一次函数中的直角坐标系

一次函数与平面直角坐标系的关系好吧，今天咱们聊聊一次函数和那个平面直角坐标系的关系。

哎呀，听起来有点儿枯燥对吧？其实一点儿都不！咱们把这事儿说得简单点，让你听得明明白白，乐得不行。

什么是一条一次函数的直线呢？其实它就像生活中的很多事情，有个开始，然后一路往前走。

就像你和朋友约好去吃饭，从家里出发，一步一步走到餐厅。

这里的起点，就是你家。

然后，你走的每一步，代表着你离目标的距离。

简单吧？一次函数就是这样一种关系，表示着一种线性变化。

它的标准形式是 (y = mx + b)，听起来有点儿学术，但别担心，咱们只要记住这几个字母就行了。

在这公式里，(m) 是斜率，咱们可以想象成你上坡的陡峭程度。

坡度越大，走起来就越累，就像你爬山的时候，越是陡的地方，越让人喘不过气来。

反过来，(b) 就是 y轴上的截距，简单说就是你在 y 轴上的起点。

如果把这条直线画出来，哇塞，就像一条划过纸上的闪电，真的很帅气。

现在，想象一下，你在坐标系上画一条线。

横着的是 x 轴，竖着的是 y 轴。

你在这两条轴上，随便选个点。

那就是你的出发点，接着根据一次函数的公式，画出这条线。

它就是你在生活中的各种选择，或者说是梦想的道路。

每一步，都是向着目标迈进。

再看看这条线，它可能很平滑，也可能有点儿波折，这就像人生，有高兴也有低谷。

直线的方向告诉你很多事儿。

比如说，它向上走，那就是事业顺风顺水，生活红红火火。

如果线条向下走，那可能就是最近有点不顺，心情也跟着低落。

看吧，这些看似简单的线条，背后藏着的可是大智慧呢！而且啊，不同的直线代表了不同的关系。

你和朋友的关系、家庭的关系，甚至工作上的合作，都是通过这条线的斜率和截距在反映。

不过呢，这些公式和线条可不是死板的东西。

它们是活生生的，跟我们的生活息息相关。

比如说，想象你要开一家小店，售卖你最爱的零食。

你投入的资金就是 y 轴，销售额就是 x 轴。

你可以通过一次函数来预测你可能的收入，这可比盲目猜测靠谱多了。

平面直角坐标系.一次函数知识概念平面直角坐标系一.知识概念1.有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对，记做（a,b）2.平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。

3.横轴、纵轴、原点：水平的数轴称为x轴或横轴；竖直的数轴称为y轴或纵轴；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。

4.坐标：对于平面内任一点P，过P分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别在x轴，y 轴上，对应的数a,b分别叫点P的横坐标和纵坐标。

5.象限：两条坐标轴把平面分成四个部分，右上部分叫第一象限，按逆时针方向一次叫第二象限、第三象限、第四象限。

坐标轴上的点不在任何一个象限内。

平面直角坐标系是数轴由一维到二维的过渡，同时它又是学习函数的基础，起到承上启下的作用。

另外，平面直角坐标系将平面内的点与数结合起来，体现了数形结合的思想。

掌握本节内容对以后学习和生活有着积极的意义。

教师在讲授本章内容时应多从实际情形出发，通过对平面上的点的位置确定发展学生创新能力和应用意识。

一次函数一.知识概念1.一次函数：若两个变量x,y间的关系式可以表示成y=kx+b(k≠0)的形式,则称y是x的一次函数(x为自变量,y为因变量)。

特别地,当b=0时,称y是x的正比例函数。

2.(0,0)的一条直线。

3.正比例函数y=kx（k≠0）的图象是一条经过原点的直线，当k>0时，直线y=kx 经过第一、三象限,y随x的增大而增大，当k<0时，直线y=kx经过第二、四象限,y 随x的增大而减小，在一次函数y=kx+b中:当k>0时,y随x的增大而增大; 当k<0时,y随x的增大而减小。

4.已知两点坐标求函数解析式：待定系数法一次函数是初中学生学习函数的开始，也是今后学习其它函数知识的基石。

在学习本章内容时，教师应该多从实际问题出发，引出变量，从具体到抽象的认识事物。

培养学生良好的变化与对应意识，体会数形结合的思想。

北京四中编稿：王润岚审稿：谷丹责编：赵云洁平面直角坐标系一、内容综述：1、平面直角坐标系：平面内有公共原点并且互相垂直的两条数轴，构成平面直角坐标系。

在平面直角坐标系内，对于平面内任意一点，都有一对有序实数和它对应，反过来，对于任意一对有序实数，在坐标平面内都有一个确定的点和它对应。

2、各象限内点的坐标的特征：（1）如图，各象限点的符号情况。

（2）设P1（x1, y1）, P2（x2, y2），P1、P2关于x轴对称x1=x2且y1=-y2；P1、P2关于y轴对称x1=-x2且y1=y2；P1、P2关于原点对称x1=-x2且y1=-y2.（3）平行于坐标轴直线上两点的坐标：直线P1P2平行于x轴x1≠x2且y2=y1；直线P1P2平行于y轴x1=x2且y2≠y1.3、象限角平分线上点的坐标设P（x, y）若P点在第一、三象限角平分线上x=y，若P点在第二、四象限角平分线上x=-y.4、距离（1）若P（x, y）(xy≠0)，则P点到原点距离为。

（2）若P（x, y）(xy≠0)，则P点到x轴距离为|y|，则P点到y轴距离为|x|.（3）若P1（x, 0）, P2（0, y），则P1与P2的距离为。

（4）若P1（x1, 0）, P2（x2, 0）且x1≠x2，则P1、P2两点间距离为|x1-x2|，若P1、P2在平行于x轴的直线上，即P1（x1, y1），P2（x2, y2）且x1≠x2，y1=y2，则P1，P2两点间距离为|x1-x2|。

（若P1，P2两点在y轴上，或在平行于y轴的直线上，P1，P2两点距离为|y1-y2|）。

（5）若P1（x1, y1）且(x1y1≠0), P2（x2, 0）且x1≠x2, 则P1，P2两点距离为。

二、例题分析：例1，已知点M（3a-8, a-1），分别根据下列条件求出M点坐标。

（1）点M在y轴上；（2）点M在第二、四象限角的平分线上；（3）点M在第二象限，并且a为整数；（4）N点坐标（3，-6），并且直线MN//x轴。

一次函数的图像前言我们知道函数是输入自变量，输出因变量的一种对应关系。

那么如果我们想要把函数画出来，就需要同时表示自变量和因变量两个值。

这个问题被法国数学家笛卡尔所解决，所使用的方法也因此用笛卡尔命名。

平面直角坐标系为了表示自变量和因变量两个值，笛卡尔选择使用两条数轴，一条横的一条竖的，让两条数轴在原点相交，并且互相垂直。

这样平面上的每一个点，就能够分别对应横向和纵向的两个数了。

这被叫做平面直角坐标系，或者笛卡尔坐标系。

探索：坐标系可不可以不垂直？（非正交坐标）探索：除了两条数轴，还能有别的坐标系吗？（极坐标）探索：如果把一个坐标当作数，可以建立计算规则吗？（向量）可以看到平面被两条数轴切成了四部分，也叫四个象限，我们把x轴和y轴都是正半轴的部分叫做第一象限，逆时针依次是第二三四象限。

