正余弦定理三角形形状判断

试卷第1页，总7页 正余弦定理判定三角形形状-高考数学微专题突破

一、单选题

1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若22202cabab，则△ABC（ ）

A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形

C．一定是钝角三角形 D．是锐角或直角三角形

2．在ABC中，若323sinbaB，coscosAC，则ABC形状为（ ）

A．直角三角形 B．等腰三角形

C．等边三角形 D．等腰直角三角形

3．若()()3abcbcabc，且sin2sincosABC，那么ABC是（ ）

A．直角三角形 B．等边三角形

C．等腰三角形 D．等腰直角三角形

4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos22Abcc，则△ABC是（ ）

A．直角三角形 B．锐角三角形

C．等边三角形 D．等腰直角三角形

5．在ABC中，2sin22Caba，角A、B、C的对边分别为a、b、c，则ABC的形状为（ ）

A．等边三角形 B．等腰三角形

C．等腰直角三角形 D．直角三角形

6．在ABC中，若20ABBCAB，则ABC的形状一定是（ ）

A．等边三角形 B．直角三角形

C．等腰三角形 D．等腰直角三角形

7．若钝角三角形ABC的三边长,8,()abab成等差数列，则该等差数列的公差d的取值范围是（ ）

A．(2,4) B．(0,4) C．(2,6) D．(1,4)

8．在ABC中，abc，，分别是内角ABC，，的对边，若2223()4ABCabcS△（其中ABCS表示ABC的面积），且角A的平分线交BC于E，满足0AEBC，

试卷第2页，总7页 则ABC的形状是（ ）

A．有一个角是30的等腰三角形 B．等边三角形

C．直角三角形 D．等腰直角三角形

9．已知ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足222coscoscos1sinsinABCAC，且sinsin1AC，则ABC的形状为（ ）

1.三角形的有关性质

(1)在△ABC中，内角和定理：A＋B＋C＝π，A2＋B2＋C2＝π2中互补和互余的情况；

(2)a＋b>c，a－b

(3)在三角形中有：sin 2A＝sin 2B⇔A＝B或A+B＝π2⇔三角形为等腰或直角三角形；

cos2A=cos2B⇔A＝B⇔三角形为等腰三角形；

tan2A=tan2B⇔A＝B⇔三角形为等腰三角形；

(4) sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C，

tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tan C，sinA2＋B2＝sinπ2－C2＝cos C2，cosA2＋B2＝cosπ2－C2＝sinC2.

(5) 三角形中的边角关系:在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，

即在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B.

2.正弦定理和余弦定理

定理 正弦定理 余弦定理

内容

asin A＝bsin B＝csin C＝2R a2＝b2＋c2－2bccos A

b2＝a2＋c2－2accosB

c2＝a2＋b2－2abcosC

变形

形式 ①a＝2Rsin A，b＝2RsinB，c＝2RsinC

②sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R(其中R是△ABC外接圆半径)

③a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC

④a＋b＋csin A＋sin B＋sin C＝asin A cos A＝b2＋c2－a22bc

cos B＝a2＋c2－b22ac

cos C＝a2＋b2－c22ab

解决

的问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边．

②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角． ①已知三边，求各角；

②已知两边和它们的夹角，

一、判定三角形的形状

例1 根据下列条件判断三角形ABC的形状：

(1)若a2tanB=b2tanA；

解：由已知及正弦定理得

(2RsinA)2 BcosBsin= (2RsinB)2 AcosAsin

2sinAcosA=2sinBcosBsin2A=sin2B

2cos(A + B)sin(A – B)=0

∴ A + B=90o 或 A – B=0

所以△ABC是等腰三角形或直角三角形.

(2)b2sin2C + c2sin2B=2bccosBcosC;

解: 由正弦定理得

sin2Bsin2C=sinBsinCcosBcosC

∵ sinBsinC≠0, ∴ sinBsinC=cosBcosC,

即 cos(B + C)=0, ∴ B + C=90o, A=90o,

故△ABC是直角三角形.

3．12 判断三角形的形状

1．三角形形状的判定方法：

①化边为角；

②化角为边.

2．通过正弦、余弦定理实施边角转换.

3．通过三角变换探索角的关系，符号规律.

【典型例题】

例1．在ΔABC中，满足2cotcotcot2sinsinsin222222CBACBA试判断ΔABC的形状.

例2．在ΔABC中，已知)sin(sin)cos(tanBCABCB，试判断ΔABC的形状.

例3．在ΔABC中，BCCAtan2tan2tan2tan3且，求证：ΔABC是锐角三角形.

例4．在ΔABC中，满足.2tanbabaBA

（1）试判断ΔABC的形状.

（2）当a = 10，c =10时，求2tanA的值.

【基础训练】

1．在ΔABC中，sin2A + sin2B = sin2C，则ΔABC是____________.

2．在ΔABC中，a4+b4+c4－a2b2－b2c2－a2c2 = 0，则ΔABC是_____________.

1 第6讲 正弦定理和余弦定理

1.正弦定理、余弦定理

在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆的半径，则

2.在△ABC中，已知a，b和A时，三角形解的情况

3.三角形中常用的面积公式

(1)S＝12ah(h表示边a上的高)． 2 (2)S＝12bcsinA＝□0112acsinB＝□0212absinC.

(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．

1.概念辨析

(1)正弦定理和余弦定理对任意三角形都成立．( )

(2)在△ABC中，若sinA>sinB，则A>B.( )

(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．( )

(4)当b2＋c2－a2>0时，三角形ABC为锐角三角形．(

)

答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)×

2.小题热身

(1)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝5，c＝2，cosA＝23，则b＝( )

A.2 B.3 C．2 D．3

答案 D

解析 由余弦定理得5＝b2＋4－2×b×2×23，解得b＝3或b＝－13(舍去)，故选D.

(2)已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosAcosB＝ba＝2，则该三角形的形状是(

)

A.直角三角形 B．等腰三角形

C.等边三角形 D．钝角三角形

答案 A

解析 因为cosAcosB＝ba，由正弦定理得cosAcosB＝sinBsinA，所以sin2A＝sin2B.由ba＝2，可知a≠b，所以A≠B.又A，B∈(0，π)，所以2A＝180°－2B，即A＋B＝90°，所以C＝90°，于是△ABC是直角三角形．

(3)在△ABC中，a＝32，b＝23，cosC＝13，则△ABC的面积为________．

答案 43

解析 ∵cosC＝13，0

∴S△ABC＝12absinC＝12×32×23×223＝43.