正余弦定理三角形形状判断

正、余弦定理与三角形形状判断附答案一、使用正弦定理判断三角形性质的基本思路是将条件转化为边或角之间的关系，然后进一步判断。

二、使用余弦定理判断三角形性质的基本思路是关注特殊角的余弦值，将其转化为边与边之间的关系。

三、使用正弦和余弦定理综合判断三角形性质的基本思路是尽量统一边或角之间的关系，使得未知量的个数减少，从而可以得出结论。

常用的公式包括sinA=sin(π-A)=sin(B+C)，以及正弦值的比可以直接化为边的比值。

1、已知在△ABC中，b=c•cosA，可以通过正弦定理得到a²+b²=c²，因此可以判断△ABC为直角三角形。

2、已知在△ABC中，角A、B均为锐角，且cosA＞sinB，可以通过余弦定理得到cosA＞cos(π/2-B)，进一步得到A＜π/2-B，因此可以判断△ABC为钝角三角形。

3、已知在△ABC中，b=a•sinC，c=a•cosB，可以通过正弦和余弦定理得到a²+b²=c²和b=c，因此可以判断△ABC为等腰直角三角形。

4、已知在△ABC中，2sinA•cosB=sinC，可以通过正弦和余弦定理得到2a•cosB=c和a=b，因此可以判断△ABC为等腰三角形。

5、已知在△ABC中，sinA=2sinB•cosC，sinA=sinB+sinC，可以通过正弦定理得到a=b+c/2，进一步得到a=2bc/(b²+c²)，因此可以判断△ABC为等腰直角三角形。

6、已知在△ABC中，(a+b+c)(b+c-a)=3bc，sinA=2sinB•cosC，可以通过正弦和余弦定理得到a=b+c和a=b，因此可以判断△ABC为等边三角形。