练习：在平面直角坐标系上表示 (0,1),(−12,3),(2,−1) ，并说明它们在第几象限。

函数图像通常我们把横轴叫做x轴，表示自变量，纵轴叫做y轴，表示因变量。

我们知道数轴可以表示所有的实数，所以只要把x轴每个x对应的函数值在y轴上表示出来就行，即画出所有的 (x,y(x)) 。

例如对于函数y(x)=1，我们知道不管x是多少，函数值都是1，所以得到图像如下：可以看出，任何的x对应的y值都是1，也就是函数y(x)=1。

如果函数的定义域有限制，那么我们就只画有定义的部分，例如 y(x)=−2x,x≥0 ，定义域要求x非负，我们就只画非负的部分，得到：我们可以用图像表示许多函数，例如 y(x)=x34−2x+x−1x+3 ：一次函数的图像接下来我们着重讨论一次函数的图像。

把一次函数画出来，可以发现一次函数在平面直角坐标系上都是一条直线。

例如y(x)=x+1的图像如下：我们知道两个数据能够确定一次函数，而在几何上，我们定义两点确定一条直线。

探索：如何证明一次函数图像是一条直线？练习：在同一个坐标系内画出 y1(x)=−12x,y2(x)=2x−3,y3(x)=−x+3 。

中考复习——平面直角坐标系、一次函数、反比例函数【知识梳理】一、平面直角坐标系1. 坐标平面上的点与 有序实数对 构成一一对应；2. 各象限点的坐标的符号；3. 坐标轴上的点的坐标特征．4. 点P （a ，b ）关于x 轴对称的点的坐标为 ；关于y 轴对称的点的坐标为 ；关于原点对称的点的坐标为5.两点之间的距离二、函数的概念1.概念：在一个变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有 的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数.2.自变量的取值范围： （1）使解析式 （2）实际问题具有 意义3.函数的表示方法； （1） （2） （3） 三、一次函数的概念、图象、性质1．正比例函数的一般形式是 （ ），一次函数的一般形式是 (k≠0). 2. 一次函数y kx b =+的图象是经过（ ， ）和（ ， ）两点的一条直线.4.若两个一次函数解析式中，k 相等，表示两直线 ；若两直线垂直，则 。

5.的大小决定直线的倾斜程度，越大，直线越 ；四、反比例函数的概念、图象、性质1．反比例函数：一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成y ＝ 或 或 （k 为常数，k≠0）的形式，那么称y 是x 的反比例函数． 2. 反比例函数的图象和性质k ＞0，b ＞0k ＞0，b ＜0k ＜0，b ＞0k ＜0，21212211P P )0()0()2(y y y P y P -＝，　，，，21212211P P )0()0()1(x x x P x P -＝，　，　，，　3．k 的几何含义：反比例函数y ＝k x(k≠0)中比例系数k 的几何意义，即过双曲线y ＝k x(k≠0)上任意一点P 作x 轴、y 轴垂线，设垂足分别为A 、B ，则所得矩形OAPB 的面积为 。

【例题精讲】 例1.函数22y x =-中自变量x 的取值范围是 ;函数y =x 的取值范围是 ．例2.已知点(13)A m -，与点(21)B n +，关于x 轴对称，则m = ，n = ． 例3.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是（10，0），点B 的 坐标为（8，0）,点C 、D 在以OA 为直径的半圆M 上,且四边形OCDB 是平行四边形，点C 的坐标为例4．一次函数y=(3a+2)x －(4－b),求满足下列条件的a 、b 的取值范围。

一、含参解析式1、对于一次函数y＝2x+b，在平面直角坐标系中画出草图（至少三条），图像之间的位置关系是；图像与y轴的交点坐标是。

2、对于一次函数y＝kx+2，在平面直角坐标系中画出草图（至少三条），图像之间的关系；可以认为图像绕点旋转。

3、对于一次函数y＝kx-k，在平面直角坐标系中画出草图（至少三条），图像之间的关系；此函数表达式可以整理为，图像必过点，可以认为图像绕点旋转。

4、对于一次函数y＝kx+2-3k，在平面直角坐标系中画出草图（至少三条），图像之间的关系；此函数表达式可以整理为，图像必过点，可以认为图像绕点旋转。

二、与线段的交点问题1、已知在平面直角坐标系中，点A(1,3),点B（4,3）,点C(-3,1），点D（4，-2），连接AB,AC,BD.(1)当一次函数y＝kx的经过点A时，k的值为，经过点B时，k的值为，当图像与线段AB有交点时，k的取值范围为。

(2)当一次函数y＝3x-b的图像与线段AB有交点时，b的取值范围是。

(3)当一次函数y＝kx+2的图像经过点A时，k的值为，经过点C时，k的值为，当图像与线段AC有交点时，k的取值范围是。

(4)当一次函数y＝kx+k的图像与线段AC有交点时，k的取值范围是。

(5)当一次函数y＝-x+b的图像与线段AC所在直线交点在第二象限时,b的取值范围是。

(6)当一次函数y＝kx+k+1的图像经过点B时，k的值为，经过点D时，k的值为，当图像与线段BD有交点时，k的取值范围是。

总结：一次函数与线段的交点问题实质是找临界点，临界点一般是线段的两个端点。

直线和直线的交点问题一般有两种情况:(1)交点所在象限限定，可以通过列方程，根据象限点的坐标特征，结合不等式求解。

可以将直线与x轴或y轴的交点作为临界点求解。

例1、当m 1时，直线y＝x+2m与直线y＝-x+4的交点在第象限。

例2、例3、例4、。

题目：
在平面直角坐标系中，一次函数的图像与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标三角形。

例如，途中的一次函数的图像与X,Y轴人别交与点A,B，则△OAB为此函数的坐标三
角形
1.求函数Y=-3/4X+3的坐标三角形的三条边长
2.若函数Y=-3/4X+b的坐标三角形周长为16，求此三角形的面积
答案
解析：根据题意，坐标三角形的三个顶点分别是一次函数与X轴的交点、与Y轴的交点以及坐标系原点，故本题的思路是先根据一次函数的解析式求出它与两个坐标轴的交点坐标，根据坐标在图中画出对应的三角形，然后求解。

1）Y=-3/4X+3与X轴的交点为A(4,0)，与Y轴交点为B(0,3)，由于三角形为直角三角形，故三条边长分别为|A0|=4，|BO|=3，|AB|=5（勾股定理）
2）Y=-3/4X+b与X轴的交点为A(4b/3,0)，与Y轴交点为B(0,b)，由上一题得到启示，其实坐标三角形均为直角三角形。

