殊规律或添加相应的辅助线,

论转化在特殊的平行四边形或三角形中思考，要注意寻找图形中隐含的相等的边和角.

♦考点链接

1.特殊的平行四边形的之间的关系 6.对角线互相垂直（或有一组邻边相等，或一条对角线平分一组对角）

♦考点聚焦

知识点

矩形菱形正方形

大纲要求

.理解几种特殊的平行四边形的定义、特征和识别方法.

.理解几种特殊的平行四边形之间的关系.

.了解特殊平行四边形的面积公式，中点四边形和重心的物理意义.

.会求解特殊平行四边形与函数或三角函数有关的问题.

5.会求特殊平行四边形中涉及全等、相似和其他几何变换的问题.

考查重点和常考题型

本节内容的试题涉及特殊平行四边形的概念、性质、 ?判定及它们之间的关系，主要考

查边长、对角线长、面积等的计算，题型有填空题、选择题，但更多的是证明题，求值计算

题、条件探索题、几何动态问题和与函数结合题.

♦备考兵法

1 .在求菱形的边长、角度、对角线长等问题时, ?通常是在某一个直角三角形中运用勾

股定理及有关直角三角形的知识来解决. 正方形的性质很多， 要根据题目的已知条件， 选择

?将所求的结

，一为0°矩形警

对/平行边形一角为直角且一组邻 B边相等

正方 平行四边形

正

万 矩形 菱形 形 -3 -

要使UABCD 成为矩形，需增加的条件是

特殊的平行四边形的性质

边 角 对角线

矩形

菱形

止方形

典例精析

例1 （浙江杭州）如果用4个相同的长为3宽为1的长方形，拼成一个大的长方形，那么这 个大的长方形的周长可以是

【答案】14或16或26

【解析】本题考查了学生的空间想象能力和发散思维能力。

出来后再进行求解。本题的不同拼法有:2. 特殊的平行四边形的判别条件

要使UABCD 成为菱形, 需增加的条件是

要使矩形ABCD成为正方形, 需增加的条件是

要使菱形ABCD成为正方形, 需增加的条件是

3.

例2 （浙江杭州） 如图，在菱形 ABCD中,/ A=110°, E, F分别

是边AB和BC的中点，EPX CD于点P,则/ FPC=（）

A.35 B.45 C.50 D.55

【答案】D

【解析】本题综合考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、三角形全等、 直角三角形斜边上

的中线的性质、三角形的内角和等知识点，是一道综合性很强的题目。 解答本题最好能将所有的拼法画 图2

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上的点，HA =EB =FC =GD , 连接EG, FH，交点为0 .

结论; GH , HE，试判断四边形 EFGH的形状，并证明你的

解答本题应首先延长 PF交AB的延长线于点 G根据题意，利用角角边可证明 ABGF也

ACPF，于是得到NFPC =NG , PF=FG所以在RtiEGP中，EF是斜边上的中线，于是

得到FE=FG所以NG =NFEG，又因为E、F分别为中点，所以 EB=FB所以，FE=FG=BF

2NFPC +70° =180°,解得 NFPC =55°。

所以 NFPC =NG =NBEF =NBFE，又因为/ A=110 °，所以 ZEBF = 70° ,因此,

例3 （年贵州贵阳）如图，已知面积为1的正方形 ABCD勺对角线相交于点

O过点0任意作一条直线分别交 AD BC于E F, 则阴影部分的面积

【答案】4或0.25.

【解析】本题综合考察了利用正方形的性质和全等三角形的判定的知识进行有关计算的能

力，属于基础题，依据已知和正方形的性质及全等三角形的判定可知△ AOE^A COF则得图

中阴影部分的面积为正方形面积的4,因为正方形的边长为1，则其面积为1，于是这个图

1

中阴影部分的面积为1。解答这类题时一般采取利用图形的全等的知识将分散的图形集中在

起，再结合图形的特征选择相应的公式求解。

例4（山东威海）如图1,在正方形ABCD中，E, F, G, H分别为边AB, BC, CD, DA D

P

C

G

图1 （1）如图2

B C

F

图3 -5 -

（2）将正方形 ABCD沿线段EG,HF剪开，再把得到的四个四边形按图 3的方式拼接

成一个四边形•若正方形 ABCD的边长为3cm, HA = EB = FC = GD = 1cm，则图3中

【分析】（1）结合条件观察图形 2容易发现：△ AEH BFE 4、CGF耳、DHG , 得出：四边形 EFGH是菱形；再由 △ DHG 4、AEH可知：DHG +NAHE =90 °从而

证得四边形EFGH是正方形.（2）连接EH HG GF FE,由第（1）小题可知：四边形EFGH

是正方形，可得阴影部分面积是 1.

【答案】（1）四边形EFGH是正方形.

证明：叮四边形ABCD是正方形,

/. NA =NB =NC =ND =90° AB =BC =CD = DA .

7 HA =EB =FC =GD ,

二 AE =BF =CG =DH .

/.△ AEH 4、BFE 4、CGF 4、DHG .

/. EF =FG =GH =HE .

二四边形EFGH是菱形.

由、DHG 4、AEH 知 NDHG =NAEH .

:ZAEH +NAHE =90° ,

:上 DHG +NAHE =90° .

「.NGHE =90° .

二四边形EFGH是正方形.

迎考精炼

、选择题

NAOC=45°, OC ，则点B的坐标为（

1.（吉林长春） 菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，

A. (72,1) B. (,) C.(后 1,1) D.(1,72+1) 阴影部分的面积为 2 cm . -6 -

C

2.（广西南宁） 如图, 将一个长为 10cm宽为8cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两

邻边中点的连线 （虚线） 剪下，再打开，得到的菱形的面积为（

2 A. 10cm B. 20cm 2 C. 40cm D. 2 80cm

C 2

3.（湖南长沙）如图，矩形 ABCD的两条对角线相交于点 O , NAOB =60° AB =2，则

矩形的对角线AC的长是（

A.

D

C C. D. 4/3

4.（湖北孝感）如图，正方形 ABCD内有两条相交线段 MN EF,

分别在边 AB CD AD BC上.小明认为：若 MN = EF,贝y MNL EF;

为：若MNL EF,贝U MN = EF.你认为（ M N E、F

小亮认

A.仅小明对 B.仅小亮对 C.两人都对 D.两人都不对

5.（黑龙江齐齐哈尔市） 梯形ABCD中，AD // BC , BC =4，厶 C

=70 ° , NB =40°，则AB的长为（

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

6.（山西）如图（1）,把一个长为 m、宽为n的长方形 (mA n) 沿虚线剪开，拼接成图

（2）,成为在一角去掉一个小正方形后的一个大正方形, 则去掉的小正方形的边长为 （ ）

B. m-n