已知在三角形ABC中，角B=60度，且b=ac。

根据余弦定理，cosB=b^2/(2ac)，化简得到ac=a^2+c^2-b^2=a^2+c^2-ac，进一步化简得到(a-c)^2=0，因此a=c。

1.三角形的有关性质(1)在△ABC 中，内角和定理：A ＋B ＋C ＝π，A 2＋B 2＋C 2＝π2中互补和互余的情况；(2)a ＋b>c ，a －b<c ；(3)在三角形中有：sin 2A ＝sin 2B ⇔A ＝B 或A+B ＝π2⇔三角形为等腰或直角三角形；cos2A=cos2B ⇔A ＝B ⇔三角形为等腰三角形； tan2A=tan2B ⇔A ＝B ⇔三角形为等腰三角形； (4) sin(A ＋B)＝sin(π－C)＝sin C ，cos(A ＋B)＝cos(π－C)＝－cos C ，tan(A ＋B)＝tan(π－C)＝－tan C ，sin ⎝⎛⎭⎫A 2＋B 2＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－C 2＝cos C 2，cos ⎝⎛⎭⎫A 2＋B 2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－C 2＝sin C 2. (5) 三角形中的边角关系:在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大， 即在△ABC 中，A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B.2.3.(1) ①S ＝12ah a ＝12bh b ＝12ch c (h a ，h b ，h c 分别是边a ，b ，c 上的高)；②S ＝12absin C ＝12bcsin A ＝12acsin B, 一般是已知哪一个角就使用哪一个公式；③S △ABC ＝s (s －a )(s －b )(s －c )(海伦公式)． ④S △ABC ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c)·r(r 是三角形内切圆的半径, R 是△ABC 外接圆半径)，并可由此计算R 、r. (2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化． 4.解三角形常见问题(1)已知一边和两角解三角形； (2)已知两边及其中一边的对角解三角形； (3)已知两边及其夹角解三角形；(4)已知三边解三角形；(5)三角形形状的判定； (6)三角形的面积问题； (7)正弦、余弦定理的综合应用． 5.解三角形应注意的问题(1)在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解或无解，所以要进行分类讨论．(2)在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解. 6.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．7.在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．用正弦定理有解的可分为以下情况，在△ABC 中，已知a ，b 和角A 时，解的情况如下：A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式 a ＝bsin A bsin A ＜a ＜ba ≥b a ＞b a ≤b 解的个数一解两解 一解一解无解8.利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角; 利用余弦定理判定三角形的形状？(以角A 为例)∵cos A 与b 2＋c 2－a 2同号，∴当b 2＋c 2－a 2＞0时，角A 为锐角，若可判定其他两角也为锐角，则三角形为锐角三角形； 当b 2＋c 2－a 2＝0时，角A 为直角，三角形为直角三角形； 当b 2＋c 2－a 2＜0时，角A 为钝角，三角形为钝角三角形．9.在解有关三角形的题目时，(1)要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制． 10.判定三角形形状的两种常用途径①通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断； ②利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断. 探究点一 正弦定理的应用例1 (1)在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°，求角A 、C 和边c ； (2)在△ABC 中，a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，求边b 和c.解 (1)由正弦定理a sin A ＝b sin B 得，sin A ＝32.∵a>b ，∴A>B ，∴A ＝60°或A ＝120°.当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°，c ＝bsin Csin B ＝6＋22； 当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°，c ＝bsin Csin B ＝6－22.综上，A ＝60°，C ＝75°，c ＝6＋22，或A ＝120°，C ＝15°，c ＝6－22. (2)∵B ＝60°，C ＝75°，∴A ＝45°.由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C，得b ＝a·sin B sin A ＝46，c ＝a·sin C sin A＝43＋4.∴b ＝46，c ＝43＋4.1．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c.若b ＝2asin B ，则角A 的大小为________．2. (1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c.已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C 等于 ( )A.725B.－725C.±725D.2425(2) (2010·广东)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则角A 的大小为________．3.