故三条边长分别为|A0|=|4b/3|，|BO|=|b|，|AB|=|5b/3|，周长为|AO|+|BO|+|AB|=4|b|=16，得|b|=4。

面积为1/2*|A0|*|BO|=1/2*|4b/3|*|b|=2/3*|b|*|b|=32/3。

一、平面直角坐标系 １. 有序数对有顺序的两个数a 与b 组成的数对叫做有序数对，记作(),a b ．利用有序数对，可以准确地表示出一个位置．２. 平面直角坐标系定义：平面直角坐标系是由两条互相垂直的数轴组成，且两轴的交点是原点，同一数轴上的单位长度是一样的，但两轴上的单位长度不一定相同.注意数轴有三个要素——原点、正方向和单位长度.我们规定水平的数轴叫做横轴，取向右为正方向；另一数轴叫纵轴，取向上为正方向.知识点睛中考要求平面直角坐标系与一次函数３. 象限和轴：横轴（x 轴）上的点（x ，y ）的坐标满足：0y =；纵轴（y 轴）上的点（x ，y ）的坐标满足：0x =；第一象限内的点（x ，y ）的坐标满足：00x y >⎧⎨>⎩；第二象限内的点（x ，y ）的坐标满足：00x y <⎧⎨>⎩；第三象限内的点（x ，y ）的坐标满足：00x y <⎧⎨<⎩；第四象限内的点（x ，y ）的坐标满足：00x y >⎧⎨<⎩；４. 点的坐标：已知点P 分别向x 轴和y 轴作垂线，设垂足分别是A 、B ，这两点在x 轴、y 轴的坐标分别是a 、b ，则点P 的坐标为（a ，b ）.点的坐标是一对有序数，横坐标写在纵坐标前面，中间用“，”号隔开，再用小括号括起来.５. 特殊直线：与横轴平行的直线：点表示法（x ，m ），x 为任意实数，0m ≠的常数（即直线y m =）；与纵轴平行的直线：点表示法（n ，y ），y 为任意实数，0n ≠的常数（即直线x n =）； 一、三象限角平分线：点表示法（x ，y ），x ，y 为任意实数，且x y =； 二、四象限角平分线：点表示法（x ，y ），x ，y 为任意实数，且x y =-；６. 点到线的距离点（a ，b ）到直线y m =（m 为常数）的距离为b m -，当0m =时，就是点到横轴（x 轴）的 距离为b ；点（a ，b ）到直线x n =（n 为常数）的距离为a n -，当0n =时，就是点到纵轴（y 轴）的距离为a ；这个知识点在已知三点的坐标求三角形面积时会用到.７. 对称：①点（x ，y ）关于横轴（x 轴）的对称点为（x ，y -）； ②点（x ，y ）关于纵轴（y 轴）的对称点为（x -，y ）；③点（x ，y ）关于原点（0，0）的对称点为（x -，y -）； ④点（x ，y ）关于点（a ，b ）的对称点为（2a x -，2b y -）；８. 平移：⑴点平移：①将点（x ，y ）向右（或向左）平移a 个单位可得对应点（x a +，y ）或（x a -，y ）. ②将点（x ，y ）向上（或下）平移b 个单位，可得对应点（x ，y b +）或（x ，y b -）. ⑵图形平移：①把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个正数a ，相应的新图形就是把原图形向右（或 向左）平移a 个单位.②如果把图形各个点的纵坐标都加上（减去）一个正数a ，相应的新图形就是把原图形向上（或 向下）平移a 个单位.二、函数与变量 常量与变量的概念：我们在现实生活中所遇到的一些实际问题，存在一些数量关系，其中有的量永远不变，同时也出现了一些数值会发生变化的两个量，且这两个量之间相互依赖、密切相关．在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量．在某一变化过程中，有两个量，例如x 和y ，对于x 的每一个值，y 都有惟一的值与之对应，其中x 是自变量，y 是因变量，此时也称y 是x 的函数．在一些变化过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量．例如：圆的面积S 与圆的半径r 存在相应的关系：2πS r =，这里π表示圆周率；它的数值不会变化，是常量，S 随着r 的变化而变化，r 是自变量，S 是因变量；◆ “y 有唯一值与x 对应”是指在自变量的取值范围内，x 每取一个确定值，y 都唯一的值与之相对应，否则y 不是x 的函数．◆ 判断两个变量是否有函数关系,不仅要有关系式，还要满足上述确定的对应关系．x 取不同的值，y 的取值可以相同． 例如:函数2(3)y x =-中，2x =时，1y =；4x =时，1y =．◆ 函数不是数，它是指在一个变化过程中两个变量之间的关系，函数本质就是变量间的对应关系．数学上表示函数关系的方法通常有三种：⑴解析法：用数学式子表示函数的方法叫做解析法．譬如：30S t =，2S R π=． ⑵列表法：通过列表表示函数的方法．⑶图象法：用图象直观、形象地表示一个函数的方法．关于函数的关系式(即解析式)的理解：● 函数关系式是等式． 例如4y x =就是一个函数关系式． ● 函数关系式中指明了那个是自变量，哪个是函数．通常等式右边代数式中的变量是自变量，等式左边的一个字母表示函数．例如：y =x 是自变量，y 是x 的函数． ● 函数关系式在书写时有顺序性．例如：31y x =-+是表示y 是x 的函数，若写成13yx -=就表示x 是y 的函数． ● 求y 与x 的函数关系时，必须是只用变量x 的代数式表示y ，得到的等式右边只含x 的代数式．自变量的取值范围：很多函数中，自变量由于受到很多条件的限制，有自己的取值范围，例如y =中，自变量x 受到开平方运算的限制，有10x -≥即1x ≥；当汽车行进的速度为每小时80公里时，它行进的路程s 与时间t 的关系式为80s t =；这里t 的实际意义影响t 的取值范围t 应该为非负数，即0t ≥． 在初中阶段，自变量的取值范围考虑下面几个方面： ⑴根式：当根指数为偶数时，被开方数为非负数． ⑵分母中含有自变量：分母不为0．⑶实际问题：符合实际意义．函数图象：函数的图象是由平面直角中的一系列点组成的．描点法画函数图象的步骤：⑴列表； ⑵描点； ⑶连线．函数解析式与函数图象的关系：⑴满足函数解析式的有序实数对为坐标的点一定在函数图象上； ⑵函数图象上点的坐标满足函数解析式．三、一次函数及其性质● 知识点一 一次函数的定义一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，0k ≠）的函数，叫做一次函数，当0b =时，即y kx =，这时即是前一节所学过的正比例函数．⑴一次函数的解析式的形式是y kx b =+，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．⑵当0b =，0k ≠时，y kx =仍是一次函数． ⑶当0b =，0k =时，它不是一次函数．⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．● 知识点二 一次函数的图象及其画法⑴一次函数y kx b =+（0k ≠，k ，b 为常数）的图象是一条直线． ⑵由于两点确定一条直线，所以在平面直角坐标系内画一次函数的图象时，只要先描出两个点，再连成直线即可．①如果这个函数是正比例函数，通常取()00，，()1k ，两点； ②如果这个函数是一般的一次函数（0b ≠），通常取()0b ，，0b k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，即直线与两坐标轴的交点．⑶由函数图象的意义知，满足函数关系式y kx b =+的点()x y ，在其对应的图象上，这个图象就是一条直线l ，反之，直线l 上的点的坐标()x y ，满足y kx b =+，也就是说，直线l 与y kx b =+是一一对应的，所以通常把一次函数y kx b =+的图象叫做直线l ：y kx b =+，有时直接称为直线y kx b =+．● 知识点三 一次函数的性质⑴当0k >时，一次函数y kx b =+的图象从左到右上升，y 随x 的增大而增大； ⑵当0k <时，一次函数y kx b =+的图象从左到右下降，y 随x 的增大而减小．● 知识点四 一次函数y kx b =+的图象、性质与k 、b 的符号⑵一次函数y kx b =+中，当0k >时，其图象一定经过一、三象限；当0k <时，其图象一定经过二、四象限．当0b >时，图象与y 轴交点在x 轴上方，所以其图象一定经过一、二象限；当0b <时，图象与y 轴交点在x 轴下方，所以其图象一定经过三、四象限．反之，由一次函数y kx b =+的图象的位置也可以确定其系数k 、b 的符号．