1.1金属自由自由电子气体模型及基态性质解析

一,金属自由电子气体模型1.1 经典电子论特鲁德电子气模型：特鲁德提出了第一个固体微观理论利用微观概念计算宏观实验观测量自由电子气+波尔兹曼统计→欧姆定律电子平均自由程+分子运动论→电子的热导率特鲁德（Paul Drude ）模型的基本假设11.自由电子近似：传导电子由原子的价电子提供，离子实对电子的作用可以忽略不计，离子实的作用维持整个金属晶体的电中性，与电子发生碰撞。

2.独立电子近似：电子与电子之间的相互作用可以忽略不计。

外电场为零时，忽略电子之间的碰撞，两次碰撞（与离子实碰撞）之间电子自由飞行（与经典气体模型不同，电子之间没有碰撞，电子只与离子实发生碰撞，这一点我们将在能带论中证明是错误的。

）特鲁德（Paul Drude ）模型的基本假设23.玻尔兹曼统计：自由电子服从玻尔兹曼统计。

4.弛豫时间近似：电子在单位时间内碰撞一次的几率为1/τ，τ称为弛豫时间（即平均自由时间）。

每次碰撞时，电子失去它在电场作用下获得的能量，即电子和周围环境达到热平衡仅仅是通过与原子实的碰撞实现的。

特鲁德模型的成功之处——成功解释了欧姆定律欧姆定律E j ρ=（或j E σ=），其中E 为外加电场强度、ρ为电阻率、j 为电流密度。

202()1I j nev ne Sj E eEt m v v E j m ne eE m v m τρτστρ⎧==-⎪⎧=⎪⎪-⎪⎪=+⇒⇒=⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩=-⎪⎩r1.2.经典模型的另一困难：传导电子的热容根据理想气体模型，一个自由粒子的平均热量为3/2B k T ，故333(),222A B e U U N k T RT C R T ∂====∂33/29v ph e C C C R R =+=+≈（卡/molK.）但金属在高温时实验值只有6（卡/molK.），即3v C R ≈。

1.3 Sommerfeld 的自由电子论1925年：泡利不相容原理1926年：费米—狄拉克量子统计 1927年：索末菲半经典电子论抛弃了特鲁德模型中的玻尔兹曼统计，认为电子气服从费米—狄拉克量子统计得出了费米能级，费米面等重要概念，并成功地解决了电子比热比经典值小等经典模型所无法解释的问题。

d
+
x
电子具有波粒二象性 障碍物尺寸 >> 波长 阴影 障碍物尺寸 << 波长 无影响 障碍物尺寸 波长 衍射
电子德布罗意波长 >> 离子间距 d 电子几乎不会受正离子周期性库仑势 场影响，只能感受到金属边界的束缚 把金属中的公共电子近似看作处于三维无限深 方势阱中的自由电子气的简化模型称为自由电子气 模型。
二、自由电子气的费米能量： 金属中自由电子近似处于 3 维无限深方势阱中， 解定态薛定锷方程 z a 2 2 2 2 2 E 2 2 2m x y z y 金属 (0 x, y, z a) a a 3 方向驻波 x y x z
EF TF ~ 10 4 K k
费米速度 vF
1 EF m vF , 2
即使在绝对零度下，电子仍然剧烈地运动着。 费米温度 TF
EF kTF ,
这是从另一角度表示量子理论和经典理论在 电子能量状态上的差别，是指按经典理论电子具 有费米能量时的温度。
三、态密度： 3/ 2 1 E 3/ 2 对 ns (2m) 2 3 求导，得 E 附近单位能量区 3 kT 间的量子态数，即态密度
电子在能带中排布时，应从最低能级排起。
二、固体导电性能的能带论解释： 电子刚好填充完毕的能带由价电子占据，称为价带。 T = 0K 时有空量子态存在的能带叫导带。
能带之间没有量子态存在的区域叫禁带。 金刚石 Si Na
3p 3s 导带 导带
价带 导体有未填满的价带，当有外加电场时，价带电 子被加速，从电场中获得能量，可跃迁至价带中较高 的空能级，因而能够形成电流。
Li
Al
利用量子力 学理论计算 的几种金属 态密度曲线

当 T > 0 K 时，费米分布函数有
⎧
⎪1
f
(ε
)
=
⎪ ⎨0
⎪ ⎪
1
⎩2
ε << µ ε >> µ
ε =µ
下图给出了在基态 T=0K 和较低温度下 T > 0 K 时的费米分布函数。
基态和较低温度下的费米分布函数
从
− ∂f ∂ε
=
1 kBT
1 e(ε −µ ) kBT
1 + 1 e-(ε −µ ) kBT
对于自由电子气体，能量为
εn (k ) =
2k 2 2m
∇kεn (k )
=
2
m
k
；
k
=
1
(2mε
)
1 2
三维下，对应等能面为球面，所以单位体积的能态密度为：
∫ g (ε ) = 2
n
(2π )3
dsε
=2
4π k 2 =
1
(2m3
)
1 2
ε
1 2
∇k εn (k ) 8π 3 2k / m π 2 3
米波矢、费米能量、费米速度、费米温度等。
5. 如何理解金属自由电子气体的简并性？
答 ：在 统 计 物 理 中 ，把 体 系 与 经 典 行 为 的 偏 离 ，称 为 简 并 性 (degeneracy)。在
绝对零度时电子仍有相当大的平均能量，这与经典的结果是截然不同的。按照经
典 的 自 由 电 子 气 体 (Drude)的 模 型 ，电 子 在 T=0 时 的 平 均 能 量 为 零 。因 此 ，在 T=0K
如此对全部电子气来说要出现沿磁感应强度 B 方向的净磁矩，因而，出现了泡利

§8.5金属中的自由电子气体
三、T>0K时金属中自由电子的性质 1. T>0K 时自由电子的分布函数
1 f 2 1 f 2 1 f 2
f
kT
1 e
( ) / kT
1
e
随ε按指数规律变化。
实际上只在μ0 附近数量级为kT 的范围内， 电子的分布才与0K 时有显著差异.。
fermi积分??2???uforcnforc232123324mhvc????????????????12?220d?ktu??????????????????????????8515212232522225222125????ktcktc????????????????????????1222223023dc??ktc21iii85金属中的自由电子气体??2??????????????22238132??cktn????????????????222585152??cktu32?232?8123???????????????????????ktcn0t32?230?????cn?32?220810???????????????????kt?????????????????2201210???ktkt023324mhvc32?22320?????vnm??第二项很小可用0代替85金属中的自由电子气体????????????????222585152??cktu??????2???????????2201210???kt?????????????????????????????????22522258510121052???cktktu??????cn23023????????????????????????????????????22252208510121053???nktktut0k时自由电子气体热容量tktnktucvv0202?????????????????????????2???????????????2222085102451053???nktktu????????????????201251053??nktu85金属中的自由电子气体t0k时自由电子气体热容量tktnktucvv0202?????????fvttnkktnkc2323?????????与估算的结果仅有系数的差异根据系综理论足够低的温度下电子热容量将大于离子振动的热容量而成为对金属热容量的主要贡献