已知在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且tanC ＝aba 2＋b 2－c 2，则角C 为( )A.π6B.π4C.π3D.3π44.已知△ABC 的三边长为a ，b ，c ，且面积S △ABC ＝14(b 2＋c 2－a 2)，则A ＝( )A.π4B.π6C.2π3D.π125.(1)在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________；(2)在△ABC 中，若a ＝50，b ＝256，A ＝45°，则B ＝________. 6．(2012·广东高考)在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( ) A.4 3 B.23 C. 3 D.327.(2013·辽宁)在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若asin Bcos C ＋csin Bcos A ＝12b,且a ＞b,则∠B 等于 ( )A.π6B.π3C.2π3D.5π61.解析：由正弦定理得sin B ＝2sin Asin B ，∵sin B ≠0，∴sin A ＝12，∴A ＝30°或A ＝150°.2.解析 (1)由正弦定理b sin B ＝c sin C ，将8b ＝5c 及C ＝2B 代入得b sin B ＝85b sin 2B ，化简得1sin B ＝852sin Bcos B，则cos B ＝45，所以cos C ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝2×(45)2－1＝725，故选A.(2)∵A ＋C ＝2B 且A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3.由正弦定理知：sin A ＝asin B b ＝12，又a<b ，∴A<B ，∴A ＝π6.3.解析：由已知及余弦定理，得sinC cosC ＝ab 2abcosC ，所以sinC ＝12.因为C 为锐角，所以C ＝π6.4.解析：因为S △ABC ＝12bcsinA ＝14(b 2＋c 2－a 2)，所以sinA ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝cosA ，故A ＝π4.5.解析 (1)∵在△ABC 中，tan A ＝13，C ＝150°，∴A 为锐角，∴sin A ＝110.又∵BC ＝1.∴根据正弦定理得AB ＝BC·sin C sin A ＝102.(2)由b>a ，得B>A ，由a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝bsin A a ＝25650×22＝32，∵0°<B<180° ∴B ＝60°或B ＝120°.6.解析：选B 由正弦定理得：BC sin A ＝AC sin B ，即32sin 60°＝AC sin 45°，所以AC ＝3232×22＝2 3.7.解析 由条件得a b sin Bcos C ＋c b sin Bcos A ＝12，依正弦定理，得sin Acos C ＋sin Ccos A ＝12，∴sin(A ＋C)＝12，从而sin B ＝12，又a ＞b ，且B ∈(0，π)，因此B ＝π6.【例2】不解三角形，判断下列三角形解的个数（1）5a =，4b =，120A =； （2）5a =，10b =，150A = ；（3）9a =，10b =，60A =； （4）18a =，24b =，44A =.解：（1）a b >，且A 为钝角，∴ ABC ∆有唯一解；（2）b a >，且A 为钝角，∴ ABC ∆有无解；（3）3sin 10532b A =⨯=，∴ sin b A a b <<，∴ ABC ∆有两解； （4）sin 24sin 4424sin 45122b A =<=，又1221824<<，故有两解.方法总结：已知三角形的两边和其中一边的对角，由正弦定理可以求出另一边的对角的正弦值，从而解出三角形，但这个三角形不一定有解.这类问题可以通过计算来判断，也可以通过画图用几何方法来判断.讨论时应注意两点： 一是其正弦值与“1”的大小关系，从而决定符合正弦值的角是否存在； 二是由此确定的角()0180有几个，它与已知角的和是否小于180.1.△ABC 中，a ＝5，b ＝3，sin B ＝22，则符合条件的三角形有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.0个2.在△ABC ，已知∠A ＝45°，AB ＝2，BC ＝2，则∠C 等于 ( ) A.30° B.60° C.120° D.30°或150°3.在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A.有一解 B.有两解C.无解D.有解但解的个数不确定4.ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，若2B A =，1a =，3b =，则c =（ ） A. 23 B. 2 C.25.在锐角ABC ∆中，角,A B 所对的边长分别为,a b .若2sin 3,a B b A =则角等于（ ） A.12π B.6π C.4π D.3π6.若==,则△ABC 是( )A.等边三角形B.直角三角形,且有一个角是30°C.等腰直角三角形D.等腰三角形,且有一个角是30°7.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a ＝2，b ＝22，且三角形有两解，则角A 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，π4 B.⎝⎛⎭⎫π4，π2 C.⎝⎛⎭⎫π4，3π4 D.⎝⎛⎭⎫π4，π3 8.在△ABC 中, 内角A, B, C 所对的边分别是a, b, c. 已知sin 3sin b A c B =, a = 3, 2cos 3B =. (1) 求b 的值; (2) 求sin 23B π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.1.解析：选B ∵asin B ＝102，∴asin B<b ＝3<a ＝5，∴符合条件的三角形有2个．2.解析 在△ABC 中，AB sin C ＝BC sin A ，∴2sin C ＝2sin 45°，∴sin C ＝12，又AB<BC ，∴∠C<∠A ，故∠C ＝30°.3.解析：选C 由正弦定理得b sin B ＝c sin C ，∴sin B ＝bsin Cc＝40×3220＝3>1.∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．4.【解析】选B.由A B 2=,则A B 2sin sin =，由正弦定理知Bb Aasin sin =,即A A A B A cos sin 232sin 3sin 3sin 1===, 所以cosA=23，所以A=6π，32π==A B ，所以2ππ=--=A B C ，所以431222=+=+=b a c ，c=2.5.【解题指南】本题先利用正弦定理BbA a sin sin =化简条件等式，注意条件“锐角三角形” . 【解析】选D.由2asinB=3b 得2sinAsinB=3sinB,得sinA=23,所以锐角A=3π. 6.解析:在△ABC 中,将a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,代入==得==,所以==1.所以tan B=tan C=1,所以B=C=45°.所以△ABC 是等腰直角三角形.故选C.7.[解析] 由条件知bsinA<a ，即22sinA<2，∴sinA<22，∵a<b ，∴A<B ，∴A 为锐角，∴0<A<π4.8.【解题指南】(1)根据正弦定理及sin 3sin b A c B =, a = 3求出a,c 的值，再由余弦定理求b 的值； (2)根据同角三角函数的基本关系式及二倍角公式求出cos 2B ，sin 2B ，再由两角差的正弦公式求值.【解析】(1) 在△ABC 中，由正弦定理得sin sin a b AB=，即sin sin b A a B =，又由sin 3sin b A c B =，可得，3a c =,又 a =3，故c=1，由2222cos ,b a c ac B =+-且2cos ,3B =可得 6.b =(2)由2cos 3B =，得5sin 3B =，进而得到21cos 22cos 1,9B B =-=-45sin 22sin cos .9B B B ==所以453sin 2sin 2cos cos 2sin .33318B B B +⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭πππ 探究点二 余弦定理的应用例1.已知a 、b 、c 分别是△ABC 中角A 、B 、C 的对边，且a 2＋c 2－b 2＝ac.(1)求角B 的大小；(2)若c ＝3a,求tan A 的值．解(1)∵a 2＋c 2－b 2＝ac ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12.∵0<B<π，∴B ＝π3. (2)方法一 将c ＝3a 代入a 2＋c 2－b 2＝ac ，得b ＝7a. 由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝5714.∵0<A<π，∴sin A ＝1－cos 2A ＝2114，∴tan A ＝sin A cos A ＝35. 方法二 将c ＝3a 代入a 2＋c 2－b 2＝ac ，得b ＝7a.由正弦定理，得sin B ＝7sin A.由(1)知，B ＝π3，∴sin A ＝2114.又b ＝7a>a ，∴B>A ，∴cos A ＝1－sin 2A ＝5714.∴tan A ＝sin A cos A ＝35.方法三 ∵c ＝3a ，由正弦定理，得sin C ＝3sin A.∵B ＝π3，∴C ＝π－(A ＋B)＝2π3－A ，∴sin(2π3－A)＝3sin A ，∴sin 2π3cos A －cos 2π3sin A ＝3sin A ，∴32cos A ＋12sin A ＝3sin A ，∴5sin A ＝3cos A ，∴tan A ＝sin A cos A ＝35.1.(2013年高考北京卷)在△ABC 中,若a=2,b+c=7,cos B=-,则b= .2.已知∆ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c.若a 2+ab+b 2-c 2=0，则角C 的大小是 .3.设△ABC 的内角A,B,C 所对边的长分别为a,b,c.若b+c=2a,则3sinA=5sinB,则角C= ( ) A.π3B.2π3C.3π4D.5π64.在△ABC 中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，B ＝2π3，b ＝13，a ＋c ＝4，求a. 5.若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足(a ＋b)2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( ) A.43 B.8－43 C.1 D.236.若△ABC 的内角A ，B ，C 满足6sin A ＝4sin B ＝3sin C ，则cos B ＝( ) A.154 B.34C.31516D.11167.在△ABC 中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对边，且sin 2A －sin 2C ＝(sinA －sinB)sinB ，则角C 等于( ) A.π6 B.π3 C.5π6 D.2π38. (2013·浙江)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＋sinBsinC ＝0，则tanA 的值是( ) A.33 B ．－33C. 3 D ．－ 3 9.(2013·安徽高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c.若b ＋c ＝2a ，3sin A ＝5sin B ，则角C ＝________. 10.已知△ABC 中，AB ＝3，BC ＝1，sinC ＝3cosC ，则△ABC 的面积为( ) A.32 B.52 C. 75 D.1141.解析:在△ABC 中,由b 2=a 2+c 2-2accos B 及b+c=7知,b 2=4+(7-b)2-2×2×(7-b)×.整理得15b-60=0,∴b=4.2.解π32212- cos 0- 222222=⇒-=+=⇒=++C ab c b a C c b ab a3.解由题设条件可得5233573⎧=⎪+=⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩a b b c a a b c b ，由余弦定理得222222257()()133cos 52223+-+-∠===-⨯b b b a b c C ab b，所以2π∠C =3。