知识点五 用待定系数法求一次函数的解析式⑴定义：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待字系数法． ⑵用待定系数法求函数解析式的一般步骤： ①根据已知条件写出含有待定系数的解析式； ②将x y ，的几对值，或图象上的几个点的坐标代入上述的解析式中，得到以待定系数为未知数的方程或方程组； ③解方程（组），得到待定系数的值； ④将求出的待定系数代回所求的函数解析式中，得到所求的函数解析式．板块一、平面直角坐标系【例1】 ⑴在平面直角坐标系中，点()12A x x --，在第一象限，则x 的取值范围是 ；⑵ 点12,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭在第二象限的角平分线上，则a = ；⑶如果点()12P m m -，在第四象限，那么m 的取值范围是（ ） A ．210<<m B ．021<<-m C ．0<m D ．21>m ⑷对任意实数x ，点2(2)P x x x -，一定不在．．（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【例2】 ⑴点()35P -，关于x 轴对称的点的坐标为（ ） A ．()35--，B ．()53，C ．()35-，D ．()35， ⑵点()21P -，关于y 轴对称的点的坐标为（ ） A ．()21--，B ．()21，C ．()21-，D ．()21-，⑶在平面直角坐标系中，点()23P -，关于原点对称点P '的坐标是 ． ⑷已知点P (1a +，21a -)关于x 轴的对称点在第一象限，求a 的取值范围．【例3】 ⑴ 如图，在平面直角坐标系中，直线l 是第一、三象限的角平分线．实验与探究：①由图观察易知A （2，0）关于直线l 的对称点'A 的坐标为（0，2），请在图中分别标明B （5，3），C （2-，5）关于直线l 的对称点'B 、'C 的位置，并写出他们的坐标: 'B ,'C ； 归纳与发现：②结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P （a ，b ）关于第一、三象限的角平分线l 的对称点'P 的坐标为 （不必证明）； ③点A （a ，b ）在直线l 的下方，则a ，b 的大小关系为 ；若在直线l 的上方，则 ． ⑵ 已知：如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为(100)A ，，(04)C ，，点D 是OA 的中点，点P 在BC 边上运动．当ODP △是腰长为5的等腰三角形时，点P 的坐标为________．例题精讲y xl665454332121-1-2-3-1-2-3CPBDOAxy【巩固】 如图，把图①中的A 经过平移得到O (如图②)，如果图①中A 上一点P 的坐标为()m n ，，那么平移后在图②中的对应点P '的坐标为 ．【例4】 在平面直角坐标系中，点()25A ，与点B 关于y 轴对称，则点B 的坐标是（ ） A ．(52)--，B ．()25--，C ．()25-，D ．()25-，【例5】 在平面直角坐标系中，已知线段AB 的两个端点分别是()41A --，，()11B ，，将线段AB 平移后得到线段A B ''，若点A '的坐标为()22-，，则点B '的坐标为（ ） A ．()43，B ．()34，C ．()12--，D ．()21--，板块二、函数及其图像【例6】 ⑴下列图形中的曲线不表示y 是x 的函数的是（ ）.DCBAyxOyxO yx OyxO⑵小张准备将平时的零用钱节约一些储存起来．他已存有50元，从现在起每个月节存12元．请写出小张的存款y 与从现在开始的月份数x 之间的函数关系式及自变量x 的取值范围．【例7】 如图，在矩形ABCD 中，AB=2，1BC =，动点P 从点B 出发，沿路线B C D →→作匀速运动，那么ABP ∆的面积S 与点P 运动的路程x 之间的函数图象大致是（ ）【例8】 某污水处理厂的一个净化水池设有2个进水口和1个出水口，三个水口至少打开一个．每个进水口进水的速度由图甲给出，出水口出水的速度由图乙给出.某一天0点到6点，该水池的蓄水量与时间的函数关系如图丙所示.通过对图象的观察，小亮得出了以下三个论断：⑴0点到3点只进水不出水；⑵3点到4点不进水只出水，⑶4点到6点不进水也不出水.其中正确的是( )A ．⑴B ．⑶C ．⑴⑶D ．⑴⑵⑶甲 乙 丙(小时)))【例9】 小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点A ，再走上坡路到达点B ，最后走下坡路到达工作单位，所用的时间与路程的关系如图所示．下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致，那么他从单位到家门口需要的时间是（ ） A ．12分钟 B ．15分钟 C ．25分钟 D ．27分钟DC P B AB ．C ．D ．【例10】 如图表示甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中，路程y （km ）随时间x （min ）的变化的图像（全程），根据图像回答以下问题：（1）求比赛开始多少分钟时，两人第一次相遇？ （2）求这次比赛的全程是多少？（3）求比赛开始多少分钟时，两人第二次相遇？板块三、一次函数图像【例11】 一次函数的图象过点()1,0，且函数值随着自变量的增大而减小，写出一个符合这个条件的一次函数解析式 ．【巩固】 已知一次函数的图象过点()0,3与()2,1，则这个一次函数y 随x 的增大而 ．【例12】 下列图形中，表示一次函数y mx n =+与正比例函数y mnx =（m 、n 为常数且0mn ≠)的图像是下图中的()AB C D【例13】 如图所示，在同一直角坐标系中，一次函数1y k x =，2y k x =，3y k x =，4y k x =的图像分别是1l ，2l ，3l ，4l ；那么1k ，2k ，3k ，4k 的大小关系是.ll【例14】 已知函数y kx b =+的图象如图，则2y kx b =+的图象可能是（ ）ABCD板块四、一次函数解析式的确定【例15】 已知一次函数y ax b=+的图象经过点(02A，，(14B ，，()4C c c +，．⑴ 求c ；⑵ 求222a b c ab ac bc ++---的值．【例16】如图，将直线OA向上平移1个单位，得到一个一次函数的图像，那么这个一次函数的解析式是．板块五、一次函数与几何综合【例17】已知：如图，直线y=+与x轴交于点A，与直线y=相交于点P．（1）求点P的坐标．（2）请判断OPA∆的形状并说明理由．（3）动点E从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿着O→P→A的路线向点A匀速运动（E 与点O、A重合），过点E分别作EF x⊥轴于F，EB y⊥轴于B．设运动t秒时，矩形EBOF与OPA∆重叠部分的面积为S．求：①S与t之间的函数关系式．②当t为何值时，S最大，并求S的最大值．【例18】 在平面直角坐标系中，直线162y x =-+与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点，⑴ 直接写出B 、C 两点的坐标；⑵ 直线y x =与直线162y x =-+交于点A ，动点P 从点O 沿OA 方向以每秒1个单位的速度运动，设运动时间为t 秒（即OP t =）过点P 作PQ x ∥轴交直线BC 于点Q ，①若点P 在线段OA 上运动时（如图），过P 、Q 分别作x 轴的垂线，垂足分别为N 、M ，设矩形PQMN 的面积为S ，写出S 和t 之间的函数关系式，并求出S 的最大值；②若点P 经过点A 后继续按原方向、原速度运动，当运动时间t 为何值时,过P 、Q 、O 三点的圆与x 轴相切.【例19】 如图，平面直角坐标系xOy 中，一条直线l 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点(0,2)B ,与正比例函数(0)y mx m =≠的图像交于点(1,1)P （1）求直线l 的解析式；（2）求AOP ∆的面积MSDC 模块化分级讲义体系 初中数学．中考复习．第04讲．学生版 Page 13 of 15【例20】 如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 是坐标原点。

一次函数平面直角坐标系在数学的世界里，一次函数就像是平面直角坐标系里的那位老朋友，简单又亲切。

想象一下，坐标系就像是一张大桌子，而一次函数就是摆在上面的那盘美味佳肴，永远让人觉得有滋有味。

说到一次函数，它的标准形式是 (y = mx + b)，这其实就像是在告诉我们，这个函数的图像是一条斜斜的直线。

哎，别小看这条直线，它可是有故事的人呢。

它的斜率 (m) 就像是你攀登人生高峰的劲头，正负之分也许代表着你心情的起伏。

往上走，心情就好；往下走，哎，那可是阴雨天。

记得我第一次接触一次函数的时候，心里可不太情愿。

觉得这玩意儿复杂得像个高深的哲学问题。

可是慢慢地，我发现这玩意儿其实挺有趣。

比如说，想象一下，如果你和朋友约好一起去喝奶茶，你们走路的速度就是那斜率。

越快，斜率就越大，喝到奶茶的时间也就越短，哈哈。

要是你们悠闲得像是散步，斜率就小了，等着喝奶茶的时间也就多了。

然后说到这个 (b)，它就像是你们约的地方。

比如说，在坐标系的原点，就是你们的出发点。

无论你们走得多远，最终都得在这个 (b) 这个地方见面。

它是你的起点，也是你的归宿。

看，这个一次函数真的是一个充满人生哲理的家伙。

它教会我们，不管走得多远，最终都得有个归属感，不是吗？一次函数的图像是直线，这样的简单形式就像是生活中的很多事情，表面上看似简单，实则内涵丰富。

比如说，生活中的很多问题其实也是线性的，越努力，结果越好。

这时候，你可能会想，“哎，生活不就是这样吗？”其实没错，很多时候只要保持一个良好的斜率，生活就会顺畅得多。

人们常说“稳中求进”，这不就是在说保持一个适合的斜率吗？当我们在课堂上画出一次函数的图像时，那种直线的感觉就像是跟数学谈了一场甜蜜的恋爱，心里暖暖的。

你想啊，数学本身就给人一种神秘感，而这条简单的直线却能把所有的复杂问题统统解决。

哇，这简直是太神奇了，真是让人对数学刮目相看。

我还记得，有一次在学校做实验，老师让我们用一次函数来预测未来的成绩。

一次函数在平面直角坐标系中的平移规律好嘞，今天咱们聊聊一次函数在平面直角坐标系中的平移规律。

这话题听上去有点干巴巴的，不过别担心，我会让它变得轻松有趣，咱们一起来捋一捋这些数学概念。

什么是一次函数呢？哎，就是那种“y = mx + b”的东西。

你看看，m代表的是斜率，b则是y轴上的截距。

简单来说，斜率就像一座山的陡峭程度，b就是山的起点。

在平面直角坐标系里，一次函数的图像是一条直线，简单明了，走到哪都是那样的气派。

说到平移，想象一下你在公园里散步，忽然看到一条小狗跑过来，你的目光就跟着它走。

这小狗的轨迹就像一次函数的图像，可以想象成你在这个坐标系中随意移动。

平移就像是把这条线从一个地方搬到另一个地方，但它的形状可没变哦，依然笔直得很。

先来聊聊横向平移。

横向平移就是像打羽毛球一样，轻轻一拨，这条线就往左或右移动了。

比如说，咱们把一次函数“y = 2x + 3”平移到右边，这可不简单，只需把x加个常数，比如加个2，就变成“y = 2(x 2) + 3”。

这意思就是原来的点全往右挪了两步，结果直线的方程变成了“y = 2x 1”。

看！这条线还是那条线，只是换了个位置，心情可愉悦了。

再说纵向平移，这就像你在大街上碰到朋友，你们一起吃冰淇淋，心情大好，整个人都飞起来了。

纵向平移就是把直线往上或往下移动。

拿刚才的例子来说，咱们把“y = 2x + 3”往上抬一抬，比如加个3，变成“y = 2x + 6”。

这时候，直线的斜率不变，依然是2，但它在y轴上起步的地方就变了，像是给它加了一个全新的起点。

这时候你可能会想，横向和纵向平移有啥区别？其实这就像是你在做瑜伽，身体可以向前弯，也可以向后仰，位置变了，但本质上你依然是你，姿势可不变。

这种平移就让我们在处理问题时更加灵活，不管是要调整图像的位置，还是要修正某个数值，都能游刃有余。

嘿，这个时候你应该有点明白了，不是吗？一次函数的平移就像在生活中随时随地都能找到自己舒适的位置。

知识点一、平面直角坐标系1，平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。

其中，水平的数轴叫做x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y 轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O （即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。

为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x 轴和y 轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。

注意：x 轴和y 轴上的点，不属于任何象限。

坐标原点既属于x 轴，也属于y 轴。

2、点的坐标的概念点的坐标用（a ，b ）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。

平面内点的坐标是有序实数对，当b a ≠时，（a ，b ）和（b ，a ）是两个不同点的坐标。

坐标平面内的点与有序实数对存在一一对应关系。

知识点二、不同位置的点的坐标的特征1、各象限内点点P(x,y)在第二象限0,0><⇔y x 点P(x,y)在第一象限0,0>>⇔y x 点P(x,y)在第三象限0,0<<⇔y x 点P(x,y)在第四象限0,0<>⇔y x 2、坐标轴上的点点P(x,y)在x 轴上0=⇔y ，x 为任意实数 点P(x,y)在y 轴上0=⇔x ，y 为任意实数点P(x,y)既在x 轴上，又在y 轴上⇔x ，y 同时为零，即点P 坐标为（0，0） 3、两条坐标轴夹角平分线上的点点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上⇔x 与y 相等（一、三象限角分线即y=x ） 点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上⇔x 与y 互为相反数(二、四象限角分线即y= -x ） 4、和坐标轴平行的直线上点位于平行于x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。

位于平行于y 轴的直线上的各点的横坐标相同。

5、对称点关于x 轴对称⇔横等纵反 关于y 轴对称⇔横反纵等关于原点对称⇔横反纵反6、距离（1）点P(x,y)到x 轴的距离等于y （2）点P(x,y)到y 轴的距离等于x （3）点P(x,y)到原点的距离等于22y x + （4）若()2211,),(y x B y x A则线段AB 的长：()()22122y y x xAB -+-=7、中点坐标：若()2211,),(y x B y x A则线段AB 中点C ⎪⎭⎫⎝⎛++2,22121y y x x8、点的平移左右平移横标变…左减右加，上下平移纵标变…上加下减知识点三、函数及其相关概念1、变量与常量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。

一次函数经过象限规律一次函数是数学中最基础的函数之一，它的形式为 y = kx + b，其中 k 和 b 都是常数。

在平面直角坐标系中，一次函数的图像是一条直线，它的斜率 k 决定了这条直线的倾斜程度，而 b 决定了这条直线在 y 轴上的截距位置。

在研究一次函数的性质时，我们可以考虑它在不同象限中的表现规律。

下面我们将详细介绍一次函数在四个象限中的特点。

第一象限第一象限是平面直角坐标系中 x 和 y 坐标都为正的区域。

当一次函数的斜率 k 大于 0 时，它在第一象限中的表现规律如下：1. 当 x 增大时，y 也随之增大，即函数的图像向右上方倾斜；2. 当 x 减小时，y 也随之减小，即函数的图像向左下方倾斜；3. 当 x = 0 时，y = b，即函数的图像在 y 轴上截距为 b。