正、余弦定理之判定三角形的形状一、运用正弦定理进行判断基本思路：运用正弦定理将条件全部转化为边（或角）之间的关系，进一步判断。

二、运用余弦定理进行判断基本思路：关注特殊角余弦值，往往向边与边之间的关系进行转化。

三、运用正、余弦定理综合判断基本思路：尽量统一边（或角）之间的关系，使3个未知量减少为2个未知量之间的关系往往可以导出结果；常用到sinA=sin(π-A)=sin(B+C)；正弦值的比可以直接化为边的比值。

1、已知在△ABC 中，A c b cos ∙=，试判断△ABC 的性状。

2、已知在△ABC 中，角A 、B 均为锐角，且B A sin cos ＞，试判断△ABC 的形状。

3、已知在△ABC 中，C a b sin ∙=，且)2sin(B a c -∙=π，试判断△ABC 的形状。

4、已知在△ABC 中，C B A sin cos sin 2=∙，试判断△ABC 的性状。

5、已知在△ABC 中，C B A cos sin 2sin ∙=，且C B A 222sin sin sin +=，试判断△ABC 的性状。

6、已知在△ABC 中，3bc a)-c c)(b b (a =+++，且cosC 2sinB sinA ∙=，试判断△ABC 的性状。

7、已知在△ABC 中，︒=∠60B ，且ac b =2，试判断△ABC 的性状。

8、已知在△ABC 中，︒=∠60B ，且c a b +=2，试判断△ABC 的性状。

9、已知在△ABC 中，c C b B a A cos cos sin ==，试判断△ABC 的性状。

10、已知在△ABC 中，)sin()()sin()(2222B A b a B A b a -∙+=+∙-，试判断△ABC 的性状。

11、在△ABC 中，B a C B A c b a sin 3)sin sin )(sin (∙=-+++，且B a A b cos cos ∙=∙，试判断△ABC 的性状。

利用正、余弦定理判断三角形的形状（1）在ABC △中,分别为角 的对边),则ABC △的形状为A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形（2）已知ABC △的三个内角满足sin sin sin 511:13A B C =:::，则ABC △是 A ．等腰三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形D ．钝角三角形（3）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若2222b c a bc +=+，且cos 0C =，则△ABC 是A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形【参考答案】（1）A ；（2）D ；（3）D ． 【试题解析】（1）∵2cos,22B a c c +=∴1cos ,22B a c c ++=∴cos ,a B c= ∴由余弦定理,得2222a c b aac c+-=,∴22222a c b a +-=，∴222.a b c += ∴ABC △为直角三角形.故选A.（2）由正弦定理可得::5:11:13a b c =，令5,11,13a t b t c t ===，则c 为最长的边，故角C 最大，由余弦定理可得22223cos 02110a b c C ab +-==-<，所以角C 为钝角，故ABC △是钝角三角形．故选D ．（3）由余弦定理，可得222cos 222b c a A bc bc +-===，[来源:学,科,网] 所以45A =︒，又cos 0C =，所以90C =︒，所以△ABC 是等腰直角三角形．[来源:学&科&网Z&X&X&K] 故选D ．【解题必备】判断三角形的形状有以下几种思路： ①转化为三角形的边来判断；②转化为角的三角函数（值）来判断． 可简记为“化角为边”、“化边为角”．1．在ABC △中， ， ，则ABC △一定是 A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形2．在ABC △中，cos cos a bB A=，则ABC △一定是 A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形3．在ABC △中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知2cos aB c=，则此三角形的形状为 A ．直角三角形 B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形4．已知在ABC △中， ，则ABC △的形状是 A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．等腰三角形 D ．直角三角形1．【答案】D【解析】由余弦定理可知 ， 而 ， ，所以 ，[来源:学#科#网Z#X#X#K] 而 ，所以ABC △一定是等边三角形. 故选D ． 2．【答案】D【解析】由正弦定理可知：sin sin a bA B=，[来源:学*科*网] 而已知cos cos a b B A =，所以cos sin cos sin B AA B=，[来源:学_科_网] 即sin cos sin cos sin 2sin 2A A B B A B ⋅=⋅⇒=，而,(0,π),A B ∈即2,2(0,2π)A B ∈， 所以22A B =或22πA B +=， 即A B =或π2A B +=， 所以ABC △是等腰三角形或直角三角形.故选D 3．【答案】B【解析】因为2cos a B c=，所以由正弦定理可得sin 2cos sin AB C =，即2sin cos sin C B A =，所以2sin cos sin cos cos sin C B B C B C =+， 因此sin cos sin cos C B B C =，所以tan tan C B =，所以B C =，即ABC △为等腰三角形.故选B. 4．【答案】D【解析】根据正弦定理，原式可变形为： ， 所以，整理得 ，，即ABC △是直角三角形.故选D ．。

正弦余弦定理判断三角形形状专题三角形是平面几何中最基本的图形之一，根据三个角或边的关系，我们可以判断三角形的形状。

在三角形的形状判断中，正弦余弦定理是一种常用的工具。

本文将以正弦余弦定理为基础，探讨如何判断三角形的形状，包括等边三角形、等腰三角形和直角三角形。

一、正弦余弦定理的基本概念在介绍如何判断三角形的形状之前，我们首先了解一下正弦余弦定理的基本概念。

正弦定理表达了三角形的边与其对应的角之间的关系，而余弦定理则描述了三角形的两条边和夹角的关系。

1. 正弦定理正弦定理可以表示为：在任意三角形ABC中，三边a、b、c与其对应的角A、B、C之间有以下关系：\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \]2. 余弦定理余弦定理可以表示为：在任意三角形ABC中，三边a、b、c与其对应的角A、B、C之间有以下关系：\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C \]二、判断等边三角形等边三角形是指三条边的长度相等的三角形。

根据正弦余弦定理，我们可以得出以下结论：如果在三角形ABC中，有a=b=c，则该三角形为等边三角形。

三、判断等腰三角形等腰三角形是指两条边的长度相等的三角形。

根据正弦余弦定理，我们可以得出以下结论：1. 如果在三角形ABC中，有a=b，则该三角形为等腰三角形。

2. 如果在三角形ABC中，有b=c，则该三角形为等腰三角形。

3. 如果在三角形ABC中，有a=c，则该三角形为等腰三角形。

四、判断直角三角形直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。

根据正弦余弦定理，我们可以得出以下结论：1. 如果在三角形ABC中，有$\sin A = 0$ 或 $\sin B = 0$ 或 $\sin C = 0$，则该三角形为直角三角形。

2. 如果在三角形ABC中，有$\cos A = 0$ 或 $\cos B = 0$ 或 $\cos C= 0$，则该三角形为直角三角形。

例1：已知△ABC 中,bsinB=csinC,且C B A 222sin sin sin +=,试判断三角形的形状．例２：在△ABC 中，若Ｂ= 60，２b=a+c,试判断△ABC 的形状.例3：在△ABC 中，已知22tan tan b a B A =，试判断△ABC 的形状． 例4：在△ABC 中，（1）已知sinA=2cosBsinC ，试判断三角形的形状；例6 例7的形例8 ） 例9△1、状。

所以三角形为锐角三角形。

3、在△ABC 中，已知sin sin B C ＝cos 22A试判断此三角形的类型.故此三角形是等腰三角形.4、(06陕西卷) 已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB →| ·AC→|AC →| =12,则△ABC 为( )A 、三边均不相等的三角形B 、直角三角形C 、等腰非等边三角形D 、等边三角形.为锐角判断此三角形的形状。