第二象限第二象限是平面直角坐标系中x 坐标为负，y 坐标为正的区域。

当一次函数的斜率 k 小于 0 时，它在第二象限中的表现规律如下：1. 当 x 增大时，y 随之减小，即函数的图像向右下方倾斜；2. 当 x 减小时，y 随之增大，即函数的图像向左上方倾斜；3. 当 x = 0 时，y = b，即函数的图像在 y 轴上截距为 b。

第三象限第三象限是平面直角坐标系中 x 和 y 坐标都为负的区域。

当一次函数的斜率 k 大于 0 时，它在第三象限中的表现规律如下：1. 当 x 增大时，y 随之减小，即函数的图像向左下方倾斜；2. 当 x 减小时，y 随之增大，即函数的图像向右上方倾斜；3. 当 x = 0 时，y = b，即函数的图像在 y 轴上截距为 b。

第四象限第四象限是平面直角坐标系中x 坐标为正，y 坐标为负的区域。

当一次函数的斜率 k 小于 0 时，它在第四象限中的表现规律如下：1. 当 x 增大时，y 随之增大，即函数的图像向右上方倾斜；2. 当 x 减小时，y 随之减小，即函数的图像向左下方倾斜；3. 当 x = 0 时，y = b，即函数的图像在 y 轴上截距为 b。

2016年遵义中考数学复习第9课讲：一次函数的图形和性质及应用姓名____________学号__________【基础知识回顾】一、平面直角坐标系：1、定义：具有的两条的数轴组成平面直角坐标系，两条数轴分别称轴轴或轴轴，这两系数轴把一个坐标平面分成的四个部分，我们称作是四个2、有序数对：在一个坐标平面内的任意一个点可以用一对来表示，如A（a .b），（a .b）即为点A 的其中a是该点的坐标，b是该点的坐标平面内的点和有序数对具有的关系。

3、各象限内点的特点：平面内点的坐标特征(1) P（a .b）：第一象限第二象限第三象限第四象限X轴上Y轴上(2)特殊位置点的特点：P（a .b）若在一、三象限角的平分线上，则若在二、四象限角的平分线上，则(3)对坐标轴的距离：P（a .b）到x轴的距离到y轴的距离到原点的距离(4)坐标平面内点的平移：将点P（a .b）向左右平移h个点位，对应点坐标为或向上（下）平移K个点位，对应点坐标为或二、函数的有关概念：1、常量与变量：在某一变化过程中，始终保持的量叫做常量，数值发生的量叫做变量2、函数：⑴、函数的概念：一般的在某个过程中如果有两个变量x、y对于x德每一个确定的值，y都有的值与之对应，我们就成x是y是x的（2）、在确定自变量取值范围时要注意分式和二次根式同时存在，应保证两者都有意义，即被开数应同时分母（3）、函数的表示方法：①、法②、法③、法（4）、函数的图像：对于一个函数，把自变象x和函数y的每对对应值作为点的与在平面内描出相应的点，组成这些点的图形叫做这个函数的图像三.一次函数的定义: 一般的：如果y=（）即y叫x的一次函数特别的：当b=时，一次函数就变为y-kx(k≠0)，这时y叫x的【名师提醒：正比例函数是一次函数，反之不一定成立，是有当b=0时，它才是正比例函数】四、一次函数的图像及性质：1、一次函数y=kx+b的图像是经过点（0，b）（-bk，0）的一条正比例函数y= kx的同象是经过点和的一条直线2、正比例函数y= kx(k≠0)当k>0时，其图像过象限，时y随x的增大而)当k<0时，其同象过象限，时y随x的增大而3、一次函数y= kx+b，同象及函数性质①当k＞0，b＞0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限，y的值随x的值增大而增大；②当k＞0，b＜0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，y的值随x的值增大而增大；③当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，y的值随x的值增大而减小；④当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，y的值随x的值增大而减小．4、若直线y= k1x+ b1与l1y= k2x+ b2平行，则k1k2，若k1≠k2，则l1与l2五、用待定系数法求一次函数的解析式：关键：确定一次函数y= k x+ b中的字母与的值步骤：1、设一次函数表达式2、将x，y的对应值或点的坐标代入表达式3、解关于系数的方程或方程组4、将所求的系数代入等设函数表达式中六、一次函数与一元一次方程，一元一次不等式和二元一次方程组1、一次函数与一元一次方程：y= k x+ b与x轴交点的横坐标是对应一元一次方程的______;一元一次方程的解是对应一次函数与x轴交点的______________。

一次函数平面直角坐标系题一次函数（也称为线性函数）在数学中是指具有形式y = kx + b 的函数。

其中，x 和 y 表示平面直角坐标系中的点的坐标，k 表示斜率，b 表示 y 轴截距。

在平面直角坐标系中，我们可以通过一次函数来描述两个变量之间的线性关系。

对于给定的 x 值，通过一次函数可以得到与之对应的 y 值，从而确定平面上的一个点。

同时，我们也可以通过两个已知点来确定一次函数的表达式。

以下是一个通过已知点求解一次函数的例子：已知直线上有两个点 A(2, 4) 和 B(5, 10)，我们要求通过这两个点的一次函数的表达式。

首先，我们可以利用斜率公式来计算斜率 k：k = (y2 - y1) / (x2 - x1)将点 A 和 B 的坐标代入斜率公式中，得到：k = (10 - 4) / (5 - 2) = 6 / 3 = 2接下来，我们可以选择其中一个点（例如点 A）来计算 y 轴截距 b。

将点 A 的坐标代入一次函数的表达式中，得到：4 = 2 * 2 + b解方程得到 b = 0因此，通过已知点 A 和 B，我们可以得到一次函数的表达式为：y = 2x这条直线可以通过任意一对满足一次函数表达式的 x 和 y 值来确定平面上的其他点。

除了求解一次函数的表达式，我们还可以利用一次函数来解决一些实际问题。

例如，假设一辆汽车以固定的速度向前行驶，我们可以利用一次函数来描述行驶距离和时间之间的关系。

设汽车的速度为 v，行驶的时间为 t，行驶的距离为 s。

根据定义，速度可以表示为单位时间内行驶的距离，即 v = s / t。

根据一次函数的表达式 y = kx + b，在这个问题中，我们可以有以下关系：s = vt其中，v 表示速度，t 表示时间，s 表示行驶距离。

这是一个一次函数，斜率 k 为速度， y 轴截距 b 为 0（因为 t = 0 时行驶距离为 0）。

如果我们已知速度为 60 km/h，那么在不同的时间点，我们可以通过一次函数计算出行驶的距离。

一次函数【基础知识回顾】一、 一次函数的定义:一般的：如果y= （ ），那么y 叫x 的一次函数特别的：当b= 时，一次函数就变为y=kx(k≠0)，这时y 叫x 的【名师提醒：正比例函数是一次函数，反之不一定成立，是有当b=0时，它才是正比例函数】二、一次函数的同象及性质：1、一次函数y=kx+b 的同象是经过点（0，b ）（-b k ，0）的一条 ，正比例函数y= kx 的同象是经过点 和 的一条直线。