故此三角形是等腰直角三角形。

静安区校级模拟）若，则sinA+cosA=5．（2014春?禅城区期末）已知：在△ABC 中，，则此三角形为（ ） A ．直角三角形 B ． 等腰直角三角形 C ． 等腰三角形 D ． 等腰或直角三角形 6．已知△ABC 满足，则△ABC 是（ ）7．（2014?马鞍山二模）已知非零向量与满足且=． 则△ABC为（ ）9．（2014?黄冈模拟）已知在△ABC中，向量与满足（+）?=0，且?=，则△ABC为（）A．三边均不相等的三角形B．直角三角形C．等腰非等边三角形D．等边三角形10．（2014?奉贤区二模）三角形ABC中，设=，=，若?（+）＜0，则三角形ABC的形状是（）．已知向量，则且，则成等差数列，，则，若金台区校级期末）双曲线和椭圆19．（2014?红桥区二模）在△ABC中，“”是“△ABC为钝角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件20．（2014秋?德州期末）在△ABC中，若acosA=bcosB，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形21．在△ABC中，已知sinA=2sinBcosc，则△ABC的形状为．22．在△ABC中，若a=9，b=10，c=12，则△ABC的形状是．23．已知△ABC中，AB=，BC=1，tanC=，则AC等于．24．在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，则△ABC的形状一定是三角形．25．在△ABC中，已知c=2acosB，则△ABC的形状为．26．（2014春?常熟市校级期中）在△ABC中，若，则△ABC的形状是．27．（2014春?石家庄期末）在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则该△ABC是三角形（请你确定其是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形）．28．（2013春?遵义期中）△ABC中，b=a，B=2A，则△ABC为三角形．29．（2013秋?沧浪区校级期末）若△ABC的三个内角满足sinA：sinB：sinC=5：11：13，则△ABC为（填锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．）30．（2014春?宜昌期中）在△ABC中，sinA=2cosBsinC，则三角形为三角形．，则利用平方差公式，由，推出解：由，得：，∴故，从而得到cosC=﹣﹣﹣＜，=，即A=1+2sinAcosA=sinAcosA=（﹣﹣（，）＞5．（2014春?禅城区期末）已知：在△ABC中，，则此三角形为（）满足，则根据向量的加减运算法则，将已知化简得=+?，得?中，，∴=（﹣）+?=?+?即=+?，得?=0∴⊥7．（2014?马鞍山二模）已知非零向量与满足且=．则△ABC 为（），判断三角形是等腰三角形，通过求出等腰三角形的顶角，然后解：因为又因为abcosC==﹣＜9．（2014?黄冈模拟）已知在△ABC中，向量与满足（+）?=0，且?=，则△ABC=0解：设是菱形，|?=||?|BAC=，，∴∠中，设=，，若（+依题意，可知+；利用向量的数量积即可判断三角形解：∵=，=∴=+=∵（）＜∴?＜即||?||?cos||?|本题考查三角形的形状判断，=的应用是关键，考查转化思想与运算能力，属于中档题．11．（2015?温江区校级模拟）已知向量，则由数量积的坐标运算可得=解：由题意可得：（，（）＞又向量的夹角且，则2==，cosA=，又根据余弦定理得：cosA=∴=，13．（2014?咸阳三模）△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，，则△ABC一定是（）+=2．又∵c+a+b=转化为以与解：∵=﹣，=﹣，c+a+b=c a（﹣c﹣（==（+c+b﹣（（+=﹣（变形为：，即sin2B=sin2A，所以，所以cosA==，金台区校级期末）双曲线和椭圆双曲线和椭圆=1，“解：∵||?|“sin2A=A+B=cosC=＞AB=，可知=2中，若中，利用正弦定理将=，=，?=．cosC=b=ab=a，B=2AsinB=sinAsin2A=sinAcosA=，A=，则B=，C=，为钝角三cosC=＜。

如何正确判断三角形的形状正(余)弦定理是三角函数知识的重要组成部分,它揭示了三角形的边、角关系,是高考的热点之一。

利用正、余弦定理判断三角形的形状,是正、余弦定理应用的重要方面。

1 利用正弦定理判断三角形的形状1.1 在△ABC中,若a2tanB=b2tanA,判断△ABC的形状。

分析:正确使用正弦定理,将已知条件中的边化角后判断△ABC的形状。

解:在△ABC中,有正弦定理:===2Ra=2RsinA,b=2RsinB,∵a2tanB=b2tanA∴(2RsinA)2· =(2RsinB)2· 2sinA2cosA=2sinBcosBsin2A=sin2B,因为A、B为三角形的内角,∴2A=2B或2A=π-2BA=B或A+B=,所以△ABC为等腰三角形或直角三角形。

点评:本题利用正弦定理将已知条件转化成角的关系,利用诱导公式对条件进行化简、整理判断三角形的形状,同时注意角的关系有两种情况。

1.2 已知△ABC中,设=,=,=,则·=·=·判断△ABC的形状。

分析:要判断△ABC的形状,只需确定△ABC的三边或三角即可,此题解题的关键是建立向量的数量积与△ABC的边角关系。

解:如图所示:·=·得∵| |·||·cos(π-C)=| |·| |·cos(π-A), ∴| |·cosC=| |·cosA由正弦定理:a:c=sinA:sinC得sinAcosC=sinCcosA∴sin(A-C)=0,又∵-π<A-C<π ∴A-C=0即A=C,同理由·=·可得B=C,∴A=B=C即△ABC为正三角形。

点评:由===2Ra:b:c=sinA:sinB:sinC可以看出在题目中出现边的齐次式之比时,可以利用正弦定理将相应的边化为角。

2 利用余弦定理判断三角形的形状2.1 在△ABC中,若cos2=,试判断△ABC的形状。