【名师提醒：因为一次函数的同象是一条直线，所以画一次函数的图象只需选取 个特殊的点，过这两个点画一条直线即可】2、正比例函数y= kx(k≠0)，当k >0时，其同象过 、 象限，此时时y 随x的增大而 ；当k<0时，其同象过 、 象限，时y 随x 的增大而 。

3、 一次函数y= kx+b ，图象及函数性质①、k >0 b >0过 象限 ②、k >0 b<0过 象限③、k<0 b >0过 象限 ④、k<0 b >0过 象限4、若直线l1：y= k1x+ b1与l1：y= k2x+ b2平行，则k1 k2，若k1≠k2，则l1与l2【名师提醒：y 随x 的变化情况，只取决于 的符号与 无关，而直线的平移，只改变 的值 的值不变】三、用待定系数法求一次函数解析式：关键：确定一次函数y= kx+ b 中的字母 与 的值步骤：1、设一次函数表达式2、将x ，y 的对应值或点的坐标代入表达式3、解关于系数的方程或方程组4、将所求的待定系数代入所设函数表达式中四、一次函数与一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程组1、一次函数与一元一次方程：一般地将x= 或y 代入y= kx+ b 中解一元一次方程可求求直线与坐标轴的交点坐标。

2、一次函数与一元一次不等式：kx+ b>0或kx+ b<0即一次函数图象位于x 轴上方或下方时相应的x 的取值范围，反之也成立3、一次函数与二元一次方程组：两条直线的交点坐标即为两个一次函数所列二元一次方程组的解，反之根据方程组的解可求两条直线的交点坐标【名师提醒：1、一次函数与三者之间的关系问题一定要结合图象去解决y 随x 的增大而 y 随x 的增大而2、在一次函数中讨论交点问题即是讨论一元一次不等式的解集或二元一次方程组解的问题】五、一次函数的应用一般步骤：1、设定问题中的变量2、建立一次函数关系式3、确定自变量的取值范围4、利用函数性质解决问题5、作答【名师提醒：一次函数的应用多与二元一次方程组或一元一次不等式（组）相联系，经常涉及交点问题，方案设计问题等】【重点考点例析】考点一：一次函数的图象和性质例1 （2013•大庆）对于函数y=-3x+1，下列结论正确的是（）A．它的图象必经过点（-1，3）B．它的图象经过第一、二、三象限C．当x＞1时，y＜0D．y的值随x值的增大而增大对应训练1．（2013•徐州）下列函数中，y随x的增大而减少的函数是（）A．y=2x+8 B．y=-2+4x C．y=-2x+8 D．y=4x考点二：一次函数的图象和系数的关系例2 （2013•莆田）如图，一次函数y=（m-2）x-1的图象经过二、三、四象限，则m的取值范围是（）A．m＞0 B．m＜0 C．m＞2 D．m＜2例3 （2013•遵义）P1（x1，y1），P2（x2，y2）是正比例函数y=-12x图象上的两点，下列判断中，正确的是（）A．y1＞y2B．y1＜y2C．当x1＜x2时，y1＜y2D．当x1＜x2时，y1＞y2对应训练2．（2013•眉山）若实数a，b，c满足a+b+c=0，且a＜b＜c，则函数y=cx+a的图象可能是（）A．B．C．D．3．（2013•福州）A，B两点在一次函数图象上的位置如图所示，两点的坐标分别为A（x+a，y+b），B（x，y），下列结论正确的是（）A．a＞0 B．a＜0 C．b=0 D．ab＜0考点三：一次函数解析式的确定例4 （2013•常州）已知一次函数y=kx+b（k、b为常数且k≠0）的图象经过点A（0，-2）和点B（1，0），则k= ，b= ．对应训练4．（2013•重庆）已知正比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点（1，-2），则这个正比例函数的解析式为（）A．y=2x B．y=-2x C．y= 12x D．y=-12x考点四：一次函数与方程（组）、不等式（组）的关系例5 （2013•黔西南州）如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x＜ax+4的解集为（）A．x＜32B．x＜3 C．x＞32D．x＞3例6 （2013•荆州）体育课上，20人一组进行足球比赛，每人射点球5次，已知某一组的进球总数为49个，进球情况记录如下表，其中进2个球的有x人，进3个球的有y人，若（x，y）恰好是两条直线的交点坐标，则这两条直线的解析式是（）进球数0 1 2 3 4 5人数 1 5 x y 3 2A．y=x+9与y=23x+223B．y=-x+9与y=23x+223C．y=-x+9与y=-23x+223D．y=x+9与y=-23x+223对应训练5．（2013•武汉）直线y=2x+b经过点（3，5），求关于x的不等式2x+b≥0的解集．5．解：∵直线y=2x+b经过点（3，5），∴5=2×3+b，解得b=-1，∵2x+b≥0，∴2x-1≥0，解得x≥12．6．（2013•青岛）如图，一个正比例函数图象与一次函数y=-x+1的图象相交于点P，则这个正比例函数的表达式是．考点五：一次函数综合题例7 （2013•绥化）如图，直线MN与x轴，y轴分别相交于A，C两点，分别过A，C两点作x轴，y轴的垂线相交于B点，且OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x2-14x+48=0的两个实数根．（1）求C点坐标；（2）求直线MN的解析式；（3）在直线MN上存在点P，使以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点的坐标．对应训练7．（2013•齐齐哈尔）如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点（OA ＜OB）且OA、OB的长分别是一元二次方程x2-（3+1）x+3=0的两个根，点C在x轴负半轴上，且AB：AC=1：2（1）求A、C两点的坐标；（2）若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM的面积为S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以 A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．考点六：一次函数的应用例8 （2013•株洲）某生物小组观察一植物生长，得到植物高度y（单位：厘米）与观察时间x（单位：天）的关系，并画出如图所示的图象（AC是线段，直线CD平行x轴）．（1）该植物从观察时起，多少天以后停止长高？（2）求直线AC的解析式，并求该植物最高长多少厘米？对应训练8．（2013•湛江）周末，小明骑自行车从家里出发到野外郊游．从家出发1小时后到达南亚所（景点），游玩一段时间后按原速前往湖光岩．小明离家1小时50分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往湖光岩，如图是他们离家的路程y（km）与小明离家时间x（h）的函数图象．（1）求小明骑车的速度和在南亚所游玩的时间；（2）若妈妈在出发后25分钟时，刚好在湖光岩门口追上小明，求妈妈驾车的速度及CD所在直线的函数解析式．【聚焦山东中考】1．（2013•菏泽）一条直线y=kx+b，其中k+b=-5、kb=6，那么该直线经过（）A．第二、四象限B．第一、二、三象限C．第一、三象限D．第二、三、四象限2．（2013•潍坊）设点A（x1，y1）和B（x2，y2）是反比例函数y=kx图象上的两个点，当x1＜x2＜0时，y1＜y2，则一次函数y=-2x+k的图象不经过的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（2013•潍坊）一次函数y=-2x+b中，当x=1时，y＜1，当x=-1时，y＞0．则b的取值范围是．4．（2013•泰安）把直线y=-x+3向上平移m个单位后，与直线y=2x+4的交点在第一象限，则m的取值范围是（）A．1＜m＜7 B．3＜m＜4 C．m＞1 D．m＜4 5．（2013•威海）甲、乙两辆摩托车同时从相距20km的A，B两地出发，相向而行．图中l1，l2分别表示甲、乙两辆摩托车到A地的距离s（km）与行驶时间t（h）的函数关系．则下列说法错误的是（）A．乙摩托车的速度较快B．经过0.3小时甲摩托车行驶到A，B两地的中点C．经过0.25小时两摩托车相遇D．当乙摩托车到达A地时，甲摩托车距离A地503km6．（2013•临沂）某工厂投入生产一种机器的总成本为2000万元．当该机器生产数量至少为10台，但不超过70台时，每台成本y与生产数量x之间是一次函数关系，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x（单位：台）10 20 30y（单位：万元∕台）60 55 50（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求该机器的生产数量；（3）市场调查发现，这种机器每月销售量z（台）与售价a（万元∕台）之间满足如图所示的函数关系．该厂生产这种机器后第一个月按同一售价共卖出这种机器25台，请你求出该厂第一个月销售这种机器的利润．（注：利润=售价-成本）7．（2013•滨州）根据要求，解答下列问题：（1）已知直线l1的函数表达式为y=x，请直接写出过原点且与l1垂直的直线l2的函数表达式；（2）如图，过原点的直线l3向上的方向与x轴的正方向所成的角为30°．①求直线l3的函数表达式；②把直线l3绕原点O按逆时针方向旋转90°得到的直线l4，求直线l4的函数表达式．（3）分别观察（1）（2）中的两个函数表达式，请猜想：当两直线垂直时，它们的函数表达式中自变量的系数之间有何关系？请根据猜想结论直接写出过原点且与直线y=-15x垂直的直线l5的函数表达式．8．（2013•济宁）如图，直线y=-12x+4与坐标轴分别交于点A、B，与直线y=x交于点C．在线段OA上，动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，同时动点P 从点A出发向点O做匀速运动，当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动．分别过点P、Q作x轴的垂线，交直线AB、OC于点E、F，连接EF．若运动时间为t秒，在运动过程中四边形PEFQ总为矩形（点P、Q重合除外）．（1）求点P运动的速度是多少？（2）当t为多少秒时，矩形PEFQ为正方形？（3）当t为多少秒时，矩形PEFQ的面积S最大？并求出最大值．【备考真题过关】一、选择题1．（2013•湖州）若正比例函数y=kx的图象经过点（1，2），则k的值为（）A．-12B．-2 C．12D．22．（2013•陕西）如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A（2，m），B（n，3），那么一定有（）A．m＞0，n＞0 B．m＞0，n＜0 C．m＜0，n＞0 D．m＜0，n＜03．（2013•荆门）若反比例函数y=kx的图象过点（-2，1），则一次函数y=kx-k的图象过（）A．第一、二、四象限B．第一、三、四象限C．第二、三、四象限D．第一、二、三象限4．（2013•黔东南州）直线y=-2x+m与直线y=2x-1的交点在第四象限，则m的取值范围是（）A．m＞-1 B．m＜1 C．-1＜m＜1 D．-1≤m≤1 5．（2013•十堰）张师傅驾车从甲地到乙地，两地相距500千米，汽车出发前油箱有油25升，途中加油若干升，加油前、后汽车都以100千米/小时的速度匀速行驶，已知油箱中剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）之间的关系如图所示．以下说法错误的是（）A．加油前油箱中剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）的函数关系是y=-8t+25B．途中加油21升C．汽车加油后还可行驶4小时D．汽车到达乙地时油箱中还余油6升5．C6．（2013•天门）小文、小亮从学校出发到青少年宫参加书法比赛，小文步行一段时间后，小亮骑自行车沿相同路线行进，两人均匀速前行．他们的路程差s（米）与小文出发时间t （分）之间的函数关系如图所示．下列说法：①小亮先到达青少年宫；②小亮的速度是小文速度的2.5倍；③a=24；④b=480．其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④二、填空题 7．（2013•资阳）在一次函数y=（2-k ）x+1中，y 随x 的增大而增大，则k 的取值范围为 ．8．（2013•天津）若一次函数y=kx+1（k 为常数，k≠0）的图象经过第一、二、三象限，则的取值范围是 ． 9．（2013•鞍山）在一次函数y=kx+2中，若y 随x 的增大而增大，则它的图象不经过第 象限．10．（2013•珠海）已知，函数y=3x 的图象经过点A （-1，y 1），点B （-2，y 2），则y 1 y 2（填“＞”“＜”或“=”）11．（2013•永州）已知一次函数y=kx+b 的图象经过A （1，-1），B （-1，3）两点，则k 0（填“＞”或“＜”） 12．（2013•昆明）已知正比例函数y=kx 的图象经过点A （-1，2），则正比例函数的解析式为 ．13．（2013•成都）已知点（3，5）在直线y=ax+b （a ，b 为常数，且a≠0）上，则 5a b 的值为 ．14．（2013•包头）如图，已知一条直线经过点A （0，2）、点B （1，0），将这条直线向左平移与x 轴、y 轴分别交与点C 、点D ．若DB=DC ，则直线CD 的函数解析式为 ．15．（2013•温州）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的两个顶点A ，B 的坐标分别为（-2，0），（-1，0），BC ⊥x 轴，将△ABC 以y 轴为对称轴作轴对称变换，得到△A′B′C′（A 和A′，B 和B′，C 和C′分别是对应顶点），直线y=x+b 经过点A ，C′，则点C′的坐标是 ．16．（2013•孝感）如图，一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻开始的4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，接着关闭进水管直到容器内的水放完．假设每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：升）与时间x（单位：分）之间的部分关系．那么，从关闭进水管起分钟该容器内的水恰好放完．17．（2013•随州）甲乙两地相距50千米．星期天上午8：00小聪同学在父亲陪同下骑山地车从甲地前往乙地．2小时后，小明的父亲骑摩托车沿同一路线也从甲地前往乙地，他们行驶的路程y（千米）与小聪行驶的时间x（小时）之间的函数关系如图所示，小明父亲出发小时时，行进中的两车相距8千米．三、解答题18．（2013•厦门）一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始的3分内只进水不出水，在随后的9分内既进水又出水，每分的进水量和出水量都是常数．容器内的水量y（单位：升）与时间x（单位：分）之间的关系如图所示．当容器内的水量大于5升时，求时间x的取值范围．19．（2013•湘潭）莲城超市以10元/件的价格调进一批商品，根据前期销售情况，每天销售量y（件）与该商品定价x（元）是一次函数关系，如图所示．（1）求销售量y与定价x之间的函数关系式；（2）如果超市将该商品的销售价定为13元/件，不考虑其它因素，求超市每天销售这种商品所获得的利润．20．（2013•盐城）水果店王阿姨到水果批发市场打算购进一种水果销售，经过还价，实际价格每千克比原来少2元，发现原来买这种水果80千克的钱，现在可买88千克．（1）现在实际购进这种水果每千克多少元？（2）王阿姨准备购进这种水果销售，若这种水果的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足如图所示的一次函数关系．①求y与x之间的函数关系式；②请你帮王阿姨拿个主意，将这种水果的销售单价定为多少时，能获得最大利润？最大利润是多少？（利润=销售收入-进货金额）21．（2013•河北）如图，A（0，1），M（3，2），N（4，4）．动点P从点A出发，沿y轴以每秒1个单位长的速度向上移动，且过点P的直线l：y=-x+b也随之移动，设移动时间为t 秒．（1）当t=3时，求l的解析式；（2）若点M，N位于l的异侧，确定t的取值范围；（3）直接写出t为何值时，点M关于l的对称点落在坐标轴上．。